PDF version

ELEKTRYKA
Zeszyt 1 (221)
2012
Rok LVIII
Piotr GAS
Akademia Górniczo-Hutnicza, Katedra Elektrotechniki i Elektroenergetyki
WPŁYW MOCY WEJŚCIOWEJ ANTENY WSPÓŁOSIOWEJ NA
ROZKŁAD TEMPERATURY PODCZAS ŚRÓDMIĄŻSZOWEJ
HIPERTERMII MIKROFALOWEJ
Streszczenie. W niniejszej pracy przedstawiono model będący przykładem
zastosowania hipertermii śródmiąższowej działającej miejscowo na chorą tkankę.
Źródłem ciepła jest współosiowa antena mikrofalowa (ze szczeliną powietrzną)
umieszczona w wątrobie. Ze względu na symetrię osiową modelu dla uproszczenia
rozważono model dwuwymiarowy. Przedstawiony problem stanowi sprzężenie pola
elektromagnetycznego i pola temperatury. Posługując się metodą elementów
skończonych, rozwiązano równanie falowe dla przypadku fali TM, a następnie
biologiczne równanie ciepła w przypadku stacjonarnym. Na końcu zestawiono uzyskane
wyniki symulacji dla różnych wartości mocy wejściowej anteny.
Słowa kluczowe: śródmiąższowa hipertermia mikrofalowa, biologiczne równanie ciepła, fale TM,
metoda elementów skończonych (MES)
INFLUENCE OF THE COAXIAL-SLOT ANTENNA'S INPUT POWER
ON TEMPERATURE DISTRIBUTION DURING INTERSTITIAL
MICROWAVE HYPERTHERMIA
Summary. In this paper a model which is an example of interstitial microwave
hyperthermia acting locally to diseased tissue is presented. A microwave coaxial-slot
antenna placed in the liver tissue is a heat source. Due to the axial symmetry of the
model, for simplification a two-dimensional case is considered. The presented issue is
therefore a coupling of the electromagnetic field and the temperature field. Using the
finite element method, the wave equation for TM wave case and the bioheat equation
under steady-state condition have been solved. At the end the obtained simulation results
for several levels of the antenna total input power are presented.
Keywords: interstitial microwave hyperthermia, bioheat equation, TM waves, finite element method
(FEM)
112
P. Gas
1. WPROWADZENIE
Hipertermia jest metodą leczenia, w której patologiczne tkanki są poddane działaniu
wysokiej temperatury przekraczającej 40oC. Istnieje wiele technik leczenia przy użyciu
hipertermii, ale najbardziej korzystna wydaje się hipertermia śródmiąższowa, ponieważ
dostarcza ciepło bezpośrednio w miejsce guza i minimalnie wpływa na otaczające zdrowe
tkanki. W czasie hipertermii śródmiąższowej w miejsce patologicznych tkanek (znajdujących
się głęboko we wnętrzu ciała człowieka) wbijane są elektrody igłowe wytwarzające pola
o wysokiej częstotliwości, anteny mikrofalowe, przetworniki ultradźwiękowe, przewodniki
światłowodowe lub są wstrzykiwane cząsteczki lub ciecze ferromagnetyczne [1, 2].
Jak udowodniono, ciepło wytworzone na drodze elektromagnetycznej i utrzymywane na
odpowiednim wysokim poziomie może doprowadzić do martwicy komórek znajdujących się
w odległości 1-2 cm od źródła ciepła. Technika ta jest odpowiednia do leczenia guzów
o średnicy mniejszej niż 5 cm [3]. Co więcej, śródmiąższowa hipertermia mikrofalowa
osiągnęła pozytywne wyniki kliniczne w połączeniu z radioterapią i chemioterapią [4, 5].
Metoda ta obecnie zyskuje nowe pola zastosowań, na przykład w leczeniu guzów wątroby,
piersi, nerek, kości i płuc [6].
Istnieje wiele badań dotyczących wykorzystania hipertermii w leczeniu raka, co dowodzi,
że aspekt ten jest wciąż ważny i są konieczne dalsze badania w tym zakresie [7, 8]. Obecnie,
uczeni poszukują nowych technik, które uczynią hipertermię prostszą, bezpieczniejszą,
bardziej efektywną i powszechnie dostępną metodą leczenia raka. Obiecujące wydają się
próby wykorzystania nanotechnologii w leczeniu ciepłem, a w szczególności hipertermii
cieczy magnetycznej (ang. magnetic fluid hyperthermia), która w ostatnim czasie znajduje się
w fazie intensywnych badań i z którą wiąże się duże nadzieje [9]. Istotne fakty z historii
hipertermii i ich związki ze współczesną medycyną można znaleźć w [10].
W niniejszej pracy przedstawiono model 2-wymiarowy, będący przykładem
zastosowania śródmiąższowej hipertermii mikrofalowej, działającej miejscowo w obszarze
tkanki wątroby człowieka, następnie wyznaczono rozkłady pola elektromagnetycznego i pola
temperatury wytworzone przez antenę współosiową ze szczeliną powietrzną, a na końcu
zestawiono uzyskane wyniki symulacji dla różnych wartości mocy wejściowej anteny.
2. PODSTAWOWE RÓWNANIA I MODEL GEOMETRYCZNY
Rozważany model anteny współosiowej (rys. 1) składa się z wewnętrznego przewodnika,
dielektryka, zewnętrznego przewodnika i plastikowej osłony, która pełni funkcję ochronną dla
pozostałych elementów anteny. W zewnętrznym przewodniku znajduje się szczelina
powietrzna o wymiarze d. Rozmiary anteny zostały zaczerpnięte z [11] i podane w tab. 1.
W rzeczywistości, obszar obliczeniowy jest dużo większy niż pokazano na rys. 1, a szerokość
Wpływ mocy wejściowej...
113
anteny nie przekracza 2 mm. Ze względu na symetrię osiową w modelu są używane
współrzędne walcowe r, z, , a do analizy przypadku wystarczający jest model 2-wymiarowy,
obejmujący tylko połowę struktury anteny i otaczającej ją tkanki wątroby. W takim
przypadku 3-wymiarowy model anteny otrzymamy przez obrót modelu 2-wymiarowego
wzdłuż osi anteny, czyli wzdłuż osi z dla r = 0.
oś symetrii
obszar obliczeniowy
wewnętrzny przewodnik
dielektryk
r4
tkanka
d
r1
szczelina
powietrzna
r3
r2
plastikowa osłona
zewnętrzny przewodnik
Rys. 1. Schemat poglądowy modelu anteny współosiowej ze szczeliną powietrzną (po lewej) oraz jej
przekrój poprzeczny wraz z wymiarami geometrycznymi (po prawej)
Fig. 1. Schematic view of the part of the coaxial antenna with the air slots (left) and cross section of
the antenna with geometrical dimensions (right)
Tabela 1
Wymiary geometryczne anteny współosiowej
Elementy anteny
Wymiary anteny
[mm]
promień centralnego
przewodnika
wewnętrzny promień
zewnętrznego przewodnika
zewnętrzny promień
zewnętrznego przewodnika
promień
plastikowej osłony
rozmiar
szczeliny powietrznej
r1 = 0,145
r2 = 0,470
r3 = 0,595
r4 = 0,895
d=1
Wyprowadzenie podstawowych zależności rozpoczęto od równań Maxwella w dziedzinie
częstotliwości, zdefiniowanych jako:
  H  J  j D
(1)
  E   j B
(2)
gdzie E i H są odpowiednio zespolonymi wektorami natężenia pola elektrycznego
i magnetycznego, ω stanowi pulsację pola elektromagnetycznego, a J jest zespolonym
wektorem gęstości prądu, który w ośrodku przewodzącym jest dany prawem Ohma w postaci:
114
P. Gas
J E
(3)
gdzie σ jest przewodnością elektryczną danego ośrodka. Co więcej, D i B są odpowiednio
zespolonymi wektorami indukcji elektrycznej i magnetycznej danymi w postaci zależności
D   E  0 r E
(4)
B   H  0r H
(5)
gdzie ε i μ stanowią odpowiednio przenikalność elektryczną i magnetyczną danego ośrodka,
a ε0 i μ0 przenikalność elektryczną i magnetyczną próżni.
Po uwzględnieniu zależności od (3) do (5) równania Maxwella przyjmują postać:

 
 H  j0   r  j
E
0 

(6)
 E   j0r H
(7)
gdzie εr i μr są odpowiednio względną przenikalnością elektryczną i magnetyczną danego
ośrodka.
Działając operatorem rotacji na obie strony równania (6) oraz po podstawieniu zależności
(7) do tak otrzymanego równania, można wyprowadzić następujące równanie wektorowe
opisujące rozkład pola magnetycznego w badanym obszarze:
1


 
2
   r  j
  H   r k0 H  0
0 


(8)
gdzie k0 jest liczbą falową dla próżni zdefiniowaną jako
k0   00
(9)
Ponieważ wektor natężenia pola magnetycznego w dziedzinie czasu jest powiązany
z amplitudą zespoloną Hˆ (r ) równaniem
H (r , t )  Re  H   Re  Hˆ (r )e jt 
(10)
więc równanie (8) można zapisać w postaci zawierającej amplitudy zespolone jako:
  r 1  Hˆ   r k02 Hˆ  0
(11)
gdzie εr jest zespoloną względną przenikalnością elektryczną danego ośrodka zdefiniowaną
jako
 r     r  j

.
0
(12)
Podobnie zespolony wektor natężenia pola elektrycznego posiada amplitudę zespoloną, którą
można wyznaczyć ze wzoru
Wpływ mocy wejściowej...
115
 Eˆ   j0 r Hˆ .
(13)
W przedstawionym modelu wykorzystano fale TM (ang. transverse magnetic), zatem nie
występują żadne zmiany pola w kierunku osi z. Natężenie pola magnetycznego H posiada
tylko składową  a natężenie pola elektrycznego E rozchodzi się w płaszczyźnie r-z. Wobec
czego można zapisać:
Hˆ  H 1
(14)
Eˆ  Er 1r  Ez 1z
(15)
gdzie 1r, 1z, 1 są wersorami w kierunku odpowiednich osi układu współrzędnych walcowych.
Uwzględniając powyższe związki, w omawianym modelu osiowo symetrycznym równanie
falowe ostatecznie przyjmuje następującą postać skalarną
1


 
2
   r  j
  H   r k0 H  0 .
0 


(16)
Pełne zdefiniowanie modelu wymaga określenia odpowiednich warunków brzegowych
dla pola elektromagnetycznego. Dla wszystkich metalowych powierzchni określono warunki
brzegowe jak dla idealnego przewodnika (PEC – ang. perfect electric conductor)
1  Eˆ  0 .
(17)
n
Co więcej, zewnętrzne brzegi obszaru obliczeniowego, które nie stanowią brzegu fizycznego
(z wyjątkiem osi symetrii anteny z, gdzie Er = 0) posiadają tak zwane warunki brzegowe
dopasowane (ang. matched boundary conditions), które czynią je zupełnie nieodbijającymi.
Przyjmują one następującą postać:
j

1  Eˆ   H  2  H 0
 n
(18)
gdzie Hϕ0 jest polem wejściowym anteny danym jako
H 0 
1
Z Pin
.
Z r  ln(r2 / r1 )
(19)
W powyższym równaniu Pin jest całkowitą mocą wejściową anteny, natomiast r1 i r2 są
odpowiednio wewnętrznym i zewnętrznym promieniem dielektryka. Ponadto, Z oznacza
impedancję falową dielektryka, zdefiniowaną równaniem
Z
gdzie Z0 jest impedancją falową próżni.
Z0
r

0
0 r
(20)
116
P. Gas
Punkt wejściowy anteny, znajdujący się na zewnętrznej granicy dielektryka, jest
modelowany przy użyciu warunku brzegowego dla portu z ustalonym poziomem mocy Pin.
W przedstawionej symulacji pole elektromagnetyczne jest sprzężone z polem
temperatury. Zjawisko przepływu ciepła w tkankach biologicznych opisał Pennes [12], który
w połowie XX wieku wyprowadził tzw. biologiczne równanie ciepła (ang. bioheat equation).
W przypadku stacjonarnym wyraża się ono następującym wzorem
  kT   bCbb (Tb  T )  Qext  Qmet
(21)
gdzie: T − temperatura tkanki K,
k − przewodność cieplna tkanki W/(m2 K),
Tb − temperatura krwi w naczyniach krwionośnych K,
ρb − gęstość krwi kg/m3,
ωb – prędkość przepływu krwi 1/s,
Cb – ciepło właściwe krwi J/(kg K).
Co więcej, opisany model uwzględnia zarówno ciepło generowane przez procesy
metaboliczne komórek Qmet W/m3, jak również ciepło wytworzone przez zewnętrzne źródła
ciepła, Qext W/m3. To ostatnie odpowiada za zmianę temperatury wewnątrz przewodzącego
ciała zgodnie z równaniem
2
1
1
Qext   Eˆ  Eˆ *   Eˆ .
2
2
(22)
Ponieważ obszar obliczeniowy jest ograniczony tylko do wycinka tkanki wątroby, zatem
można założyć, że wymiana ciepła między częściami tej samej tkanki nie występuje,
a warunek brzegowy opisujący ten proces jest następujący:
1n   kT   0
(23)
gdzie 1n jest wersorem normalnym prostopadłym do brzegu obszaru obliczeniowego.
3. WYNIKI SYMULACJI
W analizowanym przykładzie tkanka wątroby i antena są rozpatrywane jako ośrodki
jednorodne z uśrednionymi parametrami materiałowymi. Antena działa na częstotliwości
f = 2,45 GHz. Parametry elektryczne poszczególnych elementów anteny [11] i tkanki [13]
zestawiono w tab. 2, a parametry krwi użyte w modelu podano w tab. 3. Ponadto, założono
przewodność cieplną tkanki k = 0,56 W/(m2 K) oraz ciepło metabolizmu Qmet = 300 W/m3.
Wpływ mocy wejściowej...
117
Tabela 2
Parametry elektryczne użyte w symulacji
Elementy modelu
εr
μr
σ [S/m]
tkanka wątroby
43,3
1
1,69
dielektryk
2,02
1
0
plastikowa osłona
2,60
1
0
1
1
1
szczelina powietrzna
Tabela 3
Parametry krwi uwzględnione w równaniu Pennesa
ρb
Cb
Tb
ωb
Tkanka
[kg/m3]
[J/(kg K)]
[K]
[1/s]
krew
1020
3640
310,15
0,004
Równania (16) i (21) wraz z odpowiednimi warunkami brzegowymi zostały rozwiązane
przy użyciu metody elementów skończonych (MES). Wyniki symulacji zebrano na rys. 2 – 5.
x10-3
50
45
10.125
40
11.625
35
E [V/m]
389.226
192.2944
487.6918
45
4.875
7.875
12.375
40
339.9931
35
413.8424
44.5957
167.6779
290.7602
30
14.625
25
8.625
20
25
438.4589
266.1437
20
118.445
463.0753
13.125 6.375
15
15
216.9108
9.375
10
143.0615
7.125
oś z [m]
30
oś z [m]
x10-3
50
H [A/m]
4.125
364.6095
69.2121
10
5.625
5
19.9792
93.8286
5
44.5957
0.375
0.375
0
0
5
10
15
oś r [m]
20
25
30
x10-3
0
0
5
10
15
oś r [m]
20
25
30
x10-3
Rys. 2. Linie ekwipotencjalne modułu natężenia pola magnetycznego (po lewej) oraz modułu
natężenia pola elektrycznego (po prawej)
Fig. 2. Equipotential lines of the modulus of the magnetic field strength (left) and the modulus
of the electric field (right)
118
P. Gas
x10-3
50
x10-3
50
Qext [W/m^3]
T [oC]
212500
45
45
187500
40
40
337500
137500
35
46.6596
112500
287500
30
oś z [m]
30
oś z [m]
43.9135
35
437500
462500
25
237500
87500
487500
262500
20
42.9981
49.4057
25
51.2364
47.5749 42.0828
53.0671
48.4903
53.9825
41.1674
52.1518
20
62500
15
10
54.8978 45.7442
15
162500
412500
50.321
10
312500
337500
37500
362500
44.8289
5
5 12500
38.4213
39.3367
0
0
40.252
5
10
15
oś r [m]
20
25
30
0
x10-3
37.506
0
5
10
15
oś r [m]
20
25
30
x10-3
Rys. 3. Gęstość mocy dostarczana przez antenę mikrofalową (po lewej) oraz rozkład izoterm
wewnątrz obszaru obliczeniowego (po prawej)
Fig. 3. Power density delivered by the microwave antenna (left) and isothermal lines inside the
computational domain (right)
Na rysunkach 2 – 3 zestawiono wykresy konturowe, reprezentujące rozmieszczenie linii
ekwipotencjalnych w badanym obszarze, odpowiednio dla modułu natężenia pola
magnetycznego H, modułu natężenia pola elektrycznego E, gęstości mocy wytwarzanej przez
antenę Qext oraz temperatury T, dla mocy wejściowej anteny ustalonej na poziomie Pin = 3 W.
56
Temperatura T [degC]
54
52
Pin = 0.5 W
Pin = 1.0 W
50
Pin = 2.0 W
Pin = 3.0 W
48
46
44
42
40
38
36
0.005
0.01
0.015
oś r [m]
0.02
0.025
0.03
Rys. 4. Rozkłady temperatury dla różnych wartości mocy wejściowej anteny współosiowej wzdłuż
ścieżki z = 0,016 m
Fig. 4. Temperature distributions for different values of the coaxial-slot antenna’s input power along
the path z = 0.016 m
Wpływ mocy wejściowej...
119
Dla lepszej przejrzystości wykresy zostały wyskalowane do wartości wynoszących
odpowiednio Hcut = 15 A/m, Ecut = 500 V/m oraz Qextcut = 0,5 W/cm3. Kolejne ryciny
przedstawiają rozkłady temperatury dla różnych wartości Pin, wzdłuż dwóch ścieżek
przechodzących przez tkankę wątroby prostopadle do anteny na wysokości szczeliny
powietrznej z = 0,016 m (rys. 4) oraz wzdłuż osi anteny w odległości 2,5 mm od niej (rys. 5).
Zgodnie z przewidywaniami temperatura tkanki maleje wraz z odległością od osi anteny,
a największe jej wartości występują w bezpośrednim sąsiedztwie szczeliny powietrznej.
55
Pin = 0.5 W
Pin = 1.0 W
Temperatura T [degC]
50
Pin = 2.0 W
Pin = 3.0 W
45
40
35
0
0.01
0.02
0.03
0.04
oś z [m]
0.05
0.06
0.07
Rys. 5. Rozkłady temperatury dla różnych wartości mocy wejściowej anteny współosiowej wzdłuż
ścieżki r = 0,0025 m
Fig. 5. Temperature distributions for different values of the coaxial-slot antenna’s input power along
the path r = 0.0025 m
4. PODSUMOWANIE
Śródmiąższowa hipertermia mikrofalowa stanowi inwazyjną metodę leczenia raka,
w której ciepło dostarczane przez antenę mikrofalową jest wykorzystywane do niszczenia
patologicznych komórek, znajdujących się głęboko w ciele człowieka. Metody numeryczne są
często używane do obliczeń dozymetrycznych dla wielu ważnych zagadnień bioelektromagnetycznych. Analiza cieplna omawianego problemu przy użyciu MES pozwala na ocenę
temperatury w określonym obszarze. Mimo że przyjęty model 2-wymiarowy stanowi
uproszczenie rzeczywistości, to z powodzeniem może być wykorzystany do szacowania
rozkładu temperatury w przypadku 3-wymiarowym.
Przedstawione wykresy pokazują, że temperatura gwałtownie maleje wraz z odległością
od anteny mikrofalowej. Terapeutyczny obszar działania (∆r dla T > 40oC) może być
z łatwością modyfikowany przez zmianę mocy wejściowej anteny. Dla Pin < 0,5 W
temperatura w badanym obszarze nie przekracza 40oC, zatem efektu leczniczego nie
obserwuje się. Dla 0,5 W < Pin < 2 W temperatura jest optymalna dla hipertermii (0,5 cm < ∆r
< 1 cm), a zatem następuje śmierć patologicznych komórek. Z kolei, dla Pin > 2 W
120
P. Gas
temperatura jest charakterystyczna dla termoablacji (∆r < 1,25 cm), a zniszczeniu ulegają
zarówno chore, jak i zdrowe komórki.
Warto dodać, że śródmiąższowa hipertermia mikrofalowa osiągnęła pozytywne wyniki
kliniczne w połączeniu z radio- i chemioterapią. Metoda ta obecnie zyskuje nowe pola
zastosowań w leczeniu guzów wątroby, piersi, nerek, kości i płuc. Niemniej jednak konieczne
są dalsze badania, które uczynią, że hipertermia stanie się prostsza, bezpieczniejsza, bardziej
efektywna i powszechnie dostępną metodą leczenia raka.
BIBLIOGRAFIA
1. Habash R.W.Y., Bansal R., Krewski D., Alhafid H.T.: Thermal Therapy, Part 2:
Hyperthermia Techniques. „Critical Reviews in Biomedical Engineering” 2006, vol. 34
no.6, p. 491-542.
2. Hurter W., Reinbold F., Lorenz W.J.: A Dipole Antenna for Interstitial Microwave
Hyperthermia. „IEEE Transaction on Microwave Theory and Techniques” 1991, vol. 39,
no. 6, p. 1048-1054.
3. Baronzio G.F., Hager E.D.: Hyperthermia in Cancer Treatment: A Primer. Landes
Bioscience and Springer Science + Business Media, New York 2006.
4. Hiraoka M., Mitsumori M., Hiroi N., Ohno S., Tanaka Y., Kotsuka Y., Sugimachi K.:
Development of RF and Microwave Heating Equipment and Clinical Applications to
Cancer Treatment in Japan. „IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques”
2000, vol. 48, no. 11, p. 1789-1799.
5. McPhee S.J., Papadakis M.A., Rabow M.W.: Current Medical Diagnosis and Treatment
2012. McGraw-Hill 2011.
6. Lin J.C., Wang Y.J.: Interstitial Microwave Antennas for Thermal Therapy. „International
Journal of Hyperthermia” 1987, vol. 3, no. 1, p. 37-47.
7. Gas P.: Temperature inside Tumor as Time Function in RF Hyperthermia. „Electrical
Review” 2010 vol.86 no.12 p. 42-45.
8. Kurgan E., Gas P.: Estimation of Temperature Distribution inside Tissues in External RF
Hyperthermia. „Electrical Review” 2010, vol. 86, no. 1, p. 100-102.
9. Miaskowski A., Sawicki B., Krawczyk A., Yamada S.: The Application of Magnetic Fluid
Hyperthermia to Breast Cancer Treatment. „Electrical Review” 2010, vol. 86, no. 12,
p. 99-101.
10. Gas P.: Essential Facts on the History of Hyperthermia and their Connections with
Electromedicine. „Electrical Review” 2011, vol. 87, no. 12b, p. 37-40.
11. Saito K., Taniguchi T., Yoshimura H., Ito K.: Estimation of SAR Distribution of a TipSplit Array Applicator for Microwave Coagulation Therapy Using the Finite Element
Method. „IEICE Transaction on Electronics” 2001, vol. E84-C, no. 7, p. 948-954.
Wpływ mocy wejściowej...
121
12. Pennes H.H.: Analysis of Tissue and Arterial Blood Temperatures in the Resting Human
Forearm. „Journal of Applied Physiology” 1948, vol. 1, no. 2, p. 93-122.
13. Gabriel C., Gabriel S., Corthout E.: The Dielectric Properties of Biological Tissues: I.
Literature Survey. „Physics in Medicine and Biology” 1996, vol. 41, no. 11, p. 22312249.
Recenzent: Prof. dr hab. inż. Marian Pasko
Wpłynęło do Redakcji dnia 12 grudnia 2011 r.
_______________________________________
Mgr inż. Piotr GAS
AGH Akademia Górniczo-Hutnicza,
Katedra Elektrotechniki i Elektroenergetyki
Al. Mickiewicz 30, 30-059 KRAKÓW
tel. (012) 6173857; e-mail: [email protected]