Optymalizacja procesów cieplnych

Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
1
Wykład 12
12. Optymalizacja wymienników ciepła.
W badaniach optymalizacyjnych wymienników ciepła rezygnuje się zwykle z
operowania sprawnością egzergetyczną, koncentrując uwagę na analizie sumy
kosztów inwestycyjnych i eksploatacyjnych w zależności od parametrów
technologicznych rozważanych wymienników.
K = Ki + Ke [ zł/J ]
gdzie:
Ke
-
(12.1)
jednostkowe koszty eksploatacyjne zależne od przebiegu procesu,
stanowiące energetyczny składnik kosztów,
Ki - jednostkowe koszty inwestycyjne uwzględniające koszty stałe konserwacji
i remontów.
Koszt Ki określony jest wzorem:
Ki = a
gdzie:
I
Qt u
 zl 
 J 
(12.2)
I [zł]
- nakłady inwestycyjne,
Q [J/s]
- strumień wymienianego ciepła stanowiący efekt użyteczny uzyskany
w jednostce czasu,
tu [s/rok]
- czas użytkowania urządzenia
 z

a =  + β  - efektywny współczynnik amortyzacji uwzględniający konserwację i
 t gr

remonty; a przyjmuje wartości 0.1 ÷ 0.4,
z
- czynnik zamrożenia nakładów
Optymalizacja
procesów
cieplnych
tgr [lat]
[
Część I
2
Wykład 12
- graniczny czas zwrotu nakładów; od 3 do 10 lat
]
(wartość zalecana 6 lat)
β rok −1 - współczynnik ujmujący koszty konserwacji i remontów.
W przypadku zadań sterowania optymalnego rozważane są procesy przebiegające w
zadanym aparacie co oznacza, że I = const. Jeśli czas pracy wymiennika w ciągu roku tu
oraz strumień ciepła Q są stałe, to zadanie sterowania optymalnego wymaga jedynie
minimalizacji kosztów Ke. Natomiast w zadaniach projektowania optymalnego I = var
należy minimalizować koszty sumaryczne K = Ki + Ke.
12.1 Optimum temperatury pary grzejnej zasilającej wymiennik.
W zadaniu tym rozważono wpływ temperatury pary grzejnej na koszty wymiennika
ciepła. Przyjęto przy tym następujące założenia:
- pomijalnie małe są zmiany warunków przetłaczania (oporów przepływu) i
współczynnika wnikania ciepła spowodowane zmianą powierzchni grzejnej,
- ustalone są temperatury:
T1 na wlocie do 
 wymiennika co oznacza stałość
T2 na wylocie z 
wymienianego strumienia ciepła Q, tzn. stały efekt użyteczny,
- stałe są: średnica D i długość l rurek w wymienniku,
- w celu uzyskania dużych wartości współczynnika wnikania ciepła, do
ogrzewania płynu zastosowano parę nasyconą o wagowym stopniu suchości X,
- należy uwzględnić koszty powierzchni grzejnej oraz pary grzejnej.
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
3
Wykład 12
Ze względu na stałość wymienianego ciepła Q za kryterium optymalizacji przyjąć można
minimum kosztów, które z uwagi na wzór (12.1) można zapisać w postaci:
K = Ki + Ke =
[ ]
aI
+ K p zl
J
Qt u
(12.3)
Pierwszy człon wzoru (12.3) jest związany z kosztami inwestycyjnymi, drugi natomiast z
kosztami eksploatacyjnymi wynikającymi ze zużycia pary:
a)
p= c
on s
t
i
b)
P Tp
r ∆i
n
co
=
Tp x
p
st
M
T1=Tp
T2=Tk
Q Tp
∆Sp
r/Tp
S
Stan termodynamiczny pary zasilającej i opuszczającej wymiennik ciepła na
wykresie: entalpia i – entropia s
Wydajność cieplna wymiennika wyraża się wzorem:
Q = P∆ip = Pxr(Tp) [ J/s ]
gdzie:
P [kg/s]
- wydatek masowy pary grzejnej,
x
- stopień suchości pary,
(12.4)
r(Tp) [J/kg] - entalpia parowania zależna od temperatury pary Tp.
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
4
Wykład 12
Koszt pary oparty jest na taryfie egzergetycznej:
Kpary = epPbp = epP ( ∆ip – Tot∆Sp )
gdzie:
ep [zł/J]
(12.5)
- wartość ekonomiczna jednostki egzergii pary i może być
traktowana jako wartość stała przy założeniu stałej liczby godzin
pracy wymiennika w ciągu roku.
Ponieważ:
∆Sp = x
∆ip = xr,



Kpary= epPxr 1 −
to
r
Tp
Tot 
 [zł/J]
Tp 
(12.6)
Dzieląc stronami równanie (12.6) przez (12.4), otrzymuje się koszt ciepła oddanego przez
parę, odniesiony do jednostki wymienianego ciepła
Kp =
 T 
= e p 1 − ot  [zł/J]
Q
Tp 

K pary
(12.7)
Strumień wymienianego ciepła wyraża równanie kinetyczne:
Q = kwA∆Tm
gdzie:
∆Tm
- średnia siła napędowa,
A
- powierzchnia grzejna,
kw
- współczynnik wymiany ciepła.
(12.8)
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
5
Wykład 12
Wykorzystując związki (12.3), (12.7) i (12.8) otrzymuje się sumaryczny koszt
jednostkowy:
K=
aI
A + e 1 − Tot  [zł/J]
p

t u k w ∆Tm
 Tp 
(12.9)
który stanowi funkcję kryterialną podlegającą minimalizacji.
12.1.1 Optymalna temperatura pary grzejnej zasilającej wyparkę.
Jeśli płyn ogrzewany ma stałą temperaturę T, jak podczas odparowywania w
wyparce, to:
∆Tm = Tp – T
(12.10)
a funkcja (12.9) przyjmuje postać:
K=
aI
 T 
A
+ e p 1 − ot 
t u k w (Tp − T )
Tp 

(12.11)
Funkcja kryterialna (12.11) wskazuje, że koszt jednostkowy wymiennika zmniejsza się,
zaś koszt jednostkowy pary rośnie ze wzrostem temperatury pary grzejnej.
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
6
Wykład 12
W celu otrzymania optymalnej temperatury T̂p należy zróżniczkować funkcję
(12.11) ze względu na Tp a otrzymaną pochodną przyrównać do zera:
−
aI
A (T )2 + e (T − T )2 = 0
p
p
p
tukw
(12.12)
Z dwóch rozwiązań tylko jedno spełnia warunek Tp > T i określa tym samym optymalną
temperaturę pary grzejnej:
T̂p =
T
aI A
1−
t u k w e p Tot
Jeśli związek I(A) nie jest prostą proporcjonalnością
(12.13)
I
= const (Tp ), ale obowiązuje
A
związek liniowy między nakładami inwestycyjnymi I a wielkością powierzchni grzejnej
A, to iloraz I/A w równaniu (12.13) należy zastąpić współczynnikiem kierunkowym
prostej I(A), tzn. przez I’(A):
T̂p =
T
aI' ( A )
1−
t u k w e p Tot
(12.14)
Wzór powyższy wskazuje, że drogie aparaty, tzn. takie dla których nakłady jednostkowe
I’(A) są duże, powinny charakteryzować się dużą nadwyżką T̂p nad T, tzn. dużą siłą
napędową wymiany ciepła.
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
7
Wykład 12
Optymalne natężenie przepływu pary P̂ jest jednoznacznie związany z wydajnością
cieplną Q oraz temperaturą optymalną T̂p i wynika ze związków (12.4) i (12.8):
P̂ =
k w A (T̂p − T )
xr (T̂p )
(12.15)
12.1.2 Ogrzewanie płynu, w którym nie zachodzi przemiana fazowa.
Jeśli temperatura płynu wzrasta od T1 do T2 to siłę napędową ∆Tm wyraża się zwykle
w postaci średniej logarytmicznej:
∆Tm =
T2 − T1
ln (Tp − T1 ) − ln (Tp − T2 )
(12.16)
Wyrażenie to należy wprowadzić do funkcji (12.9) i przeprowadzić jej różniczkowanie ze
względu na Tp. Po przyrównaniu pochodnej do zera i rozwiązaniu równania otrzymuje się
optymalną temperaturę pary:
T̂p =
gdzie:
1 T1 + T2 
4T1T2
1 + 1 − (1 − z )
1 − z 2 
(T1 + T2 )2
z=
aI' ( A )
t u k w e p Tot

 (12.17)


(12.18)
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
8
Wykład 12
12.2 Zadania optymalizacyjne dla pojedyńczego wymiennika ciepła.
1)
Minimum kosztów ekonomicznych skraplacza pary przy zadanej wydajności
skraplania jest osiągane przez odpowiedni dobór natężenia przepływu wody
chłodzącej.
Temperatura początkowa wody jest ustalona. Wzrost natężenia
przepływu wody obniża jej temperaturę wylotową, co pozwala zmniejszyć
powierzchnię wymiany ciepła, a zatem zmniejsza koszty inwestycyjne.
Zwiększają się natomiast koszty zużycia wody i koszty jej pompowania. Istnieje
zatem stacjonarnie optymalny przepływ wody.
2)
Minimum kosztów wymiennika, w którym zmieniają się temperatury obu
płynów. Zakłada się, że zadane jest natężenie przepływu jednego płynu, którego
temperatura zmienia się w stałych granicach. Zmienne jest natomiast natężenie
przepływu drugiego płynu o zadanej temperaturze wlotowej. Wzrost tego
przepływu zwiększa koszty eksploatacyjne, zmniejsza zaś inwestycyjne.
Zadanie polega na poszukiwaniu optymalnego natężenia przepływu drugiego
płynu.
3)
Minimum kosztów skraplacza parowego. Zakłada się stałe natężenie przepływu
wody chłodzącej i stałą wydajność kondensacji, ale dopuszcza się zmiany
prędkości liniowej wody (liczba obiegów wymiennika), tzn. oddziaływuje się na
współczynnik przenikania ciepła. Wzrost prędkości liniowej zwiększa koszty
pompowania
(rosną
opory
hydrauliczne),
zmniejsza
natomiast
koszty
powierzchni grzejnej. Istnieje zatem optymalna prędkość liniowa wody
chłodzącej.
4)
Zadanie podobne do poprzedniego ale dotyczy zagrzewacza a nie skraplacza i
dlatego jest formułowane przy warunku stałej różnicy temperatur płynu
ogrzewanego (zastępuje to poprzedni warunek stałej wydajności kondensacji).
Kaskada takich wymienników zostanie poddana analizie w punkcie 12.3.
Optymalizacja
procesów
cieplnych
5)
Część I
9
Wykład 12
Minimum kosztów wymiennika, w którym są określone przepływy masowe obu
płynów oraz ich temperatury (wylotowe i wlotowe). Chodzi o wybranie
ekonomicznych prędkości liniowych obu płynów. Szukane są zatem dwie
optymalne prędkości minimalizujące sumę kosztów inwestycyjnych i kosztów
pompowania płynów.
12.3 Kaskada wymienników ciepła z ogrzewaniem parą nasyconą.
1
tp
g
0
M
T =Tp
0
p =0
1
tp
tp
2
g2
1
T1
p1
2
g
T
2
T
2
p
p
n-1
n-1
n
n
N
tp
N
g
n
n
N
N-1
T
T
pn
pN-1
N
T =Tk
pN
Rozważmy kaskadę wymienników ciepła zasilanych parą nasyconą do zagrzewania
płynu, w którym nie zachodzi zmiana fazy, od temperatury T = Tp do temperatury
0
T N = Tk . Są określone następujące wielkości:
M [kg/s]
- zadane natężenie masowe przepływu płynu, będące strumieniem
sterowanym,
Pn [kg/s]
- sumaryczne zużycie pary na stopniach od 1 do n,
∆Pn [kg/s]
- ilość pary dostarczonej na stopniu n w jednostce czasu,
∆P n
g =
M
- zużycie pary na stopniu odniesione do natężenia przepływu płynu
n
zagrzewanego.
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
10
Wykład 12
Praktycznym przykładem rozważanego procesu jest podgrzewanie wody zasilającej
kocioł elektrociepłowni.
Nakłady inwestycyjne na wymiennik n rosną wraz z jego powierzchnią An i są
opisane zależnością liniową:
In = I0n + AnI’n
(12.19)
gdzie I0n jest jałowym kosztem inwestycyjnym wymiennika n.
Koszt inwestycyjny wymiennika n odniesiony do jednostki masy płynu zagrzewanego,
zgodnie ze wzorem (12.2) wynosi:
a nIn
[zł/kg]
K =
Mt u
n
i
(12.20)
Koszt pary odniesiony do jednostkowego przepływu płynu, przy wykorzystaniu związku
(12.6) wynosi:
 Tot 
∆P n
n 
K = ep
xr Tp 1 − n  [zł/kg]


M
 Tp 
( )
n
p
(12.21)
Uwzględniając związek (12.19) otrzymuje się zależność wyrażającą sumę kosztów
powierzchni grzejnej i pary grzejnej dla wymiennika n:
(
 Tot  a n I 0 n + I' n ( A n )
K = e p g xr T 1 − n  +


Mt u
 Tp 
n
n
( )
n
p
)
(12.22)
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
11
Wykład 12
gdzie przyjęto I0n= const(An, n) a gn jest jednostkowym zużyciem pary na stopniu n.
Wydajność cieplna stopnia n wynosi:
Qn = Mc(Tn- Tn-1) = ∆Pnr(Tpn)x
gdzie:
(12.23)
c – ciepło właściwe płynu zagrzewanego.
Równanie kinetyczne wymiany ciepła ma postać:
(
)
k w A n T n − T n −1
Q = k w A ∆Tm =
ln Tpn − T n −1 − ln Tpn − T n
n
n
(
) (
)
(12.24)
W modelu optymalizacyjnym badanego procesu:
T n, P n
- zmienne stanu
T pn, g n
- zmienne decyzyjne
Z równań (12.23) i (12.24) wynika powierzchnia An jako funkcja zmiennych Tn, Tn-1, Tpn,
gn :
A =
n
( )[ (
) (
(T − T )
∆P n r Tpn x ln Tpn − T n −1 − ln Tpn − T n
kw
n
n −1
)]
(12.25)
Z równania (12.23) wynika również równanie stanu badanego procesu wielostopniowego
zapisane jako transformacja:
T
n −1
n
=T −
( )
r Tpn xg n
c
(12.26)
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
12
Wykład 12
Drugie równanie stanu wynika z ograniczenia na sumaryczne zużycie pary grzejnej oraz z
decyzji gn
Pn-1 = Pn – Mgn
(12.27)
Podstawiając Tn-1 z równania (12.26) do równania (12.25) uzyskuje się powierzchnię An w
funkcji zmiennej stanu Tn i decyzji Tpn , gn:
 n

r n xg n 
n
 Tpn − T n 
A = Mck ln  Tp − T +
c 


(
−1
w
n
)
(12.28)
Uwzględniając wzór (12.28) w równaniu kosztów (12.22) otrzymuje się wyrażenie:
[(
{
( )
)
K n = at k−1M −1 I on + I' Mck −w1 ln Tpn − T n + r Tpn xg n c −1 ⋅
(
⋅ Tpn − T n −1
)
−1
]}+ e g xr(T )1 − TT
n
p
n
p

ot
n
p




 zl 
 kg 
 
(12.29)
Wyrażenie powyższe opisuje koszt stopnia kaskady w zależności od stanu wyjściowego
Tn i decyzji gn i Tpn. Można zatem zapisać równanie rekurencyjne programowania
dynamicznego dla minimalizacji kosztów całej kaskady w wersji dualnej, tzn. w postaci
algorytmu forward, w którym transformacje stanu opisują zależność stanu wejściowego
od stanu wyjściowego i decyzji. Optymalizacja jest wówczas przeprowadzana począwszy
od pierwszego stopnia procesu, a stopnie są numerowane w zwykły sposób, tzn. w
kierunku zgodnym z kierunkiem upływu czasu. Optymalny wskaźnik jakości jest wtedy
badany w postaci ciągów funkcji zależnych od stanów wyjściowych poszczególnych
procesów.
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
13
Wykład 12
Zasada optymalności w przypadku algorytmu forward może być sformułowana
następująco:
W dowolnym dyskretnym lub ciągłym procesie decyzyjnym bez sprzężeń zwrotnych
polityka optymalna ma tę własność, że polityki wszystkich wcześniejszych podprocesów
są optymalne ze względu na ich własne stany wyjściowe.
Uwzględniając, że są dwie transformacje:
T
n −1
n
=T −
( )
r Tpn xg n
(12.26)
c
P n −1 = P n − Mg n
(12.27)
dla dwóch zmiennych stanu Tn i Pn oraz oznaczając:
N
(
min ∑ K n = f N T N , P N
n =1
)
(12.30)
i wykorzystując zasadę optymalności sformułowaną powyżej, otrzymuje się następujące
równanie rekurencyjne:
(
)
f N T N , PN =
min
g∗ ≤ g N ≤ g∗
Tp∗ ≤ TpN ≤ Tp*
( )
  N
r TpN xg N 
 a
0 N Mc
N
⋅
  Mt I k ln  Tp − T +
c

w
 u


(12.31)
( )

 
 Tot  N −1  N r TpN xg N N
1
N
N
N



T −
, P − Mg  
⋅ N
N  + r Tp xe p g  1 − N  + f

c
Tp − T 
 

 Tp 
( )
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
14
Wykład 12
Pod znakiem minimalizacji w równaniu (12.31) uwzględniono najprostsze ograniczenia na
decyzje. Rozwiązanie równania z warunkiem f0= 0 otrzymuje się metodami
numerycznymi. W rezultacie uzyskuje się:
n
n
- ciąg decyzji optymalnych T̂p i ĝ ,
n
n
- dyskretną trajektorię optymalną opisaną ciągami T̂ i P̂ ,
- tablice kosztów optymalnych fN (TN, PN).
Funkcja optymalna fN (TN, PN) może być również minimalizowana ze względu na
całkowite natężenie przepływu pary PN. Nie należy natomiast minimalizować kosztów fN
ze względu na temperaturę TN, która jest narzucona zwykle przez wymagania
technologiczne.
Równanie (12.31) opisuje ściśle kaskadę optymalną; ma ono ponadto tę własność, że
zmiany PN są małe dla zadanych T0 i TN a zachodzą tylko dla szerokiego zakresu zmian
Tp, gdzie zmiany funkcji r(Tp) są wyraźne. Pozwala to zauważyć niemal jednoznaczny (tj.
niezależny od decyzji) związek między zmiennymi stanu Pn i Tn dla T0 = const, co
wskazuje na praktyczną możliwość operowania tylko jedną zmienną stanu, np. Tn.
Z równania stanu (12.26) wynika bowiem, że:
(
c T n − T n −1
∑g = ∑
xr Tpn
n =1
n =1
N
n
N
( )
)
Jeśli ustali się temperatury brzegowe T = Tp i T
0
(12.32)
N
= Tk ,to wartość powyższej sumy
zmienia się tylko na skutek zmian ciepła kondensacji pary rn z temperaturą Tpn.
Optymalizacja
procesów
cieplnych
Część I
15
Wykład 12
Dla
rn = r ≈ const
pojawia się jednoznaczny związek między PN i TN
PN =
(
)
Mc N
T − T 0 = const
rx
(12.33)
Powyższy rezultat wskazuje, że nie należy narzucać ograniczenia na globalne zużycie
pary. Ograniczenie na PN wymagające, aby wielkość ta była wyraźnie różna od
wynikającej z oszacowania (12.33), powodowałaby nierozwiązywalność zadania, tzn.
żaden zbiór decyzji Tn i gn nie prowadziłby do T
N
= Tk .
Wynika stąd celowość przyjęcia swobodnego przepływu PN. Wówczas temperatura
TN będzie jedyną zmienną stanu. Oznaczając:
( )
N
min ∑ K n = h N T N
n =1
(12.34)
gdzie Kn jest określone równaniem (12.29), wykorzystując zasadę optymalności i po
wykorzystaniu transformacji
T
n −1
n
=T −
( )
r Tpn xg n
c
otrzymuje się następujące równanie rekurencyjne:
(12.26)
Optymalizacja
procesów
cieplnych
( )
hN TN =
min
g∗ ≤ g N ≤ g∗
Tp∗ ≤ TpN ≤ Tp*
Część I
16
Wykład 12
( )
  N
r TpN xg N 
 a
0N
N Mc
N
⋅
  Mt I + I' k ln  Tp − T +
c
 
w
 u

(12.35)
( )

 N r TpN xg N  
 Tot 
1
N
N
N −1
 
⋅ N
 + r Tp xe pg 1 − N  + h  T −

c
T
Tp − T N 
p 

 

( )
Równanie powyższe jest łatwiejsze do rozwiązania niż (12.31), ponieważ jest ono
jednowymiarowe i z tego powodu daje również większą dokładność uzyskiwanych
wyników.
{ } i decyzje
Rezultatem rozwiązania równania (12.25) jest trajektoria optymalna T̂
{ }{ } uzyskane dla N = N = const .
n
optymalne T̂p , ĝ
n
n
Funkcja hN(TN) może być także minimalizowana ze względu na całkowitą liczbę
wymienników N. Ma ona minimum dla niewielkiej liczby wymienników, co jest
spowodowane wzrostem kosztów wynikłych z jałowych nakładów inwestycyjnych oraz
coraz wolniejszym zmniejszaniem się kosztów pary ze wzrostem N.