1. Model dynamiczny zwi¡zku Romea i Julii z opó¹nieniem. Problem

1. Model dynamiczny zwi¡zku Romea i Julii z opó¹nieniem.
Problem zwi¡zku i satysfakcji z niego czerpanej jest bardzo trudny do zoperacjonalizowania. Aby prze±ledzi¢
jego przebieg, mo»na wprowadzi¢ jednak arbitralnie zmienn¡, b¦d¡c¡ uogólnionym stanem zadowolenia z »ycia,
które oczywi±cie oscyluje w czasie. Taki stan mo»e mie¢ warto±¢ dodatni¡ lub ujemn¡, zale»nie od tego, czy dan¡
osob¦ mo»na scharakteryzowa¢ jako szcz¦±liw¡, lub nieszcz¦±liw¡. Partnerzy w zwi¡zku przejawiaj¡ te» ró»ne cechy
osobnicze, które tutaj uwzgl¦dnimy wprowadzaj¡c parametry.
Rozwa»my wi¦c zwi¡zek pomi¦dzy dwoma partnerami, Romeo (r) i Juli¡ (j), w którym ka»de z partnerów ma
tendencj¦ do przemy±lania wªasnych i partnera stanów emocjonalnych, z takim samym opó¹nieniem τ i ró»nymi
wspóªczynikami reaktywno±ci, odpowiednio a11 , a12 dla Romea i a21 , a22 dla Julii. Ponadto, ka»de z partnerów uczy
si¦ »ycia jako takiego w ci¡gu trwania zwi¡zku i ta nauka nieustannie i w staªy sposób wpªywa na ich samopoczucie,
co wyra»aj¡ odpowiednio a13 i a23 . Rozumiem przez to reakcj¦ na ougólniony wpªyw czynników zewn¦trznych,
zarówno pochodz¡cych ze zwi¡zku, jak i spoza niego, i zdolno±¢ do swego rodzaju nabywania dojrzaªo±ci »yciowej
w wyniku licznych procesów my±lowych i uczuciowych.
Otrzymujemy st¡d nast¦puj¡cy ukªad równa«:
½
ṙ(t) = a11 r(t − τ ) + a12 j(t − τ ) + a13
(1)
j̇(t) = a21 r(t − τ ) + a22 j(t − τ ) + a23
Zakªadamy jeszcze dodatkowo, »e macierz
µ
a11
a21
a12
a22
¶
(2)
ma niezerowy wyznacznik.
Pytanie brzmi: dla jakich warto±ci opó¹nie« τ oraz parametrów aij ten zwi¡zek stanie si¦ stabilny, co mozna
interpretowa¢ jako szcz¦±liwy", a dla jakich warto±ci stanie si¦ on nieko«cz¡cym si¦ pasmem doªków i uniesie«, co
mo»na uzna¢ za toksyczn¡ relacj¦.
Przede wszystkim, szukamy punktu stacjonarnego (r̄, j̄), takiego, »e dla tego punktu ṙ = j̇ = 0. St¡d dostajemy
½
r̄ =
j̄ =
a12 a23 −a13 a22
a11 a22 −a21 a12
a21 a13 −a23 a11
a11 a22 −a21 a12
(3)
Aby zlinearyzowa¢ ukª¡d, przesuwamy stan stacjonarny do pocz¡tku ukªadu wspóªrz¦dnych:
½
r̄ := r −
j̄ := j −
a12 a23 −a13 a22
a11 a22 −a21 a12
a21 a13 −a23 a11
a11 a22 −a21 a12
(4)
Oraz oczywi±cie
½
r̄˙ = ṙ
j̄˙ = j̇
(5)
r̄˙ = a11 r̄(t − τ ) + a12 j̄(t − τ )
j̄˙ = a21 r̄(t − τ ) + a22 j̄(t − τ )
(6)
Po wstawieniu (4) i (5) do (1) otrzymujemy
½
Szukamy rozwi¡za« postaci
½
r̄ = r0 eλt
j̄ = j0 eλt
(7)
r̄˙ = r0 λeλt
j̄˙ = j0 λeλt
(8)
St¡d dostajemy oczywi±cie
½
Po wstawieniu (8) do (6) otrzymujemy ukªad równa«:
½
a11 r0 e−λτ + a12 j0 e−λτ − r0 λ = 0
a21 r0 e−λτ + a22 j0 e−λτ − j0 λ = 0
1
(9)
Mo»emy napisa¢
µ
J=
a11 e−λτ − λ a12 e−λτ
a21 e−λτ
a12 e−λτ − λ
¶µ
r0
j0
¶
µ
=
0
0
¶
(10)
St¡d
|J| = w(λ) = λ2 − (a11 + a22 )e−λτ λ + (a11 a22 − a12 a21 )e−2λτ
(11)
Z kryterium Michajªowa, stan stacjonarny jest stabilny, jesli wszystkie rozwi¡zania pseudowielomianu w(λ) maj¡
cz¦±¢ rzeczywist¡ ujemn¡. Badamy przyrost argumentu w wzdªu» dodatniej póªosi urojonej. Podstawmy λ = iω :
w(iω) = −ω 2 − i(a11 + a22 )(cos(ωτ ) − i sin(ωτ )))ω + (a11 a22 − a12 a21 )(cos(2ωτ ) − i sin(2ωτ ))
(12)
dla ω ∈ [0, +∞). Zgodnie z powy»szym kryterium, aby stan stacjonarny byª stabilny, przyrost argumentu pseudowielomianu przy ω przebiegaj¡cym od 0 do ∞ musi wynosi¢ πn
2 , gdzie n - stopie« pseudowielomianu charakterystycznego. Tutaj n=3, zatem przyrost argumentu powinien wynosic π .
Warto±¢, jak¡ pseudowielomian przyjmuje w zerze, wynosi
w(0) = a11 a22 − a12 a21 ∈ <,
(13)
wobec czego w(0) le»y na osi rzeczywistej, a jego warto±¢ zgodnie z zaªo»eniami zadania nie jest równa 0.
1. Dla przypadku w(0) < 0, mamy arg(w(0)) = π .
Badamy zachowanie pseudowielomianu dla ω ∞. Czynnik rzeczywisty −ω 2 rozbiega si¦ do −∞ szybciej ni»
czynnik urojony proporcjonalny do ω , zatem arg(w(iω))|ω∞ = π . St¡d w tym przypadku ∆(w(iω)) = 0 + 2kπ ,
co nie speªnia kryterium Michajªowa. Stan stacjonarny nie jest stabilny.
2. Dla przypadku w(0) > 0, mamy arg(w(0)) = 0.
St¡d ∆(w(iω)) = π + 2kπ . Dla k = 0 mamy ∆(w(iω)) = π , czyli stan stacjonarny jest stabilny. Nale»y wi¦c
zbada¢, dla jakich opó¹nie« τ pseudowielomian nie okr¡»y 0. Zapiszmy w(iω) w postaci Re(w) + iIm(w):
½
Re(w(iω)) = −ω 2 + (a11 + a22 ) sin(ωτ )ω + (a11 a22 − a12 a21 ) cos(2ωτ )
(14)
Im(w(iω)) = −(a11 + a22 ) cos(ωτ )ω + (a11 a22 − a12 a21 ) sin(2ωτ )
Szukamy takich τ , dla których dla ka»dego ω zachodzi Im(w(iω)) > 0.
St¡d
−(a11 + a22 ) cos(ωτ )ω + (a11 a22 − a12 a21 ) sin(2ωτ ),
a po przeksztaªceniach
−1· (a12 a21 < a12 a21 cos(ωτ ) < 2(a12 a21 − a11 a22 )cos(ωτ )τ < 2(a12 a21 − a11 a22 )τ , sk¡d dostajemy warunek
τ<
a12 + a21
,
a11 a22 − a12 a21
(15)
a przy tym musi zachodzi¢ a12 + a21 > 0, aby szacowanie miaªo sens.
Wynik ten oznacza, »e dla τ poni»ej pewnej warto±ci granicznej τg punkt (r̄, j̄) b¦dzie stabilny, przy warto±ci
granicznej zaistnieje takie graniczne ωg , dla którego w(iωg ) = 0, a powy»ej tej warto±ci ukªad b¦dzie przechodzi¢
w cykl graniczny.
Zauwa»my, »e czynnik odnosz¡cy si¦ do ogólnego do±wiadczenia (a13 i a23 ) ma wpªyw jedynie na warto±¢ punktu
stacjonarnego, a na stabilno±¢ tego punktu wpªywu nie ma. Mozna tutaj poczyni¢ równie» uwag¦, »e je»eli Romeo i
Julia s¡ w podobnym wieku, to prawdopodobnie oba wspóªczynniki s¡ tego samego znaku, co mo»na wydedukowa¢
na przykªad z licznych bada« statystycznych, które mówi¡, »e zadowolenie z »ycia bardzo silnie zale»y od wieku, i
dla ogromnej wi¦kszo±ci populacji w Polsce przyjmuje minimum w wieku ok. 40-45 lat (Berbeka, 2005). Oznacza to,
»e w praktyce czynnik ten nie jest staª¡, a pewn¡ wolnozmienn¡ funkcj¡ czasu, jednak dla uproszczenia przyj¦li±my
tutaj staªo±¢ w czasie, poniewa» wi¦kszo±¢ zwi¡zków, zwªaszcza w mªodym wieku, trwa od kilku miesi¦cy do kilku
lat, co stanowi wzgl¦dnie niewielki procent dªugo±ci »ycia, i mo»emy mówi¢ o cykliczno±ci tego rodzaju sytuacji
dla danej osoby, podczas gdy krzywa opisuj¡ca poziom zadowolenia z »ycia jest tylko jedna w ci¡gu caªego »ycia
ludzkiego.
Zaªó»my wi¦c dla ustalenia uwagi, »e w chwili obecnej oboje partnerzy s¡ w wieku, w którym czynnik ten
przyjmuje warto±ci dodatnie. Powiedzmy, »e to Romeo jest osob¡, któr¡ dotychczasowe »ycie nastraja bardziej
pozytywnie ni» jego partnerk¦ (a13 > a23 > 0). Zauwa»my, »e nie oznacza to wcale, »e w efekcie b¦dzie on szcz¦±liwszy ni» Julia, to znaczy mo»e zdarzy¢ si¦, »e j̄ > r̄.
2
Rozpisuj¡c (3), dostajemy ukªad nierówno±ci
½
a21 + a22 − p(a11 + a12 ) > 0
,
a22 a11 − a12 a21 > 0
(16)
gdzie p = aa13
> 1, a druga nierówno±¢ musi by¢ speªniona z zaªo»enia. Ukªad ten ma wiele rozwi¡za«, np. speªniaj¡
23
go warto±ci a11 = 3, a12 = 2, a21 = 3, a22 = 10, p = 2. Spogl¡daj¡c na ten ukªad równa« mo»na te» powiedzie¢, »e
w obliczu ró»nych warto±ci pozostaªych parametrów wa»ne jest, aby wspóªczynnik a22 byª wystarczaj¡co wysoki, a
zostan¡ speªnione. Wynika z tego, »e nawet je±li Julia jest malkontentk¡ w »yciu i relatywnie powoli uczy si¦ by¢ w
nim szcz¦±liwa, bardzo entuzjastyczne podej±cie do uczucia Romea mo»e sprawi¢, »e mimo wszystko to ona b¦dzie
w tym zwi¡zku bardziej zadowolon¡ stron¡.
Skupmy sie teraz na cz¦sto spotykanych przypadkach z »ycia. Caªy czas b¦dziemy tutaj zakªada¢, »e partnerzy
nie cierpi¡ wªasnie na kryzys wieku ±redniego, to jest a13 > 0 oraz a23 > 0.
1. Zaªó»my, »e Julia jest osob¡ uczuciow¡ i reaguje pozytywnie zarówno na uczucia Romea (a21 > 0), jak
i odczuwa pozytywnie wpªyw swoich wªasnych uczu¢ do Romea na siebie (a22 > 0). Romeo natomiast jest co
prawda zadowolony, analizuj¡c swoje wª¡sne uczucia (a11 > 0), natomiast jest równie» osob¡ kapry±n¡ i w obilczu
entuzjazmu i troski ze strony Julii traci zainteresowanie i ch¦¢ bycia z ni¡ (a12 < 0).
Wówczas a11 a22 − a( 12)a( 21) > 0 wi¦c punkt stacjonarny jest stabilny. O dziwo, dostajemy wi¦c konkluzj¦, i»
zwi¡zek tego pokroju, czyli z osob¡ humorzast¡ tudzie» toksyczn¡, staje si¦ z czasem wbrew pozorom stabilny.
Jakkolwiek, w tej sytuacji stan stabilny dla kapry±nego Romea jest, z (3), zawsze dodatni, natomiast stan stabilny
Julii wcale dodatni by¢ nie musi, a jego znak i warto±¢ zale»¡ od konguracji pozostaªych parametrów. Na rysunkach
1-3 pokazano fukcj¦ wspóªrz¦dnych punktu stacjonarnego w zale»no±ci od poziomu kapry±no±ci Romea (r̄, j̄)(a12 )
dla kilku ró»nych warto±ci pozostaªych wspóªczynników.
2. W innym przypadku z »ycia, Julia wci¡» jest osob¡ emocjonaln¡, natomiast Romeo jest m¦»czyzn¡ »ywi¡cym
swego rodzaju poczucie winy - co prawda ciesz¡ go dowody uczica ze strony Julii (a( 12) > 0), natomiast w gruncie
rzeczy jest niezadowolony z faktu, »e tkwi w zwi¡zku, i reaguje negatywnie na wszelk¡ autoreeksj¦ na ten temat
(a( 11) < 0). Jak ªatwo zauwa»y¢, taki zwi¡zek z kolei nie ma racji bytu, i nigdy nie b¦dzie stabilny, poniewa» w
tym wypadku a( 11)a( 22) − a( 12)a( 21) < 0. Stanowi to kolejny interesuj¡cy wniosek, mówi¡cy o tym, »e zwi¡zek z
osob¡, która ma charakterek i zmienny nastrój, oraz zwykªa prowadzi¢ swego rodzaju gr¦, trzymaj¡c psychicznie
partnera na dystans, natomiast chce zwi¡zku i dobrze czuje si¦ z my±la, »e w nim tkwi, paradoksalnie ma wi¦ksze
szanse na osi¡gni¦cie równowagi ni» zwi¡zek z osob¡, która naprawd¦ docenia starania drugiej osoby, natomiast
gnije od ±rodka i z jakich± powodów dusi si¦ ze ±wiadomo±ci¡, »e tkwi w ukªadzie, w którym tkwi.
Mo»na te» poczyni¢ inne ciekawe spostrze»enia. Na przykªad, z warunku, »e musi zachodzi¢ a12 + a21 > 0
wynika, »e nawet je±li jeden z partnerów reaguje awersyjnie na manifestacje uczu¢ drugiego, aby taki zwi¡zek miaª
racj¦ bytu, druga osoba musi nadrabia¢ t¡ awersj¦ z nawi¡zk¡, to jest by¢ tym bardziej serdeczna i egzaltowana,
im bardziej pierwsza osoba jest chªodna. Przywodzi to na my±l typowe sytuacje, w których u boku do±¢ maªo
wylewnego, typowo m¦skiego m¦»czyzny, pojawia si¦ szczebiotliwa, haªa±liwa, emocjonalna dziewczyna, która
stara si¦ okazywa¢ uczucia i emocje, i wkªada¢ w zwi¡zek sporo wysiªku tym bardziej, im bardziej partner podejmuje
swoje unikowe, m¦skie¹achowania. Tego rodzaju wi¦¹ z boku mo»e si¦ wydawa¢ dziwaczna, okazuje si¦ jednak, »e
takie post¦powanie nie jest pozbawione sensu i prowadzi do pewnej stabilno±ci w zwi¡zku.
Kolejn¡ obserwacj¡ wart¡ wzmiankowania jest prosta analiza faktu, i» w przypadku gdy a11 a22 −a12 a12 < 0, nie
ma stabilno±ci. Ta nierówno±¢ oznacza w praktyce, »e wa»ne jest, jak si¦ ma podej±cie partnerów do wªasnych uczu¢
(a11 i a22 ) w stosunku do podej±cia do uczu¢ drugiej strony (a12 i a12 ). Na przykªad, gdy wszystkie wspóªczynniki
s¡ dodatnie, okazuje si¦, »e porzystne jest, gdy partnerzy wi¦cej uwagi po±wi¦caj¡ analizie wªasnych uczu¢ i wi¦cej
satysfakcji czerpi¡ z wªasnego stanu zakochania, ni» z tego, co im oka»e partner. Jest to kolejny m¡dry wniosek,
który prowadzi do konkluzji, »e szcz¦±liwsi w zwi¡zkach b¦d¡ ci, których cieszy sam fakt, »e s¡ zakochani, a
niekoniecznie potrzebuj¡ nieustannych dowodów miªo±ci ze strony partnera.
3
0
9
−0.2
8
−0.4
Wartosc punktu stabilnoœci dla Julii
Wartosc punktu stabilnoœci dla Romea
Rysunek 1: Wykres r̄(a12 ) i j̄(a12 ) dla a11 = 1, a21 = 10, a22 = 1, a13 = 1, a23 = 1
−0.6
−0.8
−1
−1.2
−1.4
−1.6
6
5
4
3
2
1
−1.8
−2
−10
7
−8
−6
−4
−2
Wartosc wspolczynnika reakcji Romea na uczucia Julii
0
−10
0
−8
−6
−4
−2
Wartosc wspolczynnika reakcji Romea na uczucia Julii
0
−0.6
1
−0.65
0.9
Wartosc punktu stabilnoœci dla Julii
Wartosc punktu stabilnoœci dla Romea
Rysunek 2: Wykres r̄(a12 ) i j̄(a12 ) dla a11 = 10, a21 = 20, a22 = 10, a13 = 10, a23 = 10
−0.7
−0.75
−0.8
−0.85
−0.9
0.7
0.6
0.5
0.4
−0.95
−1
−10
0.8
−8
−6
−4
−2
Wartosc wspolczynnika reakcji Romea na uczucia Julii
0
−10
−8
−6
−4
−2
Wartosc wspolczynnika reakcji Romea na uczucia Julii
0
−0.1
4
−0.2
3.5
Wartosc punktu stabilnoœci dla Julii
Wartosc punktu stabilnoœci dla Romea
Rysunek 3: Wykres r̄(a12 ) i j̄(a12 ) dla a11 = 2, a21 = 10, a22 = 2, a13 = 2, a23 = 1
−0.3
−0.4
−0.5
−0.6
−0.7
−0.8
−0.9
−10
3
2.5
2
1.5
1
0.5
−8
−6
−4
−2
Wartosc wspolczynnika reakcji Romea na uczucia Julii
0
−10
0
4
−8
−6
−4
−2
Wartosc wspolczynnika reakcji Romea na uczucia Julii
0