Załącznik. - WordPress.com

Twierdzenie Masona i równania diofantyczne w pierścieniu
wielomianów
maxifk
12 kwietnia 2010
Streszczenie
Niniejszy artykul poświecony
jest twierdzeniu Masona-Stothersa, odpowiednikowi tzw. hi,
potezy abc w teorii liczb dla pierścienia k[x], gdzie k jest cialem algebraicznie domknietym
,
charekterystyki zerowej, oraz jego zastosowaniom, glównie w teorii wielomianowych równań diofantycznych. Rozpoczynamy od twierdzenia Masona i zgrabnego dowodu pochodzacego
od Sny,
dera. Jako pierwsze zastosowanie przedstawiamy dowód uogólnionego twierdzenia Davenporta
dajacego
dolne oszacowanie stopnia wielomianu f m − g n dla wzglednie
pierwszych wielomianów
,
,
f, g ∈ k[x]. W dalszym ciagu
rozpatrujemy
wielomianowe
równanie
diofantyczne: stosujemy
,
twierdzenie Masona do zbadania uogólnionej wersji równania Fermata, równania Catalana oraz
pewnego przypadku równania Pella w k[x]. Wynik dotyczacy
równania Fermata stosujemy na,
stepnie
uzyskuj
ac
dla
dowodu
nieparametryzowalności
dla
pewnej
klasy krzywych eliptycznych.
,
,
Wszedzie
poniżej k oznacza cialo algebraicznie domkniete
charakterystyki zerowej.
,
,
1
Twierdzenie Masona
1.1
Sformulowanie
Rozpocznijmy od pomocniczej definicji.
Definicja. Niech K bedzie
dowolnym cialem algebraicznie domknietym.
Niech f ∈ K[x] \ 0.
,
,
Definiujemy n0 (f ) jako liczbe, różnych pierwiastków f czyli liczbe, elementów zbioru {a ∈ K :
f (a) = 0}.
Glównym przedmiotem naszych rozważań bedzie
nastepuj
ace
twierdzenie:
,
,
,
Twierdzenie 1 (Twierdzenie Masona-Stothersa). Niech a, b, c ∈ k[x] bed
, a, parami wzglednie
,
pierwszymi wielomianami spelniajacymi
równość
a
+
b
=
c.
Za
lóżmy
dodatkowo,
że nie wszystkie
,
wielomiany a, b, c sa, stale. Wówczas zachodzi nierówność:
deg(c) ¬ n0 (abc) − 1.
Choć dla dalszych zastosowań wystarczy powyższe sformulowanie, to jednakowym nakladem
sil można udowodnić nastepuj
ace
twierdzenie (co też uczynimy):
,
,
Twierdzenie 2. Niech K bedzie
dowolnym cialem algebraicznie domknietym,
niech a, b, c ∈
,
,
K[x] bed
a
parami
wzgl
ednie
pierwszymi
wielomianami
spe
lniaj
acymi
równość
a
+
b
= c. Zalóżmy
, ,
,
,
dodatkowo, że nie wszystkie wielomiany a0 , b0 , c0 sa, zerowe. Wówczas zachodzi nierówność:
deg(c) ¬ n0 (abc) − 1.
Zauważmy w tym miejscu, że dla ciala k nie wszystkie wielomiany a0 , b0 , c0 sa, wielomianami
zerowymi dokladnie wtedy, gdy nie wszystkie wielomiany a, b, c sa, stale, zatem istotnie Twierdzenie 2 jest uogólnieniem Twierdzenia 1.
Uwaga. Zapisujac
, zalożenie a + b = c jako a + (−c) = −b teza twierdzenia Masona przyjmuje
postać deg(b) ¬ n0 (abc) − 1. Analogicznie deg(a) ¬ n0 (abc) − 1, zatem teze, twierdzenia Masona
możemy zapisać w postaci
max{deg(a), deg(b), deg(c)} ¬ n0 (abc) − 1
1
Zauważmy jeszcze, że szacowanie w powyższych twierdzeniach jest optymalne - na przyklad
dla wielomianów a = tn , b = 1, c = tn + 1 otrzymujemy równość.
1.2
Dowód Snydera
Ten dowód Twierdzenia 2 pochodzi z publikacji [15] z 2000 roku. Na uwage, zasluguje fakt,
iż jego autor wymyślil go bed
, ac
, uczniem szkoly średniej.
Dowód. Dowód oprzemy na nastepuj
acym
lemacie:
,
,
Lemat. Niech f ∈ K[x] \ 0. Wówczas zachodzi nierówność:
deg(f ) ¬ deg(gcd(f, f 0 )) + n0 (f )
Dowód lematu. Niech α1 , . . . , αm ∈ K bed
, a, wszystkimi, parami różnymi pierwiastkami wielomianu f. Mamy wówczas f = C(x − α1 )s1 . . . (x − αm )sm , dla pewnych C ∈ K oraz liczb
calkowitych dodatnich si , i = 1, . . . , m.
Ponieważ:

0
Y
Y
(x − αi )si 
f 0 = Csi (x − αi )si −1 (x − αi )si + (x − αi )si C
j6=i
j6=i
to (x − αi )si −1 | f 0 , i = 1, . . . , n zatem (x − α1 )s1 −1 . . . (x − αm )sm −1 | f 0 . Ponieważ jednocześnie
s1 −1
(x − α1 )s1 −1 . . . (x − αm )sm −1
. . . (x − αm )sm −1 | gcd(f, f 0 ).
P|mf, to (x − α1 )
Zatem deg(f ) − n0 (f ) = i=1 (s1 − 1) ¬ deg(gcd(f, f 0 )).
Wracajac
a0 + b0 = c0 .
, do dowodu twierdzenia zauważmy, że równość a + b = c pociaga
,
0
Mnożac
, pierwsza, z nich stronami przez a , druga, przez a i odejmujac
, stronami otrzymane równości otrzymujemy ab0 − a0 b = ca0 − c0 b. Zatem gcd(a, a0 ), gcd(b, b0 ), gcd(c, c0 ) dziela, ab0 − a0 b.
Ponieważ sa, one parami wzglednie
pierwsze (bo a, b, c byly parami wzglednie
pierwsze), to
,
,
gcd(a, a0 ) gcd(b, b0 ) gcd(c, c0 ) | ab0 − a0 b.
Odnotujmy teraz, że ab0 − a0 b 6= 0. Przypuśćmy bowiem, że ab0 − a0 b = 0. Wówczas a|a0 b
i ze wzglednej
pierwszości a, b wnosimy, że a|a0 , a to jest możliwe tylko gdy a0 = 0. Podobnie
,
0
dostajemy b = 0 i c0 = 0 co prowadzi do sprzeczności z zalożeniem, że nie wszystkie wielomiany
a0 , b0 , c0 sa, zerowe.
Ponieważ ab0 − a0 b 6= 0, to
deg(gcd(a, a0 ) gcd(b, b0 ) gcd(c, c0 )) ¬ deg(ab0 − a0 b) ¬ deg(ab0 )
a ponieważ:
deg(ab0 ) = deg(a) + deg(b0 ) ¬ deg(a) + deg(b) − 1.
to:
deg(gcd(a, a0 )) + deg(gcd(b, b0 )) + deg(gcd(c, c0 )) ¬ deg(a) + deg(b) − 1.
Przenoszac
, wszystkie wyrazy na prawa, strone, i dodajac
, stronami deg(c) otrzymujemy:
deg(c) ¬ deg(a) − deg(gcd(a, a0 )) + deg(b) − deg(gcd(b, b0 )) − deg(gcd(c, c0 )) + deg(c) − 1.
Stosujac
, lemat dostajemy:
deg(c) ¬ n0 (a) + n0 (b) + n0 (c) − 1 = n0 (abc) − 1,
bo a, b, c byly parami wglednie
pierwsze.
,
1.3
Inne dowody i uogólnienia
Po raz pierwszy twierdzenie zostalo udowodnione przez Stothersa w [16] w roku 1981, a
nastepnie
(niezależnie) przez Masona w [10] w roku 1984. Do dnia dzisiejszego twierdzenie do,
czekalo sie, kilku dowodów i uogólnień. Ponieważ dla naszych potrzeb wystarczy sformulowanie
twierdzenia udowodnione powyżej, ograniczymy sie, do podania kilku źródel. I tak poza [10],[16],
inny dowód niż przedstawiony powyżej można znaleźć w [7],[11] (w obu przypadkach jest to
dowód pochodzacy
z [10]) oraz w [5], [6], natomiast ogólniejsze sformulowania wraz z dowodami
,
można znaleźć w [2], [6], [14].
2
2
Twierdzenie Davenporta
[8].
Poniższe stwierdzenie dla k = C (pochodzace
z [3]) można znaleźć jako ćwiczenie w ksiażce
,
,
Twierdzenie 3 (Twierdzenie Davenporta). Niech f, g ∈ k[x] przy czym f 3 6= g 2 . Wówczas:
1
2
1
3
(i)
(ii)
deg(f ) ¬ deg(f 3 − g 2 ) − 1
deg(g) ¬ deg(f 3 − g 2 ) − 1
Udowodnimy ogólniejsze twierdzenie (proponowane jako ćwiczenie w ksiażce
[7])
,
Twierdzenie 4 (Uogólnione Twierdzenie Davenporta). Niech m, n ∈ N, f, g ∈ k[x] przy czym
m, n ­ 2, f m − g n 6= 0. Wówczas :
mn − m − n
deg f ¬ deg(f m − g n ) − 1.
n
Dowód. Oznaczmy s = min{m, n}. Niech d = gcd(f, g), A = dm−s , B = dn−s . Wtedy
gcd(f m , g n ) = ds oraz:
n
fm
m g
=
AF
,
= BGn , gcd(AF m , BGn ) = 1.
ds
ds
Oznaczmy H = AF m − BGn . Z twierdzenia Masona zastosowanego do równości AF m = H +
BGn mamy
deg(AF m ) ¬ n0 (AF m BGn H) − 1 ¬ n0 (A) + n0 (B) + deg(F ) + deg(G) + deg(H) − 1.
Stad
,
(m − 1) deg(F ) ¬ n0 (B) + deg(G) + deg(H) − 1
(n − 1) deg(G) ¬ n0 (A) + deg(F ) + deg(H) − 1
zatem
(m − 1) deg(F ) ¬
1
1
1
1
n0 (A) + n0 (B) +
deg(F ) + deg(H) +
deg(H) − 1 −
n−1
n−1
n−1
n−1
czyli upraszczajac
,
1
n−1
mn − m − n
deg(F ) ¬ n0 (A) +
n0 (B) + deg(H) − 1.
n
n
n
s
1
Ale s deg(d) + deg(A) + m deg(F ) = m deg(f ), czyli deg(F ) = deg(f ) − m
deg(d) − m
deg(A),
m
m
a ponadto deg H = deg(f − g ) − s deg(d), zatem:
mn − m − n
deg(f ) ¬
n
1
mn − m − n
s(m + n)
n−1
n0 (A) +
deg(A) −
deg(d) +
n0 (B) + deg(f m − g n ) − 1
n
mn
mn
n
Dla ukończenia dowodu wystarczy wykazać nierówność:
mn − m − n
s(m + n)
n−1
1
n0 (A) +
deg(A) −
deg(d) +
n0 (B) ¬ 0
n
mn
mn
n
Mamy deg(A) = (m − s) deg d, n0 (A) ¬ deg(d), n0 (B) ¬ deg(d) oraz n0 (A) = deg(A) = 0 w
przypadku gdy s = m, a w przeciwnym razie n0 (B) = deg(B) = 0. Stad
, lewa strona szacuje sie,
odpowiednio przez:
mn − m − m(m + n)
deg(d) ¬ 0
mn
w pierwszym przypadku, lub przez:
−n(m + n) + mn − m
deg(d) ¬ 0
mn
w drugim.
Uzyskane w twierdzeniu 3 szacowanie jest optymalne, gdyż jak latwo sprawdzić dla f =
x2 + 2, g = x3 + 3x zachodzi równość. Jednak już pytanie, czy istnieja, wielomiany dowolnie
dużych stopni dla których w twierdzeniu tym zachodzi równość, ma na dzień dzisiejszy status
problemu otwartego.
3
3
Wielomianowe równania diofantyczne
3.1
Uogólnione równanie Fermata
Nastepuj
ace
twierdzenie można znaleźć w [9].
,
,
Twierdzenie 5. Niech α, β, γ ∈ {1, 2, . . .}. Jeśli α1 + β1 + γ1 ¬ 1, to równanie f α + g β = hγ nie
ma rozwiazań
w wielomianach wzglednie
pierwszych z k[x] różnych od stalych.
,
,
Dowód. Przypuśćmy, że powyższe równanie ma rozwiazanie
(f, g, h) takie, że przynajmniej jeden
,
z wielomianów f, g, h nie jest staly oraz f, g, h sa, parami wzglednie
pierwsze. Z twierdzenia
,
Masona
α deg(f ) ¬ n0 (f gh) − 1 < deg(f gh),
deg(f )
deg(g)
1
czyli deg(f
gh) < α . Podobnie deg(f gh) <
otrzymujemy 1 < 1 -sprzeczność.
Uwaga. Można wykazać, że jeśli
w k[x].
1
α
+
1
β
+
deg(h)
1
β , deg(f gh)
1
γ
<
1
γ.
Dodajac
, te nierówności stronami
> 1, to równanie z twierdzenia 5 ma rozwiazania
,
Alternatywne dowody dla k = C (nie korzystajace
, z twierdzenia Masona) szczególnego przypadku α = β = γ znajduja, sie, m. in. w [13].
3.2
Równanie Catalana dla funkcji wymiernych
Poniższe twierdzenie pochodzace
z publikacji [12] w wersji dla f, g ∈ C[x] jest proponowane
,
jako ćwiczenie w ksiażce
[11].
Przedstawiony
poniżej dowód pochodzi z [1].
,
Twierdzenie 6. Niech m, n ∈ {3, 4, . . .}. Równanie f m − g n = 1 nie ma niestalych rozwiazań
,
f, g ∈ k(x).
Zauważmy, że dla f, g ∈ k[x]. jest to natychmiastowa konsekwencja Twierdzenia 4.
Dowód. Zalóżmy, że (f, g) jest rozwiazaniem
powyższego równania, takim, że przynajmniej jed,
na z funkcji f, g nie jest stala. Zapiszmy f = Uu , g = Vv , gdzie u, U, v, V ∈ k[x], wielomiany U, V
sa, unitarne oraz gcd(u, U ) = gcd(v, V ) = 1. Nasza równość przyjmuje wtedy postać:
um V n − v n U m = U m V n .
(1)
Ponieważ gcd(u, U ) = 1 = gcd(v, V ), to dla a ∈ k równość U (a) = 0 zachodzi dokladnie wtedy,
gdy V (a) = 0. Zatem istnieja, a1 , . . . , an ∈ k oraz liczby calkowite dodatnie αi , βi , i = 1, . . . , n
takie, że:
n
n
Y
Y
U=
(x − ai )αi , V =
(x − ai )βi .
i=1
i=1
Krotność pierwiastka ai prawej strony równości 1 wynosi mαi + nβi , a krotność ai jako pierwiastka skladników po lewej wynosi odpowiednio mαi , nβi . Gdyby mαi 6= nβi , to krotność ai
jako pierwiastka lewej strony bylaby mniejsza niż krotność jako pierwiastka prawej strony. Zatem
m
n
mαi = nβi . Stad
, U = V , czyli równanie 1 zapisać możemy jako:
um − v n = U m
i ponieważ nie wszystkie wystepuj
ace
tu wielomiany sa, stale (a sa, wzglednie
pierwsze) oraz
,
,
,
1
2
+
¬
1,
to
otrzymujemy
sprzeczność
z
twierdzniem
5.
m
n
Zauważmy jeszcze, że dla n = m = 2 powyższe równanie ma rozwiazanie,
np
,
f = (x2 − 1)−1 (x2 + 1), g = 2x(x2 − 1)−1 .
4
3.3
Równanie Pella
Poniższe twierdzenie dotyczace
, szczególnego przypadku równania Pella dla wielomianów jest
uogólnieniem przypadku k = C twierdzenia pochodzacego
z publikacji [4].
,
Twierdzenie 7. Niech D ∈ k[x] \ k spelnia n0 (D) ¬
niami równania P 2 − DQ2 = 1 w k[x] sa, pary (±1, 0).
1
2
deg(D). Wówczas jedynymi rozwiaza,
Dowód. Niech (P, Q) bedzie
rozwiazaniem
powyższego równania. Jeśli Q 6= 0, to P 6= 0 oraz
,
,
deg(D) = 2 deg(P ) − 2 deg(Q) Z twierdzenia Masona:
1
deg(D)+2 deg(Q) = deg(DQ2 ) ¬ n0 (P 2 DQ2 )−1 = n0 (P DQ)−1 < deg(P )+ deg(D)+deg(Q).
2
zatem deg(D) < 2 deg(P ) − 2 deg(Q) = deg(D) - sprzeczność. Zatem Q = 0 a stad
, P = ±1.
Bardziej szczególowe opracowanie problemu równania Pella dla wielomianów zespolonych
znaleźć można w [4]. Odnotujmy jedynie, że na dzień dzisiejszy problem dla jakich wielomianów
D ∈ C[x] równanie to ma nietrywialne (różne od ±(1, 0)) rozwiazanie
w C[x] jest problemem
,
otwartym.
4
Parametryzowalność krzywych eliptycznych
Zacznijmy od definicji krzywej eliptycznej i jej parametryzacji.
Definicja. Niech a, b, c ∈ k. Przez krzywa, eliptyczna, E o równaniu y 2 = x3 + ax2 + bx + c
rozumiemy podzbiór plaszczyzny E = {(x, y) ∈ k : y 2 = x3 + ax2 + bx + c}.
Definicja. Niech bedzie
dana krzywa eliptyczna E o równaniu y 2 = x3 + ax2 + bx + c. Powiemy,
,
że E jest parametryzowalna, jeśli istnieja, ϕ, ψ ∈ k(x), takie, że ϕ2 = ψ 3 +aψ 2 +bψ +c oraz przynajmniej jedna z funkcji ϕ, ψ jest niestala. Wówczas pare, funkcji ϕ, ψ nazywamy parametryzacja,
krzywej E.
Nastepuj
acy
dowód nieparametryzowalności krzywej eliptycznej o równaniu y 2 = x3 + bx
,
,
pochodzi z kursu geometrii algebraicznej na Bilkent Univeristy w roku 2004 (por. [9]).
Twierdzenie 8. Niech E bedzie
krzywa, eliptyczna, o równaniu y 2 = x3 + bx, b ∈ k \ 0 Wówczas
,
E nie jest parametryzowalna.
g
, przy czym gcd(f, F ) =
Dowód. Przypuśćmy, że f ma parametryzacje, ϕ, ψ, gdzie ϕ = Ff , ψ = G
1 = gcd(g, G). Wtedy f 6= 0 6= g (inaczej f = 0 = g, a wiec
ϕ,
ψ
s
a
obie
stale równe 0) oraz
,
,
ϕ2 = ψ 3 + bψ
zapisuje sie, jako
f 2 G3 = F 2 g 3 + bF 2 G2 g.
2
2
3
2
Stad
jednocześnie F 2√| G3 , to G3 = uF 2 dla
, G | F , zatem G | F a stad
, G | F . Ponieważ
√
pewnego u ∈ k \ 0. Podstawiajac
uF zamiast F oraz uf zamiast f możemy
, ewentualnie
3
2
przyjać,
że
G
=
F
.
Z
jednoznaczności
rozk
ladu
w
k[x] otrzymujemy wtedy F = e3 , G = e2 dla
,
pewnego e ∈ k[t] \ 0. Nasza równość przyjmuje wtedy postać:
f 2 e6 = e6 g 3 + be10 g
czyli
f 2 = g 3 + be4 g = g(g 2 + be4 )
Ponieważ gcd(e, g) = 1 to g = h2 dla pewnego h ∈ C[x], oraz v := f /h ∈ k[x], i dzielac
, stronami
przez h2 otrzymujemy:
√
4
v 2 = h4 + be4 = h4 + ( be)4
√
przy czym v, f, 4 be4 sa, niestale i wzglednie
pierwsze (bo h | g, e | G oraz g, G byly wzglednie
,
,
pierwsze). Jest to sprzeczność z twierdzeniem 5.
5
Literatura
[1] Barbeau, E. - Polynomial excursions,
dostepne
pod adresem: http://www.math.toronto.edu/barbeau/home.html
,
[2] de Bondt, M. - Another generalization of Mason’s ABC theorem, preprint dostepny
pod
,
adresem http://arxiv.org/abs/0707.0434
[3] Davenport, H. - On f 3 (t) − g 2 (t), Norske Vid. Selsk. Forh. (Trondheim) 38 (1965), 86-87
[4] Dubickas, A., Steuding, J. - The polynomial Pell equation, Elem. Math. 59 (2004) 133 – 143
[5] Granville, A., Tucker, T.J. - It’s as easy as abc., Notices Amer. Math. Soc. 49 (2002),
1224–1231.
[6] Hu, P.C., Yang, C.C. - Value distribution theory related to number theory, Birkhauser, 2006
[7] Lang, S. - Algebra, Grad. Texts in Math., Springer 2002
[8] Lang, S. - Undergraduate algebra, Undergrad. Texts in Math., Springer 2005
[9] Lemmermayer, F. - Notatki do kursu geometrii algebraicznej prowadzonego w 2004 roku na
Bilkent University dostepne
pod adresem:
,
http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/algeo04.html.
[10] Mason, R. C. - Diophantine equations over functions fields, Cambridge University Press,
Cambridge, England 1984
[11] Nathanson, M. B. - Elementary methods in number theory, Grad. Texts in Math., Springer
2000
[12] Nathanson, M. B. - Catalan equation in K(t), Amer. Math. Monthly 81 (1974), 371-373
[13] Ribenboim, P. - 13 lectures on Fermat Last Theorem, Springer 1979
[14] Sheil-Small, T. - Complex polynomials, Cambridge University Press 2002.
[15] Snyder, N. - An alternate proof of Mason’s theorem, Elem. Math. 55 (2000), 93–94
[16] Stothers, W. W. - Polynomial Identities and Hauptmodulen, Quart. J. Math. Oxford Ser.
II 32 (1981), 349-370
6