Podstawy mechaniki kwantowej

Stan stacjonarny cząstki
Stan stacjonarny
cząstki
- Stan, w którym  ( r , t )   ( r ) , gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym obszarze przestrzeni nie zależy od czasu.
Stan stacjonarny jest charakterystyczny dla stacjonarnego pola sił U ( r , t )  U ( r ) . Dla stanu
stacjonarnego funkcja falowa może być zapisana jako iloczyn funkcji zależnej tylko od współrzędnych i funkcji zależnej tylko od czasu.
 (r , t )   (r ) e
E
i t

 (r , t )   (r )
gdzie E jest energią całkowitą cząstki.
Postać równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego
Wprowadźmy do lewej i prawej strony równania Schrödingera
2

i

  U 
t
2m
funkcję (r , t )   (r ) e
E
i t
charakterystyczną dla stanu stacjonarnego.
Podstawy mechaniki kwantowej 10
Postać równania Schrödingera dla stanu stacjonarnego, cd.
2

i

  U 
t
2m
 (r , t )   (r ) e
L:
E
E
i t 
i t


i
i
 (r ) e   E  (r ) e
t
t 

P:
 2
 i E t

  U    
 (r )  U (r )  e
2m
2
m


E
i t
2
Przyrównując prawe strony tych wyrażeń otrzymujemy tzw. stacjonarne równanie Schrödingera (równanie Schrödingera bez czasu).

2
2m
  U  E
Często wygodna jest postać stacjonarnego równania Schrödingera po uporządkowaniu
 
2m(U  E )
2
 0
Podstawy mechaniki kwantowej 11
Równanie Schrödingera w zapisie operatorowym
Hˆ  
2
2m
Operator energii całkowitej, operator Hamiltona, hamil-
 U
tonian.
Postać równania Schrödingera z użyciem operatora Ĥ
2

i

  U 
t
2m
i

 ˆ
 H
t
2
2m
  U  E
Ĥ  E
Z czasem
Bez czasu
Rozwiązanie równania Schrödingera dla przypadku nieograniczonego ruchu cząstki wzdłuż
osi x
W tym przypadku U ( x)  const . Przyjmijmy U ( x)  0 .
Hˆ  
2
d2
 U  
2m
2m dx 2
Ĥ  E
2

d 2

 E
2m dx 2
2

d 2 2mE
 2  0
dx 2
Podstawy mechaniki kwantowej 12
Rozwiązanie równania Schrödingera dla przypadku nieograniczonego ruchu cząstki wzdłuż
osi x , cd.
d 2 2mE
 2  0
2
dx
Podstawmy
2mE
2
 k2
k
2mE
d 2
 k 2  0
2
dx
Powyższe równanie różniczkowe rozwiążemy przez podstawienie   e rx dochodząc do tzw.
równania charakterystycznego
r 2  k 2
r2  k2  0
r1  ik , r2  ik

Rozwiązaniem ogólnym jest kombinacja liniowa dwóch rozwiązań szczególnych
 ( x)  A1 eikx  A2 e  ikx
A1 , A2 - stałe.
Pełna (zależna od położenia i czasu) funkcja falowa ma postać
 ( x, t )   ( x) e  it  A1e  i (t  kx )  A2e  i (t  kx ) ,
gdzie  
E
.
A1e  i (t  kx )
- fala poruszająca się w dodatnim kierunku osi x ,
A2e  i (t  kx )
- fala poruszająca się w ujemnym kierunku osi x .
Podstawy mechaniki kwantowej 13
Rozwiązanie równania Schrödingera dla przypadku nieograniczonego ruchu cząstki wzdłuż
osi x , cd.
Otrzymaliśmy:  ( x, t )   ( x) e  it  A1e  i (t kx )  A2e i (t  kx )
a) przypadek cząstki poruszającej się w dodatnim kierunku osi x
 ( x, t )  A1e  i (t  kx )
(przyjmujemy A2  0 )
 ( x, t ) *  A1 A1*  const
b) przypadek cząstki poruszającej się w ujemnym kierunku osi x
 ( x, t )  A2e  i (t  kx )
(przyjmujemy A1  0 )
 ( x, t )  *  A2 A2*  const
Funkcje falowe w przypadku a) i b) przedstawiają monochromatyczne (   const , k  const )
fale płaskie. Kwadrat modułu monochromatycznej fali płaskiej nie jest jednak całkowalny, co
oznacza, że powyższe rozwiązania nie opisują właściwie cząstki swobodnej. Ponieważ  ( x, t )
nie zależy od x , położenie cząstki nie jest tu określone. Właściwą funkcją falową opisującą
cząstkę swobodną jest kombinacja liniowa fal monochromatycznych, czyli paczka falowa.
Podstawy mechaniki kwantowej 14
Ograniczony ruch cząstki wzdłuż osi x . Nieskończenie głęboka jednowymiarowa studnia
potencjału


U ( x )  0


x0
0 x L
xL
Ze względu na nieskończoną wartość energii potencjalnej,
cząstka nie może znajdować się w obszarach I lub III. Stąd
 I ( x)  0 ,
 III ( x)  0
W obszarze II stan cząstki określony jest przez równanie Schrödingera
d 2 II
2

k
 II  0 
2
dx
 II ( x)  A1eikx  A2e ikx
Stałe A1 i A2 określimy korzystając z warunków brzegowych dla funkcji  II ( x) .
Warunek brzegowy dla x  0 (ciągłość  dla x  0 )
 II (0)   I (0)  0 
A1  A2  0
czyli  II ( x)  A1  eikx  e  ikx   C sin(kx)

A2   A1 ,
C - stała.
sin  
ei  ei
2i
Podstawy mechaniki kwantowej 15
Ograniczony ruch cząstki wzdłuż osi x . Nieskończenie głęboka jednowymiarowa studnia
potencjału, cd.
Otrzymaliśmy:  II ( x)  C sin(kx)
Warunek brzegowy dla x  L (ciągłość  dla x  L )
 II ( L)  C sin(kL)  0

(C  0)  ( k L  n , n  0,  1,  2, ...)
Przypadki C  0 i n  0 odrzucamy, bo wtedy  II ( x)  0 dla wszystkich x , czyli cząstki nie
ma w studni. Ujemne wartości n także pomijamy, gdyż one jedynie zmieniają znak  . Z warunku k L  n otrzymujemy k  n / L , czyli
 n
 L
 II ( x)  C sin 

x

Uprzednio przyjęliśmy k 
2mE
. Stąd na podstawie k L  n dochodzimy do wniosku, że
energia cząstki w studni potencjału jest skwantowana
2
2
h2 2
En 
n 
n ,
2
2
2mL
8mL
2
n  1, 2, ...
liczba kwantowa.
Podstawy mechaniki kwantowej 16
Nieskończenie głęboka jednowymiarowa studnia potencjału, cd.
Energia cząstki w jamie nie może przyjmować wartości zero.
Ma to związek z zasadą nieokreśloności Heisenberga. Ze
względu na ograniczoną szerokość studni nieokreśloność
położenia cząstki jest ograniczona z góry. Stąd nieokreśloność
jej pędu jest zawsze różna od zera, a to wiąże się z tym, że
cząstka zawsze musi posiadać pewną ilość enegii nie mniejszą
niż Emin  (p) 2 / (2m)
Funkcja falowa cząstki w nieskończenie głębokiej jednowymiarowej jamie potencjału
 n
 n ( x, t )  C sin 
 L

x  ei n t

n 
En
Wartość stałej C można określić korzystając z warunku unormowania funkcji falowej
  dV  1
*
V
2  n
sin
0  L
L

CC
*

x  dx  1

Podstawy mechaniki kwantowej 17
Funkcja falowa cząstki w nieskończenie głębokiej jednowymiarowej jamie potencjału. cd.
 n
CC  sin 
 L
0
L
*
CC * 
2
2
L
1 

 n
x  dx  CC *  1  cos  2
20

 L
L
C

L

x   dx  CC *
2

2 i
e
L
Czynnik e i  można pominąć, gdyż stanowi on nieistotny z punktu widzenia  ( x)   *
czynnik fazowy.
2
 n
 n ( x) 
sin 
L
 L

x

2
 n
 n ( x, t ) 
sin 
L
 L
 i
x e

En
t
Podstawy mechaniki kwantowej 18