RÓWNANIA MAXWELLA

RÓWNANIA MAXWELLA
• Prąd przesunięcia
• Równania Maxwella
• Fale elektromagnetyczne
• Płaskie fale elektromagnetyczne
• Wektor Pointinga
• Warunki brzegowe dla równań Maxwella
PRĄD PRZESUNIĘCIA
Prawo Ampere’a jest niepełne, poniewaŜ pozostaje w sprzeczności z zasadą zachowania ładunku
Przykład 1
σ=D
r r
r r
∫ B ⋅ dl = µ0 ∫∫ j ⋅ dS = µ0 I ≠ 0
L
I
S1
r r
r r
µ
B
d
l
⋅
=
0 ∫∫ j ⋅ dS = 0
∫
L
sprzeczność
S2
dq d ( Aσ ) d
=
= ( AD )
dt
dt
dt
S2
r r
dΦ D
Wprowadzamy pojęcie prądu przesunięcia Φ D ≡ ∫∫ D ⋅ dS ⇒ I p ≡
dt
S
L
A
S1
I=
Strumień wektora indukcji magnetycznej
Przykład 2
Dla dowolnego wektora w
Z prawa Ampere’a
Gęstość prądu j spełnia
równanie ciągłości, gdzie
ρ - gęstość ładunku
r
r
div(rotw) = 0 ⇒ div(rotH ) = 0
r r
r
rotH = j ⇒ divj = 0
W ogólności więc div j nie
r ∂ρ
r
divj +
= 0 ⇒ divj ≠ 0 znika i znów pojawia się
∂t
sprzeczność
Równanie ciągłości
Z prawa Gaussa
r
r
r
r ∂
r
∂D 

ρ = divD ⇒ divj + (divD ) = div j +
=0
∂t 
∂t

r
r
r ∂D r r
r
∂D gęstość pradu
⇒ j+
= j + j p = const , j p ≡
∂t przesunięcia
∂t
Suma prądu przewodzenia i prądu przesunięcia pozostaje stała
Ponadto prawo Ampere’a i prawo Faradaya są niesymetryczne
r
r
∂B
rotE = −
∂t
r
r
rotB = µ 0 j
Pole elektryczne jest indukowane przez zmienne pole magnetyczne
Pole magnetyczne jest indukowane przez przepływ prądu elektrycznego, a
powinno być równieŜ indukowane przez zmienne pole elektryczne
Wniosek: w prawie Ampere’a naleŜy dokonać zamiany
r
r
r r
r ∂D
j → j + jp = j +
∂t
RÓWNANIA MAXWELLA
Równania Maxwella opisują całą elektrodynamikę klasyczną. Jest to
pierwsza w fizyce kompletna teoria pola i pierwsza unifikacja oddziaływań
(elektrycznych i magnetycznych)
r r
r
∫∫ D ⋅ dS = q ⇔ ∇ ⋅ D = ρ
Prawo Gaussa
S
r
r
r
r
∂B
∂Φ B
E
d
l
⇔
∇
×
E
=
−
⋅
=
−
∫L
∂t
∂t
r r
r
∫∫ B ⋅ dS = 0 ⇔ ∇ ⋅ B = 0
Prawo Faradaya
S
r
r r
r r ∂D
∂Φ D
∫L H ⋅ dl = I + ∂t ⇔ ∇ × H = j + ∂t
Równania materiałowe
r
r
r r
D = ε rε 0 E = ε 0 E + P
r
r
r r
B = µ r µ0 H = µ0 H + M
r
r
j = σE
Prawo Ampere’a uwzględniające
prąd przesunięcia
FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
Rozpatrujemy przestrzeń bez ładunków, prądów, materiałów magnetycznych, dielektryków itp.
Równania Maxwella
dla próŜni
r
r
2 r
r
r
∂H
∂E
∂ H
∇⋅E = 0
∇ × E = −µr µ0
⇒ ∇×
= −µ r µ0 2 
∂t r
∂t  ⇒
r ∂t
r
r
r 
1
∂E
∂E
∇⋅H = 0
∇ × H = ε rε 0
⇒
=
∇× H 

∂t
∂t ε r ε 0
2 r
r
∂ H
⇒ ∇ × (∇ × H ) = − µ r µ 0ε r ε 0 2
∂t
r
r
r
2 r
∇ × (∇ × H ) = ∇ ⋅ (∇ ⋅ H ) − (∇ ⋅ ∇ )H = −∇ H
123 123
=0
2 r
r
H
∂
2
⇒ −∇ H = − µ r µ 0ε r ε 0 2
∂t
r
Równanie
 2 r 1 ∂2H
falowe dla
− ∇ H + v 2 ∂t 2 = 0
fal
⇒
2 r
r
1
E
∂
elektroma − ∇2E +
=0
2
2

v ∂t

gnetycznych
=∇ 2
(oraz analogiczne równanie dla
wektora E)
v=
1
µ r µ 0ε r ε 0
Z równań Maxwella wynika równanie falowe dla fal elektromagnetycznych
PŁASKIE FALE ELEKTROMAGNETYCZNE
Rozpatrujemy płaskie fale elektromagnetyczne, rozchodzące się wzdłuŜ osi Ox
r r
r i (ωt −kx )
r
r
r
r
 ∂E ∂E ∂H ∂H
E = E ( x , t ) = E0 e
=
=
=
=0
r r
r i (ωt −kx )  ⇒
∂y ∂z
∂y
∂z
H = H ( x, t ) = H 0 e

r
r
∂E x
∂H x
= 0, divH = 0 ⇒
=0
divE = 0 ⇒
∂x
∂x

r r  ∂H z ∂H y  r  ∂H x ∂H z
 + e y 
−
∇ × H = ex 
−
∂z
∂x
∂z 
y
1∂4
{
4244
3
 =0
=0



r
 r  ∂H y ∂H x 
∂E


+
−
=
ε
ε
e
 x
r 0
∂
∂
∂t
x
y


{

=0 

∂E y
∂H y
∂E
∂H z
∂E x
= ε rε 0 z
⇒ 0 = ε rε 0
, −
= ε rε 0
,
∂x
∂t
∂t
∂x
∂t
r
∂H y
∂E y
r
∂H
∂H x
∂E z
∂H z
∇ × E = −µ r µ0
⇒ 0 = −µ r µ0
= −µ r µ
= −µr µ
, −
,
∂t
∂t
∂x
∂t
∂x
∂t
 ∂E x
 ∂E x

=
∧
=
0
0

 ⇒ E x = const = 0 Wniosek: płaskie fale
 ∂t
 ∂x

elektromagnetyczne są falami
⇒
 ∂H x = 0  ∧ ∂H x = 0  ⇒ H x = const = 0 poprzecznymi
 ∂t
 ∂x

E
Przyjmijmy Hy = 0. Wówczas
otrzymujemy rozwiązanie w
postaci
k=E x H
E y = E y ( x, t ) = E0, y ei (ωt −kx )
Jest to szczególne rozwiązanie układu równań falowych, opisujące falę płaską,
spolaryzowaną liniowo, rozprzestrzeniającą się wzdłuŜ osi Ox z prędkością
H
v=
1
ε 0ε r µ 0 µ r
,
w próŜni
v=c=
Po wstawieniu powyŜszych rozwiązań do równania
otrzymujemy
⇒
∂E z ∂E z
=
= const = 0
∂x
∂t
H z = H z ( x, t ) = H 0, z ei (ωt −kx )
Ey
Hz
=
k
ωε r ε 0
µr µ0
Z≡
ε rε 0
=
T 1
λ ε rε 0
=
1 1
=
v ε rε 0
1
ε 0 µ0
≈ 3 ⋅ 108 m s
∂E y
∂H z
−
= ε rε 0
∂x
∂t
ikH z = iωε r ε 0 E y
µr µ0
ε rε 0
Impedancja falowa ośrodka (zaleŜna tylko od właściwości
ośrodka)
WEKTOR POINTINGA
r
r
r r ∂D
r
r
∇× H = j +
⋅ − E
r
r
r
r
r
r
r r
∂B
∂D
∂rt
+ ⇒ H ⋅ (∇ × E ) + H ⋅
− E ⋅ (∇ × H ) + E ⋅
= −j ⋅E
r
r 
∂B
∂t
∂t
∇× E = −
⋅H 
∂t



r
r r
r
r r
r r r r
(
)
(
)
(
)
H ⋅ ∇× E − E ⋅ ∇× H = ∇⋅ E × H

(
E
∇
⋅
× H )+ j ⋅ E =
r
r
2
r ∂D r ∂E 1 ∂ r r
∂  ε r ε 0 E 
B2 
 ⇒
∂  ε rε 0 E 2
(E ⋅ D ) = 
= D⋅
=
E⋅

= − 
+
∂t
∂t 2 ∂t
∂t  2 
∂t  2
2µ r µ0 
r
r
2
r ∂B r ∂H 1 ∂ r r
∂  B 

(H ⋅ B ) = 
H⋅
= B⋅
=
∂t
∂t 2 ∂t
∂t  2 µ r µ 0 
Korzystamy z toŜsamości
Z prawa Ohma
r r
r
r
r r j2 r r
− j ⋅ Es
j = σ (E + E s ) ⋅ j ⇒ j ⋅ E =
Pole fali elektromagnetycznej
σ
Pole wynikające z istnienia zewnętrznych SEM
r r
∂  ε rε 0 E 2
j2 r r
B2 

∇ ⋅ (E × H ) +
= j ⋅ Es − 
+
σ
∂t  2
2µ r µ0 
∫∫∫ dV
V
r r
 ε rε 0 E 2
r r
j2
B2 
∂
dV
∇ ⋅ (E × H )dV + ∫∫∫ dV = ∫∫∫ j ⋅ Es dV − ∫∫∫ 
+
∫∫∫
∂t V  2
2µ r µ 0 
σ
V
V
V
Moc cieplna
wydzielana w
obszarze V
Moc
dostarczana
do obszaru
V przez
zewnętrzne
SEM
Szybkość ubywania energii
pola elektromagnetycznego z
obszaru V
Wektor Pointinga
r r r
S = E×H
Z twierdzenia Gaussa
r
r
r r
∫∫∫ ∇ ⋅ S dV = ∫∫∫ divS dV = ∫∫ S ⋅ dA
V
V
A
Strumień energii uchodzący z
obszaru V przez powierzchnię A,
ograniczającą obszar V.
Wektor Pointinga = strumień energii (ilość energii na jednostkę powierzchni w
jednostce czasu, [J/m2s]) fali elektromagnetycznej
Dla fali płaskiej
rr
Sk
POLE ELEKTROMAGNETYCZNE NA GRANICY DWÓCH OSRODKÓW
RozwaŜamy własności pola elektromagnetycznego na granicy dwóch osrodków nieprzewodzących.
Na powierzchni moŜe znajdować się ładunek o gęstości σ i płynąć prąd o gęstości liniowej k [A/m].
n2
n2
I
k
ε1 , µ1
ε 2 , µ2
σ
h→0
ε1 , µ1
ε 2 , µ2
S
k
L
n1
σ
I
n1
r r
∫∫ B ⋅ dS = 0
r r
∫∫ D ⋅ dS = q
r r
H
∫∫ ⋅ dl = I
r r r r
B1 ⋅ n1 + B2 ⋅ n2 = 0
r r r
n1 ⋅ (B1 − B2 ) = 0
r r r r
D1 ⋅ n1 + D2 ⋅ n2 = σ
r
r r
n1 ⋅ (D1 − D2 ) = σ
r
r
r r r
n1 × H1 + n2 × H 2 = k
r
r
r
r
n1 × (H1 − H 2 ) = k
S
S
h→0
S
r r
∫∫ E ⋅ dl = 0
S
r r r r
n1 × E1 + n2 × E2 = 0
r (r r )
n1 × E1 − E2 = 0
B1,n = B2,n
ciągłość
H1,t − H 2,t = k
skok
D1,n − D2,n = σ
skok
E1,t = E2,t
ciągłość
LINIE SIŁ POLA ELEKTRYCZNEGO I MAGNETYCZNEGO
α1
µ1
µ2
β1
H1,n ε
1
H1,t
α2
ε2
E1,n
E1,t
β2
B1n = B2 n ⇒ µ1 H1n = µ 2 H 2 n
D1n = D2 n ⇒ ε1 E1n = ε 2 E2 n
H1t = H 2t
E1t = E2t
tg α1 =
H1t
H
, tg α 2 = 2t
H1n
H 2n
tg α1 H1t H 2t µ1
=
=
tg α 2 H1n H 2 n µ 2
tg β1 =
E1t
E
, tg β 2 = 2t
E1n
E2 n
tg β1 E1t E2t ε1
=
=
tg β 2 E1n E2 n ε 2