19 z płaskim ekranem

Optyka Fourierowska – przykładowe pytania egzaminacyjne.
Egzamin w wersji pisemnej; piszemy „z głowy” bez żadnych dodatkowych pomocy.
1) Zdefiniować następujące funkcje jednowymiarowe oraz naszkicować ich wykresy: prostokątna
(rectus), trójkątna, sincus, grzebieniowa (combus).
2) Korzystając ze wzorów na parę transformat Fouriera wyprowadzić wzór na całkową postać
jednowymiarowej funkcji delta Diraca.
3) Własność podobieństwa dla transformaty Fouriera: wyprowadzić odpowiedni wzór oraz podać
jego interpretację w układzie optycznym.
4) Własność przesunięcia dla transformaty Fouriera: wyprowadzić odpowiedni wzór oraz podać
jego interpretację w układzie optycznym.
5) Sformułować i udowodnić twierdzenie Parsevala. Podać jego interpretację w układzie
optycznym.
6)
Udowodnić,
że
transformata
Fouriera
funkcji
rzeczywistej
spełnia
warunek:
G( f x , f y )  G  (  f x , f y ) . Podać jego interpretację w układzie optycznym.
7) Opisać koncepcję częstości lokalnych. Uzasadnić rozważania w oparciu o rachunek
matematyczny.
8) Korzystając z pojęcia częstości lokalnych wyprowadzić równania promieni świetlnych (raytracingu). Założyć 2 płaszczyzny równoległe w odległości z od siebie.
1
9) Opierając się na równaniach ray-tracingu (promieni świetlnych) przyosiowego opisać ognisko
elementu
oświetlenie
optycznego
falą
o
płaską,

transmitancji
ogniskową

k ax 2  by 2
k x , y   
; a  0, b  0 .
2f
f
oraz
aperturę
elementu
określoną
Założyć
funkcją
 x
 y
rect   rect   ; c  0, d  0 . Naszkicować geometrię ogniskowania.
c
d
10) Wyprowadzić wzór na transformatę Fouriera jednowymiarowej funkcji grzebieniowej (combus).
11) Sformułować i udowodnić twierdzenie o próbkowaniu.
12) Sformułować twierdzenie o próbkowaniu oraz podać jego interpretację w układzie optycznym
4f.
13) Opisać pojęcia: optyczny układ liniowy, odpowiedź impulsowa, układ izoplanarny, funkcja
przenoszenia.
14) Korzystając z całki dyfrakcyjnej Sommerfelda:
1
expikr     
U  P    U
cos n , r dS
i 
r


wyprowadzić wzór na całkę przyosiową Fresnela, a następnie na całkę Fraunhofera. Podać
założenia, z których się korzysta.
15) Wyprowadzić wzór na transmitancję soczewki cienkiej o ogniskowej f w przybliżeniu
przyosiowym.
2
16) Wyprowadzić wzór na rozdzielczość spektralną siatki dyfrakcyjnej
17)
Udowodnić
prawdziwość

wzoru
  






dla
.
dyfrakcji
Fresnela:

 ik 

d
exp
 1   x2  y2 
f
2 f 
  x , y  , gdzie U  x , y  jest
U  x, y  
i f
 f f 
płaszczyźnie ogniskowej soczewki a   oznacza transformatę Fouriera
amplitudą pola w
amplitudy pola w
odległości d przed soczewką.
18) Określić warunki brzegowe Kirchhoffa dla pola dyfrakcyjnego ugiętego na aperturze w ekranie
płaskim.
19)
Wyprowadzić
wzór
dyfrakcyjny
Kirchhoffa
1 expikr   U
   
U P  
 ikU cos n , r   dS .


4 
r


 n
na
aperturze
w
ekranie
płaskim:
Podać potrzebne założenia i powołać się na
potrzebne twierdzenia.
3
19) Korzystając ze wzoru dyfrakcyjnego Kirchhoffa:
1  U
G 
wyprowadzić
G

U

dS

4   n
n 
1
expikr     
U  P    U
cos n , r dS .
i 
r


U P  
20)
Zinterpretować
fizycznie
1
expikr     
U  P    U
cos n , r dS .
i 
r


całkę
dyfrakcyjną
całkę
dyfrakcyjną
Sommerfelda:
Sommerfelda:
21) Podać definicję koherentnej funkcji przenoszenia i optycznej funkcji przenoszenia oraz wyrazić
drugą poprzez pierwszą z uzasadnieniem matematycznym.
22) Wiedząc, ze koherentna funkcja przenoszenia ma postać



H f x , f y  P zf x , zf y
 obliczyć
optyczną funkcję przenoszenia dla soczewki ograniczonej dyfrakcyjnie z aperturą prostokątną o
bokach długości a i b.
23)
Sinusoidalna siatka dyfrakcyjna
o
transmitancji
natężeniowej
1 1  2x 
 cos

2 2  d 
jest
obrazowana z powiększeniem jednostkowym w świetle przestrzennie niekoherentnym. Określić
kontrast (widzialność) prążków obrazu, wiedząc że optyczna funkcja przenoszenia ma odpowiedni
przekrój o kształcie funkcji trójkątnej z częstością odcięcia
fo .
4
24) Co oznacza pojęcie soczewka ograniczona dyfrakcyjnie?
25) Co oznaczają pojęcia modulacyjna funkcja przenoszenia i fazowa funkcja przenoszenia?
26) Na czym polegają filtracje górnoprzepustowa i dolnoprzepustowa w układzie 4f? Jak je
przeprowadzić eksperymentalnie? Jakiego ich wpływu na wyjściowy obraz można się spodziewać?
27) Uzasadnić, ze blokowanie częstości zerowej w układzie 4f może prowadzić do odwrócenia
kontrastu obiektu binarnego amplitudowego.
28) Scharakteryzować metodę kontrastu fazowego Zernike. Rozważania uzasadnić opisem
matematycznym.
29) Scharakteryzować
matematycznym.
działanie
30) Scharakteryzować
matematycznym.
działanie
filtra
filtra
dopasowanego.
Rozważania
uzasadnić
opisem
inwersyjnego.
Rozważania
uzasadnić
opisem
31) Opisać ogólnie metodę kodowania frontów fazowych. Scharakteryzować metodę binarnoamplitudową z wyliczeniem jej wydajności dyfrakcyjnej.
31) Opisać ogólnie metodę kodowania frontów fazowych. Scharakteryzować metodę binarnofazową z wyliczeniem jej wydajności dyfrakcyjnej.
33) Co to jest kinoform? Jakiemu rodzajowi kodowania frontu fazowego odpowiada?
5
34) Wyznaczyć wydajność dyfrakcyjną w pierwszym rzędzie ugięcia dla jednowymiarowej siatki
Ronchiego o współczynniku otwarcia
p  0,1
(100p% okresu przestrzennego jest przeźroczyste,
pozostała część jest nieprzeźroczysta).
35)
Zakładamy


   2
„schodkowe”
n
n  1
, 2
,
L
L 
równomierne
kodowanie
fazy:
n

g    exp i 2 
L

dla
gdzie n=0, 1, 2,…,L-1. Pokazać rachunkiem, ze wydajność dyfrakcyjna
tego rodzaju kodowania wynosi 1
1
 sinc 2   .
 L
36) Opisać pojęcia: funkcja koherencji wzajemnej, zespolony stopień koherencji, zespolony
współczynnik koherencji. Podać związki między nimi.
37) Podać i udowodnić twierdzenie van Citterta - Zernikego.
38) Narysować schemat i opisać części składowe interferometru gwiezdnego Michelsona. Podać
zasadę działania tego urządzenia.
6
39) Rozwiązać następujący problem: obserwujemy okiem z odległości l monochromatyczną lampę
uliczną przez 2 malutkie otworki. Przy jakiej najmniejszej odległości między otworkami znikną
prążki interferencyjne jeżeli widziany żarnik jest równomiernie świecącym kołem o średnicy d oraz
lampa emituje światło o długości fali λ.
40) Zdefiniować funkcję samokoherencji i podać jej związek z charakterystyką spektralną źródła
światła.
41) Źródło światła charakteryzowane w interferometrze Michelsona ma widmo w postaci 2 bliskich,
cienkich linii spektralnych o długościach fali λ1 , λ2 . Zakładając, że linie mają jednakową
intensywność oraz szerokość Δλ, znaleźć drogę koherencji i drogę zdudnień.
7