15. a) 1 2 3 n n + 1 x 1 2 n − 1 n x x 1 n − 2 n − 1

15. a) 1 2 3 n n + 1 x 1 2 n − 1 n x x 1 n − 2 n − 1

15. a)
1 2 3 ...
n
n + 1 x 1 2 ... n − 1
n x x 1 ... n − 2 n − 1 Wn+1 = =
... ... ... ...
...
... x x x ...
1
2 x x x ...
x
1 1 − x 2 3 ...
n
n+1
0
1
2
...
n
−
1
n
0
x
1
...
n
−
2
n
−
1
= ...
... ... ...
...
...
0
x
x
...
1
2
0
x x ...
x
1
1
1
1
= (1 − x)Wn + x · ...
1
1
wn+1 − wn
...
w2 − w1
=
(1 − x)Wn
+
(1 − x) + x
0+x
0+x
...
0+x
0+x
x
x
x
+ ...
x
x
2 3 ...
n
n + 1 1 2 ... n − 1
n x 1 ... n − 2 n − 1 ... ... ...
...
... x x ...
1
2 x x ...
x
1 2 3 ...
n
n + 1 1 2 ... n − 1
n x 1 ... n − 2 n − 1 ... ... ...
...
... x x ...
1
2 x x ...
x
1 2 3 ...
n
n + 1 1 2 ... n − 1
n x 1 ... n − 2 n − 1 ... ... ...
...
... x x ...
1
2 x x ...
x
1 x·
1
2
3 ...
n
n+1
0
−1 −1 ... −1
−1
0 x − 1 −1 ... −1
−1
...
...
... ...
...
...
0
0
0 ... −1
−1
0
0
0 ... x − 1 −1
Rozwijając ostatni wyznacznik względem pierwszej kolumny, a następnie wykonując w1 +w2 ,
w2 + w3 ,..., wn−1 + wn otrzymujemy:
x·
1
2
3 ...
n
n+1
0
−1 −1 ... −1
−1
0 x − 1 −1 ... −1
−1
...
...
... ...
...
...
0
0
0 ... −1
−1
0
0
0 ... x − 1 −1
−1
−1 ... −1
x − 1 −1 ...
−1
... ...
...
= x· ...
0
0 ... −1
0
0 ... x − 1
(n+1)×(n+1)
w1 + w2
w2 + w3
−x
0 ...
0
0
...
x − 1 −x ...
0
0
wn−1 + wn
... ...
...
...
=
x · ...
0
0
...
−x
0
0
0 ... x − 1 −1
=
−1
−1
...
−1
−1
n×n
(−x)n
n×n
b) Wskazówka: dowód indukcyjny. Zachodzi W1 = 1, przy czym w punkcie (a) uzyskujemy
W1 przyjmując n = 0 (wtedy wyznacznik jest wymiaru 1 × 1).
1