Metoda zerojedynkowa

Mieczysław Wilk
MINIMAX
METODA ZERO - JEDYNKOWA
Mielec, 2008
1
Metoda zerojedynkowa – najwaŜniejsze zasady, sylogizmy i prawa logiczne
Wstęp:
Zdaniem w sensie logiki nazywamy tylko takie sformułowanie, któremu moŜemy przyporządkować wartość logiczną, tzn. stwierdzić, czy jest
prawdziwe ( wartość logiczna 1 ), czy fałszywe ( wartość logiczna 0 ).
Tautologia ( prawo rachunku zdań ) – zdanie prawdziwe niezaleŜnie od wartości logicznych występujących w nim zdań prostych.
Metoda zerojedynkowa – sposób dowodzenia praw rachunku zdań polegający na rozpatrywaniu wszystkich moŜliwych przypadków wartości
logicznych zdań prostych, wchodzących w skład zdania złoŜonego. Ogólnie dla n niezaleŜnych zdań prostych jest 2 n wariantów.
Alternatywa ( inaczej suma logiczna ) to dwuargumentowy spójnik łączący dwa zdania p i q mówiący, Ŝe: „ p lub q ” ,
co zapisujemy: p ∨ q .
p
q
p ∨ q
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
Alternatywa dwóch zdań jest fałszywa gdy oba zdania są fałszywe.
2
Koniunkcja ( inaczej iloczyn logiczny ) to dwuargumentowy spójnik łączący dwa zdania p i q mówiący, Ŝe: „ p i q ” ,
co zapisujemy: p ∧ q .
p
q
p ∧ q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa gdy oba zdania są prawdziwe.
RównowaŜność ( inaczej funkcja prawdziwościowa ) to dwuargumentowy spójnik łączący dwa zdania p i q mówiący, Ŝe: „ p wtedy i tylko
wtedy, gdy q ” , co zapisujemy: p ⇔ q .
p
q
p ⇔ q
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
3
RównowaŜność jest prawdziwa gdy oba zdania posiadają tą samą wartość logiczną.
Implikacja ( inaczej wynikanie ) to dwuargumentowy spójnik łączący dwa zdania p ( poprzednik implikacji ) i q (następnik implikacji)
mówiący, Ŝe: „ z p wynika q ” , co zapisujemy: p ⇒ q .
p
q
p ⇒ q
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
Implikacja jest fałszywa gdy z prawdy wynika fałsz.
Negacja ( inaczej zaprzeczenie ) to jednoargumentowe działanie określone w zbiorze zdań, które kaŜdemu zdaniu p przyporządkowuje zdanie
nieprawda, Ŝe p, co zapisujemy: ~ p .
p
~p
1
0
0
1
Negację zdania p uwaŜa się za prawdziwą, gdy zdanie p jest fałszywe, zaś za fałszywą, gdy zdanie p jest prawdziwe.
4
1.
2.
3.
Zasada toŜsamości:
(
p ⇒ p
)
Zasada sprzeczności: ~ ( p ∧ ~ p
Zasada wyłączonego środka:
(
(
p
p
1
1
1
0
0
1
p ⇒ p
)
)
p ∨ ~ p
(
p ∧ ~ p
)
~( p ∧ ~ p
p
~p
1
0
0
1
0
1
0
1
)
)
(
p ∨~p
p
~p
1
0
1
0
1
1
)
5
4.
5.
6.
Zasada podwójnego przeczenia: ~ ( ~ p
Sylogizm konstrukcyjny:
Sylogizm destrukcyjny:
[(
[(
p ⇒ q
)⇔
~(~ p
)
~(~ p
)⇔
p
~p
1
0
1
1
0
1
0
1
p
p]⇒ q
)∧
(
p
) [(
)∧
] [(
)∧
p
q
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
p ⇒ q
)∧
(
p ⇒ q
p ⇒ q
p
p ⇒ q
p]⇒ q
~q]⇒ ~ p
) [(
)∧
]
~p
[(
)∧
p
q
~q
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
p ⇒ q
p ⇒ q
~q
p ⇒ q
~q]⇒ ~ p
6
7.
Sylogizm alternatywny
a.
(
p ∨ q
[(
p ∨ q
[(
)
~ p]⇒ q
)∧
)∧
p ∨ q
]
[(
p ∨ q
)∧
p
q
~p
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
b.
(
p ∨ q
)
[(
p ∨ q
[(
~ p
~ p]⇒ q
~q]⇒ p
)∧
p ∨ q
)∧
]
[(
p ∨ q
)∧
p
q
~q
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
~q
~q]⇒ p
7
8.
Sylogizm hipotetyczno – koniunkcyjny
(
[(
p ⇒ q
)∧ (q
)
(g
)
⇒ r
[(
)]⇒ (
)
∧
p ⇒ r
(q
)
)]
(
)
[(p⇒q)∧
(g⇒r)]⇒
(p⇒r)
p
q
r
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
p ⇒ q
⇒ r
p ⇒ q
⇒ r
p ⇒ r
8
9.
Sylogizm hipotetyczno – bez koniunkcyjny
(
(
)
p ⇒ q
(g
) ⇒ [(q
)
(
⇒ r
)⇒(
)
p ⇒ r
[(q
)]
)⇒ (
)]
(
p ⇒ q) ⇒
[(g⇒r)⇒
(p⇒r)]
p
q
r
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
p ⇒ q
⇒ r
p ⇒ r
⇒ r
p ⇒ r
9
10.
11.
Prawo przemienności koniunkcji:
(
p ∧ q
)⇔ (q
(
∧ p
p ∧ q
)
)
(q
∧ p
)
(
p ∧ q
)⇔ (q
p
q
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
Prawo przemienności alternatywy:
(
p ∨ q
)⇔ (q
∨ p
(
)
p ∨ q
∧ p
)
)
(q
∨ p
)
(
p ∨ q
)⇔ (q
p
q
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
∨ p
)
10
12.
Prawo łączności koniunkcji
[(
(
p ∧ q
)
[(
p ∧ q
p ∧ q
)∧r]
)∧r]
⇔
(q
[p
∧ r
∧
(q
) [
∧ r
p ∧
)]
(q
∧ r
)]
[( p ∧ q ) ∧ r ] ⇔
[ p ∧ (q ∧ r )]
p
q
r
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
11
13.
Prawo łączności alternatywy
[(
(
p ∨ q
)
[(
p ∨ q
p ∨ q
)∨ r]
)∨r]
⇔
[p
∨
(q
∨ r
) [
(q
∨ r
p ∨
)]
(q
∨ r
)]
[( p ∨ q ) ∨ r ] ⇔
[ p ∨ (q ∨ r )]
p
q
r
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
12
14.
Prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy
[p
(q
∨ r
)
[
∧
p ∧
(q
(q
∨ r
∨ r
)]
)]
⇔
[(
(
p ∧ q
p ∧ q
)∨(
) (
p ∧ r
p ∧ r
)]
(
) (
p ∧ q
p ∧ r
)
)
∨
[
(q ∨ r )] ⇔
[(p∧q) ∨
(p∧r)]
p ∧
p
q
r
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
13
15.
Prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji
[p
(q
∧ r
)
[
∨
p ∨
(q
(q
∧ r
∧ r
)]
)]
⇔
[(
(
p ∨ q
p ∨ q
)∧(
) (
p ∨ r
p ∨ r
)]
(
) (
p ∨ q
p ∨ r
)∧
)
[
(q ∧ r )] ⇔
[(p∨q)∧
(p∨r)]
p ∨
p
q
r
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
14
16.
17.
18.
Prawo redukcji do absurdu:
[(
p ⇒ q
)∧(
(
p ⇒ ~ q)] ⇔ ~ p
) (
)
(
)∧(
p ⇒ ~q)
Ls ⇔ Ps
p
q
~p
~q
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
Prawo idempotentności koniunkcji: p ⇔
p ⇒ q
p ⇒ ~q
p ⇒ q
(
p ∧ p
p
p
1
1
1
1
0
0
0
1
Prawo idempotentności alternatywy: p ⇔
(
)
p ∨ p
(
p ∧ p
)
p ⇔
(
p ∧ p
)
)
(
p ∨ p
)
p ⇔
(
p ∨ p
p
p
1
1
1
1
0
0
0
1
)
15
19.
20.
(
Prawo transpozycji prostej:
p ⇒ q
)⇔ (
~q ⇒ ~ p
(
)
)
(~q
)
(
)⇔ (
p
q
~p
~q
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
p ⇒ q
⇒ ~ p
p ⇒ q
~q ⇒ ~ p
)
Prawo De Morgana – zaprzeczenie koniunkcji
~( p ∧ q
(
p ∧ q
)
)⇔(
~ p ∨ ~q
~( p ∧ q
)
(~
)
p ∨ ~ q)
~( p ∧ q
)⇔(
p
q
~p
~q
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
~ p ∨ ~q
)
16
21.
Prawo De Morgana – zaprzeczenie alternatywy
~( p ∨ q
22.
(
p ∨ q
)⇔(
~ p ∧ ~q
~( p ∨ q
)
)
) (~
p ∧ ~ q)
~( p ∨ q
)⇔(
p
q
~p
~q
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
Prawo symplifikacji ( prawdy ):
p ⇒
(q
⇒ p
~ p ∧ ~q
)
)
(q
)
(q
p
q
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
⇒ p
p ⇒
⇒ p
)
17
23.
24.
Prawo Danusa Scota:
(
p ∧ ~ p
)
⇒ q
(
p ∧ ~ p
)
(
p ∧ ~ p
p
q
~p
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
Prawo Claviusa ( zaprzeczenia ): ~ p ⇒
(
p ⇒ q
)
⇒ q
)
(
)
(
p
q
~p
1
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
p ⇒ q
~p ⇒
p ⇒ q
)
18
25.
26.
Prawo negowania implikacji: ~ ( p ⇒ q
(
)⇒(
)
q ⇒ p
)
~( p ⇒ q
) (q
)
~( p ⇒ q
)⇒(
p
q
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
Prawo eliminacji implikacji:
(p
⇒ q
p ⇒ q
)⇔(
~ p ∨ q
(
⇒ p
q ⇒ p
)
)
) (~
p ∨ q
)
(p
)⇔(
p
q
~p
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
p ⇒ q
⇒ q
~ p ∨ q
)
19
27.
28.
Prawo zaprzeczenia implikacji: ~ ( p ⇒ q
(
)⇔(
p ∧ ~q
)
)
~( p ⇒ q
(
)
p ∧ ~q
)
~( p ⇒ q
)⇔(
p
q
~q
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
Prawo transpozycji złoŜonej
(
p ∧ q
a.
)
[(
[(
p ⇒ q
p ∧ q
)⇒r]
p ∧ g )⇒ r
]
⇒
~ r
[(
p ∧ ~r
(
)⇒
~q
)
~q
p ∧~ r
p ∧ ~q
)
]
[(
p ∧ ~r
)⇒
]
p
q
r
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
~q
L s ⇒ Ps
20
b.
(
p ∧ q
)
[(
[(
p ∧ q
)⇒r]
p ∧ g )⇒ r
]
⇒
~ r
[(
)⇒
~r ∧ q
(~r
∧q
)
~ p
]
[(~r
∧ q
)⇒
]
p
q
r
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
~p
~ p
L s ⇒ Ps
21
29.
Prawo importacji i eksportacji
[(
(
p ∧ q
)
p ∧ q
[(
)⇒r]
p ∧ q
⇔
)⇒ r]
[p
⇒
(q
(q
⇒ r
)]
)
[
(q
)]
[(
p ∧ q)⇒ r ]
⇔
p ⇒ (q ⇒ r )]
p
q
r
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
⇒ r
p ⇒
⇒ r
[
22
30.
Prawo dylematu konstrukcyjnego prostego
[(
(
)
(q
p ⇒ r
)
)∧ (q
(
⇒ r
p ∨ q
)
)∧(
(
p ∨ q
)]
⇒ r
p ⇒ q )∧ ( q ⇒ r )∧
(
p ∨ q
)
r
Ls ⇒ Ps
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
p
q
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
p ⇒ q
⇒ r
23
31.
Prawo dylematu destrukcyjnego prostego
p
q
r
(r
⇒ p
[(r
⇒ p
)∧ (r
) (r
⇒ q
)
⇒ q
~p
)∧ (~
~q
p ∨ ~q
(~
)]
⇒ ~r
p ∨ ~q
)
(
(r
(r
⇒ p )∧
⇒ g )∧
~ p ∨ ~q)
~r
Ls ⇒ Ps
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
24
32.
Prawo dylematu konstrukcyjnego złoŜonego
[(
(
) (r
p ⇒ q
)
)∧ (r
(
⇒ s
p ∨ r
)
)∧(
p ∨ r
[(
)]
⇒
(q
)∧ (r
∨ s
)
)∧(
p ∨ r
)]
(q
∨ s
)
p
q
r
s
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
p ⇒ q
⇒ s
p ⇒ q
⇒ s
Ls ⇒ Ps
25
33.
Prawo dylematu destrukcyjnego złoŜonego
[(
(
) (r
p ⇒ q
)
)∧ (r
⇒ s
)∧ (~q
(~q
∨ ~s
∨ ~s
)
)]
⇒
(~
p ∨ ~r
[(p⇒q)∧
(r ⇒ s)∧
(~q ∨ ~s ) ]
)
(~
p ∨~r
)
~ p
~ r
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
~q
~s
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
p
q
r
s
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
p ⇒ q
⇒ s
Ls ⇒ Ps
26
34.
Prawo mnoŜenia implikacji
[(
(
p ⇒ q
) (r
)∧ (r
⇒ s
)]
⇒
[(
p ∧ r
)⇒ (q
) [(
(r
p ⇒ q )∧
⇒ s )]
(
p ∧ r
) (q
∧ s
∧ s
)]
) [(
p ∧ r
)⇒ (q
∧ s
)]
p
q
r
s
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
p ⇒ q
⇒ s
Ls ⇒ Ps
27
35.
Prawo dodawania implikacji
[(
(
p ⇒ q
) (r
)∧ (r
⇒ s
)]
⇒
[(
p ∨ r
)⇒ (q
) [(
(r
p ⇒ q )∧
⇒ s )]
(
p ∨ r
) (q
∨ s
∨ s
)]
) [(
p ∨ r
)⇒ (q
∨ s
)]
p
q
r
s
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
p ⇒ q
⇒ s
Ls ⇒ Ps
28
36.
Prawo Fregego
[p
(q
)
[p
⇒
(q
(q
⇒ r
)]
)]
⇒
(
[(
p ⇒ q
)⇒(
p ⇒ r
) (
p ⇒ r
)
[(
)]
)⇒(
)]
p
q
r
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
1
1
⇒ r
⇒
⇒ r
p ⇒ q
p ⇒ q
p ⇒ r
Ls ⇒ Ps
29