rozwiązanie

XXI OLIMPIADA FIZYCZNA ETAP WSTĘPNY
Zadania teoretyczne
Nazwa zadania: „Nie-zakręcona
ZADANIE T3
nakrętka”
Na nieruchomej pionowej śrubie o skoku s znajduje się nakrętka o momencie
bezwładności I i o masie m . Przyjmujemy, że współczynniki tarcia nakrętki o śrubę
równa się zeru. Nakrętka zsuwa się w dół z prędkością początkową równą v0 .Jaką
prędkość pionowego ruchu postępowego nakrętki zależy od czasu? Jaki jest to ruch?
Przyspieszenie ziemskie wynosi g .
ROZWIĄZANIE ZADANIA T3
Z natury rzeczy dla nakrętki na śrubie istnieje ścisły związek ruchu
obrotowego z postępowym. Przy obrocie nakrętki o kąt 2π jej środek przesuwa się o
wielkość skoku śruby s . Dla obrotów o mniejszy kąt ∆ϕ przesunięcie ∆x jest
proporcjonalnie mniejsze.
∆x ∆ϕ
=
s
2π
Dzieląc tę równość przez odstęp czasu ∆t, w którym odbywał się ruch, dostajemy
1 ∆x 1 ∆ϕ
=
s ∆t 2π ∆t
Przechodząc do granicy ∆t → 0 ,otrzymujemy związek między pochodnymi
dx
=v
dt
dϕ
= ω (prędkość kątowa):
dt
1
1
v=
ω
s
2π
Ponieważ z założenia siły tarcia nie odgrywają roli w tym problemie, więc możemy
się posłużyć zasadą zachowania energii mechanicznej. Załóżmy, że zakrętka opadła
o x . Przyrównując do siebie początkową i końcową energię całkowitą układu mamy
1 2 1 2
1
1
mv0 + Iω 0 + mgx = mv2 + I ω 2 ,
2
2
2
2
2π
v0 jest początkową prędkością kątową. Korzystając ze związku między
gdzie ω 0 =
s
v i ω oraz v0 i ω 0 , możemy powyższe równanie przepisać w postaci
2g
v2 = v02 +
x
4π 2 I
1+
ms 2
Rozważmy teraz ciało spadające w fikcyjnym polu grawitacyjnym o przyspieszeniu
g ′ z wysokości x przy prędkości początkowej v0 .Zasada zachowania energii
przyjęłaby w tym wypadku postać:
(prędkość liniowa) i
v 2 = v02 + 2 g ′x.
g
t
Jeśli utożsamimy g ′ z wyrażeniem
4π 2 I , to widzimy, że dostajemy dwa
1+
ms 2
identyczne równania. Ale identyczne równania musza przy identycznym warunku
początkowym mieć identyczne rozwiązania. Spadek swobodny ciała jest tak znanym
przykładem, że nie musimy go tu rozwiązywać. Mamy oczywiście
1
v = v0 + g ′t .
x = v0 t + g ′t 2 ,
2
Oznacza to, że środek ciężkości nakrętki spada w dół ze stałym przyśpieszeniem
−1
 4π 2 I 
g ′ = g 1 +
 , a jego prędkość rośnie według wzoru
ms 2 

g
v = v0 +
t
4π 2 .
1+ 2
ms
Źródło:
Zadanie pochodzi z „Druk OF”
Komitet Okregowy Olimpiady Fizycznej w Szczecinie
www.of.szc.pl