Warsztat pracy matematyka

Warsztat pracy matematyka
Autor : Dorota Blinkiewicz
Zatwierdził : Piotr Rzonsowski
Zadanie 1. A jest zbiorem wszystkich czworokątów, B jest zbiorem wszystkich kwadratów na
płaszczyźnie. Jakimi figurami geometrycznymi są elementy następujących zbiorów: A∪B, A∩B,
A \ B oraz B \ A?
Rozwiązanie:
Uwagi do nagrania: Można by rozrysować klasyfikację czworokątów (podział na wklęsłe, wypukłe itp.)
Ciąg dalszy: Zauważmy, że każdy kwadrat ma 4 wierzchołki, 4 boki równej długości, 4 kąty proste. Zatem wszystkie kwadraty należą do zbioru czworokątów — są ich podzbiorem, tzn.
B ⊂ A.
Zobrazujmy powyższą sytuację — rysunek 1
Policzymy najpierw sumę zbiorów A oraz B. Przypomnijmy definicję:
A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Zatem sumą zbiorów A i B jest zbiór składający się z elementów należących do zbioru A, czyli
z czworokątów oraz z elementów należących do zbioru B, tzn. kwadratów na płaszczyźnie. Jak
już powyżej zauważyliśmy zbiór kwadratów jest podzbiorem zbioru wszystkich czworokątów,
więc sumą zbiorów A oraz B jest zbiór A — zbiór wszystkich czworokątów:
A ∪ B = A.
Teraz policzymy przekrój tych zbiorów. Część wspólną A i B definiujemy w następujący sposób:
A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Iloczyn zbiorów A i B jest zbiorem składającym się z tych elementów, które zarówno są kwadratem na płaszczyźnie jak i czworokątem. Wiemy, że wszystkie kwadraty są czworokątami, ale nie
wszystkie czworokąty na płaszczyźnie są kwadratami, tylko te, które mają cztery kąty proste i
wszystkie boki równe. Zatem przekrojem zbiorów A oraz B jest zbiór wszystkich kwadratów na
płaszczyźnie — zbiór B:
A ∩ B = B.
Policzymy teraz różnicę zbiorów A \ B. Definicja różnicy zbiorów jest następująca:
A \ B = {x : x ∈ A ∧ x < B}.
Zatem do różnicy zbiorów A\B należą wszystkie elementy będące czworokątami, ale nie będące
jednocześnie kwadratami na płaszczyźnie. Czyli:
A \ B = {x : x jest czworokątem i x nie jest kwadratem na płaszczyźnie}.
Ostatnim problemem do rozwiązania jest różnica zbiorów B \ A. Zatem do różnicy zbiorów
B \ A należą elementy będące kwadratami, ale nie będące równocześnie czworokątami. Ale wiemy, że każdy kwadrat jest czworokątem, więc nie istnieje żaden element spełniający powyższe
własności, tzn.:
B \ A = ∅.
Osoby które przyczyniły się do powstania powyższych materiałów: Piotr Rzonsowski, Dorota Blinkiewicz, Izabela Bondecka-Krzykowska, Marcin Borkowski.
1
Rysunek 1. Zbiory A oraz B.
Osoby które przyczyniły się do powstania powyższych materiałów: Piotr Rzonsowski, Dorota Blinkiewicz, Izabela Bondecka-Krzykowska, Marcin Borkowski.
2