GOSPODARKA NARODOWA

GOSPODARKA
NARODOWA
11-12
(243-244)
Rok LXXX/XXI
listopad-grudzień
2011
s. 47-59
Anna SULIMA*
Równowaga w modelu Nonnemana-Vanhoudta
z funkcją produkcji CES
Wprowadzenie**
Celem prezentowanej pracy jest zbadanie stabilności modelu wzrostu gospodarczego Nonnemana-Vanhoudta przy n-kapitałowej funkcji produkcji CES,
zdefiniowanego za pomocą równań różniczkowych zwyczajnych, które generują
lokalny układ dynamiczny1. Stabilność modelu rozumiana jest jako stabilność
rozwiązań tego układu równań różniczkowych w punkcie stacjonarnym.
Model wzrostu gospodarczego Nonnemana-Vanhoudta [1996] stanowi rozszerzenie modelu Solowa [1956] oraz Mankiwa-Romera-Weila [1992] na przypadek, w którym na wielkość wytworzonego w gospodarce strumienia produktu
wpływa n różnych nakładów kapitałowych oraz nakłady jednostek efektywnej
pracy.
Z reguły w makroekonomicznych modelach wzrostu gospodarczego przyjmuje się założenie, że proces produkcyjny opisany jest przez funkcję produkcji
Cobba i Douglasa [1928]. W opisywanym modelu wykorzystuje się zaproponowaną w 1961 roku funkcję produkcji o stałej elastyczności substytucji czynników
*
**
1
Autorka jest doktorantką w Instytucie Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego oraz doktorantką na Wydziale Ekonomii i Stosunków Międzynarodowych Uniwersytetu Ekonomicznego
w Krakowie, e-mail:[email protected]. Artykuł wpłynął do redakcji w październiku 2011 r.
Autorka dziękuje Panu Prof. dr. hab. T. Tokarskiemu, Kierownikowi Katedry Ekonomii
Matematycznej UJ oraz Panu Prof. dr. hab. R. Srzednickiemu, Kierownikowi Katedry Równań
Różniczkowych UJ za wszystkie uwagi i wskazówki, jakie otrzymała pisząc ten artykuł.
Alternatywne podejście do badania równowagi modelu Nonnemana-Vanhoudta, przy funkcji
produkcji CES, znaleźć można w pracy Dykas, Edigarian, Tokarski [2011].
48
GOSPODARKA NARODOWA Nr 11-12/2011
produkcji, tzw. funkcję produkcji CES (ang. constant elasticity of substitution),
która jest rozszerzeniem funkcji produkcji Cobba-Douglasa2.
Badanie stabilności układów dynamicznych w teorii równań różniczkowych
jest niezwykle istotne z punktu widzenia zastosowań. Stabilność mówi nam
o tym, że układ po wyprowadzeniu go ze stanu równowagi sam powraca do
pierwotnego stanu.
Na początku prezentowanego opracowania przedstawione są założenia
molelu Nonnemana-Vanhoudta z n-kapitałową funkcją produkcji CES. Następnie udowodniono, że model ten charakteryzuje się asymptotyczną stabilnością
w pewnym otoczeniu punktu stacjonarnego tego modelu wzrostu gospodarczego.
Na koniec podano najważniejsze wnioski z prowadzonych w pracy rozważań.
Założenia modelu Nonnemana-Vanhoudta
W modelu Nonnemana-Vanhoudta z n-kapitałową funkcją produkcji CES
przyjmowane są następujące założenia dotyczące funkcjonowania gospodarki:
Założenie 1. Proces produkcyjny opisany jest przez n-kapitałową funkcję
produkcji CES daną wzorem:
1
-~
n
Y (t) =
/
f ai K i- ~ (t)
i=1
+ a0
E - ~ (t)
p
dla t d 6 0, 3 h
gdzie Y to wielkość wytworzonego w gospodarce produktu, n Î À to liczba
wykorzystanych w procesie produkcyjnym zasobów kapitału, Ki ³ 0 to nakłady
i-tego rodzaju kapitału (dla i = 1, 2, …, n), zaś E ³ 0 to nakłady efektywnej
pracy, a ai dla i = 0, 1, 2, …, n to udział poszczególnych nakładów kapitału
oraz efektywnej pracy potrzebnych do wytworzenia produktu Y, ponadto dla
i = 0, 1, …, n ai Î (0,1), w Î (0, ¥) oraz
N
/ ai d ^ 0, 1 h .
i=1
Założenie 2. Przyrosty każdego z zasobów kapitału K· i stanowią różnicę
pomiędzy inwestycjami siY w te zasoby a ich deprecjacją diKi dla każdego
i = 1, 2, …, n, czyli:
6t d 6 0, + 3 h 6i = 1, 2, f, n K· i (t) = siY(t) – diKi (t)
(1)
gdzie si to stopa inwestycji w i-ty zasób kapitału, zaś di jest stopą deprecjacji tego zasobu, dla i = 1, 2, …, n. O stopach si oraz di zakłada się, że
"i = 1, 2, …, n, si, di Î (0,1) oraz
N
/ s i d ^ 0, 1 h .
i=1
2
Dowód stabilności n-kapitałowego modelu dla funkcji produkcji Cobba-Douglasa przedstawiony
jest w opracowaniu Dykasa, Sulimy, Tokarskiego [2008].
Anna Sulima, Równowaga w modelu Nonnemana-Vanhoudta z funkcją produkcji CES
49
Założenie 3. Praca efektywna E jest iloczynem zasobu wiedzy A, którego
przyrost ma charakter egzogenicznego postępu technicznego w sensie Harroda3,
i liczby pracujących L. Jednostki efektywnej pracy E rosną według stopy m > 0,
która jest sumą stopy postępu technicznego g > 0 oraz stopy wzrostu liczby
pracujących h > 0. Dlatego też:
"t Î [0, +¥) Ė(t)/E(t) = m = g + h
oraz
"t Î [0, +¥) A· (t)/A(t) = g
L· (t)/L(t) = h
K i (t)
Y (t)
dla t Î [0, ¥) oraz k i (t) =
dla i = 1, 2, …, n,
E (t)
E (t)
t Î [0, ¥) będą odpowiednio produktem na jednostkę efektywnej pracy oraz
i-tym zasobem kapitału na jednostkę efektywnej pracy. Wtedy funkcję produkcji
CES możemy zapisać w postaci:
Niech y (t) =
1
n
~
6t d 6 0, +3 h y (t) = f / ai k i (t) + a0 p
-~
.
(2)
i=1
Ponadto ok i (t) =
o (t) E (t) - K (t) E
o (t)
K
i
i
dla t Î [0, +¥), i = 1, 2, …, n i po
E 2 (t)
podstawieniu równania (1) i (2) otrzymujemy:
6t d 6 0, + 3 h 6i = 1, 2, f, n ok i (t) = s i f
1
-~
n
/
a j k -j ~ (t)
j=1
+ a0 p
- ^ di + n h k i (t) (3)
Układ złożony z n równań różniczkowych (3) generuje lokalny układ dynamiczny i opisuje ruch i dynamikę wytwarzanego produktu Y w omawianym
modelu.
Punkt stacjonarny w modelu Nonnemana-Vanhoudta
z n-kapitałową funkcją produkcji CES
Punkt stacjonarny w układzie dynamicznym to taki, który nie porusza się
względem czasu (jego prędkość jest równa 0), czyli taki, który spełnia równanie:
3
Postęp techniczny w sensie Harroda to taki, który bezpośrednio potęguje produktywność
nakładów pracy L.
50
GOSPODARKA NARODOWA Nr 11-12/2011
·
"t Î [0, +¥) "i = 1, 2, …, n ki(t) = 0.
Z tego wynika, że punkt stacjonarny układu dynamicznego generowanego
przez układ (3) jest rozwiązaniem następującego układu równań:
1
-~
n
6t d 6 0, + 3 h 6i = 1, 2, f, n
/
s i f a j k -j ~ (t)
j=1
+ a0 p
- ^ di + n h k i (t) = 0
lub po przekształceniach:
n
6t d 6 0, + 3 h 6i = 1, 2, f, n
s
/ a j k -j ~ (t) + a0 = e d +i n o
~
~
ki (t)
i
j=1
~
si
~
o = ci oraz k i (t) = L i (t) dla i = 1, 2, …, n sprodi + n
wadzamy układ (3) do układu równań liniowych:
Podstawiając e
n
6t d 6 0, + 3 h 6i = 1, 2, f, n
/ a j L j (t) - ci L i (t) =- a0
j=1
lub w postaci macierzowej:
Ra - c
a2
1
S 1
a
a
S
1
2 - c2
6t d 6 0, + 3 h S
h
h
S
S a1
a2
T
f
an V RS L 1 (t) VW R - a0 V
W
S
W
f
an W S L 2 (t) W S - a0 W
$
=
j
h W S h W S h W
S
W
W
S
W
f an - cn W S L n (t) W S - a0 W
X T
T
X
X
Układ ten można rozwiązać wykorzystując twierdzenie Cramera i rozwinięcie Laplace’a. Kolejne wyznaczniki Cramera dane są wzorami:
Ra - c
a2
1
S 1
a2 - c2
S a1
W = det S
h
h
S
S a1
a2
T
f
an V
W
n
f
an W
= % ^ - ci h +
W
j
h
W i=1
f an - cn W
X
n
J
n
N
Ki = 1
K
Li ! j
O
O
P
/ a j K % ^ - ci hO
j=1
oraz
Ra - c
a2
1
S 1
a 2 - c2
S a1
6i = 1, 2, f, n W i = det S
h
h
S
S a1
a2
T
f - a0 f
an V
W
f - a0 f
an W
=- a0
j j j
h W
W
f - a 0 f a n - cn W
X
n
% ^-cjh
j=1
j!i
51
Anna Sulima, Równowaga w modelu Nonnemana-Vanhoudta z funkcją produkcji CES
n
/
Jeśli parametry ai, gi dla i = 1, 2, …, n spełniają równość
j=1
aj
c j = 1 to
układ równań (3) nie ma rozwiązań, a tym samym rozważany układ dynamiczny
nie ma punktów stacjonarnych, bo:
W=0+
n
n
i=1
j=1
J
n
N
Ki = 1
K
Li ! j
O
O
P
n
=0+
/
j=1
aj
n
n
i=1
j=1
% ^ - ci h + / a j K % ^ - ci hO = 0 + % ^ - ci h f 1 + /
^-cjh
p=
aj
c j = 1,
ponieważ "i = 1, 2, …, n gi ¹ 0. Jeśli zaś ai, gi dla i = 1, 2, …, n spełn a
j
niają: / c ! 1, to układ równań (3) ma jedno rozwiązanie, a tym samym
j
j=1
układ dynamiczny generowany przez to równanie ma jeden punkt stacjonarny
_ L *1, L *2, f, L *n i o współrzędnych:
n
- a0
6i = 1, 2, f, n L *i =
% ^-cjh
j=1
j!i
n
J n
N=
% ^ - ck h + / a j K % ^ - ck hO 1 O
k=1
j = 1 Kk = 1
K
O
!
k
j
L
P
n
a0
ci
n
/
j=1
aj
cj
lub wracając do zmiennych z podstawienia:
1
J
N- ~
a0
K
O
ci
O
6i = 1, 2, f, n k *i = K
n a O
K
j
KK 1 - / c OO
j=1 j P
L
Z równania (4) płynie wniosek, że:
n
/
j=1
(4)
aj
c j < 1, bo ki ³ 0. Nierówność ta
wyznacza przestrzeń fazową analizowanego układu równań różniczkowych.
Stabilność punktu stacjonarnego w modelu Nonnemana-Vanhoudta
z n-kapitałową funkcją produkcji CES
Do udowodnienia stabilności punktu stacjonarnego _ k *1, k *2, f, k n* i wykorzystam następujące kryterium stabilności wynikające z twierdzenia Grobmana-Hartmana:
52
GOSPODARKA NARODOWA Nr 11-12/2011
Twierdzenie 1.4
Niech dany będzie układ dynamiczny generowany przez równanie x¢ = ¦(x),
¦ Î C1 (R) i x0 Î R będzie punktem stacjonarnym tego układu dynamicznego.
Wtedy:
1. jeżeli część rzeczywista każdej z wartości własnych macierzy Jacobiego
funkcji ¦ w punkcie x0 będzie ujemna (Re s(¦¢(x0)) < 0), to punkt x0 jest
asymptotycznie stabilny.
2. Jeżeli istnieje wartość własna macierzy Jacobiego funkcji ¦ w punkcie x0
taka, że jej część rzeczywista jest dodatnia, to punkt x0 jest punktem niestabilnym.
Macierz Jacobiego rozważanego układu dynamicznego wygląda następująco:
R
V
1
1
-~ -1
-~ -1
n
n
S
W
S s 1 a1 f / a j k -j ~ + a0 p
W
k 1- ~ - 1 - ^ d1 + n h f
s n an f / a j k -j ~ + a0 p
k n- ~ - 1
S
W
j=1
j=1
S
W
h
j
h
S
W
1
1
-~ -1
-~ -1
n
n
S
W
~
~
~
~
1
1
s 1 a1 f / a j k j + a 0 p
k1
kn
f s n an f / a j k j + a0 p
+ ^ dn + n h W
S
S
W
j=1
j=1
T
X
a w punkcie stacjonarnym _ k *1, k *2, f, k n* i sprowadza się do postaci:
Rb - y
b2
1
S 1
b2 - y2
S b1
S h
h
S
b2
S b1
T
gdzie bi = s i ai f
n
/ a j k *j - ~ + a0 p
1
-~ -1
j=1
f
bn VW
f
bn W
h W
j
W
f b2 - y2 W
X
k *i - ~ - 1 oraz ui = di + m dla i = 1, 2, …, n.
Wielomian charakterystyczny funkcji (3) ma postać:
w (m) =
w (m) =
J
n
n
i=1
j=1
n
N
Ki = 1
K
Li ! j
O
O
P
% ^ - yi - m h + / b j K % ^ - yi - m hO
n
n
n
i=1
j=1
k=1
% ^ - di - n - m h + / s j a j f / ak k *k- ~ + a0 p
1
-~ -1
k *j - ~ - 1
(5)
J n
N
K % ^ - di - n - m h O
Ki = 1
O
K
O
i
j
!
L
P
4
Patrz Tw. 6.2.1 w Ombach J. [1999] Wykłady z równań różniczkowych, Wydawnictwo
Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków.
53
Anna Sulima, Równowaga w modelu Nonnemana-Vanhoudta z funkcją produkcji CES
Wartości własne analizowanego odwzorowania są rozwiązaniami równania:
J
n
n
i=1
j=1
n
N
Ki = 1
K
Li ! j
O
O
P
n
n
bj
i=1
j=1
_-yj - mi
% ^ - yi - m h + / b j K % ^ - yi - m hO = 0 + % ^ - yi - m h f 1 + /
p=0
Z tego wynika, że l = –ui, ale ui = di + m > 0, więc Re l < 0. Pozostaje
zbadanie pierwiastków następującego równania:
n
bj
j=1
_-yj - mi
/
1+
(6)
=0
a zatem:
n
n
/
/
ak k k*- ~
s j aj f
k=1
+ a0 p
1
-~ -1
k *j - ~ - 1
=1
di + n + m
j=1
Ponieważ l może być liczbą zespoloną, więc możemy ją zapisać jako
l = a + bi, gdzie i = - 1 , zaś a, b Î Â. Wtedy równanie (6) można zapisać
jako:
bj
n
/
j=1
y j + a + bi
=1
lub korzystając z własności liczb zespolonych jako:
yj + a
n
/ bj
j=1
n
^ y j + a h2 + b 2
+
/ bj
j=1
bi
=1
^ y j + a h2 + b 2
n
b
= 0, a to oznacza, że b = 0, czyli
^ y j + a h2 + b 2
j=1
wartości własne są liczbami rzeczywistymi. Mamy więc równanie:
Z tego wynika, że
/ bj
n
/
j=1
bj
yj + a = 1
(7)
Aby udowodnić, że liczby a Î Â spełniające równanie (7) są liczbami
ujemnymi przeprowadzę dowód nie wprost. Przypuśćmy więc, że a ³ 0, wtedy
równanie (7) spełnia nierówność:
54
GOSPODARKA NARODOWA Nr 11-12/2011
n
n
/
1=
j=1
bj
yj + a =
n
/
/
am k *m- ~
s j aj f
m=1
+ a0 p
1
-~ -1
k *j - ~ - 1
=
dj + n + a
j=1
1
1
N1 + ~
a0
J
N- ~ - 1 J
a0
K
O
K n
O
c
cm
j
K
O
K
O
s j a j / am
n a + a0
n a O
K
Km = 1
O
k
k
1- / c
KK 1 - / c OO
K
O
n
k=1 k
k=1 k P
L
P
L
/
=
dj + n + a
j=1
1
n
/
j=1
1
J
N- ~ - 1 J
am
N1 + ~
1
K n
O
K
O
c
cm
j
O
K
O
s j aj K /
n a +1
n a
Km = 1
O
K
k
kO
1- / c
K
O
K 1 - / ck O
k=1 k
k=1
L
P
L
P
=
dj + n + a
1
J
N1 + ~
1
K
O
cj
s j aj
K
O
n a
1
kO
n a -~ -1 K
k
K 1 - / ck O
f1 - / c p
k=1
L
P
k
k=1
n
/
dj + n + a
j=1
=
s j aj
1
^ c j h1 + ~
/
#
j = 1 dj + n + a
n
n
/
j=1
s j aj
sj
_dj + nif d + n p
j
n
~+1
=
/
j=1
f
aj
sj
dj + n
n
~
p
=
/
j=1
aj
cj < 1
co prowadzi do sprzeczności, a to kończy dowód, że a < 0. Na podstawie
twierdzenia 1. udowodniliśmy, że punkt stacjonarny dany wzorem (4) jest
asymptotycznie stabilny. Stabilność punktów stacjonarnych oznacza, że gdy
układ zostanie zaburzony w otoczeniu punktu stabilnego to ma on naturalne
tendencje do dążenia do tego punktu długookresowej równowagi przy t ® ¥.
Ze wzoru (4) wynika, że równowaga modelu Nonnemana-Vanhoudta z n-kapitałową funkcją produkcji CES jest zależna od udziału poszczególnych nakładów
kapitału oraz efektywnej pracy ai dla i = 0, 1, 2, …, n, stopy inwestycji w i-ty
zasób kapitału si (dla i = 1, 2, …, n), stopy deprecjacji tego zasobu di (dla
i = 1, 2, …, n), stopy wzrostu jednostek efektywnej pracy m oraz parametru w.
55
Anna Sulima, Równowaga w modelu Nonnemana-Vanhoudta z funkcją produkcji CES
Praca i produkcja w stanie równowagi w modelu
Nonnemana-Vanhoudta z n-kapitałową funkcją produkcji CES
K i (t)
Y (t)
i k i L (t) =
(dla i = 1, 2, …, n)
L (t)
L (t)
oznaczają odpowiednio wydajność pracy i techniczne uzbrojenie pracy. Z powyższych równań i założenia 3 modelu wynika, że:
Niech 6t d 6 0, + 3 h y L (t) =
6t d 6 0, + 3 h y L (t) = A (t) y (t)
(8)
6t d 6 0, + 3 h 6i = 1, 2, f, n k i (t) = A (t) k i (t)
(9)
oraz
L
oy L
Z równań (8) i (9) wynika, że stopa wzrostu wydajności pracy g y L = y
L
ok
iL
oraz stopy wzrostu technicznego uzbrojenia pracy g k =
(dla t = 1, 2, …, n)
iL
k iL
dane są wzorami:
6t d 6 0, + 3 h g y (t) = g +
L
oy (t)
y (t)
(10)
i
6t d 6 0, + 3 h 6i = 1, 2, f, n g k (t) = g +
iL
ok (t)
i
k i (t)
(11)
Równania (10) i (11) interpretuje się w ten sposób, że stopa wzrostu wydajności pracy g y L (stopy wzrostu kolejnych nakładów kapitału na pracującego
g k , dla i = 1, 2, …, n) jest (są) sumą stopy postępu technicznego g oraz stopy
iL
oy
wzrostu produktu na jednostkę efektywnej pracy
(stóp wzrostu kolejnych
y
ok
zasobów kapitału na jednostkę efektywnej pracy i ).
ki
W punkcie stabilnym rozważanego układu dynamicznego stopa wzrostu
wydajności pracy g y L dana wzorem (10) oraz stopy wzrostu technicznego
uzbrojenia pracy g k iL opisane za pomocą wzoru (11), są równe stopie postępu
·
technicznego g, ponieważ ze stacjonarności tego punktu wynika, że ki = 0 dla
i = 1, 2, …, n, a ponadto 6t d 6 0, + 3 h oy (t) =
N
/
i=1
2f o
k (t) .
2k i i
56
GOSPODARKA NARODOWA Nr 11-12/2011
W punkcie równowagi rozważanego modelu produkt na jednostkę efektywnej pracy wynosi:
n
y*
=
/
f ai k *i - ~ (t)
i=1
+ a0 p
1
-~
1
J
N- ~
a0
O .
=K
n
ai
K1- /
O
~O
K
si
i=1
e
o O
KK
di + n O
L
P
(12)
Z równania (12) płyną następujące wnioski natury ekonomicznej:
• w długookresowej równowadze modelu Nonnemana-Vanhoudta z n-kapitałową funkcją produkcji CES produkt na jednostkę efektywnej pracy zależy
od: udziału poszczególnych nakładów kapitału oraz efektywnej pracy
ai dla i = 0, 1, 2, …, n, stopy inwestycji w i-ty zasób kapitału si (dla
i = 0, 1, 2, …, n), stopy deprecjacji tego zasobu di (dla i = 0, 1, 2, …, n)
oraz od stopy wzrostu jednostek efektywnej pracy m,
• różniczkując równanie (12) względem a0 okazuje się, że:
1
n
N~
1 J
ai
2y *
=- ~- 1 a0- 1 - ~ K 1 - /
~ O < 0,
s
2a0
i
K
O
i=1
e
o
K
di + n O
L
P
zatem wysokim nakładom efektywnej pracy a0 odpowiada niska wartość
produktu na jednostkę efektywnej pracy y* w równowadze rozważanego
modelu,
• skoro:
1
n
-~
N~ - 1
1 J
si
ai
2y *
-~ K
1
/
=- ~ e
<0
o a0 1 ~O
si
2ai
di + n
K
O
i=1
e
o
K
di + n O
L
P
to im wyższe są udziały poszczególnych nakładów kapitału ai dla i = 1,
2, …, n tym niższy jest produkt na jednostkę efektywnej pracy y* wytworzony w gospodarce znajdującej się w stanie równowagi,
• ponieważ:
1
6i = 1, 2, f, n
n
N~ - 1
1 J
ai
2y *
~ -~ - 1 - ~ K
= ai ^ d i + n h s i
a0 1 - /
> 0,
~O
si
2s i
K
O
i=1
e
o
K
di + n O
L
P
zatem coraz wyższym stopom inwestycji w i-ty zasób kapitału si dla i = 1,
2, …, n odpowiada coraz wyższy produkt na jednostkę efektywnej pracy y*
w rozważanym modelu w stanie równowagi,
57
Anna Sulima, Równowaga w modelu Nonnemana-Vanhoudta z funkcją produkcji CES
• ponadto mamy:
1
6i = 1, 2, f, n
n
N~ - 1
1 J
ai
2y *
=- ai ^ di + n h ~ - 1 s i- ~ a0- ~ K 1 - /
< 0,
~O
si
2di
K
O
i=1
e
o
K
di + n O
L
P
co świadczy o tym, że im wyższe są stopy deprecjacji i-tego zasobu di (dla
i = 0, 1, 2, …, n) tym mniejszy jest produkt na jednostkę efektywnej pracy
y* w równowadze modelu Nonnemana-Vanhoudta z n-kapitałową funkcją
produkcji CES,
• dodatkowo:
1
n
J
N~ - 1
1
ai
2y *
- ~ -~
~-1 K
=- ai a0 s i ^ di + n h
1- /
< 0,
~O
si
2n
K
O
i=1
e
o
K
di + n O
L
P
co oznacza, że im wyższa jest stopa wzrostu jednostek efektywnej pracy m,
tym mniejszy jest produkt na jednostkę efektywnej pracy y* w równowadze
rozważanego modelu.
Podsumowanie
–
–
–
Z prowadzonych w pracy rozważań płyną następujące wnioski:
w prezentowanym w pracy modelu wzrostu gospodarczego przyjmuje się
założenia, że (po pierwsze) proces produkcyjny opisany jest przez n-kapitałową funkcję produkcji CES, w której do wytworzenia produktu niezbędne
jest n różnych nakładów kapitałowych oraz nakłady jednostek efektywnej
pracy, (po drugie) przyrost każdego z zasobów kapitału jest różnicą pomiędzy
inwestycjami w ten zasób, a jego deprecjacją oraz (po trzecie) jednostki
efektywnej pracy rosną według egzogenicznej stopy wzrostu będącej sumą
stopy postępu technicznego i stopy wzrostu liczby pracujących,
rozważany model wzrostu gospodarczego, opisany za pomocą n równań
różniczkowych zwyczajnych, które generują lokalny układ dynamiczny,
posiada punkt stacjonarny, którego współrzędne zależne są od: udziału
poszczególnych nakładów kapitału oraz efektywnej pracy, stopy inwestycji
w kolejne zasoby kapitału, stopy deprecjacji tych zasobów oraz od stopy
wzrostu jednostek efektywnej pracy,
punkt stacjonarny charakteryzuje się stabilnością, co implikuje, że jeśli
gospodarka zmieni nieznacznie strukturę zasobów, stopy inwestycji, stopy
deprecjacji kapitału, to będzie ona dążyć do tego punktu stacjonarnego.
Dlatego też wyznaczony punkt stacjonarny traktować można jako punkt długookresowej równowagi w rozważanym modelu wzrostu gospodarczego.
58
–
–
–
GOSPODARKA NARODOWA Nr 11-12/2011
w warunkach długookresowej równowagi wszystkie stopy wzrostu wydajności pracy oraz stopy wzrostu technicznego uzbrojenia pracy rosną według
stopy postępu technicznego g,
w długookresowej równowadze omawianego modelu produkt na jednostkę
efektywnej pracy zależy od: udziału poszczególnych nakładów kapitału oraz
efektywnej pracy, stopy inwestycji oraz stopy deprecjacji zasobów kapitału
i od stopy wzrostu jednostek efektywnej pracy,
im wyższy jest udział poszczególnych nakładów kapitału oraz efektywnej
pracy, im wyższe są stopy deprecjacji zasobów kapitału i stopa wzrostu
jednostek efektywnej pracy, tym mniejszy jest produkt wytwarzany na jednostkę efektywnej pracy y* w równowadze rozważanego modelu, natomiast
im wyższa jest stopa inwestycji w zasoby kapitału, tym ten produkt jest
większy.
Bibliografia
Chiang A.C., [1994], Podstawy ekonomii matematycznej, Państwowe Wydawnictwo Ekonomiczne,
Warszawa.
Cobb C.W., Douglas P.H., [1928], A Theory of Production, „American Economic Review”, No. 18.
Czerwiński Z., [1973], Podstawy matematycznych modeli wzrostu gospodarczego, PWE, Warszawa.
Domar E.D., [1962], Szkice z teorii wzrostu gospodarczego, PWN, Warszawa.
Dykas P., Edigarian A., Tokarski T., [2011], Uogólnienie N-kapitałowego modelu wzrostu gospodarczego Nonnemana-Vanhoudta, [w:] Wzrost gospodarczy. Teoria. Rzeczywistość, red. Emil
Panek, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu, Poznań.
Dykas P., Sulima A., Tokarski T., [2008], Złote reguły akumulacji kapitału w N-kapitałowym modelu
wzrostu gospodarczego, „Gospodarka Narodowa” nr 11-12.
Hall R.E., Taylor J.B., [1995], Makroekonomia. Teoria, funkcjonowanie i polityka, Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa.
Jones C.I., [2002], Introduction to the Economic Growth, W.W. Norton & Company, New York,
London.
Mankiw N.G., Romer D., Weil D.N., [1992], A Contribution to the Empirics of Economic Growth,
„Quarterly Journal of Economics”.
Nonneman W., Vanhoudt P., [1996], A Further Augmentation of the Solow Model and the Empirics
of Economic Growth for the OECD Countries, „Quarterly Journal of Economics”.
Ombach J., [1999], Wykłady z równań różniczkowych, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego,
Kraków.
Palczewski A., [1999], Równania różniczkowe zwyczajne, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne,
Warszawa.
Pelczar A., [1980], Wstęp do teorii układów dynamicznych, Wydawnictwo Akademii Górniczo-Hutniczej, Kraków.
Romer D., [1996], Advanced Macroeconomics, McGraw Hill Inc., New York etc.
Solow R.M., [1956], A contribution to the Theory of Economic Growth, „Quarterly Journal of
Economics”.
Solow R.M., [1967], Teoria kapitału i stopa przychodu, Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa.
Tokarski T., [2005], Wybrane modele podażowych czynników wzrostu gospodarczego, Wydawnictwo
Uniwersytetu Jagiellońskiego, Kraków.
Anna Sulima, Równowaga w modelu Nonnemana-Vanhoudta z funkcją produkcji CES
59
Tokarski T., [2008], Efekty skali a wzrost gospodarczy, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego,
Kraków.
Tokarski T., [2008], Równowaga neoklasycznych modeli wzrostu gospodarczego przy funkcji produkcji
CES, „Studia Prawniczo-Ekonomiczne”, tom LXXVII.
Tokarski T., [2009], Matematyczne modele wzrostu gospodarczego, Wydawnictwo Uniwersytetu
Jagiellońskiego, Kraków.
Welfe W. (red.), [2001], Ekonometryczny model wzrostu gospodarczego, Wydawnictwo Uniwersytetu
Łódzkiego, Łódź.
Woźniak M.G., [2004], Wzrost gospodarczy. Podstawy teoretyczne, Wydawnictwo AE w Krakowie,
Kraków.
THE STABILITY OF THE NONNEMAN-VANHOUDT MODEL
WITH THE CES PRODUCTION FUNCTION
Summary
The paper aims to show that the Nonneman-Vanhoudt growth model with the
n-capital CES macroeconomic production function is asymptotically stable in a certain
environment. The Nonneman-Vanhoudt model of economic growth is conducted with
an assumption that the CES production function is described by a system of ordinary
differential equations. To investigate the stability of the model, a criterion resulting
from the Hartman-Grobman theorem was used. The stability of this model means that
if the structure of resources, the investment rate, and the rate of capital depreciation
change slightly, the economy will tend toward a stationary point that can be regarded
as a long-term equilibrium in the considered model of economic growth. The author
examines the properties of the growth model and focuses on factors including the
growth of labor productivity, equipment and output per unit of effective labor.
Keywords: stability of model, n-capital growth model, production function