Wymagania do pierwszego kolokwium

Wymagania do pierwszego kolokwium
1. Działania na liczbach zespolonych w postaciach: algebraicznej, trygonometrycznej i wykładniczej
2. Zbiory na płaszczyżnie zespolonej.
3. Własności: sprze˛żenia, modułu, cześci
˛ rzeczywistej i urojonej - zadania dowodowe
4. Rzut stereograficzny i odległość sferyczna
5. Zbierzność ciagów
zespolonych
˛
6. Zbieżność szeregów liczbowych zespolonych
7. Funkcje zespolone zmiennej rzeczywistej
(a) wartości i obraz funkcji (krzywe na płaszczyżnie zespolonej
(b) pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
(c) całka funkcji zespolonej
Przykładowe zadania: z kolokwium z 2013 roku
1. Wykonać działania na liczbach zesplonych: 5
2 + 3i
+ (2 + i)2 − |3 − 4i| .
3−i
2. Podać moduły i argumenty główne liczb
√
a) z1 = 1 − i 3, z2 = − cos 73 π + i sin 73 π, b) z1 = −1 + i, z2 = 3e10i .
3. Wyznaczyć (o ile istnieje) granicȩ cia̧gu
√
n
ni − n2 + 2n + 1
2 + (3i)n
,
lim
.
lim
n→∞
n→∞
n
−2n + 3n
4. Wykazać tożsamość
a) |z1 z2 | = |z1 | |z2 | , dla z1 , z2 ∈ C,
5. Wyznacz a) obraz punktu A =
1
b)
z1
z2
1
∈ S w rzucie stereograficznym.
1
2, 2, 4
=
z1
z2
, dla z1 , z2 ∈ C.
b) przeciwobraz punktu z = (3 + 4i) ∈ C w rzucie stereograficznym.
6. Podać trzy pierwsze wyrazy szeregu, wyznaczyć jego promień i sumȩ,
∞
∞
a)
(−1)n 22n+1 z 2n .
b)
(−1)n+1 32n z 2n+1 .
n=0
n=0
7. Wyprowadzić wzór na
2
(a) obraz punktu (ξ, η, ζ) (leża̧cego na sferze ξ 2 + η2 + ζ − 12 = 14 ) w rzucie stereograficznym.
(b) przeciwobraz punktu z = x + iy (leżacego
na płaszczyźnie zespolonej C) w rzucie stereograficznym
˛
2
Im
z
|z|
1
Re
z
(ξ + iζ) , s−1 (z) =
,
,
.
Wsk. Rzut stereograficzny: s ((ξ, ζ, η)) =
1−η
|z|2 + 1 |z|2 + 1 |z|2 + 1
8. Naszkicować w układzie współrzednych
krzywa˛ opisana˛ równaniem:
˛
a) z (t) = 1 + 2ieit , t ∈ 0, π ,
b) z (t) = t2 + 1 + it, t ∈ (0, 3) .
9. Zapisać równanie paraboli a) y = x2 + 1 w postaci zespolonej z = z (t) , dla t ∈ I.
2
b) okregu
˛ (x − 1) + y 2 = 2 w postaci zespolonej z = z (t) , dla t ∈ I.
1
Inne zadania
1. Wykonać działania na liczbach zespolonych w postaci algebraicznej:
k=7
k
1 + 2i
5 (2 − i) + 5i (2 + i)
2 + 4i
a) (2 − 3i)2 +
, b) (2 + i) · (1 − i)3 −
+ 2i
i , c)
3+i
4
−
2i
2−i
k=2
2. Rozwia̧zać w dziedzinie zespolonej równania (stopnia 1-go)
2z
16 + 38i
a) z (2 − i) = i (2 − 3i) , b)
=
, c) (z + 2 + i)2 = (z − 3i) (z + 4 + i).
z+i
5 (1 + 3i)
3. Rozwia̧zać w dziedzinie zespolonej równania (stopnia 1-go)
2z̄
3 + 5i
a) z (2 − i) + (1 − i) z̄ + 3i (5 + 7i) = 0, b)
=
, c) |z|2 + 2z − 7 + 4i = 0.
z+i
2 + 2i
z+i
+ |z|2 dla z = 2i + 1.
4. Wyznaczyć wartość wyrażenie: Re z 2 + 2z − 1 + 2 Im
z̄ − 1
5. Rozwia̧zać układ rówań
2z + iw = 2 + i
(2 + i) z + (1 + i) w = 2 + i
z + iw̄ = 1 + i
a)
,
b)
,
c)
.
3iz − 2w = 3 + 2i
(1 − 3i) z − 2iw = −1 − i
iz̄ − 2w = −3i
6. Wykazać nastȩpuja̧ce zależności pomiȩdzy czȩścia̧ rzeczywsita̧, czȩścia̧ urojona i sprzȩżeniem liczby:
7. a) Re z =
1
2
(z + z̄) , b) Im z =
1
2i
(z − z̄) ,
c) Re z̄ = Re z,
d) Im z̄ = − Im z.
8. Wykazać nastȩpuja̧ce własności sprzȩżenia:
a) (z1 ± z2 ) = z̄1 ± z̄2 ; b) (z1 z2 ) = z̄1 z̄2 ,
c)
z1
z2
=
z̄1
,
z̄2
d) (z̄) = z.
9. Wykazać, że jeżeli z1 z2 , z1 + z2 ∈ R, to z1 , z2 ∈ R lub z1 = −z̄2 .
10. Wykazać nastȩpuja̧ce własności modułu liczby
z1 |z1 |
a) |z1 z2 | = |z1 | |z2 | , b) =
, c) |z|2 = zz̄,
z2
|z2 |
d) |z̄| = |z| .
11. Wykazać nastȩpuja̧ce własności argumentu liczby zespolonej
z1
= arg z1 − arg z2 , c) arg (z n ) = n arg z.
a) arg (z1 z2 ) = arg z1 + arg z2 , b) arg
z2
12. Wykazać, że dla dowolnych liczb zespolonych z1 , z2 prawdziwe sa̧ nierówności:
a) |z1 + z2 |2 = |z1 |2 + |z2 |2 + 2 Re (z1 z2 ) ,
2
2
2
b) |z1 − z2 | = |z1 | + |z2 | − 2 Re (z1 z2 ) .
13. Wykazać, że dla dowolnych
z1 , z2 prawdziwa jest równość równoległoboku:
liczb zespolonych
2
2
2
2
|z1 + z2 | + |z1 − z2 | = 2 |z1 | + |z2 | . Podać interpretacjȩ geometryczna̧ tej równości
14. Wykazać, że dla dowolnych liczb zespolonych z1 , z2 prawdziwe sa̧ nierówności:
a) |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | , b) |z1 − z2 | ≥ ||z1 | − |z2 || .
15. Dla dowolnych liczb zespolonych z1 , z2 podać interpretacjȩ geoemtryczna̧ równości (lub nierówności)
a) |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | , b) |z1 − z2 | ≥ ||z1 | − |z2 || , c) |z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2 |z1 |2 + |z2 |2 .
16. Wyznaczyć postać trygonometryczna̧ liczb zespolonych, podać argument i moduł liczb
√
√
a) 1 + i, b) 2 − 2i 3, c) −2 3 − 2i, d) cos π/8 − sin π/8.
17. Wyznaczyć argument i moduł liczb
√
√ 13
√ √
1−i 3
(1 + i)12
, c) 1/2 − i 3/2 , d) a) − 2 + i 6 (1 − i), b)
√ 17 .
1+i
1−i 3
18. Podać postać trygonomteryczna̧ i wykładnicza̧ pierwiastków stopnia n z liczby z
√
a) n = 3, z = −1, b) n = 4, z = 1, c) n = 2, z = −2 + 2i 3, d) n = 6, z = −64i.
√
√
√
√
19. Wyznaczyć metoda̧ trygonometryczna̧ pierwiastki: a) 4 −1, b) 3 1, c) 3 i, d) 8 1.
20. Wyznaczyć obraz danych punktów w rzucie stereograficznym
a) A = (0, 1/2, 1/2) ,
b) B = (−1/2, 0, 1/2),
c) C = (1/2, 0, 1/2) ,
21. Wyznaczyć przeciwobrazy danych punktów w rzucie stereograficznym
√ a) zA = −i, b) zB = 1 + i, c) zC = 12 1 + i 3 , d) zD = 1
2
d) D = (1/3, 1/3, 1/3)
22. Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiory: a) A = {z ∈ C : |z − 2i| = |z + 2|} ,
2 2 < Re 1−3i
b) A = z ∈ C : z + 1−3i
, c) A = {z ∈ C : |1 + 2i| < |z − 1| < |3 + 4i|} .
i−1
i−1
23. Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiory
√
a) A = z ∈ C : Re (2z) > Im iz 2 , b) A = z ∈ C : Im z 2 ≥ Re z 2 , c) A = z ∈ |z − 1| ≥ 2 |z| .
24. Zbadać zbieżność cia̧gów o wyrazie ogólnym
√
n
n2 + in
n
, d) zn = i + n1 , e) zn = n − i n2 + 1
a) zn = in , b) zn = (2i) , c) zn =
3
n
2 + 3in − 2n2
2in2 + 2n + i
2n+3 + (3i)n+2
i · 2n+3 + 3n−2
f) zn =
,
g)
z
=
=
, i) zn = n−3
.
,
h)
z
n
n
2
n−3
n−1
1 − 2in − (1 + i) n
n−3+i
2
−3
2
− i · 3n
√
n
2
n
n + 2in + 3
i n2 + n + 1 − n
2n
2i+3
√
j) zn = 1 + ni+1 , k) zn =
, m) zn =
, l) zn =
n2 − 2in + 3
n + 2i
n − i n2 + 1
25. Zbadać zbieżność szeregów
a)
h)
∞
n=1
∞
n
(1 − i) ,
b)
n
n,
n=1 (2i)
∞
1
,
(n
+
i)
(n
+ 1 + i)
n=1
i)
iπn
c)
∞
n=1
n2
∞
1
i
,
, e)
1+
n
n=1
n=1 n + i
∞
∞
j)
rn cos nt, k)
rn sin t.
∞ e 2
,
2
n=1 n
rn eint ,
d)
∞
n=1
f)
∞ in
∞ (−1)n
, g)
.
n
n=1 n
n=1 n + ie
n=1
26. Wyznaczyć równanie elipsy o o ogniskach w punktach z1 = i, z2 = −i i półosi a = 2.
√
27. Wyznaczyć równanie elipsy o ogniskach w punktach z1 = 1 + i, z2 = − (1 + i) i półosi a = 2 2.
28. Wyznaczyć krzywe na płaszczyźnie zespolonej opisane funkcja˛ z (t), dla t ∈ R:
a) z (t) = 3 + 4ti, b) z (t) = 1 + i + (1 − i) t, c) z (t) = 2t + it2 , d) z (t) = (2i + 1) t + t2 .
29. Niech z1 , z2 ∈ C, bȩda̧ ustalone, wyznaczyć krzywe na płaszczyźnie zespolonej opisane funkcja˛ z (t):
a) z (t) = z1 + tz2 , t ∈ [0, 1] b) z (t) = z1 + 2eit , t ∈ [0, 2π) c) z (t) = z1 + z2 eit , t ∈ [0, 2π] .
30. Wyznaczyć pochodna˛ funkcji z (t) w punkcie t0 , oraz wyznaczyć wektor styczny do krzywej w punkcie z (t0 )
a) z (t) = 2i + 1 + it2 , t0 = −1, b) z (t) = cos 2t + i sin 2t, t0 = π/6,
c) z (t) = 2 sin t + 3i cos t, t0 = π/2.
31. Wyznaczyć całki zespolone funkcji z (t)
π/2
π
2
a) −1 Re (1 + it)2 dt, b) 0 eit dt, c) π/2 (cos t + i sin t) dt.
32. Wyznaczyć dłgość krzywej
a) z (t) = 1 + it2 , t ∈ [0, 3] ,
b) z (t) = 2 + 3eit , t ∈ (0, π) ,
3
c) z (t) = 2 cos t + 3 sin t, t ∈ [0, π/2] .