Paradoksy prawdopodobieństwa - Wiedza, logika i informacja

Paradoksy prawdopodobieństwa
05.12.13
Przypadek loterii nieskończonej (De Finettiego)
N - zbiór liczb naturalnych
N - losów, loteria nieskończona
ZR : = Zasada Regularności: Rozkład prawdopodobieństwa jest regularny wtw, gdy przypisuje
prawdopodobieństwo 0 tylko zbiorowi pustemu, a prawdopodobieństwo 1 zbiorowi szystkich możliwych
wyników.
Równoważne sformułowanie ZR:
Funkcja prawdopodobieństwa jest regularna wtw, gdy przypisuje prawdopodobieństwo 0 tylko
sprzecznościom a prawdopodobieństwo 1 tylko prawdom logicznym.
Loteria nieskończona nie może być adekwatnie modelowana na gruncie teorii Kołmogorowa.
Modelowanie loterii nieskończonych wymaga pojęcia liczby nieskończenie małej, które formalizowane jest
na gruncie analizy niestandardowej (AN). Wykorzystanie AN gwarantuje to, że funkcja
prawdopodobieństwa na dziedzinach nieskończonych jest regulanra.
Typy zastosowania AN:
a) funkcja prawdopodobieństwa posiada dziedzinę i zbiór wartości niestandardowych
b) funkcja prawdopodobieństwa posiada tylko dziedzinę niestandardową
c) funkcja prawdopodobieństwa posiada tylko niestandardowy zbiór wartości
W dalszym ciągu skoncentrujemy się na punkcie c).
W przypadku gdy interesuje nas c) oraz modelowanie loterii nieskończonej na zbiorze N, Q (zbiór liczb
wymiernych), R, 2N będziemy się odwoływali do pojęcia nie-Archimedesowego prawdopodobieństwa.
Dziedzną funkcji na gruncie teorii prawdopodobieństwa nie-Archimedesowego jest zbiór potęgowy
dowolnego zbioru, natomiast zbiorem wartości jest nie-Archimedesowe ciało (field) (algebra ).
Def:
Jeśli F jest nie-Archimedesowym ciałem
zatem x ~ y = x - y jest nieskończenie małe
= n C N : | x - y | < 1n
x ~ y : = x i y są nieskończenie blisko
A
Kołmogorowa teoria prawdopodobieństwa (1933):
Niech będzie - algebry nad zbiorem zdarzeń elementarnych
> R.
będzie: Pk :
Funkcja Pk spełnia astępujące aksjomaty:
K2: Pk (
)=1
aksjomat normalizacji
A
C takich, że A B = O
Pk (A U B) = Pk (A) + Pk(B)
U
A, B
C
n
C N, An
wtedy Pk (A) = sup Pk (A n)
Przypadek gdy
,
An + 1 C
aksjomat ciągłości
n CN
W dalszym ciągu (
skończona addytywność
U
K4: Niech A = nUN An , gdzie
A
K3:
, Pk (A) > 0
AC
A
K1:
i niech funkcja prawdopodobieństwa
, Pn ) będziemy nazywali Kołmogorowa Przestrzeń Prawdopodobieństwa
jest zbiorem skończonym
Wtedy wystarczy zdefiniować znormalizowaną funkcję prawdopodobieństwa na zbiorze
p:
> R, gdzie p(w) = 1
, jako:
wC
W takim przypadku, Pk :
*Pk (A) = P(w)
(
)
> [0,1] jest zdefiniowana przez warunek:
wC
Jednak powyższa równość nie może być uogólniona do przypadku nieskończonego. Jeśli byłoy tak, że
= R musimy odwołać się do aksjomatu ciągłości zamiast równości *.
Problematyczne kwestie związane z teorią Kołmogorowa.
1. Istnienie zbiorów nie-mierzalnych w ( ). W ogólnycm przypadku jest tak, że ( ) = .
Istnieją ponadto takie miary prawdopodobieństwa, jak miara Lebesque, miara [0,1], które nie mogą być
zdefiniowane dla wszystkich zbiorów w ( ). Tym samym istnieją zbiory w
( ), które nie są zdarzeniami chociaż są sumami elementarnych zdarzeń w .
Na przykład: weźmy = [0,1]: Pk jest dana przy pomocy miary Lebesque’a, wtedy wszystkie zbiory jednostkowe {x} są mierzalne, lecz istnieją niemierzalne zbiory, gdyż suma zdarzeń może nie być zdarzeniem.
2. W teorii Kołmogorowa może byc tak, że
Pk (A j ) = 0 j C J a jednocześnie
Pk ( U A ) = 1 gdy J jest przeliczalne.
j
C
J
Pierwsza z tych równości (1) stwierdza, że zdarzenie A j jest niemożliwe, natomiast (2) stwierdza, że jedno z
nich wystąpi z absoloutną pewnością.
Problem loterii na zbiorze N
W loteriach nieskończonych możliwe jest, że jakiś los wygra i zarazem prawdopodobieństwo przypisane tej
możliwości jest równe 0 (konflikt z ZR).
POSTULAT
Jeśli chcemy mieć prawdopodobieństwo opisujące loterię na N przypisywanie prawdopodobieństwa do
wszystkich zbiorów jednostkowych zbioru N powinno mieć miejsce oraz powinna być respektowana
zasada addytywności w postaci CA, jak również powinniśmy resprektować aksjomat normalizacji.
Zakładamy ponadto, że zbiór wartości funkcji prawdopodobieństwa powinien być podzbiorem nieArchimedesowego ciała, co sprowadza się do włączenia do naszego modelu liczb nieskończenie małych.