11. Złożone problemy kwantowomechaniczne: oscylator

11. Złożone problemy kwantowomechaniczne: oscylator harmoniczny i atom wodoru.
Ćw. 11.1. Udowodnij że nieunormowane funkcje własne oscylatora harmonicznego mają postać:
Ψn (ξ) = C exp
−ξ 2
Hn (ξ)
2
(1)
gdzie Hn są wielomianami Hermite’a.
Wskazówka: Skorzystaj z wyprowadzenia z książki R.Kosiński ”Wprowadzenie do mechaniki kwantowej i fizyki statystycznej”, rozdział 4.5: po wprowadzeniu zmiennych bezwymiarowych wyznacz rozwiązanie asymptotyczne, a następnie wykaż, że rozwiązanie
w postaci nieskończonego szeregu potęgowego jest rozbieżne. Z tego wynika że szereg musi być skończony (wielomian Hermite’a).
Odp.: Ćw. 11.2. Wyznacz średnią, odchylenie standardowe (rozmycie) i najbardziej prawdopodobną odległość elektronu od jądra w
stanie 1s atomu wodoru.
Wskazówka: Rozwiązanie dla części radialnej atomu wodoru to funkcja R(r). średnia wartość dowolnej funkcji we współrzędnych
radialnych w stanie kwantowym opisanym funkcją R(r) musi być scałkowana po objętości:
Z
∞
hf (r)i =
f (r) · |R(r)|2 4πr2 dr.
(2)
0
gdzie 4πr2 dr jest elementem objętości zaś |R(r)|2 -gęstości prawdopodobieństwa. Zwróć uwagę że 4πr2 pełni rolę funkcji gęstości
stanów, ponieważ wprawdzie ze wzrostem r maleje moduł funkcji falowej, za to rośnie obszar ze względu na symetrię sferyczną
(por np pole powierzchni nadmuchiwanego balonika). W związku z tym element całkowania jak najbardziej należy do całkowitej
gęstości prawdopodobieństwa.
Odchylenie standardowe położenia wylicza się ze wzoru: (∆r)2 = hr2 i − hri2 , zaś najbardziej prawdopodobna odległość od2
2
powiada wartości r = rmin dla
której zeruje się pochodna funkcji g(r) = |R(r)| 4πr . Funkcja falowa elektronu w stanie 1s to
r
1
Ψ100 = R1 (r) = A exp −
, za r1 to promień I orbity Bohra.
, gdzie A2 =
r1
πr13
3
Odp.: hri = r1 , rmax = r1 , ∆r = 0.85r1 .
2
Ćw. 11.3. Znaleźć natężenie pola elektrycznego i potencjał elektrostatyczny w funkcji odległości r od atomu wodoru pochodzące od elektronu w stacjonarnym stanie kwantowym Ψ100 .
Wskazówka: Gęstość ładunku wyrazić przez |Ψ|2 i skorzystać z prawa Gaussa. Ładunek elementarny oznaczony jest eel Skorzystać
z tego, że:
1.
Z
2 ax
ax
x e dx = e
x2
2x
2
− 2 + 3
a
a
a
(3)
2.


2r
− 2r
∂ 1 −r 
2
1
e 1
e r1
= − 2 +
∂r r
r
r1 r
(4)
Odp.:
1.
E(r) = −
2r −
1 eel
1
2
2
1
r
1
+
e
e
+
+
el
4π0 r2
4π0
r12
r1 r
r2
(5)
2.

Z
V (r) = −
1  eel
E(r)dr = −
+ eel
4π0
r

2r
1
1 −r 
−
e 1
r1
r
(6)
Ćw. 11.4. Udowodnij że rozmycie położenia i pędu dla elektronu w stanie 1s jest zgodne z zasadą nieoznaczoności Heisenberga.
Wskazówka: Korzystamy z wyników zadania 11.2, gdzie wyznaczone jest rozmycie położenia. W sposób analogiczny wyznaczamy
średnią wartość pędu oraz kwadratu pędu w stanie 1s. Operator pędu to gradient we współrzędnych sferycznych, jednakże przy
∂
braku zależności od kąta redukuje się on do składowej pr : pe = −ih̄∇ = −ih̄ . Analogicznie do 11.2 (∆p)2 = hp2 i − hpi2
∂r
Odp.: h̄ ∂
.
i ∂ϕ
Wskazówka: Po wyznaczeniu funkcji własnej należy nałożyć na nią warunek okresowości z okresem 2π. Oznacza to że funkcja
falowa po obrocie o wπ względem osi z nie zmienia się.
Odp.: F-cje własne: Φ(ϕ)n = Ceimϕ , wartości własne: mh̄, m ∈ Z .
bz =
Ćw. 11.5. Wyznacz wartości wasne i wektory własne dla operatora Lz rzutu momentu pędu na oś z, danego wzorem: L
12. Fizyka statystyczna.
Ćw. 12.1. Wyznacz przestrzeń fazową rzutu dwiema kostkami. Wyznacz entropię wszystkich makrostanów zdefiniowanych
przez operator (formalnie: funkcję zmiennej losowej) A(x) := s1 + s2 ( zwraca sumę wyrzuconych oczek). Wyznacz wartość
oczekiwaną tego operatora zakładając równomierny rozkład wyników rzutu kostką. Wyznacz entropię każdego makrostanu i
wskaż stan stacjonarny. Pokaż że entropia jest addytywna: entropia rzutu dwoma kostkami to suma entropii rzutu 1 kostką i
entropii rzutu drugą kostką.
Odp.:
Ćw. 12.2 Układ zdefiniowany w ćwiczeniu 12.1 został zrealizowany w funkcji czasu: co czas ∆t nast ępuje rzut dwiema
kostkami. Oszacuj fluktuacje wokół wartości średniej jakich doznaje przy kolejnych rzutach wartość operatora A z ćwiczenia
12.1. Wyznacz odchylenie średnie standardowe oraz względny błąd (odchylenie standardowe / wartość średnia) w procentach.
Ile wynosi błąd względny przy rzucie 1 kostką. Jak zmienił się błąd względny w wyniku dodania następnej kostki. Jak zmieni się
w wyniku dodania jeszcze jednej kostki. Dla chętnych: w jaki sposób błąd względny zależy od liczby kostek (wyliczyć numerycznie
lub analitycznie).
Odp.:
Ćw. 12.3. Wyznacz średnią energię U układu, złożonego z N czastek które mogą znajdować się w jednym z dwóch sta∂U
nów energetycznych: ±ε. Wyznacz ciepło właściwe jako
∂T
Odp.: E = −N εtgh
ε
.
kT
Ćw. 12.4. Wyznacz i narysuj entropię układu w funkcji energii. Przedyskutuj (=opisz i zinterpretuj) zachowanie temperatury
układu w funkcji energii. Jakiej temperaturze odpowiadają stany E = −M i E = +M a jakiej E = 0. Jakim temperaturom
odpowiadają stany inwersji obsadzeń: kiedy p(+) > p(−) Wskazówka: Energia jest równa M . Temperatura jest z definicji
∂S
odwrotnością pochodnej
.
∂E
<V >S
Odp.: p(t) = p0 1 − exp −
t
4V
Ćw. 12.5. Wyznacz magnetyzację paramagnetyka złożonego z N nieoddziałujących spinów, których momenty magnetyczne wynoszą µ w polu zewntrznym o indukcji B. Czy w tym układzie możliwe jest zrealizowanie inwersji obsadzeń przy pomocy zmian
pola B. Czy w tym modelu paramagnetyzmu widoczne jest przejście fazowe paramagnetyk-ferromagnetyk przy obniżaniu temperatury poniżej temperatury Curie (def → Wikipedia).
Wskazówka: Energia potencjalna spinu względem pola zewntrznego wynosi U = ±µB - jest to układ z dwoma stanami energetycznymi.
Odp.: