MATERIAŁY DO ZAJ ˛E´C WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI

Transkrypt

Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki,
chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Opracowanie: Aleksandra Wrońska
M ATERIAŁY DO Z AJ E˛Ć
W YRÓWNAWCZYCH Z M ATEMATYKI
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UJ
Kraków, 2010
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego
w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI
Spis treści
1
2
3
Rachunek wektorowy
1.1 Definicje . . . . . . . .
1.2 Działania na wektorach
1.3 Przykłady . . . . . . .
1.4 Ćwiczenia . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Liczby rzeczywiste
2.1 Definicje . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Działania na liczbach rzeczywistych
2.2.1 Pot˛egowanie . . . . . . . .
2.2.2 Pierwiastkowanie . . . . . .
2.2.3 Wartość bezwzgl˛edna . . . .
2.2.4 Logarytmowanie . . . . . .
2.3 Wielomiany . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Działania na wielomianach .
2.4 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Równania i nierówności
3.1 Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Typy równań . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Metody rozwiazywania
˛
równań i nierówności
3.4 Przykładowe schematy post˛epowania . . . . .
3.5 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
5
7
8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
9
9
9
10
10
11
12
12
13
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
. . . . . 15
. . . . . 15
. . . . . 16
. . . . . 17
. . . . . 21
4
Trygonometria
4.1 Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
23
29
5
Funkcje
30
5.1 Definicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.2 Podstawowe własności funkcji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.3
5.4
5.5
Funkcje podobne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Elementy rachunku różniczkowego . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6 Ciagi
˛
6.1 Definicje . . . . . .
6.2 Ciag
˛ arytmetyczny
6.3 Ciag
˛ geometryczny
6.4 Ćwiczenia . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7 Prawdopodobieństwo i kombinatoryka
7.1 Definicje . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Kombinatoryka . . . . . . . . . . .
7.3 Schemat Bernoulliego . . . . . . . .
7.4 Ćwiczenia . . . . . . . . . . . . . .
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
44
. . . . 44
. . . . 45
. . . . 46
. . . . 48
.
.
.
.
49
. . . . 49
. . . . 51
. . . . 52
. . . . 53
1 Rachunek wektorowy
1.1
Definicje
Wektorem nazywamy uporzadkowan
˛
a˛ par˛e punktów, z których pierwszy nazywa
si˛e poczatkiem,
˛
a drugi końcem wektora. Można też mówić o wektorze jako o
odcinku skierowanym, czyli takim, dla którego wyróżniono poczatek
˛ i koniec.
−
→
Wektor o poczatku
˛ w punkcie A i końcu w punkcie B oznaczamy AB, cz˛esto
używa si˛e też oznaczeń jednoliterowych, np. ~a.
Dowolny wektor można scharakteryzować podajac
˛ jego długość (zwana˛ także
−
→
modułem), kierunek i zwrot. Długość wektora oznaczamy |AB| lub AB.
Dwa wektory sa˛ równe, jeśli ich trzy powyższe cechy sa˛ identyczne, tzn. jeśli
maja˛ takie same długości, kierunki i zwroty. O wektorach przeciwnych zaś mówimy wtedy, gdy maja˛ one takie same długości i kierunki, ale przeciwne zwroty.
Wektor zerowy to taki, którego poczatek
˛ i koniec pokrywaja˛ si˛e. Nie ma on
określonego ani kierunku, ani zwrotu.
Cz˛esto do opisu wektora używa si˛e jego reprezentacji w układzie współrz˛ednych. Jednym z najcz˛eściej używanych jest kartezjański układ współrz˛ednych.
W tym układzie wektor jest reprezentowany przez trzy liczby (badź
˛ dwie, jeśli
ograniczamy si˛e do rozważań na płaszczyźnie) b˛edace
˛ długościami rzutów wektora na każda˛ z osi: OX, OY i OZ. Zapisujemy wówczas ~a = (ax , ay , az ), gdzie
ax , ay , az ∈ R .
1.2
Działania na wektorach
Dodawanie wektorów przeprowadzamy algebraicznie (jeśli podane sa˛ ich współrz˛edne) lub graficznie.
Suma dwóch wektorów ~a = (ax , ay , az ) i ~b = (bx , by , bz ) w kartezjańskim
układzie współrz˛ednych to wektor ~a +~b = (ax + bx , ay + by , az + bz ).
Graficznie sum˛e dwóch wektorów konstruujemy najcz˛eściej korzystajac
˛ z
tzw. metody trójkata.
˛ Dla powyższego przykładu uczynilibyśmy to nast˛e-
pujaco:
˛
1. konstruujemy wektor ~a,
2. konstruujemy wektor ~b tak, by jego poczatek
˛ pokrywał si˛e z końcem
wektora ~a,
3. sum˛e ~a +~b tworzymy jako wektor zaczepiony w poczatku
˛ pierwszego
wektora, o końcu w końcu drugiego wektora.
Metod˛e t˛e stosować można także do dodawania wi˛ekszej liczby wektorów wówczas suma tych wektorów jest zawsze wektorem o poczatku
˛ w poczat˛
ku pierwszego wektora w łańcuchu i końcu w końcu ostatniego wektora w
łańcuchu.
Istnieje też druga metoda graficznego dodawania wektorów, tzw. metoda
równoległoboku. W tej metodzie konstruujemy równoległobok na bazie
wektorów ~a i ~b, w taki sposób, by ich punkty zaczepienia pokrywały si˛e.
Wychodzaca
˛ z tego punktu przekatna
˛ równoległoboku tworzy sum˛e ~a +~b,
której poczatkiem
˛
jest punkt zaczepienia wektorów składowych.
Sum˛e wektorów cz˛esto nazywa si˛e wektorem wypadkowym.
Dodawanie wektorów jest działaniem przemiennym, tzn. ~a +~b =~b +~a oraz
łacznym,
˛
czyli ~a + (~b +~c) = (~a +~b) +~c.
Odejmowanie wektorów ~a +~b realizujemy przez dodanie wektora przeciwnego
~a + (−~b).
Mnożenie wektora przez skalar (liczb˛e) k~a polega na zwi˛ekszeniu długości wektora o zadany czynnik, przy zachowaniu jego kierunku. Dla k > 0 zachowany zostaje także zwrot wektora ~a, dla k < 0 zwrot ~a zmieniamy na przeciwny.
Dla wektora w kartezjańskim układzie współrz˛ednych mnożenie przez skalar polega na wymnożeniu przez t˛e liczb˛e wszystkich składowych wektora:
k~a = (kax , kay , kaz ).
Działanie mnożenia przez skalar jest rozdzielne wzgl˛edem dodawania:
k(~a +~b) = k~a + k~b.
Iloczyn skalarny to działanie na parze wektorów, którego wynikiem jest skalar
(liczba). Zapisujemy je ~a ·~b. Dla wektorów o znanych długościach i kierunkach ~a ·~b = ab cos ^(~a,~b), zaś dla wektorów o znanych współrz˛ednych
kartezjańskich ~a ·~b = ax bx + ay by + az bz .
Jak widać na powyższych wzorach, działanie to jest przemienne.
6
Projekt Wiedza i kompetencje z fizyki, chemii i informatyki na potrzeby gospodarki - Wiking
Materiały do Zaj˛eć Wyrównawczych z Matematyki, WFAiIS UJ, 2009/2010
Z własności funkcji cos x widzimy, że dla wektorów prostopadłych iloczyn
skalarny zeruje si˛e. Własność t˛e możemy wykorzystać do badania prostopadłości (czyli ortogonalności) dwóch wektorów.
Iloczyn skalarny posiada własność łaczności
˛
przy mnożeniu przez skalar
~
~
~
k(~a · b) = (k~a) · b oraz rozdzielności ~a · (b +~c) = ~a ·~b +~a ·~c.
1.3
Przykłady
Przykład 1 Dane sa˛ trzy wektory:~a = (1, 0, −1), ~b = (2, −1, 3), ~c = (1, 1, 2).
Obliczyć długości tych wektorów oraz znaleźć wektor ~x = 3~a −~b + 4~c.
Rozwiazanie:
˛
|~a| =
q
q
12 + 02 + (−1)2 =
√
2
√
22 + (−1)2 + 32 = 14
p
√
|~c| =
12 + 12 + 22 = 6
~x = (3 · 1 − 2 + 4 · 1, 3 · 0 − (−1) + 4 · 1,
|~b| =
3 · (−1) − 3 + 4 · 2) = (5, 5, 2).
Przykład 2 Znaleźć wektor jednostkowy równoległy do wektora ~a = (3, −4, 2).
Rozwiazanie:
˛
~a
1
â = |~a| = √9+16+4
~a =
√1 ~
a.
29
Przykład 3 Dane sa˛ dwa wektory ~a = (3, −1, 5) i ~b = (1, 2, −3). Znaleźć wektor
~x = (x1 , x2 , x3 ) prostopadły do osi OZ i spełniajacy
˛ warunki ~x ·~a = 9, ~x ·~b = −4.
Rozwiazanie:
˛
Warunek prostopadłości do osi OZ oznacza, że x3 = 0. Rozpisujemy na składowych pozostałe dwa warunki:
3x1 − 1x2 + 5x3 = 9
1x1 + 2x2 − 3x3 = −4
Rozwiazuj
˛ ac
˛ ten układ równań dostajemy ~x = (2, −3, 0).
7
1.4 Ćwiczenia
1. Dane sa˛ dwa wektory ~a i ~b, takie że ~a + ~b = (11, −1, 5) oraz ~a − ~b =
(−5, 11, 9). Znaleźć:
(a) wektory ~a i ~b,
(b) kat
˛ pomi˛edzy wektorami ~a i ~a +~b
oraz sprawdzić sum˛e katów
˛
w trójkacie
˛ zbudowanym na wektorach ~a, ~b
oraz ich sumie ~a +~b.
2. Dane sa˛ wektory ~a = (2, 0), ~b = (0, −2) oraz ~c = (1, −2). Metoda˛ graficzna˛
znaleźć wektor ~u = ~a −~b + 2~c. Wyznaczyć współrz˛edne wektora ~u dwiema
metodami - graficzna˛ oraz algebraiczna.˛
3. Wyznaczyć długość wektorów ~a = (−1, 1, 1), ~b = (0, 4, −3), a nast˛epnie
znaleźć jednostkowe wektory â oraz b̂ takie, że â k ~a, b̂ k ~b.
4. Wykazać, że trójkat
˛ o wierzchołkach A(3, 2), B(6, 5), C(1, 10) jest prostokatny.
˛
5. Dane sa˛ punkty A = (2, −1), B = (1 + a, 2), C = (3, 2 − a). Dla jakiej war−
→
−
→
tości a wektory AB oraz AC sa˛ prostopadłe?
8
2 Liczby rzeczywiste
2.1
Definicje
Liczbami wymiernymi nazywamy wszystkie liczby całkowite i ułamkowe, tzn.
takie, które można przedstawić w postaci ilorazu dwóch innych liczb. Przykłady:
1
−1, 3 16
, 0, 297
298 .
Liczby niewymierne to dopełnienie zbioru liczb wymiernych tak, by pokrywały cała˛ oś liczbowa.˛ Ich wprowadzenie pozwala na przyporzadkowanie
˛
liczby
każdemu punktowi na osi liczbowej, a zatem uciagla
˛ zbiór liczb. Liczbom niewymiernym
odpowiadaj
a
˛
nieskończone
i
nieokresowe
ułamki dziesi˛etne. Przykłady:
√ √
3
2, 10, e, π.
Liczby rzeczywiste to wszystkie liczby wymierne i niewymierne. Własności
liczb rzeczywistych:
1. ich zbiór jest uporzadkowany,
˛
tzn. w każdej parze liczb, które nie sa˛ sobie
równe można wskazać, która z liczb jest wi˛eksza (np. 3 < 5, −5 < 0),
2. jest to zbiór ciagły,
˛
tzn. każdemu punktowi na osi liczbowej odpowiada
pewna liczba rzeczywista,
3. w zbiorze liczb rzeczywistych określone sa˛ działania, które (poza kilkoma
wyjatkami
˛
i zastrzeżeniami, o których poniżej) daja˛ w wyniku określone
liczby rzeczywiste. Te działania to: dodawanie, odejmowanie, mnożenie,
dzielenie dwóch liczb, obliczanie pot˛eg, obliczanie pierwiastków oraz logarytmów.
2.2
2.2.1
Działania na liczbach rzeczywistych
Pot˛egowanie
Pot˛egowanie ac to działanie dwuargumentowe, wymaga podstawy pot˛egi a i wykładnika pot˛egi c. Dla każdego a 6= 0: a0 = 1.
Jeśli c jest liczba˛ naturalna˛ dodatnia,˛ to ac = a| · a {z
· . . . · a}.
c czynników
ac
1
,
a|c|
Jeśli c jest całkowite ujemne, to =
przy czym mamy tu ograniczenie, że
a 6= 0.
Pot˛egi o wykładnikach niecałkowitych zdefiniowane sa˛ dla a > 0.
c
Jeśli
wykładnik jest wymierny dodatni, to pot˛eg˛e obliczamy nast˛epujaco:
˛ ad =
√
c
d c
a , a jeśli wymierny ujemny, to a d = |d|√1 |c| , przy czym w tym drugim przypada
ku żadamy,
˛
aby a > 0.
Pot˛egi o wykładnikach niewymiernych można obliczyć jako granice ciagów
˛
pot˛eg
o wykładnikach wymiernych.
Pot˛egowanie ma nast˛epujace
˛ własności:
• ac · ad = ac+d ,
•
ac
ad
= ac−d ,
• (ac )d = ac·d ,
• (a · b)c = ac · bc ,
• ( ab )c =
ac
bc .
Uwaga! Pot˛egowanie jest rozdzielne wzgl˛edem mnożenia i dzielenia, ale nie
wzgl˛edem dodawania czy odejmowania: (a + b)c 6= ac + bc .
2.2.2 Pierwiastkowanie
√
Pierwiastkiem n−tego stopnia z nieujemnej liczby a n a nazywamy taka˛ nieujemna˛ liczb˛e b, że bn = a. Z liczb ujemnych istnieja˛ jedynie pierwiastki nieparzystych
stopni – zdefiniowane podobnie jak powyżej.
2.2.3 Wartość bezwzgl˛edna
Wartość bezwzgl˛edna liczby rzeczywistej jest zdefiniowana jako
x dla x > 0
|x| =
−x dla x < 0.
Wartość bezwzgl˛edna to odległość punktu x od punktu 0 na osi liczbowej, jest
wi˛ec nieujemna. Dla dwóch liczb x, y mamy nast˛epujace
˛ własności wartości bezwzgl˛ednej:
• |x + y| 6 |x| + |y|,
10
• |x − y| 6 |x| + |y|,
• |x · y| = |x| · |y|,
• dla y 6= 0 | xy | =
2.2.4
|x|
|y| .
Logarytmowanie
Logarytmem o podstawie a z liczby b loga b nazywamy taka˛ liczb˛e x, że ax = b.
Podstawa˛ logarytmu moga˛ być liczby a ∈ (0, ∞) \ {1}, zaś liczby logarytmowane
b ∈ (0, ∞).
Jeśli podstawa logarytmu nie jest jawnie wpisana, to przyjmujemy domyślna˛
wartość 10. Natomiast symbol ln oznacza logarytm, którego podstawa˛ jest liczba
Eulera e.
Przy spełnieniu odpowiednich założeń obowiazuj
˛ a˛ nast˛epujace
˛ prawa działań
na logarytmach:
• loga b + loga c = loga (b · c),
• loga b − loga c = loga ( bc ),
• loga bk = k · loga b,
• loga b =
logc b
logc a ,
• loga b =
1
logb a .
p
Przykład 4 Obliczyć wartość wyrażenia [ 1, 6 · 103 · ( 12 )4 ]−1 .
Rozwiazanie:
˛
q
p
√
1 4 −1
1 −1
1 −1
1 −1
3
[ 1, 6 · 10 2 ] = [ 16
·
1000
·
]
=
(
) = (4 · 10 · 16
) =
16 · 100 · 16
10
16
=
4
10
= 0, 4.
Przykład 5 Przepisać wyrażenie |2x − 5| + 4|1 − 2x| dla 1 < x < 2 bez użycia
symbolu wartości bezwzgl˛ednej.
Rozwiazanie:
˛
Stwierdzamy, że w tym zakresie wartości x wartości wyrażeń pod wartościami
bezwzgl˛ednymi |2x − 5| i |1 − 2x| sa˛ ujemne, w zwiazku
˛
z czym powyższe wyrażenie możemy zapisać jako −2x + 5 + 4[−(1 − 2x)] = 6x + 1.
11
Przykład 6 Obliczyć wartość wyrażenia 42+log4 7 .
Rozwiazanie:
˛
Korzystamy kolejno z własności pot˛eg i logarytmów:
42+log4 7 = 42 · 4log4 7 = 16 · 7 = 112.
2.3 Wielomiany
Wielomianem stopnia n nazywamy funkcj˛e postaci
W (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 ,
gdzie ai sa˛ rzeczywistymi współczynnikami liczbowymi, a an 6= 0.
2.3.1 Działania na wielomianach
Dwa wielomiany sa˛ równe wtedy, gdy ich współczynniki przy odpowiednich pot˛egach sa˛ równe.
Mnożenie wielomianu przez liczb˛e k polega na wymnożeniu przez t˛e liczb˛e
każdego wyrazu wielomianu.
Dodawanie wielomianów polega na dodaniu do siebie wyrazów podobnych.
Odejmowanie wielomianów W (x) − R(x) polega na dodaniu do W (x) wielomianu R(x) pomnożonego przez −1.
Mnożenie wielomianów W (x) · R(x) polega na wymnożeniu każdego wyrazu
wielomianu W (x) przez każdy wyraz wielomianu R(x).
Dzielenie wielomianów W (x)/R(x), gdzie R(x) 6= 0 odbywa si˛e analogicznie
do dzielenia liczb rzeczywistych. Jego wynikiem jest inny wielomian oraz reszta
z dzielenia (niekoniecznie zerowa).
Istnieje szereg twierdzeń zwiazanych
˛
z rozkładem wielomianów na czynniki.
1. Każdy wielomian jest iloczynem wielomianów stopnia co najwyżej drugiego.
2. Jeżeli liczba x0 jest miejscem zerowym (pierwiastkiem) wielomianu P(x),
to P(x) jest podzielny przez dwumian (x − x0 ).
3. Wielomian stopnia n może mieć co najwyżej n pierwiastków.
Przykład 7 Rozłożyć na czynniki wielomian R(x) = x4 + 2x3 − x − 2 i zidentyfikować jego miejsca zerowe.
12
Rozwiazanie:
˛
Wyłaczaj
˛
ac
˛ z pierwszej i drugiej pary wspólne czynniki przed nawias i korzystajac
˛
ze wzoru skróconego mnożenia na różnic˛e sześcianów dostajemy:
x4 +2x3 −x−2 = x3 (x+2)−(x+2) = (x+2)(x3 −1) = (x+2)(x−1)(x2 +x+1).
Zatem wielomian ten ma dwa miejsca zerowe: −2 i 1.
Przykład 8 Określić dla jakich x ma sens liczbowy i doprowadzić do najprostszej
postaci wyrażenie:
x
2x − 25
+ 2
.
x − 5 x − 7x + 10
Rozwiazanie:
˛
Sprawdzamy, dla jakich x mianowniki składników sa˛ niezerowe: x 6= 5 oraz
x2 − 7x + 10 6= 0. Drugi warunek upraszczamy, wyliczajac
˛ kolejno wyróżnik tego
trójmianu ∆ i jego pierwiastki:
√
√
∆ = (−7)2 − 4 · 1 · 10 = 9,
x1 = (7 − 9)/2 = 2,
x2 = (7 + 9)/2 = 5.
Zatem podsumowujac
˛ założenia: x ∈ R \ {2, 5}.
Nast˛epnie wyliczamy:
2x − 25
x
2x − 25
x(x − 2) + 2x − 25
x
+ 2
=
+
=
=
x − 5 x − 7x + 10 x − 5 (x − 2)(x − 5)
(x − 2)(x − 5)
=
2.4
(x − 5)(x + 5) (x + 5)
x2 − 25
=
=
.
(x − 2)(x − 5) (x − 2)(x − 5) (x − 2)
Ćwiczenia
1. Wyznaczyć A ∪ B, A ∩ B, A \ B oraz A0 jeśli:
(a) A = (−∞, −2i i B = (−3, 5i,
(b) A = (3, 7i i B = {3}.
2. Obliczyć wartości A, B i C, dla których prawdziwe jest równanie
B
C
6x2 − x + 1 A
=
+
+
.
x3 − x
x x−1 x+1
13
3. Obliczyć wartości wyrażeń:
(a) log3 6, 75 + log3 4,
√
(b) log 1000,
(c) log0,5 1,
(d) log5 0, 04,
(e) 25log5 3 .
4. Dla x < −1 uprościć wyrażenie |x| + |x + 1| + |x − 2|.
5. Wykonać działania:
1+a
a−3
a(1−a)
− 1−2a
3+a − 9−a2 .
6. Rozłożyć wielomiany na czynniki:
(a) x5 + 10x4 − x3 − 10x2 ,
(b) 12x6 − 3x2 ,
(c) x4 − 16,
(d) 9 − x2 + 2xy − y2 .
7. Obliczyć wartość wyrażenia:
1
3 : + 1 − 0, 8 :
6
1
1
1 1 + 2 · 0,25
1, 5
+ +
.
3
46
50
4 6 − 1+2,2·10
2 · 0, 4 · 1: 1
2
8. Dla jakich liczb a i b wielomian x2 − bx + 1 jest podzielnikiem wielomianu
x3 − x2 + bx + a?
9. Wyznaczyć p i q tak, aby liczba 3 była podwójnym pierwiastkiem wielomianu W (x) = x3 − 5x2 + px + q.
10. Rozwiazać
˛ metoda˛ wyznaczników i znaleźć, dla jakich wartości parametru
z rozwiazaniem
˛
jest para liczb o różnych znakach
(z − 1)x − y
= z
−x − (z + 1)y = 2.
14
3 Równania i nierówności
3.1
Definicje
Równaniem nazywamy równość dwóch funkcji tej samej zmiennej: f (x) = g(x).
Rozwiazać
˛
równanie to znaleźć takie wartości niewiadomej x, dla których równość jest prawdziwa. Te wartości zmiennej x nazywaja˛ si˛e rozwiazaniami
˛
lub pierwiastkami równania.
Jeśli dane równanie jest spełnione dla wszystkich x, na których funkcje f (x)
i g(x) sa˛ określone, to takie równanie nazywa sie tożsamościa.˛
Nierówność to stwierdzenie, że dwa wyrażenia f i g połaczone
˛
sa˛ relacja˛ porzadkuj
˛
ac
˛ a,˛ czyli można wskazać, które z nich ma wi˛eksza˛ wartość. Wyróżniamy
nierówności słabe (nieostre), czyli takie, które dopuszczaja˛ równość wyrażeń f
i g, np. f 6 g, oraz nierówności mocne (ostre), np. f < g. Rozwiazać
˛
nierówność to znaleźć wszystkie wartości wyst˛epujacych
˛
w niej zmiennych, dla których
ta nierówność jest prawdziwa. W przypadku nierówności z jedna˛ zmienna˛ jest to
najcz˛eściej przedział lub suma przedziałów na osi liczbowej, zaś dla nierówności
z dwiema zmiennymi rozwiazaniem
˛
jest obszar w układzie współrz˛ednych.
3.2
Typy równań
Równania algebraiczne to takie równania, w których funkcje f (x) i g(x) sa˛ funkcjami algebraicznymi zmiennej x. Funkcje te moga˛ być zarówno wymierne jak i
niewymierne.
Równaniem wykładniczym nazywamy takie równanie, w którym niewiadoma
lub jej funkcja wyst˛epuje jedynie w wykładnikach pot˛eg o danych podstawach.
Równanie logarytmiczne to takie, w którym niewiadoma lub jej funkcja wyst˛epuje jako liczba logarytmowana w logarytmie o znanej podstawie.
W równaniach trygonometrycznych niewiadoma x wyst˛epuje tylko jako argument funkcji trygonometrycznych.
3.3 Metody rozwiazywania
˛
równań i nierówności
Rozwiazywanie
˛
równań i nierówności rozpoczynamy od ustalenia zbioru, na którym sa˛ one określone, czyli wyrażenia wyst˛epujace
˛ w równaniu czy nierówności
maja˛ sens liczbowy. W szczególności wypisujemy nast˛epujace
˛ założenia:
1. wyrażenia wyst˛epujace
˛ w mianownikach wyrażeń wymiernych musza˛ być
różne od zera,
2. wyrażenia wyst˛epujace
˛ pod pierwiastkami musza˛ być nieujemne (tzn. > 0),
3. wszystkie liczby logarytmowane musza˛ być dodatnie,
4. wszystkie podstawy logarytmów musza˛ być dodatnie i różne od 1,
5. w równaniach i nierównościach trygonometrycznych wyrażenia g wyst˛epujace
˛ jako argument funkcji tangens musza˛ spełniać g 6= π/2 + kπ, zaś
wyrażenia h wyst˛epujace
˛ jako argument funkcji kotangens musza˛ spełniać
h 6= kπ, gdzie w obydwu przypadkach k jest dowolna˛ liczba˛ całkowita.˛
Po wypisaniu i - w przypadku bardziej skomplikowanych założeń - rozwiaza˛
niu założeń, przyst˛epujemy do rozwiazywania
˛
samego równania lub nierówności.
Polega to na przekształcaniu danego równania (nierówności) w równanie (nierówność) równoważna,˛ to znaczy posiadajac
˛ a˛ takie same rozwiazania.
˛
W ogólności można powiedzieć, że na obie strony równania lub nierówności możemy zadziałać pewna˛ funkcja,˛ o ile funkcja ta nie jest stała i nie wyklucza żadnego z rozwiazań.
˛
Musimy pami˛etać, że jeśli funkcja, która˛ działamy jest
malejaca,
˛ to musimy zmienić znak nierówności na przeciwny. W szczególności
dopuszczalne sa:
˛
1. dodanie (lub odj˛ecie) dowolnego wyrażenia od obydwu stron równania (nierówności),
2. pomnożenie lub podzielenie obydwu stron równania (nierówności) przez to
samo różne od zera wyrażenie; w przypadku nierówności, jeśli wyrażenie
jest ujemne, musimy zmienić znak nierówności,
3. zlogarytmowanie obydwu stron równania (nierówności) logarytmem o tej
samej podstawie; jeśli podstawa logarytmu a ∈ (0, 1), to ten logarytm jest
funkcja˛ malejac
˛ a˛ i musimy zmienić znak nierówności,
4. podniesienie obydwu stron równania (nierówności) do tej samej pot˛egi,
5. wyliczenie wartości funkcji wykładniczej z obydwu stron równania (nierówności); jeśli podstawa pot˛egi a ∈ (0, 1), to taka funkcja jest również
funkcja˛ malejac
˛ a˛ i musimy pami˛etać o zmianie znaku nierówności.
16
3.4
Przykładowe schematy post˛epowania
Poniżej omówione sa˛ metody rozwiazywania
˛
równań każdego typu, a nast˛epnie
różnice pojawiajace
˛ si˛e przy rozwiazywaniu
˛
nierówności.
Przykład 9 Rozwiazać
˛ równanie
x2 + 1x
x + 1x − 1
= 0.
Rozwiazanie:
˛
Takie przypadki sprowadzamy – przy pomocy metod podanych powyżej – do postaci P(x) = 0, gdzie P(x) jest wielomianem zmiennej x. Wówczas najwygodniej
jest rozłożyć wielomian P(x) na czynniki proste i argumentować, że iloczyn zeruje
si˛e, gdy przynajmniej jeden z czynników jest równy zero.
W pierwszym kroku czynimy założenia, dla jakich x wyrażenia w równaniu
maja˛ sens liczbowy: x 6= 0 oraz x + 1x − 1 6= 0. W świetle pierwszego założenia
możemy drugie założenie pomnożyć obustronnie przez x, co daje x2 − x + 1 6= 0.
Ponieważ wyróżnik lewej strony jest ujemny, drugie założenie jest spełnione dla
wszystkich x 6= 0.
Nast˛epnie sprowadzamy równanie do postaci wielomianowej - rozszerzamy
ułamek przez x i wymnażamy równanie obustronnie przez nowy mianownik:
x3 + 1
= 0 | · (x2 − x + 1)
x2 − x + 1
x3 + 1 = 0.
Ponieważ lewa strona jest wielomianem stopnia trzeciego, można go rozłożyć na
co najmniej dwa czynniki:
(x + 1)(x2 − x + 1) = 0.
Wiemy już, że drugi czynnik nie zeruje si˛e dla żadnej wartości x, zatem jedynym rozwiazaniem
˛
pozostaje x = −1, o którym upewniamy si˛e, że jest zgodne z
poczynionymi założeniami.
˛ nierówność
|x + 1| − |x| > 0.
17
Rozwiazanie:
˛
Taki typ nierówności rozwiazujemy
˛
przez opuszczenie wartości bezwzgl˛ednych.
W tym celu czynimy odpowiednie założenia. W powyższym przykładzie każde
z wyrażeń pod wartościa˛ bezwzgl˛edna˛ może przyjmować wartości ujemne lub
nieujemne, co daje do rozważenia cztery przypadki:
1.


x + 1 > 0
x>0


x+1−x > 0


x > −1
x>0


1>0
x>0
2.


x + 1 > 0
x<0


x + 1 − (−x) > 0


x > −1
x<0


2x > −1
1
x ∈ (− , 0)
2
3.


x + 1 < 0
x>0


−(x + 1) − x > 0


x < −1
x>0


−2x > 1
x∈∅
18
4.


x + 1 < 0
x<0


−(x + 1) − (−x) > 0


x < −1
x<0


−1 > 0
x∈∅
Sumujac
˛ rozwiazania
˛
z poszczególnych przypadków dostajemy x ∈ (− 12 , +∞).
˛ równanie wykładnicze
p
4
0, 250,5x(x−1)−0,75 = 0, 5−6 .
Rozwiazanie:
˛
Obie strony powyższego równania możemy - po przekształceniu - przedstawić
jako pot˛egi o podstawie 12 :
1 2[0,5x(x−1)−0,75] 1 − 4
=
.
2
2
6
Dalej skorzystamy z różnowartościowości funkcji pot˛egowej (dwie pot˛egi o jednakowych podstawach sa˛ równe, gdy ich wykładniki sa˛ równe), co pozwoli nam
przyrównać wykładniki i uzyskać równanie kwadratowe:
x(x − 1) −
3
3
=−
2
2
x(x − 1) = 0
x = 0 lub
x = 1.
˛ nierówność trygonometryczna˛
sin2 3x >
1
4
dla 0 6 x 6 2π.
19
Rozwiazanie:
˛
Powyższa nierówność jest równoważna:
1
| sin 3x| > .
2
Nast˛epnie wykonujemy pomocniczy szkic wykresu funkcji y = | sint| i odczytujemy z niego rozwiazania.
˛
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
π
5
6
2π
7
8
9
3π
Widzimy, że rozwiazania
˛
dla zmiennej 3x powtarzaja˛ si˛e co π, a wi˛ec możemy
zapisać ogólnie:
π
5π
+ kπ < 3x <
+ kπ,
6
6
k = 0, 1, 2, . . . .
Nast˛epnie wydzielamy wszystkie wyrażenia przez 3:
5π kπ
π kπ
+
<x<
+
18
3
18
3
i wybieramy takie wartości k, dla których x mieści si˛e w przedziale zadanym w
treści zadania: k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
˛ równanie logarytmiczne
log 1
3
√
x + 1 < 1 + log 1
3
p
4 − x2 .
Rozwiazanie:
˛
Najwygodniej rozwiazać
˛
to równanie sprowadzajac
˛ obie jego strony do postaci
logarytmów o tych samych podstawach i – korzystajac
˛ z różnowartościowości
20
funkcji logarytmicznej – porównać liczby logarytmowane. Najpierw jednak wypisujemy założenia, pami˛etajac,
˛ że pierwiastki istnieja˛ wyłacznie
˛
z liczb nieujemnych, a liczbami logarytmowanymi moga˛ być wyłacznie
˛
liczby dodatnie:
(
x+1 > 0
4 − x2 > 0.
Założenia te sa˛ spełnione dla x ∈ (−1, 2). Nast˛epnie korzystamy z tego, że
1 = log 1 13 oraz z twierdzenia o dodawaniu logarytmów o tych samych podsta3
wach. Otrzymujemy:
log 1
√
3
1p
x + 1 < log 1
4 − x2 ,
3 3
co możemy zapisać opuszczajac
˛ logarytmy jako
√
x+1 >
1p
4 − x2 ,
3
gdzie zauważamy zmieniony znak nierówności ze wzgl˛edu na to, że funkcja
˛ Strony nierówności podnosimy do kwadratu i dalej poy = log 1 x jest malejaca.
3
st˛epujemy jak w przypadku nierówności kwadratowej:
1
x + 1 > (4 − x2 )
9
x∈
x2 + 9x + 5 > 0
!
√ !
√
−9 − 61
−9 + 61
− ∞,
∪
, +∞ .
2
2
To rozwiazanie,
˛
po uwzgl˛ednieniu założeń zaw˛eża si˛e do
!
√
−9 + 61
x∈
,2 .
2
3.5
Ćwiczenia
1. Rozwiazać
˛
równania i nierówności (pami˛etajac
˛ o poczynieniu stosownych
założeń):
(a)
2
x+1
− x+1
1−x =
x2
,
x2 −1
21
(b)
(c)
(d)
2
4
2−x + x
2x−5
x2 −6x+8
4−x
− 2x
x2
= 3,
< −1,
> 1,
(e) −27 < x3 6 x|x + 2|,
(f)
ex
√
2
= 2x ,
x −5)(5x +5)
(g) 5x + (5
1−5x
> 0,
(h) |3x − 4| + 3|4x + 1| = 6,
p
(i) (x + 2)2 − 8x + |3 − x| < 3x − 1,
p
p
√
√
(j) ( 2 + 3)x + ( 2 − 3)x = 4,
3
(k) − 23 6 3−4x
5x+2 6 2 ,
√
√
(l) xx = x x ,
(m) x2 · 2x + x · 2x−1 > 0,
√ √
(n) xlog x = 10.
√
2. Wykazać, że liczba r = log3 4 spełnia równanie: 27x = 3x + ( 3)x + 58.
3. Rozwiazać
˛ w zależności od wartości parametru p nierówność
x2 + px +
p
> 0.
4
4. Narysować zbiór wyznaczony na płaszczyźnie nierównościami:
|x − y| < x + y,
|x| + |y| 6 4.
5. Dla jakich wartości parametru m rozwiazaniem
˛
układu
x−y = m
2x − y = 2 − m
jest para liczb o przeciwnych znakach?
6. Zbadać zależność liczby pierwiastków równania (m − 1)x2 + (m + 1)x +
(m − 1) = 0 od parametru m.
22
4 Trygonometria
4.1
Definicje
Niniejszy rozdział odnosi si˛e do katów.
˛
Kat
˛ to cz˛eść płaszczyzny ograniczona
dwiema półprostymi o wspólnym poczatku.
˛
Kat
˛ mierzymy w stopniach (1◦ =
1
˛ pełnego) lub w radianach (kat
˛ pełny to 2π radianów). Zwiazek
˛
pomi˛edzy
360 kata
π
tymi miarami to: 1◦ = 180
radianów.
Jeśli rozważymy trójkat
˛ prostokatny
˛ jak na rysunku poniżej, to możemy wypisać definicje funkcji trygonometrycznych kata
˛ ostrego:
Sinus sin α = ac ,
Kosinus cos α = bc ,
Tangens tg α = ba ,
Kotangens ctg α = ba .
Warto zauważyć podstawowe zwiazki
˛ mi˛edzy powyższymi funkcjami trygonometrycznymi. Pierwszy z nich cz˛esto nazywany jest jedynka˛ trygonometryczna:
˛
sin2 α + cos2 α = 1
tg α =
β
c
a
γ
α
b
sin α
cos α
sin α
cos α
tg α
ctg α
0◦
0
1
0
nie istnieje
30◦
1
√2
3
√2
3
3
√
( π6 ) 45◦√ ( π4 ) 60◦√ ( π3 )
3
2
1
√2
2
√2
2
2
1
1
3
√
3
3
3
90◦
( π2 )
1
0
nie istnieje
0
Tabela 4.1: Wartości funkcji trygonometrycznych wybranych katów.
˛
1
tan α
oraz szereg innych, takich jak wzory na funkcje trygonometryczne podwojonego
lub połówkowego kata,
˛ które można znaleźć z każdych tablicach matematycznych.
Zestawienie wartości funkcji trygonometrycznych dla wybranych katów
˛
◦
◦
przedstawia tabela 4.1. Wartości dla katów
˛
30 i 60 można z łatwościa˛ otrzymać rozważajac
˛ połow˛e trójkata
˛ równobocznego o boku 1, zaś wartości dla kata
˛
◦
45 z rozważań trójkata
˛ równoramiennego o długości ramion 1.
Także w układzie współrz˛ednych możemy określić tzw. kat
˛ skierowany. Jest
to kat
˛ pomi˛edzy dodatnia˛ cz˛eścia˛ osi OX a wektorem wodzacym
˛
punktu A
o współrz˛ednych (x, y), przy czym za zwrot dodatni uważamy ten liczony w stron˛e
przeciwna˛ do kierunku ruchu wskazówek zegara. Ilustruje to poniższy rysunek.
ctg α =
y
A(x,y)
r
α
x
W takiej sytuacji można rozszerzyć definicje funkcji trygonometrycznych także dla katów
˛
wi˛ekszych od 180◦ , dla których niemożliwe jest skorzystanie z definicji opartej o długości boków trójkata.
˛ Mamy zatem:
Sinus sin α = yr ,
24
Kosinus cos α = xr ,
Tangens tg α = xy ,
Kotangens ctg α = xy ,
gdzie r =
p
x2 + y2 jest długościa˛ wektora wodzacego.
˛
Wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kata
˛ możemy wyliczyć znajac
˛ wartości tych funkcji dla katów
˛
ostrych (czyli z zakresu od 0 do π2 ) oraz
tzw. wzory redukcyjne. Znak funkcji dla kata
˛ z danej ćwiartki układu współrz˛ednych ustalimy albo z powyższych definicji, albo pami˛etajac
˛ wyliczank˛e:
W pierwszej ćwiartce same plusy,
w drugiej tylko sinus,
w czwartej tangens i kotangens,
a w czwartej kosinus.
Po ustaleniu znaku zapisujemy kat
˛ jako sum˛e lub różnic˛e krotności π2 i kata
˛ ostre◦
◦
◦
◦
◦
◦
go (np. 240 = 270 − 30 lub 240 = 180 + 60 ). Jeśli pierwszy składnik tej
sumy to 90◦ lub 270◦ , to mówimy że funkcje przechodza˛ w kofunkcje, czyli
sin(90◦ + x) → cos x, cos(90◦ + x) → sin x oraz analogicznie dla pary funkcji tangens i kotangens.
Przykład 14 Obliczyć: cos 120◦ , sin 225◦ , tg 315◦ , ctg 300◦ .
Rozwiazanie:
˛
Kolejno: rozpisujemy kat
˛ w sposób podany powyżej, ustalamy znak funkcji
w danej ćwiartce układu współrz˛ednych, sprawdzamy czy funkcja przechodzi
w kofunkcj˛e:
1
cos 120◦ = cos(90◦ + 30◦ ) = − sin 30◦ = − ,
2√
sin 225◦ = sin(180◦ + 45◦ ) = − sin 45◦ = −
2
,
2
tg 315◦ = tg(270◦ + 45◦ ) = − ctg 45◦ = −1,
√
3
◦
◦
◦
◦
ctg 300 = ctg(360 − 60 ) = − ctg 60 = −
.
3
25
Funkcja
sin x
cos x
tg x
ctg x
Dziedzina
R
R
R \ { π2 + kπ}
R \ {kπ}
Zbiór wartości
h−1, 1i
h−1, 1i
R
R
sin(x)
Miejsca zerowe
kπ
π
2 + kπ
kπ
π
2 + kπ
3
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-π
-
π
2
0
π
2
π
3π
2
2π
tg(x)
-3
-π
-
π
2
0
π
2
π
3π
2
2π
-
π
2
0
π
2
π
3π
2
2π
ctg(x)
3
3
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
Parzystość
nieparzysta
parzysta
nieparzysta
nieparzysta
cos(x)
3
-3
Okres
2π
2π
π
π
-π
-
π
2
0
π
2
π
3π
2
2π
-3
-π
Rysunek 4.1: Wykresy funkcji trygonometrycznych. Niebieskimi liniami zaznaczone zostały asymptoty pionowe funkcji tg x i ctg x.
26
arcsin(x)
π
2
arccos(x)
π
π
2
0
-
π
2
0
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
arctg(x)
π
2
0
0.5
1
arcctg(x)
π
π
2
0
-
-0.5
π
2
-5
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Rysunek 4.2: Wykresy funkcji cyklometrycznych.
Na rys. 4.1 pokazane sa˛ wykresy funkcji trygonometrycznych. Z wykresów
tych (lub z definicji) można znależć własności funkcji trygonometrycznych: dziedzin˛e, zbiór wartości, miejsca zerowe, okres i parzystość. Własności te zebrane sa˛
w poniższej tabeli, gdzie k oznacza dowolna˛ liczb˛e całkowita.˛
Funkcje cyklometryczne to funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych,
zaw˛eżonych do odpowiednich przedziałów. Ich wykresy przedstawione sa˛ na rysunku 4.2. W przeciwieństwie do funkcji trygonometrycznych, funkcje cyklometryczne sa˛ różnowartościowe. Maja˛ one także ograniczona˛ dziedzin˛e (funkcje
arcsin x i arccos x) oraz zbiór wartości (wszystkie).
Przykład 15 Sprawdzić tożsamość
1
− cos x = sin x tg x.
cos x
Rozwiazanie:
˛
Lewa˛ stron˛e sprowadzamy na wspólna˛ kresk˛e ułamkowa:
˛
1 − cos2 x
= sin x tg x
cos x
27
i korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
sin2 x
= sin x tg x.
cos x
˛ równanie
tg3 x + tg2 x − 3 tg x = 3.
Rozwiazanie:
˛
Najpierw czynimy stosowne założenia: x 6= π2 + kπ. Nast˛epnie wprowadzamy
zmienna˛ pomocnicza˛ t = tg x. Wówczas równanie przyjmuje postać
t 3 + t 2 − 3t − 3 = 0,
gdzie wygodnie jest lewa˛ stron˛e zapisać w postaci czynników:
t 2 (t + 1) − 3(t + 1) = 0
(t + 1)(t 2 − 3) = 0
√
√
(t + 1)(t + 3)(t − 3) = 0.
Stad
˛ możemy już odczytać rozwiazania
˛
na t:
√
t1 = −1, t2 = − 3,
t3 =
i przetłumaczyć je na rozwiazania
˛
dla x:
n π
π
x ∈ − + kπ, − + kπ,
4
3
√
3,
o
π
+ kπ .
3
Wszystkie te rozwiazania
˛
sa˛ zgodne z założeniami.
˛ nierówność
1
sin2 x 6 ,
2
dla x ∈ [0, 2π].
Rozwiazanie:
˛
Powyższa˛ nierówność można zapisać w postaci:
√
2
.
| sin x| 6
2
28
Nast˛epnie na rysunku 4.1 sprawdzamy
√ dla√jakich wartości argumentów funkcja
sin x przyjmuje wartości pomi˛edzy − 22 a 22 . Wypisujemy rozwiazanie:
˛
h π i 3π 5π 7π
x ∈ 0,
∪
,
∪
, 2π .
4
4 4
4
4.2
Ćwiczenia
1. Obliczyć: sin 240◦ , tan −60◦ , ctg 210◦ , cos 135◦ .
2. Rozwiazać
˛ równanie tg3 x = tg x.
3. Rozwiazać
˛ nierówności:
(a) sin x < 12 ,
(b) cos x
√
6 − 22 .
Sformułować odpowiedzi osobno dla x ∈ [0, 2π] oraz dla x ∈ R.
4. Znaleźć wszystkie liczby x ∈ [−3π, 3π] spełniajace
˛ równanie sin x = −
√
3
2 .
5. Rozwiazać
˛ dla 0 6 x 6 2π nierówność sin2 3x > 14 .
6. Rozwiazać
˛ poniższe równania i nierówności:
(a) | sin x| = 32 ,
(b) sin4 x − cos4 x = 12 ,
(c) log√2 sin x (1 + cos x) = 2,
(d) sin x > cos x,
(e) cos x(sin x + 1) < 0.
p
7. Wykazać, że 1 + ctg2 x =
1
| sin x| .
29
5 Funkcje
5.1 Definicje
Funkcjami nazywamy pewna˛ klas˛e przyporzadkowań.
˛
Jeśli mamy dwa zbiory
A i B, i każdemu elementowi ze zbioru A przyporzadkujemy
˛
dokładnie jeden
element ze zbioru B, to takie przyporzadkowanie
˛
nazywamy funkcja.˛ Zwróćmy
uwag˛e, że ten sam element ze zbioru B może zostać przyporzadkowany
˛
różnym
elementom ze zbioru A. O takiej funkcji mówimy, że nie jest funkcja˛ różnowartościowa.˛
Dziedzina˛ funkcji nazywamy zbiór A.
Zbiorem wartości nazywamy zbiór B.
Sposoby określenia. Funkcj˛e możemy określić w dowolny sposób, który definiuje przyporzadkowanie
˛
w sposób dokładny i jednoznaczny. W zależności od
sytuacji, możemy skorzystać z nast˛epujacych
˛
metod:
• opis słowny,
• tabelka,
• wykres,
• wzór.
W dalszym ciagu
˛ zajmiemy si˛e funkcjami, których dziedzina i zbiór wartości sa˛
zbiorami liczb. Dla takich funkcji najbardziej użyteczne jest określenie przez wzór
lub wykres.
5.2 Podstawowe własności funkcji
Parzystość Jeśli dla każdego argumentu funkcji spełnione jest
f (x) = f (−x),
to taka˛ funkcj˛e nazywamy parzysta,˛ zaś jeśli zachodzi
f (x) = − f (−x)
to funkcj˛e nazywamy nieparzysta.˛ Jesli nie zachodzi żadne z powyższych,
to mówimy, że funkcja nie ma określonej parzystości.
Różnowartościowość Jeśli funkcja przyjmuje każda˛ wartość tylko dla jednego argumentu, to nazywamy ja˛ różnowartościowa.˛ Formalnie możemy zapisać,
że dla każdej pary argumentów funkcji x1 , x2 musi zachodzić:
x1 6= x2
⇔
f (x1 ) 6= f (x2 ).
Na wykresie funkcje różnowartościowe można rozpoznać po tym, że dowolna linia pozioma przecina wykres funkcji w co najwyżej jednym punkcie.
Funkcje różnowartościowe sa˛ odwracalne.
Monotoniczność Zbadanie monotoniczności to określenie, czy funkcja jest rosnaca,
˛ malejaca
˛ czy stała.
Funkcj˛e nazywamy rosnac
˛ a˛ (słabo rosnac
˛ a),
˛ jeśli wraz ze wzrostem argumentów rosna˛ (nie maleja)
˛ wartości funkcji, to znaczy dla każdej pary argumentów:
x1 < x2
⇒
f (x1 ) < (x2 )
( f (x1 ) 6 (x2 )).
Funkcj˛e nazywamy malejac
˛ a˛ (słabo malejac
˛ a),
˛ jeśli wraz ze wzrostem argumentów maleja˛ (nie rosna)
˛ wartości funkcji, to znaczy dla każdej pary
argumentów:
x1 < x2
⇒
f (x1 ) > (x2 )
( f (x1 ) > (x2 )).
Funkcj˛e nazywamy stała,˛ jeśli przyjmuje t˛e sama˛ wartość dla każdego argumentu.
Najcz˛eściej monotoniczność funkcji nie jest taka sama w całej dziedzinie.
Wówczas podajemy przedziały, w których monotoniczność jest określona.
Odczytujemy je z wykresu (jeśli dysponujemy wystarczajaco
˛ precyzyjnym
wykresem) lub badamy przy pomocy rachunku różniczkowego (patrz rozdział 5.4).
Miejsce zerowe funkcji to wartość argumentu, dla której wartość funkcji wynosi
zero. Funkcja może mieć wi˛ecej niż jedno miejsce zerowe.
31
Ekstremum funkcji to wartość argumentu, dla którego wartość funkcji jest lokalnie najmniejsza (mówimy wtedy o minimum) lub najwi˛eksza (mówimy
wtedy o maksimum).
Okresowość Funkcj˛e nazywamy okresowa,˛ jeśli istnieje liczba T taka, że dla każdego argumentu funkcji zachodzi
f (x0 ) = f (x0 + kT ),
gdzie k jest liczba˛ całkowita,˛ a T nazywa si˛e okresem funkcji.
Ciagłość
˛
Funkcja jest ciagła
˛ w punkcie x0 , jeśli istnieja˛ właściwe granice (prawoi lewostronna) funkcji w tym punkcie, i granice te sa˛ równe sobie i wartości
funkcji w tym punkcie.
limx→x+ = limx→x− = f (x0 ).
0
0
Mówimy, że funkcja jest ciagła,
˛
jeśli jest ciagła
˛ w każdym punkcie swojej
dziedziny. W przedziale, w którym funkcja jest ciagła,
˛
jej wykres potrafimy
narysować bez odrywania ołówka od kartki.
Asymptoty Intuicyjnie: asymptota krzywej to prosta, do której coraz bardziej zbliża si˛e wykres funkcji, gdy si˛e wzdłuż niego przemieszczamy. W dostatecznie odległych punktach krzywa prawie pokrywa si˛e ze swoja˛ asymptota.˛
Funkcja f (x) ma asymptot˛e pionowa˛ w punkcie x = x0 , jeśli x0 nie należy do dziedziny funkcji, a przynajmniej jedna z granic tej funkcji (prawolub lewostronna) w tym punkcie jest równa ±∞. Typowymi przykładami sa˛
funkcje wymierne, które maja˛ asymptoty pionowe w miejscach zerowych
mianownika.
Funkcja f (x) ma asymptot˛e pozioma˛ y = a, jeśli przynajmniej jedna z granic limx→±∞ = a.
Niektóre funkcje, np. funkcje wymierne, w których stopień licznika jest o 1
wyższy niż stopień mianownika, posiadaja˛ asymptoty ukośne. Parametry
asymptoty ukośnej y = ax + b wyliczamy z nast˛epujacych
˛
wzorów:
y(x)
,
x→∞ x
b = lim (y(x) − ax).
a = lim
x→∞
Rozwiazania
˛
przykładowych zadań z badania przebiegu zmienności funkcji,
uwzgl˛edniajace
˛ badanie własności opisanych w tej cz˛eści, znajduja˛ si˛e na końcu
cz˛eści 5.4.
32
5.3
Funkcje podobne
Zazwyczaj pami˛etamy lub potrafimy skonstruować wykresy podstawowych funkcji: funkcji trygonometrycznych, wykładniczych f (x) = ax , lub logarytmicznych
f (x) = loga x. Cz˛esto jednak istnieje konieczność przeanalizowania funkcji podobnych do funkcji podstawowych, w których zmodyfikowany jest argument (np.
f (x) = a2x+1 ) lub wartość funkcji (np. f (x) = 3ax + 1). Dlatego warto zapami˛etać
kilka prostych zasad umożliwiajacych
˛
konstrukcj˛e wykresu funkcji podobnej na
podstawie wykresu funkcji podstawowej.
• y = f (x − a) – przesuni˛ecie wykresu f (x) w prawo o a,
• y = f (ax) – ściśni˛ecie wykresu f (x) wzdłuż osi OX a-razy (jeśli a > 0),
• y = f (−x) – odbicie wykresu f (x) wzgl˛edem osi OY ,
• y = f (x) + a – przesuni˛ecie wykresu f (x) w gór˛e o a,
• y = a f (x) – rozciagni˛
˛ ecie wykresu f (x) wzdłuż osi OY a-razy (jeśli a > 0),
• y = − f (x) – odbicie wykresu f (x) wzgl˛edem osi OX,
• y = | f (x)| – odbicie cz˛eści wykresu f (x) leżacej
˛ poniżej osi OX wzgl˛edem
tej osi.
Zauważmy, że modyfikacja argumentu prowadzi do modyfikacji wykresu funkcji
w kierunku poziomym, zaś modyfikacja wartości funkcji prowadzi do modyfikacji
wykresu funkcji w kierunku pionowym.
Przykład 18 Na podstawie wykresu funkcji f (x) = log2 x narysować wykres funkcji g(x) = | log2 (x + 3)| + 1.
Rozwiazanie:
˛
Rysunek 5.1 przedstawia kolejne kroki przekształcania wykresu funkcji wyjściowej (A).
Najpierw rysujemy wykres funkcji B(x) = log2 (x + 3) (czerwony) przez przesuni˛ecie wykresu A o 3 jednostki w lewo. Nast˛epnie odbijamy cz˛eść wykresu
funkcji B znajdujac
˛ a˛ si˛e pod osia˛ OX wzgl˛edem tej osi - powstaje wykres funkcji
C(x) = | log2 (x + 3)| (zielony). W ostatnim kroku ten wykres przesuwamy o jedna˛
jednostk˛e w gór˛e - powstaje poszukiwany wykres funkcji g(x) = | log2 (x + 3)| + 1
(D–niebieski).
33
A
B
6
6
4
4
2
2
0
0
-2
-2
-4
-4
-6
-4
-2
0
2
4
6
-6
-4
8
C
-2
0
2
4
6
8
-2
0
2
4
6
8
D
6
6
4
4
2
2
0
0
-2
-2
-4
-4
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-6
-4
Rysunek 5.1: Przykład przekształceń wykresu funkcji. Opis w tekście.
5.4 Elementy rachunku różniczkowego
Aby zdefiniować poj˛ecie pochodnej funkcji w punkcie x0 , trzeba najpierw zdefiniować poj˛ecie ilorazu różnicowego. Rozważmy argument funkcji x0 i pewien
jego przyrost ∆x. Zmianie argumentu z x0 do x0 + ∆x odpowiada zmiana wartości
funkcji od f (x0 ) do f (x0 + ∆x). Ilorazem różnicowym nazywamy iloraz przyrostu
wartości funkcji do przyrostu argumentu:
u=
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆ f (x)
=
.
∆x
∆x
Jeśli istnieje własciwa granica ilorazu różnicowego przy ∆x → 0, to granic˛e t˛e
f (x)
:
nazywamy pochoda˛ funkcji w punkcie x0 i oznaczamy f 0 (x0 ) lub d dx
f 0 (x0 ) = lim
∆x→0
f (x0 + ∆x) − f (x0 )
.
∆x
Mówimy wówczas, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie x0 , a obliczanie
pochodnej funkcji nazywamy różniczkowaniem.
34
Interpretacja geometryczna Wartość pochodnej funkcji w punkcie x0 jest
równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu funkcji w tym punkcie (patrz rys. 5.2), a zarazem tangensowi kata,
˛ który ta styczna tworzy z osia˛ OX.
6
tg α =f’(1)
2
4
f(x)
2
α
0
-2
-4
-6
-2
-1
0
1
2
1
2
3
4
5
Rysunek 5.2: Geometryczna ilustracja pochodnej funkcji w punkcie.
Ponieważ pochodna przyjmuje określona˛ wartość w każdym punkcie dziedziny funkcji, w którym funkcja jest różniczkowalna, zatem pochodna także jest
funkcja.˛
Operacja różniczkowania ma nast˛epujace
˛ własności:
1. [ f (x) ± g(x)]0 = f 0 (x) ± g0 (x),
2. [k · f (x)]0 = k · f 0 (x) (k jest stała),
˛
3. [ f (x) · g(x)]0 = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g0 (x),
h
4.
i
f (x) 0
g(x)
=
f 0 (x)·g(x)− f (x)·g0 (x)
,
g2 (x)
35
5.
d
dx
f (g(x)) =
df
dg
· dg
dx .
Poniżej podane sa˛ wzory na pochodne podstawowych funkcji (k ∈ R):
0
• xk = k · xk−1 ,
• [k]0 = 0,
• [ax ]0 = ax ln a,
• [loga x]0 =
1
x·ln a ,
• [sin x]0 = cos x,
• [cos x]0 = − sin x.
Pochodne stosujemy do badania monotoniczności funkcji i szukania ich ekstremów.
Jeśli funkcja jest różniczkowalna w pewnym przedziale, to zwiazek
˛
z wartościami pochodnej w tym przedziale jest nast˛epujacy:
˛
1. f 0 (x) > 0 – funkcja jest rosnaca
˛ w tym przedziale,
2. f 0 (x) < 0 – funkcja jest malejaca
˛ w tym przedziale,
3. f 0 (x) = 0 – funkcja jest stała w tym przedziale.
Jeśli pochodna funkcji różniczkowalnej przyjmuje w jakimś punkcie x0 wartość zero, a jej znak jest różny w prawym i lewym sasiedztwie
˛
tego punktu, to
funkcja ma w tym punkcie ekstremum. Rozróżniamy dwa przypadki:
Minimum – gdy miar˛e wzrostu argumentów, przy przechodzeniu przez x0 pochodna funkcji zmienia znak z − na +,
Maksimum – gdy miar˛e wzrostu argumentów, przy przechodzeniu przez x0 pochodna funkcji zmienia znak z + na −.
Przykład 19 Podać równanie kierunkowe stycznej do wykresu funkcji f (x) =
3x5 − 6x2 w punkcie x = 1.
Rozwiazanie:
˛
Poszukiwanie równania stycznej y = ax + b sprowadza si˛e do wyznaczenia jej
parametrów a i b. Wiemy, że a-współczynnik kierunkowy stycznej jest równy
wartości pochodnej funkcji w punkcie:
a = f 0 (1) = 15x4 − 12x x=1 = 15 − 12 = 3.
36
Z kolei ponieważ ta prosta jest styczna˛ do wykresu funkcji w tym punkcie, to musi
zachodzić:
y(1) = f (1)
3 · 1 + b = 3 · 15 − 6 · 12
b = −6.
Stad
˛ szukane równanie prostej ma postać y = 3x − 6.
Przykład 20 Znaleźć najwi˛eksza˛ i najmniejsza˛ wartość funkcji f (x) = x−sin(2x)
w przedziale h− π2 , π2 i.
Rozwiazanie:
˛
Najwi˛eksza˛ i najmniejsza˛ wartość w przedziale funkcja przyjmuje: albo na jednym z końców przedziału, albo w ekstremum, o ile istnieja˛ ekstrema funkcji w
tym przedziale. Wyliczmy najpierw wartości funkcji na końcach przedziału:
π
π
π
= − − sin (−π) = − ,
f −
2
2
2
π π
π
= − sin (π) = .
f
2
2
2
Nast˛epnie szukamy ekstremów funkcji. W tym celu obliczamy pochodna˛ funkcji:
f 0 (x) = 1 − 2 cos 2x
i szukamy jej miejsc zerowych:
f 0 (x) = 0
1 − 2 cos(2x) = 0
1
cos(2x) =
2
π
π
x1 = − , x2 = .
6
6
Możemy sprawdzić, czy sa˛ to ekstrema (zmiana znaku pochodnej), ale mniej czasochłonne b˛edzie wyliczenie wartości funkcji w tych punktach:
π π √3
π π
= − sin
= −
,
f
6
6
3
6
2
√
π
π
π
π
3
f −
= − − sin −
=− +
.
6
6
3
6
2
π
π
Widać zatem, że w tym
przedziale
najwi˛
e
ksz
a
˛
wartości
a
˛
funkcji
jest
f
2 = 2,
π
π
zaś najmniejsza˛ f − 2 = − 2 .
37
Przykład 21 Zbadać przebieg zmienności funkcji
f (x) =
x2 − 2x + 2
.
x−1
Rozwiazanie:
˛
Zbadanie przebiegu zmienności funkcji polega na podaniu jej własności (patrz
rozdział 5.2), podsumowaniu ich w tabeli i naszkicowaniu wykresu funkcji.
1. Własności ogólne.
(a) Dziedzina funkcji. Jest to funkcja wymierna, zatem x ∈ R \ {1}.
(b) Miejsca zerowe i punkt przeci˛ecia z osia˛ OY .
x2 − 2x + 2
=0
x−1
x2 − 2x + 2 = 0
∆ = (−2)2 − 4 · 2 · 1 < 0
zatem funkcja nie ma miejsc zerowych, a oś OY przecina dla
y = f (0) = −2.
(c) Parzystość, okresowość, ciagłość.
˛
x2 + 2x + 2
f (−x) =
−x − 1
f (−x) 6= f (x) oraz
f (−x) 6= − f (x),
zatem funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
Funkcja ta nie jest także okresowa.
Funkcja jest ciagła
˛ w R z wyjatkiem
˛
x = 1.
(d) Granice na końcach przedziałów określoności.
lim f (x) =
x→−∞
x − 2 + 2x
x2 − 2x + 2
= lim
= −∞,
x→−∞
x→−∞ 1 − 1
x−1
x
lim
lim f (x) = −∞ gdyż licznik >0 zaś mianownik → 0− ,
x→1−
lim f (x) = ∞ gdyż licznik >0 zaś mianownik → 0+ ,
x→1+
x − 2 + 2x
x2 − 2x + 2
= lim
= ∞.
x→∞ 1 − 1
x→∞
x−1
x
lim f (x) = lim
x→∞
38
2. Asymptoty.
Analizujac
˛ granice prawo- i lewostronna˛ funkcji w x = 1 widzimy, że prosta
x = 1 jest obustronna˛ pionowa˛ asymptota˛ funkcji f (x).
Ponieważ jednak jest to funkcja wymierna, której stopień licznika jest o 1
wyższy od stopnia mianownika, spodziewamy si˛e, że funkcja ta ma również
asymptot˛e ukośna.˛ Obliczmy jej parametry:
1 − 2x + x22
x − 2 + 2x
f (x)
= lim
= lim
= 1,
x→∞ x
x→∞ x − 1
x→∞
1 − 1x
2
x − 2x + 2
−x + 2
− x = lim
= −1.
b = lim ( f (x) − ax) = lim
x→∞
x→∞
x→∞ x − 1
x−1
a = lim
Zatem równanie asymptoty ukośnej ma postać y = x − 1.
3. Własności zwiazane
˛
z pierwsza˛ pochodna.˛
(a) Pierwsza pochodna i jej dziedzina.
f 0 (x) =
(2x − 2)(x − 1) − 1 · (x2 − 2x + 2)
x2 − 2x
=
,
(x − 1)2
(x − 1)2
i dziedzina pokrywa si˛e z dziedzina˛ funkcji.
(b) Przedziały monotoniczności i ekstrema. Badamy, gdzie pochodna
przyjmuje wartości dodatnie, a gdzie ujemne.
f 0 (x)
x2 − 2x
(x − 1)2
(x2 − 2x)(x − 1)2
x(x − 2)(x − 1)2
> 0
> 0
> 0
> 0
i z pogladowego
˛
wykresu wielomianu b˛edacego
˛
lewa˛ strona˛ nierówności (rys. 5.3) odczytujemy, że:
f 0 (x) > 0 dla x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, +∞),
f 0 (x) < 0 dla x ∈ (0, 1) ∪ (1, 2),
f 0 (x) = 0 dla x ∈ {0, 2}.
39
f’(x)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
x
Rysunek 5.3: Wykres pomocniczej funkcji, który posłuży do badania monotoniczności badanej funkcji.
Stwierdzamy zatem, że funkcja jest rosnaca
˛ w przedziałach (−∞, 0) i
(2, +∞), malejaca
˛ w przedziałach (0, 1) i (1, 2) oraz posiada nast˛epujace
˛ ekstrema: maksimum w x = 0 ( f (0) = −2, pochodna zmienia
znak z + na −) oraz minimum w x = 2 ( f (2) = 2, pochodna zmienia
znak z − na +). Przy analizie miejsc zerowych pochodnej odrzuciliśmy rozwiazanie
˛
x = 1 jako nienależace
˛ do dziedzieny pochodnej
funkcji.
4. Tabela podsumowujaca
˛ i wykres funkcji.
x
−∞
0
f (x) +
f (x) −∞
(−∞, 0)
0
(0, 1) (1, 2)
2
+
0
−
−
0
∞
%
max, −2 &−∞
& min, 2
(2, ∞) ∞
+
+
%
∞
Tabela 5.1: Tabela przebiegu funkcji badanej w przykładzie 21.
5.5 Ćwiczenia
1. Wykres funkcji y = log2 (x + m) + k, której dziedzina˛ jest przedział
(−2, +∞), przechodzi przez punkt A = (2, −1). Obliczyć wartości parametrów m i k oraz określić, dla jakich liczb x funkcja przyjmuje wartości
ujemne.
40
f(x)
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-2
-1
0
1
2
3
4
x
Rysunek 5.4: Wykres funkcji badanej w przykładzie 21.
2. Dla poniższych funkcji wyznaczyć dziedzin˛e funkcji, zbiór wartości, miejsca zerowe, asymptoty oraz przedyskutować monotoniczność i parzystość.
x
,
x2 −5x+4
= x3 − 4x2 + 4x,
(a) y1 =
(b) y2
√
(c) y3 = x2 · 1 − x2 ,
(d) y4 = log0,5 (2 − x),
(e) y5 = −2x + 1,
(f) y6 = |1 − 2x |,
(g) y7 =
x4 −1
.
|x2 −1|
3. Zbadać, czy funkcja y =
1
x2 +1
jest różnowartościowa na przedziałach:
a) h0, +∞),
b) (−∞, +∞).
4. Obliczyć nast˛epujace
˛ granice funkcji:
+x −1
(a) limx→+∞ x 1−x
3 ,
q
p
√
√
(b) limx→+∞
x− x+ x+ x .
3
2
5. Wyznaczyć dziedzin˛e funkcji f danej wzorem
q
f (x) = log 1 (1 + x) − log 1 (8 − x).
2
2
41
6. Wyznaczyć najwi˛eksza˛ wartość funkcji f (x) = −2x2 + x − 1 w przedziale
0 6 x 6 2.
7. Zbadać parzystość funkcji f (x)=
(a) x2 sin(x),
(b) x3 sin(x),
(c) | x + 1 |,
(d) ex ,
(e) e|x|+2 ,
(f) | x2 + 2x − 4 |,
(g) || x + 2 | + | x − 2 ||.
8. Obliczyć pochodne funkcji:
(a) f (x) = x cos3 x,
(b) f (x) =
sin
√ x,
x
(c) f (x) =
x2 +x+1
,
x2 +2
√
3+ 3 x
x√
,
x+1
(d) f (x) =
(e) f (x) =
−x
√
,
3 2
x −4
√
(f) f (x) = x ax − x2 , gdzie a > 0.
9. Obliczyć współczynnik kierunkowy stycznej poprowadzonej do paraboli
y = x2 w punkcie x = 2.
10. W którym punkcie styczna do paraboli y = 0, 5x2 jest równoległa do prostej
2x − y + 3 = 0?
11. Napisać równanie stycznej do funkcji f w zadanym punkcie:
(a) f (x) = x2 + 3x + 1,
(b) f (x) =
−3x+1
x−4 ,
(0, 1),
2, 52 .
12. Suma długości kraw˛edzi czworościanu prawidłowego (o podstawie trójka˛
ta równobocznego i spodku wysokości w środku tego trójkata)
˛ wynosi 24.
Przy jakiej wysokości obj˛etość tego czworościanu jest najwi˛eksza?
13. Zbadać przebieg zmienności nast˛epujacych
˛
funkcji:
42
(a) y1 =
x2
2
x −4
(c) y3 =
(x+3)3
,
(x+2)2
,
p
(b) y2 = 1 − 3 (x − 4)2 ,
q
(d) y4 = x
2−x
2+x ,
(e) y5 = ln(1 − ex ),
(f) y6 =
(x+1)2
.
x2 +1
43
6 Ciagi
˛
6.1 Definicje
Ciagiem
˛
nazywamy funkcj˛e, b˛edac
˛ a˛ odwzorowaniem zbioru kolejnych liczb naturalnych dodatnich (skończonego lub nieskończonego) na zbiór wyrazów ciagu.
˛
Zatem ciagiem
˛
liczbowym nazwiemy zbiór liczb, z których każda zajmuje określone miejsce o zadanym numerze. Ciagi
˛ oznaczamy zwykle litera˛ z indeksem:
(an ).
Przykłady ciagów:
˛
• liczbom naturalnym przyporzadkowujemy
˛
ich kwadraty (ciag
˛ liczbowy nieskończony),
• numerujemy kolejne tomy sagi lub encyklopedii (ciag
˛ skończony),
• numerujemy liczby pierwsze (ciag
˛ liczbowy nieskończony).
W dajszej kolejności zajmiemy si˛e wyłacznie
˛
ciagami
˛
liczbowymi.
Ciagi
˛ liczbowe określamy zwykle przez:
• podanie przepisu słownego,
• podanie wzoru ogólnego, tzn. takiego, na podstawie którego znajac
˛ n możemy wyliczyć an ,
• podanie wzoru rekurencyjnego, tzn. podanie pierwszego wyrazu oraz przepisu, jak wyliczyć an+1 na podstawie an .
Granica˛ właściwa˛ ciagu
˛ jest liczba g wtedy, gdy w dowolnie małym otoczeniu
liczby g (a wi˛ec w przedziale (g + ε, g − ε), gdzie ε jest dowolnie mała˛ liczba˛ dodatnia)
˛ znajduja˛ si˛e prawie wszystkie wyrazy ciagu.
˛ Przez “prawie wszystkie” w
matematyce rozumiemy “wszystkie, z wyjatkiem
˛
skończonej liczby”. Rachunek
granic ciagów
˛
przeprowadza si˛e tak, jak rachunek granic funkcji.
Monotoniczność ciagu
˛
Ciag
˛ nazywamy rosnacym,
˛
jeśli każdy jego wyraz (oprócz pierwszego) jest wi˛ekszy od poprzedniego, czyli
an+1 > an dla n ∈ N+ .
Ciag
˛ jest malejacy,
˛ gdy zachodzi
an+1 < an dla n ∈ N+ .
Jeżeli w tych dwóch przypadkach nie zachodza˛ nierówności ostre, ale zachodza˛ nieostre, to mówimy w tych przypadkach odpowiednio o ciagu
˛ niemalejacym
˛
i nierosnacym.
˛
Ciag
˛ nazwiemy stałym, jeśli wszystkie jego wyrazy sa˛ sobie równe.
Przykład 22 Ile ujemnych wyrazów ma ciag
˛ zadany wzorem ogólnym
an = n2 − 7n + 10 ?
Podaj te wyrazy.
Rozwiazanie:
˛
Na poczatku
˛ rozważymy funkcj˛e kwadratowa,˛ która jest przedłużeniem (an ) dla
liczb rzeczywistych y(x) = x2 − 7x + 10. Możemy łatwo (np. wyliczajac
˛ wyróżnik
2
wyrażenia x − 7x + 10) znaleźć, że miejscami zerowymi tej funkcji sa˛ x1 = 2
i x2 = 5. Wykres tej funkcji ma ramiona skierowane ku górze, zatem wartości
ujemne funkcja przyjmuje dla x ∈ (2, 5). Teraz korzystamy z tego, że ciag
˛ jest
określony wyłacznie
˛
dla liczb naturalnych dodatnich. Takie liczby w przedziale
(2, 5) to 3 i 4, a wi˛ec sa˛ dwa takie wyrazy: a3 = 9 − 21 + 10 = −2 i a4 = 16 −
28 + 10 = −2.
6.2
Ciag
˛ arytmetyczny
Ciag
˛ nazywamy arytmetycznym, jeżeli różnica mi˛edzy każdymi dwoma kolejnymi
wyrazami ciagu
˛ jest stała i nie zależy od numerów wyrazów. T˛e różnic˛e nazywamy różnica˛ ciagu
˛ arytmetycznego r. Zatem ciag
˛ arytmetyczny możemy opisać
podajac
˛ jeden z jego wyrazów (zwykle pierwszy) oraz różnic˛e ciagu.
˛
Kilka podstawowych własności ciagu
˛ arytmetycznego:
1. Ciag
˛ arytmetyczny jest rosnacy
˛ gdy r > 0, malejacy
˛ gdy r < 0 i stały dla
r = 0,
45
2. an = a1 + (n − 1)r,
3. an =
an+1 +an−1
,
2
n
4. suma n poczatkowych
˛
wyrazów ciagu
˛ arytmetycznego Sn = n a1 +a
=
2
n
2 (2a1 + (n − 1)r).
6.3 Ciag
˛ geometryczny
Ciag
˛ nazywamy geometrycznym, jeżeli iloraz każdych kolejnych dwóch wyrazów
ciagu
˛ jest stały i nie zależy od numerów wyrazów. Ten iloraz nazywamy ilorazem
ciagu
˛ geometrycznego q. Zatem ciag
˛ geometryczny możemy opisać podajac
˛ jeden
z jego wyrazów (zwykle pierwszy) oraz iloraz ciagu.
˛
Kilka podstawowych własności ciagu
˛ geometrycznego:
1. ustalenie monotoniczności ciagu
˛ geometrycznego jest nieco bardziej skomplikowane niż w przypadku ciagu
˛ arytmetycznego, gdyż rozpatrzyć należy
nie tylko iloraz ciagu,
˛ ale i pierwszy wyraz. Ciag
˛ jest:
rosnacy
˛ , jeśli (a1 > 0 i q > 1) lub jeśli (a1 < 0 i 0 < q < 1),
malejacy
˛ , jeśli (a1 > 0 i 0 < q < 1) lub jeśli (a1 < 0 i q > 1),
stały , w przypadku gdy a1 =0 lub q = 1.
2. an = a1 · qn−1 ,
3. a2n = an+1 · an−1 ,
4. suma n poczatkowych
˛
wyrazów ciagu
˛ geometrycznego
(
n · a1 dla q = 1,
n
Sn =
a1 1−q
1−q dla q 6= 1,
5. dla |q| < 1 istnieje i jest skończona suma wszystkich wyrazów ciagu
˛ geo1
.
metrycznego i wynosi S∞ = a1 1−q
Przykład 23
Dany jest ciag
˛ arytmetyczny: 5, 9, 13, 17, . . .. Ile poczatkowych
˛
wyrazów należy
wziać,
˛ aby ich suma była równa 10877?
Rozwiazanie:
˛
Identyfikujemy, że w danym ciagu
˛ a1 = 5 i r = 4.
46
Do wzoru na sum˛e n poczatkowych
˛
wyrazów ciagu
˛
n
Sn = (2a1 + (n − 1)r)
2
podstawiamy dane i po uporzadkowaniu
˛
dostajemy równanie kwadratowe na n:
2n2 + 3n − 10877 = 0,
które to równanie ma tylko jedno dodatnie rozwiazanie
˛
(a tylko takimi jesteśmy
zainteresowani): n = 73 poczatkowe
˛
wyrazy ciagu
˛ sumuja˛ si˛e do 10877.
Przykład 24
W kwadrat wpisano koło, w to koło wpisano kwadrat, w który znowu wpisano
koło, itd. Obliczyć sum˛e pól wszystkich tak otrzymanych kwadratów.
Rozwiazanie:
˛
Niech pierwszy kwadrat ma bok długości a. Wpisane w niego koło b˛edzie mieć
taka˛ sama˛ średnic˛e, z kolei wpisany w nie kwadrat musi mieć taka˛ przekatn
˛ a,˛ a
a
√
wi˛ec długość jego boku b˛edzie wynosić 2 . Można pokazać, że trzeci kwadrat
n−1
a
. Zatem
b˛edzie miał bok o długości 2 , a n-ty kwadrat bok o długości a √12
boki kolejnych kwadratów tworza˛ ciag
˛ geometryczny (bn ): b1 = a i q = √12 , wobec
czego pola tych kwadratów tworza˛ ciag
˛ (pn ): p1 = a2 i q = 12 . Ponieważ spełnione
sa˛ konieczne warunki (|q| < 1), możemy zastosować wzór na sum˛e nieskończona˛
ciagu
˛ geometrycznego:
1
S∞ = a1
,
1−q
skad
˛ po podstawieniu wartości liczbowych otrzymamy wartość 2a2 .
Przykład 25 Obliczyć granic˛e ciagu
˛ zadanego przepisem ogólnym an =
2n −4n
3·4n +5 .
Rozwiazanie:
˛
W takiej sytuacji wydzielimy licznik i mianownik przez 4n i otrzymamy:
( 24 )n − 1
2n − 4n
1
=
lim
=− .
n
5
n→∞ 3 · 4 + 5
n→∞ 3 + n
3
4
lim
47
6.4 Ćwiczenia
1. Ciag
˛ (an ) jest ciagiem
˛
geometrycznym o wyrazach dodatnich, w którym
a3 = 18 i a4 + a5 = 216.
(a) Podać wzór ogólny tego ciagu.
˛
(b) Który wyraz tego ciagu
˛ jest równy 39366?
(c) Obliczyć sum˛e ośmiu poczatkowych
˛
wyrazów tego ciagu.
˛
2. Wykazać, że ciag
˛ o wyrazie ogólnym an =
cym.
2n
n!
(n > 1) jest ciagiem
˛
maleja˛
3. Dany jest ciag
˛ geometryczny an , którego pierwszym wyrazem jest 1 a dru1
gim 2 . Jaki ciag
˛ powstanie z liczb ln an ?
4. Logarytmy liczb 2, 2x − 1, 2x + 3 tworza˛ ciag
˛ arytmetyczny. Ile wynosi x?
5. Obliczyć sum˛e Sn = 1 + 2a + 3a2 + 4a3 + . . . + nan−1 .
1
6. Udowodnić, że ciag
˛ an = 3 − n+1
jest rosnacy
˛ i ograniczony.
7. Obliczyć granice ciagów:
˛
√
(a) an =
48
√
n2 +1+ n
√
,
3
n− n2 +8
(b) an =
1+ 12 + 14 +...+ 21n
1+ 13 + 19 +...+ 31n
(c) an =
2n2 −n
.
5−n2
,
7 Prawdopodobieństwo i
kombinatoryka
7.1
Definicje
Doświadczenie losowe to eksperyment, który można powtórzyć dowolna˛ liczb˛e
razy w identycznych warunkach (na przykład klasyczny rzut kostka˛ do gry). Jego
wynikiem, którego nie da si˛e z góry przewidzieć jest zdarzenie elementarne (nie
wiadomo czy wypadnie 1, 2, 3, 4, 5 czy 6 oczek). Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych nazywamy przestrzenia˛ zdarzeń elementarnych i zwykle oznaczamy
przez Ω (tutaj wypadni˛ecie 1, 2, 3, 4, 5 oraz 6 oczek). Liczebność tego zbioru
czyli jego moc oznaczamy przez Ω (6 możliwych wyników). Dowolny podzbiór
zbioru Ω nazywamy zdarzeniem losowym (np. to, że wypadnie 2 lub 5). Zdarzenie elementarne a1 sprzyjajace
˛ zdarzeniu losowemu A to zdarzenie należace
˛ do
A (np. a1 =’wypadła dwójka’). Zdarzenie niemożliwe to ∅, a zdarzenie pewne jest
tożsame z Ω. Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A nazywamy różnic˛e Ω \ A
(w naszym przykładzie: wypadnie 1, 3, 4 lub 6) - A0 jest dopełnieniem zbioru A
do zbioru Ω.
Istnieja˛ dwie definicje prawdopodobieństwa.
Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo to funkcja, która każdemu zdarzeniu losowemu przyporzad˛
kowuje liczb˛e rzeczywista˛ P(A) spełniajac
˛ a˛ trzy aksjomaty prawdopodobieństwa:
1. P(A) > 0,
2. A ∩ B = ∅ =⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B),
3. P(Ω) = 1.
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Jeśli Ω składa si˛e z jednakowo prawdopodobnych zdarzeń elementarnych, to
prawdopodobieństwo zdarzenia A jest ilorazem
P(A) =
A
Ω
.
Prawdopodobieństwo posiada nast˛epujace
˛ własności:
1. P(∅) = 0,
2. prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego P(A0 ) = 1 − P(A),
3. prawdopodobieństwo zdarzenia B zawierajacego
˛
si˛e w zdarzeniu A:
B ⊂ A =⇒ P(B) 6 P(A),
4. dla dowolnych zdarzeń zachodzi P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B),
5. prawdopodobieństwo zajścia A pod warunkiem, że zaszło B
P(A/B) =
P(A ∩ B)
,
P(B)
6. zdarzenia A i B sa˛ niezależne gdy zachodzi P(A ∩ B) = P(A) · P(B),
7. jeżeli Ω podzielimy na rozłaczne
˛
podzbiory A1 , A2 , . . ., to prawdziwy jest
wzór na prawdopodobieństwo całkowite zdarzenia B:
P(B) = P(B/A1 ) · P(A1 ) + P(B/A2 ) · P(A2 ) + . . . .
Przykład 26 W pojemniku jest pi˛eć kul białych i trzy czarne. Ciagniemy
˛
losowo
trzy kule, jedna po drugiej. Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia kuli czarnej
za trzecim razem.
Rozwiazanie:
˛
W przypadku zadań, w których czynności nast˛epuja˛ po sobie sekwencyjnie, a
prawdopodobieństwo kolejnej zależy od tego, co stało si˛e w poprzednim kroku,
najlepiej narysować tzw. “drzewko”, czyli możliwe scenariusze wydarzeń. Takie
scenariusze przedstawione sa˛ na rysunku 26, przy czym przy każdym kroku opisano, z jakim prawdopodobieństwem wystapi
˛ kolejny wynik. “Ścieżki” prowadzace
˛
do zdarzeń sprzyjajacych
˛
sa˛ pogrubione.
Prawdopodobieństwa poszczególnych ścieżek musimy do siebie dodać, bo sa˛
to scenariusze rozłaczne,
˛
a prawdopodobieństwo jednej ścieżki obliczamy wymnażajac
˛ prawdopodobieństwa jej “etapów”:
P=
50
5 4 3 5 3 2 3 5 4 3 2 1 13
· · + · · + · · + · · = .
8 7 6 8 7 6 8 7 6 8 7 6 28
5b3c
b
5/8
c
3/8
4b3c
c
b
4/7
5b2c
5/7
3/7
c
3/6
7.2
4b2c
4b2c
3b3c
c
b
c
2/6
4/6
2/7
5b1c
c
c
1/6
Kombinatoryka
Poniższe definicje i wzory sa˛ cz˛esto pomocne w rozwiazywaniu
˛
zadań dotycza˛
cych prawdopodobieństwa.
Permutacja˛ zbioru A o n elementach nazywamy dowolny ciag
˛ zbudowany z
elementów tego zbioru. Liczba wszystkich permutacji
Pn = n!.
Kombinacja˛ k-elementowa˛ zbioru n-elementowego nazywamy dowolny podzbiór k-elementowy jego elementów. Liczba kombinacji
n
n!
k
Cn =
=
.
k
k!(n − k)!
Wariacja˛ bez powtórzeń k-wyrazowa˛ ze zbioru n-elementowego nazywamy
każdy k-wyrazowy ciag
˛ powstały z elementów tego zbioru (przy czym dany element może być wykorzystany tylko raz). Liczba wariacji bez powtórzeń
Vnk =
n!
.
(n − k)!
Wariacja˛ z powtórzeniami k-wyrazowa˛ ze zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciag
˛ powstały z elementów tego zbioru (przy czym każdy
element może być wykorzystany wielokrotnie). Liczba wariacji z powtórzeniami
Ṽnk = nk .
51
Permutacje
Kombinacje
Wariacje
Wariacje
z powtórzeniami
ile
elementów?
n
k
k
6k
czy kolejność możliwość symbol
istotna?
powtórzeń
+
−
Pn
−
−
Cnk
+
−
Vnk
+
+
Ṽnk
liczba
n!
n
k
n!
(n−k)!
nk
W tabeli zamieszczone jest podsumowanie tych definicji.
7.3 Schemat Bernoulliego
Schemat Bernoulliego stosujemy do obliczenia prawdopodobieństwa w bardzo
szczególnych przypadkach, a mianowicie kiedy
• nasze doświadczenie składa si˛e z n prób losowych, które można uznać za
takie same,
• potrafimy określić, jaki wynik pojedynczej próby jest porażka˛ a jaki sukcesem i znamy ich prawdopodobieństwa (q i p, gdzie oczywiście q = 1 − p),
• poszukujemy prawdopodobieństwa uzyskania k sukcesów w n próbach.
Wówczas to poszukiwane prawdopodobieństwo możemy wyliczyć z nast˛epujace˛
go wzoru:
n k n−k
P(k, n) =
pq .
k
Przykład 27 Obliczyć prawdopodobieństwo, że w dziesi˛eciu rzutach kostka˛ uzyskamy parzysta˛ liczb˛e oczek wi˛ecej niż 8 razy.
Rozwiazanie:
˛
Zadanie to możemy rozwiazać
˛
na kilka sposobów, z których jednym jest zastosowanie schematu Bernoulliego. Identyfikujemy wielkości: p = 0, 5, q = 0, 5,
n = 10, k = 9 lub k = 10. Dwa ostatnie przypadki wykluczaja˛ si˛e wzajemnie,
a wi˛ec przyczynki od nich musimy do siebie dodać.
10
10
11
9+1
.
P=
0, 5
+
0, 510+0 =
1024
9
10
52
7.4
Ćwiczenia
1. Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia szóstki w Lotto, gdzie wybiera si˛e
6 liczb z 49.
2. Rzucamy kostka˛ do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia polegajacego
˛
na tym, że wyrzucimy parzysta˛ liczb˛e oczek lub nie wi˛ecej niż trzy
oczka?
3. W pojemniku sa˛ cztery kule białe i trzy czarne. Ciagniemy
˛
losowo trzy kule,
jedna po drugiej. Obliczyć prawdopodobieństwo trafienia:
(a) dwóch kul białych na poczatku
˛ i czarnej na końcu,
(b) kuli czarnej za drugim razem.
4. Rzucamy pi˛eć razy kostka˛ do gry. Obliczyć prawdopodobieństwa zdarzeń
polegajacych
˛
na tym, że:
(a) co najmniej pi˛eć oczek wypadło dokładnie dwa razy,
(b) parzysta liczba oczek wypadła co najwyżej trzy razy.
5. Czy łatwiej otrzymać: co najmniej 9 orłów w dziesi˛eciu rzutach moneta,˛
czy sum˛e oczek równa˛ 17 w trzech rzutach kostka˛ do gry?
6. Student przyst˛epuje do egzaminu, który ma form˛e testu złożonego z 10 pytań. Do każdego z pytań podane sa˛ 4 odpowiedzi do wyboru, w tym tylko
jedna poprawna. Ze wzgl˛edu na brak czasu student nie przygotował si˛e do
egzaminu i zmuszony jest wybierać odpowiedzi całkowicie losowo.
(a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że student nie udzieli żadnej poprawnej odpowiedzi?
(b) Z jakim prawdopodobieństwem student zda egzamin, jeśli na pozytywna˛ ocen˛e wymagany jest wynik co najmniej 60%?
7. Rzucamy dwukrotnie trzema kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ani jeden raz nie wypadnie szóstka?
8. Załóżmy, że numery rejestracyjne samochodów składaja˛ si˛e z trzech liter i
czterech cyfr lub z czterech liter i trzech cyfr, ustawionych na dowolnych
miejscach w numerze. Ile można utworzyć różnych numerów rejestracyjnych, jeśli korzysta si˛e z 24-literowego alfabetu?
53
Bibliografia
[1] I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, dowolne wydanie
[2] B. Gdowski, E. Pluciński, Zbiór zadań z matematyki dla kandydatów na wyższe uczelnie, dowolne wydanie
[3] M. Borowska, A. Jatczak, Matura 2010 - zakres rozszerzony - Matematyka,
Operon Gdynia
[4] A. Cewe, H. Nahorska, Matura, zbiór zadań. Cz˛eść I., Podkowa, Gdańsk
1998

MATERIAŁY DO ZAJ ˛E´C WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI

Transkrypt

Podobne dokumenty

EGZAMIN Z MATEMATYKI Zarz ąadzanie, 1 rok studiów dziennych

Podstawy teorii decyzji

Wykład 2

1 Model poszukiwan na rynku pracy

streszczenie

Rozwiązania - NOMAD: Niezależne Ogólnopolskie Mistrzostwa w

Dana jest funkcja liniowa f(x) = x + 3. a) Naszkicuj wykres funkcji f w

Egzamin z Rachunku Prawdopodobienstwa 1. Za chwile Adam i

Przedstawi´c równanie oscylatora harmonicznego x + ω x = 0 w

Liczba /pi - PWSZ Legnica