nr 1

Fraktale
Spis treści
Spis treści ...................................................................................... 1
Fraktale ........................................................................................... 2
Liczby............................................................................................... 4
Konkursy ........................................................................................ 5
Zadanie miesiąca ............................................................................ 5
Łamigłówki ..................................................................................... 7
Zadania długoterminowe ......................................................... 8
Fraktale są to figury, które ułatwiają wyjaśnienie podstawowych
pojęć matematycznych. Np.: Co to jest linia? Co to jest wymiar
figury?
Figury będące fraktalami konstruowali już Peano, Hilbert a także
Sierpiński.
Obecnie teorią fraktali zajmują się również fizycy i mechanicy.
Kształt faktali można odkryć w chmurach, łańcuchach górskich,
płatkach śniegu, drzewach, pianie mydlanej i dlatego wielu badaczy
twierdzi, że geometria zajmująca się tymi figurami jest geometrią
przyrody.
Najwybitniejszym znawcą i twórcą pojęcia fraktali jest matematyk i
informatyk amerykański Benoit Mandelbrot. Twierdzi, że fraktale są
figurami, w których część figury jest podobna do całości.
Za pomocą techniki komputerowej najłatwiej można tworzyć różne
fraktale.
Słowniczek dużych problemów........................................... 10
Kolejność wykonywania działań................................................... 10
Szacowanie ................................................................................... 10
Liczby ujemne ............................................................................... 10
Samouczek zadaniowy............................................................ 11
Analfabetyzm matematyczny.............................................. 12
Średnia arytmetyczna................................................................... 12
Jak się uczyć?............................................................................ 13
1
2
Proste przykłady fraktali można utworzyć wykonując kilka
rysunków.
Na każdym boku kwadratu(lub trójkąta równobocznego)budujemy
kwadrat (trójkąta równobocznego) o wymiarach dwa razy
mniejszych. Czynność tą wykonujemy do momentu do kiedy to jest
możliwe. figury rysowane na tym samym poziomie barwimy tym
samym kolorem.
Liczby
Co jest najmądrzejsze? Liczba.
Co jest najpiękniejsze? Harmonia.
Czym jest cały świat? Liczbą i harmonią.
Pitagoras
Szczęśliwe liczby
Liczba 23 jest szczęśliwa, ponieważ:
23
32
22
Fraktalami są również wyrażenia algebraiczne.
33...
3
3
3
33
4
3
3
13
2
3
1
1+
1+
6 + 6 + 6 + 6 + 6 + ...
=
1
1
1+
9
2
1
1+
+
1
1 + ...
1
+
9 = 10
12
1
02
+
0 =
Liczba początkowa jest liczbą szczęśliwą,
analogicznie otrzymujemy liczbę 1.
3
4
1
jeżeli
postępując
Konkursy
Rozwiązania zadań (wraz z obliczeniami) złóż do nauczycieli
uczących matematyki. Osoba rozwiązująca najwięcej zadań
otrzymuje specjalną nagrodę - niespodziankę i tytuł Mistrza
matematyki. Uczestnicy konkursu uzyskują nagrody w postaci
punktów dodatkowych z matematyki.
Rozwiązania zadań konkursowych będą pojawiać się systematycznie
w każdym następnym numerze czasopisma. W zadaniach, które nie
sprawiły Wam kłopotu, ograniczymy się do podania odpowiedzi, w
pozostałych podajemy rozwiązania lub szkice rozwiązań.
Styczeń
Rozwiąż równanie:
x3 – 8x2 = -16x .
Luty
Rozwiąż układ równań dowolną metodą
20 12
−
=1
y
x
10 8
+ =4
y x
Zadanie miesiąca
wrzesień
Z punktu P leżącego wewnątrz trójkąta równobocznego
poprowadzono odcinki prostopadłe do boków trójkąta. Wykaż, że
suma długości tych odcinków jest równa długości wysokości tego
trójkąta.
Marzec
Droga z A do B wiedzie przez wysoką górkę. Pewien rowerzysta
przejechał te trasę w ciągu 1h 54 min . Z powrotem jechał o 18 min
krócej. Oblicz, jaka długa jest ta droga, wiedząc, że w dół rowerzysta
jechał z prędkością 25km/h, a pod górę z prędkością 10 km/h.
październik
Wykaż, ze wyrażenie:
Kwiecień
Sporządź wykres funkcji y = |x - 2 | - 4
Podaj
a) miejsce zerowe funkcji
b) dla jakich argumentów funkcja rośnie, a dla jakich maleje ?
c) dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie, a dla
jakich ujemne ?
6 + 6 2 + 6 3 + ... + 6 98 + 6 99 + 6100
1+ 2 + 3
jest liczbą całkowitą.
Maj
listopad
Czy liczba
2 n + 2 n +1 + 2 n + 2 dla n∈ N, n ≥ 1 jest podzielna przez 14?
Ojciec i syn mają razem 66 lat. Ojciec ma 7 razy tyle lat, ile syn miał
wtedy, kiedy ojciec miał tyle lat, ile syn ma teraz. Ile lat ma ojciec , a
ile syn?
grudzień
Koło i kwadrat mają równe obwody. Oblicz stosunek pola koła do
pola kwadratu.
5
6
Łamigłówki1
Zadania długoterminowe
Klasyfikacja trudności zagadek
* niezbyt trudna
** trudna
*** bardzo trudna
* Skarpetki w mroku
Pewien człowiek ma w szufladzie 29 skarpetek: 9 jednakowych
niebieskich skarpetek, 8 jednakowych zielonych i 12 jednakowych
czarnych. Wskutek awarii bezpieczników gaśnie światło.
Ile skarpetek będzie musiał wyjąć, żeby na pewno mieć
przynajmniej po jednej parze każdego koloru ?
* Skróty I
Rozwiń podane skróty. Na przykład,
2 p. z W. = Dwaj panowie z Werony
Ale musisz być przygotowany na wszystko!
1 z. w., w. z. 1
c. 2g., t. n. 1
3 p. 3
4p. r.
5. k. u w.
G. k. 6, t. n. m. c. j.
Z. 7g., z. 7r.
8. c. ś.
N. w 5, n. w 9
5. p. 10.
12 a.
* Żaby
5 żab łapie 5 much w ciągu 5 minut.
Ile żab trzeba, żeby złapać 50 much w ciągu 50 minut?
1
Zadania długoterminowe to zadania,
które nie można rozwiązać w np. 10 minut,
nad którymi należy się zastanowić, zaplanować i przygotować
opracowania z różnych źródeł wykraczających poza program
nauczania,
które pozwalają zauważyć praktyczne zastosowanie
matematyki i wymagają korelacji wiedzy z innymi
przedmiotami,
które rozbudzają zainteresowanie matematyką.
Nauczyciel oceniający prace długoterminowe bierze pod uwagę:
wkład pracy ucznia w wykonanie pracy,
efekt końcowy zdania,
sposób prezentacji rozwiązania,
korzystanie z różnych źródeł informacji.
Propozycja zadań długoterminowych
Klasa I
1. Narodziny cyfry.
2. Cyfry różnych narodów i epok.
3. Liczby lustrzane.
4. Liczby doskonałe
5. Palindromy.
6. Kwadraty magiczne.
7. Najstarsze liczydła- liczydło sznurkowe, abak, soroban.
8. Liczby bliźniacze i zaprzyjażnione.
9. Liczby szczęśliwe.
Klasa II
1. Inne układy numeracji.
2. Liczba pi.
3. Pitagoras i jego uczniowie.
4. Mit o liczbie niewymiernej.
5. Twierdzenie Pitagorasa(różne dowody tego twierdzenia)
6. Złoty podział
7. O ułamkach w dawnych czasach.
8. Przygotuj prezentacje swojej klasy pod względem
statystycznym,
np.: średnia wieku, średni wzrost, kolor oczu, kolor włosów,
liczba dziewcząt, liczba chłopców, itd. Zaprezentuj te
K Russell, P Carter „Łamigłówki liczbowe”
7
8
Klasa
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
informacje przy pomocy różnych diagramów.
Wykorzystaj Excel.
III
Kalendarz wieczysty.
Filozof Tales z Miletu.
Stare polskie zadania z matematyki.
Wybierz kilka ciekawych zadań z książki: W Więsława pt.
„Stare polskie zadania z matematyki” i przedstaw ich
rozwiązania.
Bryły Platońskie.
Bryły Archimedesowe.
Zadania logiczne
Wybierz kilka ciekawych zadań z książki: L. Bogusza, P.
Zarzyckiego, J. Zielińskiego pt. „Łamigłówki logiczne” i
przedstaw ich rozwiązania.
Łamigłówki liczbowe.
Wybierz kilka ciekawych zadań z książki: K. Russella, P.
Cartera pt. „Łamigłówki liczbowe” i przedstaw ich
rozwiązania.
Łamigłówki rysunkowe.
Wybierz kilka ciekawych zadań z książki: K. Russella, P.
Cartera pt. „Łamigłówki rysunkowe” i przedstaw ich
rozwiązania.
Zadania długoterminowe mogą być publikowane na forum tego
czasopisma.
Słowniczek dużych problemów
Kolejność wykonywania działań
Większość uczniów zna zasadę, w jakiej kolejności wykonujemy
działania i potrafi ją stosować w krótkich przykładach. Jednak im
dłuższy przykład, tym więcej błędów popełnionych przez uczniów.
Uczniowie, którzy maja do nich skłonności, powinni po każdym „=”
podkreślić działanie, które należy wykonać w pierwszej kolejności.
Szacowanie
Na szacowanie wyników a więc szybkiemu przybliżonemu
rachunkowi w pamięci powinniśmy zwrócić szczególną uwagę.
Umiejętność pozwala uniknąć wiele błędów i jest bardzo potrzebna
w życiu codziennym. Szacować można wszystko – wynik działania,
kwotę do zapłacenia w sklepie, w kasie, odległość z domu do szkoły,
powierzchnię działki, domu....
Szacowanie:
1. pozwala uczniom oswoić się z liczbami, długościami ,
powierzchniami... Wyrabia poczucie odległości,
Ukonkretnia znaczenie dużych liczb,
2. sprawdza wynik,
wykrywa istotne błędy popełnione w działaniu pisemnym
– źle wstawiony przecinek, niewłaściwa liczba zer.
3. trenuje sprawność rachunkową
szacując 3,456*33,21 możemy policzyć 3*33; 3,5*30 lub
3,5*33
4. pokazuje różne sposoby rozwiązania tego samego
zadania,
Liczby ujemne
Rachunki na liczbach ujemnych sprawiają dużo kłopotu. Istnieje
problem pojęciowy i techniczny.
Uczniowie potrafią określić znak iloczynu, ilorazu ..., ale samo
znalezienie wyniku powoduje, że uczniowie zapominają później o
tym znaku. Najlepiej wprowadzić zwyczaj, że znak wyniku ustalamy
na początku obliczeń, a potem przystępujemy do rachunków.
9
10
Samouczek zadaniowy
Zadania pojawiające się na sprawdzianach.
Poniżej znajdziecie zadania z pełnymi rozwiązaniami. Spróbujcie je
najpierw rozwiązać samodzielnie, a potem przeanalizujcie
proponowane przez nas rozwiązania. Dzięki temu będziecie się dużo
pewniej poruszali się w obszarze matematyki.
ZADANIE
Suma czterech kolejnych liczb nieparzystych wynosi 64. Wyznacz te
liczby.
WARTO PAMIĘTAĆ:
Liczbę nieparzystą można zapisać w postaci ogólnej: 2n + 1,
gdzie n C
Cztery kolejne liczby nieparzyste to:
2n + 1 – pierwsza liczba nieparzysta
2n + 3 – druga liczba nieparzysta
2n + 5 – trzecia liczba nie parzysta
2n + 7 – czwarta liczba nie parzysta
(2n + 1) + (2n + 3) + (2n + 5) + (2n + 7) – suma tych liczb
64 – suma tych liczb
2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 =64 dodajemy wyrazy podobne
8n + 16 = 64
liczbę 16 przenosimy na prawą stronę
8n = 64 – 16
równania ze zmienionym znakiem
8n = 48
8n = 48 /: 8
obie strony równania dzielimy przez 8
n=6
czyli
2n + 1 = 2 * 6 + 1 =13
pierwsza liczba nieparzysta
2n + 3 = 12 + 3 = 15
kolejne liczby nieparzyste
2n + 5 = 12 + 5 = 17
2n + 7 = 12 + 7 = 19
Analfabetyzm matematyczny
Średnia arytmetyczna
Często
wyciąganie
średniej
arytmetycznej
w
życiu
codziennym okazuje się błędne. Warto w tym miejscu przypomnieć
żart o facecie z głową w gorącym piecu i nogami w zamrażalniku,
który stwierdził, że „średnio czuje się komfortowo”.
Inny – nieco bardziej matematyczny przykład: weźmy zestaw
sześciu klocków o krawędziach od 2 do 10 cm. Możemy więc przyjąć,
że przeciętny klocek ma krawędź równą 6 cm. Objętość klocków
waha się od 8 do 1 000 cm3, w związku z czym możemy zakładać, że
przeciętny klocek ma objętość 504 cm3 ([8 + 1000] : 2 = 504). Po
połączeniu tych dwóch założeń dochodzimy do jakże błędnego
wniosku, że przeciętny klocek w tym zestawie ma interesującą
własność, a mianowicie krawędź równą 6 cm i objętość 504 cm3!
Czasem jednak poleganie na średniej może mieć o wiele
poważniejsze konsekwencje niż zniekształcenie sześcianu. Pewien
lekarz stwierdził u swojego pacjenta groźną chorobę., z którą żyję się
przeciętnie 5 lat. Lecz – być może – dwie trzecie cierpiących na tą
chorobę umiera już po roku dolegliwości, co może oznaczać, że ta
„szczęśliwa” jedna trzecia żyje od 10 do 40 lat. Sama znajomość
średniego przeżycia bez wiedzy na temat tych czasów nie daje
podstaw do żadnych rozsądnych wniosków.
Przykład liczbowy: fakt, że średnia wartość pewnego
parametru wynosi 100 może oznaczać, że wartość tego parametru są
zawarte między 95 a 105, lub że połowa z tych wartości jest bliska
50, a połowa 150, albo też, że połowa wynosi około 1, a ta druga
połowa około 199. Wreszcie dochodzimy do wniosku, że wartości te
mają jakikolwiek inny rozkład o tej samej średniej.
Malwina Korczyńska
Sprawdzam, czy ich suma wynosi 64.
13 + 15 + 17 + 19 = 64
TAK
Odp.: Te liczby to 13, 15, 17 i 19.
11
12
Jak się uczyć?
Nie ma żadnej uniwersalnej definicji uczenia się. Chociaż pełno jest
ich w różnego rodzaju słownikach i encyklopediach, zapoznanie się z
nimi nie wpłynie w praktyce na naszą zdolność zdobywania wiedzy.
Pierwsze, co powinniśmy zrobić, stając przed problemem uczenia się
jest dokładna analiza naszych własnych możliwości i wypracowanie
własnych materiałów, które powinniśmy poznać, czas jakim
dysponujemy oraz nasz dzienny rytm.
Motywacja jest jednym z głównych czynników odgrywających rolę
podczas uczenia się.
Tworząc plan, czy taktykę uczenia się należy równie poważnie
traktować czas, który poświęcamy nauce, jak i czas przeznaczony na
odpoczynek, nie można dopuścić do nadmiernego przemęczenia
organizmu, nie uczyć się w momencie, kiedy nasza zdolność
przyswajania nowych informacji jest bliska zeru.
Na skuteczność uczenia się ma wpływ pora dnia, którą poświęcamy
na naukę. Dla każdego jest ona indywidualna, ponieważ jest
związana z naturalnym rytmem. Dla większości z nas największa
zdolność koncentracji ma miejsce w godzinach porannych i
przedpołudniowych, dla innych wieczorami.
Uczenie się nie jest równoważne jedynie z zapamiętywaniem
przerabianego materiału. Ważne jest przypominanie wiadomości
oraz ich przechowywanie Metod pomagających w odtwarzaniu
zapamiętanych informacji jest wiele, określa się je mianem strategii
uczenia się, czy też technik sprzyjających lepszemu przechowywaniu
informacji. Można regularnie wracać do fragmentów przerobionego
już materiału, można bez zaglądania do książki odtwarzać
zapamiętane wiadomości, można robić notatki. Wielu uczniów ma
swoje własne taktyki uczenia się.
Kasia
13