Część teoretyczna.
Transkrypt
Część teoretyczna.
Wprowadzenie do logiki formalnej, cz. II Egzamin, cz¦±¢ teoretyczna 16 czerwca 2011 Które z poni»szych formuª s¡ twierdzeniami w logice intuicjonistycznej (p, q, r s¡ zmiennymi zdaniowymi)? Zapisz ich dowody normalne jako termy w postaci normalnej. Dla pozostaªych formuª uzasadnij, »e nie s¡ twierdzeniami intuicjonistycznymi korzystaj¡c z odpowiednich wªasno±ci rachunku lambda z typami prostymi. Zadanie 1 (4p). 1. ((p → q) → r) → q → r 2. ((p → q) → r) → (p → r) → r 3. ((¬¬p → p) → ¬p) → ¬p 4. (p ∨ q → r) → (p → r) ∧ (q → r) Zadanie 2 (4p). jej sygnatur¦. [Autor: Lewis Carroll] Zapisz nast¦puj¡ce zdania w j¦zyku logiki 1. rz¦du. Opisz 1. Wszystkie lwy s¡ dzikie. 2. Niektóre lwy nie pij¡ kawy. 3. Niektóre dzikie stworzenia nie pij¡ kawy. Nast¦pnie poka» formalne wyprowadzenie faktu nr 3 z faktów nr 1 i 2. Poni»ej zdeniowano indukcyjnie cztery typy danych. Scharakteryzuj (opisz) mo»liwie dokªadnie ka»dy z nich oraz podaj po jednym przykªadowym termie typu list(S(S(S(0)))), list2(S(S(S(0)))), tree(S(S(S(0)))) oraz tree2(S(S(S(0)))). Typ nat jest zdeniowany standardowo: indukcyjnie z u»yciem konstruktorów 0 i S; relacja ≤ i operacje max i + s¡ równie» standardowe, okre±lone na typie nat. Zadanie 3 (4p). Denicja typu list: nil : list(0) x : nat l : list(n) cons(x, l) : list(S n) Denicja typu list2: n : nat nil : list2(n) x : nat l : list2(n) x ≤ n cons(x, l) : list2(x) Denicja typu tree: leaf : tree(0) x : nat l1 : tree(k) l2 : tree(l) node(x, l1 , l2 ) : tree(k + l + 1) Denicja typu tree2: leaf : tree2(0) x : nat l1 : tree2(k) l2 : tree2(l) m = max(k, l) + 1 node(x, l1 , l2 ) : tree2(m)