Metoda Sił - rysowanie wykresów sił

Metoda Sił
Rysowanie wykresów sił wewnętrznych
w belkach statycznie niewyznaczalnych
Belka ciągła
dr inż. Hanna Weber
1
Zadanie:
Narysuj wykresy sił N, T, M.
Zadanie rozwiąż metodą sił.
M=8kNm
P=24kN
EJ
1
3
EJ
EJ
2EJ
2
2
2
dr inż. Hanna Weber
2
Określenie stopnia statycznej niewyznaczalności :
M=8kNm
P=24kN
EJ
1
3
EJ
EJ
2EJ
2
2
2
ns = l r − l P − 3 = 5 − 0 − 3 = 2
Układ dwukrotnie
statycznie niewyznaczalny
dr inż. Hanna Weber
3
Dobór schematu podstawowego:
X1
X1
X2
X2
ns = 2
dr inż. Hanna Weber
4
Wykres X1=1
X 1=1 X 1=1
3/4
1/4
4
1/2
2
2
2
M1
1
dr inż. Hanna Weber
5
Wykres X2=1
X2=1 X2=1
3/4
1/2
4
2
1/4
2
2
M2
1
dr inż. Hanna Weber
6
Wykres od obciążenia zewnętrznego:
M=8kNm
P=24kN
3
1
2
2
M=8kNm
P=24kN
EJ
1
2
3
EJ
EJ
2EJ
2
2
2
dr inż. Hanna Weber
7
Wykres od obciążenia zewnętrznego:
M=8kNm
P=24kN
18kN
3
1
M0 [kNm]
2kN
4kN
2
2
2
8
18
dr inż. Hanna Weber
8
Całkowanie wykresów:
M1
1
M2
1
8
M0
[kNm]
18
1
δ 11 =
3
2
2
2
1 1
2
1
2  2
 ⋅ 1 ⋅ 4 ⋅ ⋅ 1 + ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ ⋅ 1 =
EI  2
3
2
3  EI
dr inż. Hanna Weber
9
Całkowanie wykresów:
M1
1
M2
1
8
M0
[kNm]
18
1
δ 12 =
3
2
2
2
1 1
1 
1
 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ ⋅ 1 =
EI  2
3  3EI
dr inż. Hanna Weber
10
Całkowanie wykresów:
M1
1
M2
1/2
1
8
M0
[kNm]
18
1
δ 22 =
+
3
2
2
2
1 1
2
1
1 1 1 1
2 1 
1
2
 ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅ ⋅ 1 + ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅  ⋅ 1 + ⋅  + ⋅ ⋅ 2 ⋅  ⋅ 1 + ⋅  
EI  2
3
2
3 2 2 2
3 2 
3
3
1 1 1
2 1
23
 ⋅ ⋅2⋅ ⋅  =
2 EI  2 2
3 2  12 EI
dr inż. Hanna Weber
11
Całkowanie wykresów:
M1
1/4
1
M2
1/2
1
8
M0
[kNm]
18
1
δ 10 =
3
2
2
2
1 1
2 1 1
1  37
2 1 1  1
 ⋅ 18 ⋅ 1 ⋅ ⋅ + ⋅ 18 ⋅ 3 ⋅  ⋅ + ⋅ 1 − ⋅ 8 ⋅ 2 ⋅ ⋅ 1 =
EI  2
3 4 2
3  3EI
3 4 3  2
dr inż. Hanna Weber
12
Całkowanie wykresów:
M1
1
M2
1/2
1
8
M0
[kNm]
18
1
δ 20 = −
3
2
2
2
1 1
2 
16
 ⋅1 ⋅ 2 ⋅ ⋅ 8 = −
EI  2
3 
3EI
dr inż. Hanna Weber
13
Układ równań kanonicznych metody sił
dla schematu dwukrotnie statycznie
niewyznaczalnego:
δ 11 ⋅ X 1 + δ 12 ⋅ X 2 + δ 10 = 0

δ 21 ⋅ X 1 + δ 22 ⋅ X 2 + δ 20 = 0
1
37
2
⋅
X
+
⋅
X
+
=0
1
2
 EI
3EI
3EI

 1 ⋅ X + 23 ⋅ X − 16 = 0
1
2
 3EI
12 EI
3EI
↓
X 1 = −6,83kNm
X 2 = 3,97 kNm
14
Tworzenie ostatecznego wykresu momentów:
M1
0,25
M2
X 1 = −6,83kNm
1
X 2 = 3,97 kNm
1
1/2
8
M0
[kNm]
18
6,83
M
[kNm]
16,29
4,03
3,97
M i = M i1 ⋅ X 1 + M i 2 ⋅ X 2 + M i 0
15
Wyznaczenie wartości sił tnących:
6,83
M
[kNm]
16,29
4,03
3,97
M=8kNm
P=24kN
1
3
2
2
2
16
Wyznaczenie wartości sił tnących:
6,83
M
[kNm]
3,97
16,29
M=8kNm
P=24kN
1
4,03
6,83
3
6,83
6,83
6,83
2
2
2
17
Wyznaczenie wartości sił tnących:
6,83
M
[kNm]
3,97
16,29
P=24kN
1
6,83
3
4,03
M=8kNm
4,03
6,83
6,83
4,03
6,83
2
3,97
3,97
2
2
18
Wyznaczenie wartości sił tnących:
P=24kN
1
6,83
3
M=8kNm
4,03
6,83
6,83
4,03
6,83
3,97
3,97
2
2
3,97
=0,99
4
2
0,99
19
Wyznaczenie wartości sił tnących:
M=8kNm
P=24kN
1
6,83
3
6,83
6,83
3,97
4,03
4,03
6,83
3,97
2
2
1,4
3,97
=0,99
4
2
0,99
6,83-4,03
=1,4
2
20
Wyznaczenie wartości sił tnących:
M=8kNm
P=24kN
1
6,83
3
6,83
6,83
4,03 1,4
4,03
6,83
2
0,99 3,97
3,97
1,39
1,4
3,97
=0,99
4
2
2
0,99
6,83-4,03
=1,4
2
21
Wyznaczenie wartości sił tnących:
M=8kNm
P=24kN
1
6,83
6,83
6,83
3
4,03 1,4
4,03
6,83
2
-6,83+72
=16,29
4
6,83+24
=7,71
4
0,99 3,97
3,97
1,39
1,4
3,97
=0,99
4
2
2
0,99
6,83-4,03
=1,4
2
22
Wyznaczenie wartości sił tnących:
7,71
P=24kN
1
6,83
6,83
6,83
3
M=8kNm
1,4
-6,83+72
=16,29
4
6,83+24
=7,71
4
4,03 1,4
4,03
6,83
2
0,99 3,97
3,97
1,39
9,11
1,4
3,97
=0,99
4
2
2
0,99
6,83-4,03
=1,4
2
23
Wyznaczenie wartości sił tnących:
7,71
P=24kN
1
6,83
6,83
6,83
3
M=8kNm
1,4
0,99 3,97
4,03 1,4
4,03
6,83
2
3,97
1,39
9,11
-6,83+72
=16,29
4
3,97
=0,99
4
1,4
2
2
0,99
6,83-4,03
=1,4
2
6,83+24
=7,71
4
16,29
T
+
[kN]
-
+
1,4
0,99
7,71
24