Zadania przygotowawcze z informatyki Zadanie 1. Dana

Zadania przygotowawcze z informatyki
Zadanie 1. Dana jest warstwowa sieć neuronowa składajaca
˛ si˛e z trzech neuronów
(por. rysunek). Funkcja˛ aktywacji neuronu warstwy wyjściowej jest funkcja f, natomiast warstwy ukrytej funkcja g, przy czym f i g sa˛ różniczkowalne. Algorytm nauki
tej sieci dany jest wzorem iteracyjnym
w(k + 1) = w(k) − h · grad E(w(k)),
gdzie w = [w1 , w2 , w3 , w4 , w5 , w6 ] jest wektorem wag sieci, h ∈ (0, 1) jest ustalonym
2
PN
krokiem nauki, natomiast E(w) = 12 n=1 y (n) − z (n) jest funkcja˛ bł˛edu, przy
czym ciag
˛ uczacy,
˛ w którym z (n) jest poprawnym sygnałem wyjściowym dla sygnału
(n)
(n)
wejściowego x(n) = [x1 , x2 ], n ∈ {1, ..., N }, jest zadany. Znaleźć wzór nauki dla
trzeciej składowej wektora wag w3 (k + 1).
6y = f (s), s = u1 · w5 + u2 · w6
w5
u1 = g(r1 )
r1 = x1 · w1 + x2 · w2
w1
w6
@@
I
u2 = g(r2 )
@ r2 = x1 · w3 + x2 · w4
@
@
w2
w3
w4
>
}
Z
]
JJ
Z
Z
J
Z
J
Z Z
J
Z
J
Z
Jy
Zy
x1
x2
Zadanie 2. Załóżmy, że mamy nieograniczona˛ liczb˛e monet/banknotów w każdym z
nominałów n1 , n2 , . . . , nk (k > 1). Dla zachłannego algorytmu wydawania reszty,
znajdź (o ile to możliwe) przykłady nominałów i reszty, dla których:
(a) algorytm daje optymalne rozwiazanie,
˛
1
(b) algorytm daje poprawne, ale nie optymalne rozwiazanie,
˛
(c) algorytm nie daje poprawnego rozwiazania.
˛
Znajdź i udowodnij możliwie ogólny warunek wystarczajacy
˛ na wartości nominałów,
dla których algorytm zachłanny gwarantuje uzyskanie optymalnego rozwiazania.
˛
Zadanie 3. Dana jest sieć przepływowa o jednym źródle i jednym ujściu. Kraw˛edzia˛
krytyczna˛ w takiej sieci nazywamy taka˛ kraw˛edź, że zwi˛ekszenie jej przepustowości
zwi˛eksza maksymalny przepływ w całej sieci. Zdefiniuj algorytm znajdujacy
˛ wszystkie
kraw˛edzie krytyczne sieci przepływowej. Uzasadnij jego poprawność.
Zadanie 4. Niech A b˛edzie skończonym automatem deterministycznym, niech Q oznacza zbiór jego stanów. Dla dowolnego słowa w rozważmy funkcj˛e przejścia tego automatu δw : Q → Q. Powiemy, że słowo w odróżnia stany p i q, jeśli δw (p) jest
stanem akceptujacym
˛
wtedy i tylko wtedy, gdy δw (q) nie jest stanem akceptujacym.
˛
Podaj oszacowanie na długość najkrótszego słowa odróżniajacego
˛
par˛e stanów p i q (o
ile takie istnieje) w zależności od liczby stanów n = |Q|. Czy zawsze istnieje słowo
odróżniajace
˛ długości O(n) ?
Zadanie 5. Kwadrat N × N podzielono na N 2 jednakowych kwadratów. W każdym
Z tych kwadratów umieszczono liczb˛e całkowita˛ dodatnia,˛ np. tak jak poniżej:
2 45 4 67
3 12 3 77
6 45 2 12
12 14 8 7
45 5 9 4
4
6
9
12
45
Nast˛epnie wyróżniono pewne pola (na rys. sa˛ podkreślone). W˛edrowiec znajduje si˛e w
kwadracie (1, 1), tj. w lewym górnym rogu planszy, i ma dotrzeć do kwadratu (N, N ),
czyli prawego dolnego rogu planszy. W każdym kroku w˛edrowiec może przejść do
sasiedniego
˛
kwadratu, tzn. kwadratu majacego
˛
wspólny bok z kwadratem, w którym
znajduje si˛e obecnie. Wartość wpisana w kwadrat to czas, który w˛edrowiec musi sp˛edzić w tym kwadracie. Zakładamy, że przejście do sasiedniego
˛
kwadratu zajmuje 0
jednostek czasu. W˛edrowiec na swej drodze musi odwiedzić wszystkie wyróżnione
kwadraty.
Zaprojektuj jak najlepszy algorytm wyznaczajacy
˛ minimalny czas w˛edrówki w˛edrowca zgodnej z opisanymi powyżej założeniami od wejścia do kwadratu (1,1) [musi wtedy
sp˛edzić tam wskazana˛ liczb˛e jednostek czasu] do ostatecznego opuszczenia kwadratu
(N,N) - tam też musi odczekać zadana˛ liczb˛e jednostek czasu.
Zadanie 6. Rozważamy nast˛epujac
˛ a˛ wersj˛e problemu znajdowania najkrótszych dróg
z zadanego źródła do pozostałych wierzchołków w grafie. Dane sa:
˛
• graf skierowany G = (V, E) z funkcja˛ wagowa˛ c : E → R+ ;
2
• wierzchołek s ∈ V ;
• zbiór P = {P1 , . . . Pk } zawierajacy
˛ k wyróżnionych ścieżek mi˛edzy wierzchołkami w grafie.
Niech d = [e1 , . . . er ], gdzie ∀i=1,...r ei ∈ E, b˛edzie ścieżka˛ w grafie. Definiujemy
nast˛epujace
˛ poj˛ecia:
• mówimy, że ścieżka d zawiera ścieżk˛e d0 jeśli d0 = [ei , . . . , ej ] dla pewnych
1 ¬ i < j ¬ r.
Pr
• waga˛ ścieżki d, w(d), jest suma wag jej kraw˛edzi, tj. w(d) = i=1 c(ei ).
• kosztem ścieżki d jest suma jej wagi oraz wag wszystkich wyróznionych ścieżek
zawartych w d.
Twoim zadaniem jest:
• ułożenie algorytmu znajdujacego
˛
najtańsze drogi prowadzace
˛ z s do pozostałych
wierzchołków;
• jeśli to okaże si˛e za trudne - ułożenie algorytmu dla szczególnych przypadków
tego problemu, w których liczba wyróżnionych ścieżek jest mała (powiedzmy
k = 1, k = 2, . . .).
3