Przykładowe zadania na egzamin. 1. MACIERZE I WYZNACZNIKI

Przykładowe zadania na egzamin.
1. MACIERZE I WYZNACZNIKI
Rozwiąż równanie macierzowe:
AX = B, gdzie
A=






2 −1 
1
0 −2
3
4 −2 −2


,






B=
0






1
1 


.
1 −2 −3 


2 −4 −6
LUB


XA = B, gdzie
A=






1 −1 
1
2
1
0
1 −1
1


,




1 −1 3 
.
4
3 2
B=

2. PRAWDOPODOBIEŃSTWO CAŁKOWITE
Z urny, w której znajduje się 7 białych, 3 zielone i 5 czarnych kul, losujemy jedną kulę,
odkładamy na bok, po czym dokładamy do pozostałych kul w urnie dwie kule w kolorze
kuli wylosowanej. Z nowego zestawu kul w urnie losujemy trzy kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowane trzy kule są czarne?
3. ZMIENNA LOSOWA CIĄGŁA
Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
f (x) =



1


(x + 3)

10



2
(2 − x)

5






0
,
−3 ¬ x < 1
,
1¬x<2
,
poza tym
.
(a) Naszkicować wykres funkcji gęstości.
(b) Wyznaczyć dystrybuantę tego rozkładu.
(c) Obliczyć EX.
(d) Obliczyć P −2 ¬ X ¬
3
2
i zinterpretować na wykresie funkcji gęstości.
4. Z populacji studentów wylosowano 44-elementową próbę w celu oszacowania średniego
tygodniowego czasu poświęconego na naukę w czytelni. Otrzymano następujące wyniki:
czas nauki w czytelni w godzinach
liczba studentów
0-2
3
2-4
8
4-6
10
6-8
17
8-10
4
10-12
2
44
(a) STATYSTYKA OPISOWA
Obliczyć: średnią z próby, modę, medianę, wariancję, odchylenie standardowe, współczynnik zmienności. Podać interpretację otrzymanych wyników.
(b) ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA
Na poziomie ufności 1 − α = 0, 95, oszacować przedziałowo:
i. średni tygodniowy czas nauki w czytelni w całej populacji studentów;
ii. odchylenie standardowe tygodniowego czasu nauki w czytelni w całej populacji
studentów.
(c) WERYFIKACJA HIPOTEZ
Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować następujące hipotezy:
i. średni tygodniowy czas nauki w czytelni jest mniejszy niż 5 godzin;
ii. odchylenie standardowe tygodniowego czasu nauki w czytelni wynosi 8 godzin.