PRM. Praca w centralnym polu grawitacyjnym.

Praca w
centralnym polu
grawitacyjnym
dr inż. Romuald Kędzierski
Przypomnienie
Jeżeli na ciało działa stała co do wartości, kierunku i zwrotu siła
oraz rozpatrywane ciało przemieszcza się po torze prostoliniowym, to
wartość pracy wykonanej przez taką siłę podczas przemieszczenia się
ciała, wyraża zależność:
Uwaga:
Jeżeli w powyższym założeniu dopuścimy zmiany wartości siły, to
wartość pracy wykonanej przez tę siłę można obliczyć z zależności:
Sposób obliczenia średniej wartości siły w szczególnych przypadkach
1.
wartość siły jest proporcjonalna lub wprost proporcjonalna
do odległości od ciała będącego źródłem tej siły
- współczynniki o stałych wartościach
Wartość średnia siły jest równa średniej arytmetycznej wartości sił
działających na ciało w jego skrajnych położeniach
Przykład:
siła sprężystości
Sposób obliczenia średniej wartości siły w szczególnych przypadkach
2.
wartość siły jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu
wartości odległości od ciała będącego źródłem tej siły
Wartość średnia siły jest wtedy tzw. średnią geometryczną liczoną z wartości
sił działających na ciało w jego skrajnych położeniach
Uwaga:
Średnia geometryczna dla n liczb dodatnich
jest liczbą daną zależnością:
Zatem:
Przykład:
siła grawitacji
Praca wykonana podczas przeniesienia ciała z jednego miejsca
do innego w centralnym polu grawitacyjnym
Założenia wyjściowe:
 źródłem centralnego pola grawitacyjnego jest jednorodna kula (ciało
niebieskie) o masie M i promieniu R,
 ciało o masie m zostało przeniesione z punktu 1 do punktu 2, przy czym:
 w położeniach skrajnych energia kinetyczna przenoszonego ciała (liczona
względem ciała będącego źródłem pola grawitacyjnego) była taka sama:
 punkty 1 i 2 leżą na kierunku linii sił centralnego pola grawitacyjnego, oraz:
 podczas przenoszenia ciała siła grawitacji była równoważona przez siłę
zewnętrzną:
Problem:
Jak można obliczyć wartość pracy
wykonanej przez siłę zewnętrzną,
podczas przeniesienia ciała o
masie m z punktu 1 do punktu 2?
Gdzie:
Ponadto:
Stąd:
Ponieważ, przy braku sił oporów ruchu:
oraz:
Uwagi i wnioski:
1.
Jeżeli podczas przenoszenia ciała w polu grawitacyjnym nie uległa zmianie
wartość jego energii kinetycznej oraz nie było sił oporów ruchu (poza siłą
grawitacji), to:
wartość pracy siły zewnętrznej jest równa wartości
zmiany energii potencjalnej przenoszonego ciała.
2. Pomiędzy pracą wykonaną przez siłę zewnętrzną WZ , a pracą wykonaną
przez siły pola grawitacyjnego WP , zachodzi zależność: .
bo:
3.
Zależności:
są prawdziwe dla każdego ruchu, jakim przenoszone było ciało pomiędzy
punktami 1 i 2, o ile nie występowały siły oporów ruchu (poza siłą grawitacji)
i nie uległa zmianie wartość energii kinetycznej przenoszonego ciała, tzn.:
4. Wartość energii potencjalnej ciała o masie m, w odległości r od źródła
centralnego pola grawitacyjnego (jednorodnej kuli o masie M i promieniu R),
wyraża zależność:
5.
Ze wzoru:
wynika, że:
wartość wykonanej pracy nie zależy od
toru, po jakim było przenoszone ciało
pomiędzy punktami 1 i 2!
Pole sił, w którym wartość wykonanej pracy nie zależy od długości
drogi, po jakiej ciało zostało przeniesione z punktu 1 do punktu 2,
nazywa się polem zachowawczym.
Takimi polami są: pole grawitacyjne i elektrostatyczne!
Pole magnetyczne nie jest polem zachowawczym!
6.
Praca wykonana na torze zamkniętym ma wartość zerową!
Bo:
Zadanie 1.
Balon o masie 10 kg znajduje się na powierzchni ziemi. Oblicz zmianę wartości
jego energii potencjalnej, jeżeli po pewnym czasie znalazł się na wysokości 20 km
nad powierzchnią ziemi. Wykorzystaj najpierw zależność:
a następnie: