PROCESY STOCHASTYCZNE 2-GO RZĘ

PROCESY STOCHASTYCZNE 2-GO RZĘDU. PODSTAWOWE CHARAKTERSTYKI
Definicja. Proces stochastyczny {X(t), t ∈ T } nazywamy procesem stochastycznym drugiego rzędu, jeśli
E(X(t))2 < +∞ ∀t ∈ T.
W przypadku takich procesów bardzo ważnymi charakterystykami są średnia i kowariancja (autokowariancja).
Definicja. Kowariancją procesu {X(t), t ∈ T } nazywamy funkcję K : T × T 7→ R postaci
K(s, t) = E[(X(s)−EX(s))(X(t)−EX(t))] =
E[(X(s)−m(s))(X(t)−m(t))] = E[X(s)X(t)]−m(s)m(t),
gdzie m(t) = EX(t) to średnia procesu.
Przykłady. 1. Ruch Browna jest procesem 2-go rzędu,
ponieważ, jak wiemy, E(W (t))2 = t < +∞ ∀t > 0.
Dla niego m(t) = 0, K(s, t) = min{s, t}.
2. Proces Poissona jest procesem 2-go rzędu, ponieważ,
jak wiemy, E(Y (t))2 = µ2t2 + µt < +∞ ∀t > 0. Dla
niego m(t) = µt, K(s, t) = µ min{s, t}.
Niektóre własności kowariancji.
1. K(t, t) = E[X(t) − m(t)]2 = Var X(t) > 0 ∀t ∈ T,
przy czym równość 0 jest możliwa tylko wtedy, gdy
X(t) = m(t) z prawdopodobieństwem 1.
1
2. K(s, t) = K(t, s) ∀(s, t) ∈ T × T .
3. [K(s, t)]2 6 K(s, s)K(t, t) ∀(s, t) ∈ T × T .
4. ∀n ∀t1, . . . , tn ∈ T ∀z1, . . . , zn ∈ R
n
∑
zk zj K(tk , tj ) > 0.
k,j=1
Własności druga (symetryczność) i czwarta (nieujemna
określoność) są podstawowymi; pozostałe dwie własności to ich konsekwencja.
Definicja. Proces stochastyczny 2-go rzędu {X(t), t ∈ T }
nazywamy stacjonarnym słabo (lub w szerokim sensie),
jeśli m(t)=const ∀t ∈ T oraz K(s, t) = K(s + h, t +h)
∀s, t, h, s + h, t + h ∈ T (czyli, jeśli 0 ∈ T, to funkcja
K(s, t) jest funkcją tylko t − s).
Definicja. Proces stochastyczny {X(t), t ∈ T } nazywamy stacjonarnym ściśle (lub w wąskim sensie),
jeśli dla dowolnych wartości t1, . . . , tn ∈ T oraz dowolnego h ∈ T takiego, że t1 + h, . . . , tn + h ∈ T,
rozkłady wektorów losowych (X(t1, ω), . . . , X(tn, ω))
i (X(t1 + h, ω), . . . , X(tn + h, ω)) (skończenie wymiarowe rozkłady procesu) są takie same.
Jeśli proces stochastyczny jest ściśle stacjonarny, to
jest on też słabo stacjonarny. Odwrotna implikacja nie
musi zachodzić.
2
Przykłady. 1. Ruch Browna, jak i proces Poissona,
nie są procesami słabo lub ściśle stacjonarnymi. Ale
np. proces stochastyczny {W (t + 1) − W (t), t > 0}
już takim jest (to samo jest z procesem Poissona).
2. Niech X1 i X2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie N (0, σ 2). Określmy
proces stochastyczny {X(t), t ∈ R} jako
X(t) = X1 cos(λt) + X2 sin(λt) dla pewnego λ ∈ R.
Wówczas m(t) = 0 ∀t ∈ R oraz K(s, t) = σ 2 cos(λ(t−s))
∀s, t ∈ R. Zatem jest to proces słabo stacjonarny i, jak
można pokazać, też ściśle stacjonarny.
3. Niech T będzie zbiorem liczb całkowitych, a {Xt},
t ∈ T, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym
samym rozkładzie N (0, 1). Określmy proces stochastyczny {X(t), t ∈ T } jako X(t) = Xt, t ∈ T. Taki
proces nazywa się procesem białego szumu. Jak łatwo
widać, m(t) = 0 ∀t ∈ T,
{
1, jeśli t − s = 0
K(s, t) =
0, jeśli t − s ̸= 0.
Zatem jest to proces słabo stacjonarny i, jak można
pokazać, też ściśle stacjonarny.
3