Problemy i zadania na egzamin ustny dla klasy 3B: Zasady

Problemy i zadania na egzamin ustny dla klasy 3B:
Zasady:
● Losujesz dwa z poniżej zamieszczonych zadań.
● Masz 5 minut na przygotowanie zarysu odpowiedzi.
● Na odpowiedź ustną masz 10 minut.
● Swoje rozwiązania prezentujesz na kartce lub na tablicy (do wyboru).
● W pozostałym czasie możesz nawiązać do zadań z części pisemnej i poprawić znalezione w
nich błędy.
Zadania:
1 . Podaj definicję wartości bezwzględnej liczby. Rozwiąż równanie 2|x + 6| - |x| + |x + 6| = 18
2. Podaj definicję wykresu funkcji oraz definicję wartości bezwzględnej liczby. Sporządź wykres
funkcji y = ||x +1| - 2|
3. Podaj definicję wykresu funkcji oraz definicję wartości bezwzględnej liczby. Sporządź wykres
funkcji y = 2 |x| - |x +1| - 2
4. Podaj definicję wartości bezwzględnej liczby. Rozwiąż nierówność |x – 3| + |x +1| ≤ 2
5. Dany jest układ równań:
2mx - (m+ 2) y = 3m

2(m – 1) x - my = 3(m - 1)
Wyznacz parametr m tak, aby ten układ był układem równań niezależnych. Znajdź rozwiązanie
układu dla m=1. Przedstaw ilustrację graficzną układu równań.
6. Dla jakich całkowitych wartości parametru p rozwiązania układu
px + 2( p – 1) y = 3p

x + py = p
jest parą liczb różnych znaków?
7. Dla jakich wartości parametru m rozwiązanie układu
(m + 1)x - my = 4

3x - 5y = m
x
≥1 ?
jest parą liczb (x,y) taką, że
y
8. Rozwiązaniem nierówności kwadratowej jest przedział (-2, 4), Wyznacz współczynniki b i c.
9. Dla jakich wartości parametru m równanie (m - 1)x2 - 2mx + m - 2 = 0 ma dwa różne, ujemne
pierwiastki rzeczywiste?
10. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki równania x2 + mx + 4 = 0 spełniają warunek
x 21 x 22=2 x 1 x 2 ?
11. Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej m liczbę rozwiązań równania:
x2 + mx + m = 0, m ∈ R. Naszkicuj wykres funkcji f.
12. Wyznacz postać ogólną funkcji kwadratowej takiej, że:
a) wykres jej przechodzi przez punkt (-1,-10)
b) dla x = 1 f(x) = 0
c) osiąga największą wartość dla x = 2,5.
13. Udowodnij, że
 2 jest liczbą niewymierną.
14. Podaj interpretację geometryczną rozwiązania układu dwóch równań liniowych z dwiema
niewiadomymi.
15. Omów znane Ci metody algebraiczne rozwiązywania układów dwóch równań pierwszego
stopnia z dwiema niewiadomymi.
16. Funkcja y= ax + b jest malejąca i jej miejscem zerowym jest liczba ujemna. Ustal znak
wyrażenia a + b.
17. Dana jest postać ogólna trójmianu kwadratowego. Wyprowadź wzór na postać kanoniczna
trójmianu kwadratowego.
18. Podaj definicje liczby wymiernej. Zamień ułamek okresowy 3,2(8) na ułamek zwykły.
19. Przedziały liczbowe.
20. Omów pojęcie zbioru, podzbioru oraz działania na zbiorach.
21. Przedstaw metodę wyznacznikową dla układu trzech równań liniowych z trzema
niewiadomymi.
22. Uzasadnij, że wyrażenie
 100n 4⋅10n4 dla n ∈ N jest liczbą podzielną przez 3.
23. a) Podaj definicję potęgi o wykładniku całkowitym (zilustruj przykładami). Podaj poznane
wzory działań na potęgach wraz z założeniami.
b) Oblicz, stosując działania na potęgach:
1 3 3
1 3 3
6  ⋅4 −9  ⋅3
2
3
3
3
13 −14
24. Przy jakich założeniach prawdziwa jest następująca nierówność: an > an+1, gdzie n Î N. Rozpatrz
wszystkie możliwości.
25. Kolumna demonstrantów porusza się po ulicy z prędkością 3km/h. Motocyklista jadący z
prędkością 15km/h potrzebował 2 minut na to, aby przejechać od początku do końca kolumny.
Oblicz długość kolumny demonstrantów.
26. Uzasadnij wzór a – b3=a 3 – 3a 2 b3ab2 – b3
.
27. Dany jest trójkąt równoboczny o boku a. Wyprowadź wzór na:
a) wysokość,
b) promień koła opisanego,
c) promień koła wpisanego,
d) pole.
28 Dla jakiej wartości t funkcja y = 4t – 2t(x +1) – 3x , gdzie x Î R jest
funkcją rosnącą.
29. Wykaż, że
11995 2 199531995
jest liczbą całkowitą.
123
30. Wykaż, że dla dowolnych liczb dodatnich a i b zachodzi nierówność:
1
1 1
 
2
2
 a b a b
31. Podaj definicję pierwiastka arytmetycznego. Omów poznane własności działań na
pierwiastkach wraz z założeniami.
32. Omów podzielność liczb naturalnych. Przypomnij cechy podzielności.
33. Zdefiniuj NWD i NWW. Podaj znane Ci własności.
34. Omów Algorytm Euklidesa.
35. Podaj definicję funkcji. Podaj przykłady. Omów znane Ci sposoby opisywania funkcji.
36. Przedstaw tw. Talesa – założenia, tezę i dowód.
37. Przedstaw tw. Pitagorasa – założenia, tezę i dowód.
38. Przedstaw tw. o dwusiecznej kąta dopisanego do trójkąta.
39. Przedstaw tw. o odcinku łączącym środki ramion w trapezie
40. Przedstaw tw. o środkowych w trójkącie
41. Przedstaw tw o stycznej do okręgu, tw, o kątach w okręgu, tw. o kącie dopisanym do okręgu.
42. Omów własności przekształceń na płaszczyźnie – nazwij je, podaj konstrukcje i przykłady.
43. Omów składanie izometrii na płaszczyźnie.
44. Proste i płaszczyzny w przestrzeni – zdefiniuj proste równoległe, prostopadłe i skośne,
płaszczyzny równoległe, prostopadłe i przecinające się. Zdefiniuj kąt dwuścienny.
45. Omów rzut równoległy na płaszczyznę, podaj przykład rzutu deformującego.
46. Zdefiniuj znane Ci proporcje trygonometryczne, omów zależności występujące między nimi.
47. Zdefiniuj jedynkę trygonometryczną, udowodnij ją. Sprawdź prawdziwość tożsamości
sin 
1
0
=
−ctg  dla ∈0, 90 
1cos  sin 
48. Omów wartości funkcji trygonometrycznych kątów 300, 600 i 900. Rozwiąż równanie
a(x – 1) = 2(a – x) – 1
jeżeli a = - tg 600 ∙ ctg 600 + (sin 600)2
49. Korzystając z wykresu sinusoidy rozwiąż równanie dla x ∈ (-90, 90):
2 2 sin =3
50. Wyznacz kąty trójkąta prostokątnego, wiedząc, że iloraz sinusa i tangensa jednego z kątów
ostrych tego trójkąta jest równy ½.