sygnał

 Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 8
1/9
ĆWICZENIE 8
Próbkowanie i rekonstrukcja sygnałów
1. Cel ćwiczenia
Pierwotnymi nośnikami informacji są w praktyce głównie sygnały analogowe. Aby
umożliwić cyfrowe przetwarzanie sygnału należy przetworzyć sygnał analogowy na sygnał
cyfrowy w przetworniku analogowo-cyfrowym A/C, poddać go przetwarzaniu cyfrowemu i
na koniec przetworzyć sygnał cyfrowy na analogowy w przetworniku cyfrowo-analogowym
C/A. Przetwornik A/C wykonuje na sygnale operację próbkowania (dyskretyzacji) i operację
kwantowania, a przetwornik C/A wykonuje operację rekonstrukcji, odtworzenia sygnału
analogowego z sygnału dyskretnego. Celem niniejszego ćwiczenia jest omówienie zagadnień
próbkowania i rekonstrukcji sygnału.
2. Wprowadzenie
Uproszczony schemat blokowy typowego systemu cyfrowego przetwarzania sygnałów
pokazano na rys. 1.
S ygnał
analogowy
Sygnał
cyfrowy
Sygnał
cyfrowy
Sygnał
analogowy
x [n ]
y [n ]
y (t )
x (t )
Przetwornik A/C
(próbkowanie,
kwantowanie)
Filtr
anty
-aliasowy
Cyfrowe
Przetworn ik C/A
⇒ przetwarzanie ⇒ (rekonstrukcja
sygnału (CPS)
sygnału, typ. ZOH)
Filtr
rekonstrukcyjn y
Rys. 1. Schemat blokowy systemu cyfrowego przetwarzania sygnałów
Próbkowanie równomierne wykonywane w przetworniku A/C polega na pobraniu
próbek sygnału analogowego ze stałym okresem próbkowania T . Wynik tej operacji można
przedstawić jako graniczny przypadek sygnału analogowego
x d (t ) =
∞
∑ Tx(nT )δ (t − nT )
(1)
n = −∞
lub krótko jako sygnał dyskretny
x[n] = Tx (nT )
,
n = K , − 2, − 1, 0, 1, 2, K
(2)
W ten sposób sygnał analogowy x(t ) zostaje zamieniony na sygnał dyskretny x[n] .
Widmo X (e jω ) sygnału spróbkowanego x[n] ma ścisły związek z widmem X (ω ) sygnału
próbkowanego x(t ) . Widmo X (e jω ) jest powielonym na osi częstotliwości widmem X (ω ) .
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 8
2/9
Na osi częstotliwości pojawiają się repliki widma X (ω ) z odstępem równym częstotliwości
1
próbkowania f p = .
T
Zasady właściwego doboru częstotliwości próbkowania f p wynikają z następującego
twierdzenia o próbkowaniu (Nyquist-Kotielnikow-Whittaker): częstotliwość próbkowania
musi być ponad dwukrotnie większa niż maksymalna częstotliwość w widmie sygnału
f p > 2 B , aby sygnał analogowy można było bezbłędnie odtworzyć na podstawie jego
próbek. Jeżeli nie są spełnione założenia twierdzenia, to zajdą zniekształcenia nazywane
zniekształceniami aliasowymi. Aby uniknąć tych zniekształceń należy zastosować po stronie
nadawczej filtr antyaliasowy lub zwiększyć częstotliwość próbkowania (zastosować
nadpróbkowanie).
Filtr antyaliasowy obcina widmo sygnału użytecznego i towarzyszących mu szumów i
zakłóceń. Idealny filtr antyaliasowy ma charakterystykę amplitudową prostokątną o paśmie
równym przedziałowi Nyquista i jest nierealizowalny fizycznie. Jego idealna charakterystyka
jest aproksymowana charakterystykami realizowalnych fizycznie filtrów Butterwortha,
Czebyszewa lub Bessela. Aby ułatwić zaprojektowanie tych filtrów przyjmuje się około 20%
zapasu w stosunku do maksymalnej częstotliwości widma sygnału. Radykalne złagodzenie
wymagań na selektywność filtru antyaliasowego osiąga się stosując nadpróbkowanie.
Zgodnie ze schematem blokowym z rys. 1, po stronie odbiorczej systemu należy na
podstawie próbek systemu odtworzyć sygnał analogowy, czyli przeprowadzić rekonstrukcję
sygnału. Między próbkami można poprowadzić sygnał analogowy na nieskończenie wiele
sposobów. Mimo to, jeśli są spełnione założenia twierdzenia o próbkowaniu, to jest możliwe
idealne odtworzenie sygnału analogowego na podstawie próbek sygnału poprzez
zastosowanie idealnego filtru odbiorczego. Idealny filtr odbiorczy ma taką samą
charakterystykę jak idealny filtr antyaliasowy i jest nierealizowalny fizycznie.
W praktyce najczęściej do rekonstrukcji sygnału używa się rekonstruktora
schodkowego (ZOH). Ten typ rekonstruktora interpoluje wartości między próbkami w ten
sposób, że podtrzymuje wartość każdej próbki aż do następnej próbki. Sygnał
zrekonstruowany jest aproksymacją schodkową oryginalnego sygnału analogowego, tak jak to
pokazano na rys. 2.
Prób ki
sygn ału
S ygnał
analogowy
0
T
2T
3T
4T
5T
Sygnał
zrekonstruowany
(schodkowy)
6T
7T
t
Rys. 2. Zasada działania rekonstruktora schodkowego
Rekonstruktor schodkowy ma prostokątną odpowiedź impulsową
Andrzej Leśnicki
h(t ) =
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 8
3/9
u (t ) − u (t − T )
T
(3)
i następującą transmitancję
H ( jω ) = e
− jω
T
2
sin ω
ω
T
2
T
2
(4)
Przejście sygnału spróbkowanego przez rekonstruktor, to w dziedzinie czasu splot sygnału z
odpowiedzią impulsową, a w dziedzinie częstotliwości pomnożenie widma sygnału (wraz z
replikami) przez transmitancję.
Kolejny typ rekonstruktora to rekonstruktor odcinkami liniowy (w skrócie FOH). W
tym rekonstruktorze wartości między próbkami są interpolowane liniowo, tak jak to pokazano
na rys. 3. Rekonstruktor odcinkami liniowy ma trójkątną odpowiedź impulsową
 t
1 +
h(t ) =  T
t
1 −
 T
, dla − T ≤ t ≤ 0
, poza tym 0
(5)
, dla 0 < t ≤ T
i następującą transmitancję
T

 sin ω
2
H ( jω ) = 
 ωT

2







2
(6)
Podobnie jak i w poprzednim rekonstruktorze tak i w tym, przejście sygnału spróbkowanego
przez rekonstruktor, to w dziedzinie czasu splot sygnału z odpowiedzią impulsową, a w
dziedzinie częstotliwości pomnożenie widma sygnału (wraz z replikami) przez transmitancję.
Próbki
sygnału
S ygnał
analogowy
−T
0
T
2T
3T
4T
5T
Sygnał
zrekonstruowany
(odcinkam i liniow y)
6T
Rys. 3. Zasada działania rekonstruktora odcinkami liniowego
7T
8T
t
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 8
4/9
W badaniach rekonstruktorów będziemy posługiwali się interfejsem graficznym
prorek. Okno tego interfejsu pokazano na rys. 4. Sygnał x(t ) można złożyć z pięciu
składowych, każda o postaci A cos(2πf 0 t + faza ) . Pole do edycji składowej sygnału należy
kliknąć i edytowany tekst podświetli się na czerwono. Trzy parametry ( A, f 0 , faza )
edytowanej składowej ustawiamy suwakami lub wpisujemy wartości w pola edycyjne.
Amplituda ma wartość z przedziału 0 ≤ A ≤ 100 , podstawiając A = 0 eliminujemy
niepotrzebną składową sygnału. Częstotliwość ma wartość z przedziału 0 ≤ f 0 ≤ 2 ,
podstawiając f 0 = 0 zrealizujemy składową stałą sygnału. Faza ma wartość z przedziału
− 180 0 ≤ faza ≤ 180 0 . Do rekonstrukcji sygnału można wybrać za pomocą przycisków
radiowych jeden z trzech rekonstruktorów: idealny, schodkowy, odcinkami liniowy. W
pierwszym układzie współrzędnych zostaje wykreślony sygnał x(t ) , próbki tego sygnału x[n]
(próbkowanie z założenia odbywa się z jednostkowym okresem próbkowania T = 1 ) i sygnał
zrekonstruowany na podstawie próbek (czerwona linia przerywana). W drugim układzie
współrzędnych jest wykreślone widmo amplitudowe sygnału x(t ) . W trzecim układzie
współrzędnych jest wykreślone widmo amplitudowe sygnału spróbkowanego x[n] (jest to
widmo sygnału x(t ) wraz z replikami wokół krotności częstotliwości próbkowania
f p = 1 T = 1 ). W czwartym układzie współrzędnych zostaje wykreślona charakterystyka
amplitudowa wybranego rekonstruktora. W ostatnim układzie współrzędnych jest wykreślone
widmo amplitudowe sygnału zrekonstruowanego (jest to iloczyn widma sygnału x[n] i
charakterystyki częstotliwościowej rekonstruktora).
Rys. 4. Okno interfejsu graficznego prorek
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 8
5/9
Przykład 1. Wybierzemy do badań sygnał, który spełnia założenia twierdzenia o
próbkowaniu
x(t ) = 2 + 2 cos(2π 0,1t ) + cos(2π 0,3t )
(7)
Sygnał x(t ) i jego próbki x[n] (okres próbkowania jest z założenia jednostkowy), wykreślono
w pierwszym układzie współrzędnych na rys. 4. Widmo amplitudowe sygnału x(t )
wykreślono w drugim układzie współrzędnych na rys. 4. Założenia twierdzenia o
próbkowaniu są spełnione, gdyż maksymalna częstotliwość w widmie sygnału x(t ) ma
wartość B = 0,3 i jest ponad dwukrotnie mniejsza niż częstotliwość próbkowania
f p = 1 T = 1 (widmo sygnału mieści się w przedziale Nyquista (− 0.5 , 0.5) ). Widmo sygnału
spróbkowanego x[n] jest wykreślone w trzecim układzie współrzędnych na rys. 4 i jak widać
„ogony” replik widma nie zachodzą na siebie, będzie możliwa idealna rekonstrukcja sygnału
poprzez filtrowanie tego widma w idealnym filtrze odbiorczym. Charakterystyka
amplitudowa takiego idealnego filtru odbiorczego będącego idealnym rekonstruktorem jest
wykreślona w czwartym układzie współrzędnych i widmo sygnału na wyjściu tego filtru jest
wykreślone w piątym układzie współrzędnych na rys. 4. Widmo sygnału na wyjściu systemu
jest takie samo jak widmo sygnału na wejściu systemu i sygnał zrekonstruowany (narysowany
linią przerywaną w pierwszym układzie współrzędnych na rys. 4) pokrywa się z sygnałem
wejściowym. Używając rekonstruktora schodkowego zauważymy, że sygnał zrekonstruowany
jest aproksymacją schodkową sygnału wejściowego, a używając rekonstruktora odcinkami
liniowego zauważymy, że sygnał zrekonstruowany jest aproksymacją odcinkami liniową
sygnału wejściowego.
Przykład 2. Wybierzemy do badań sygnał, który nie spełnia założeń twierdzenia o
próbkowaniu
x(t ) = 6 cos(2π 0,4t ) + 4 cos(2π 0,6t ) = 3e j 2π 0, 4t + 3e − j 2π 0, 4t + 2e j 2π 0, 6t + 2e − j 2π 0, 6t
(8)
Widmo tego sygnału jest dyskretne i prążki widma wykreślono na rys. 5. Widmo
sygnału na wyjściu idealnego filtru odbiorczego różni się zasadniczo od widma sygnału
wejściowego. Dlatego sygnał zrekonstruowany (wykreślony linią ciągłą w pierwszym
układzie współrzędnych) różni się bardzo od sygnału wejściowego (wykreślonego linią
przerywaną). Różnice te będą oczywiście też występowały przy użyciu innych
rekonstruktorów, gdyż nie ma lepszego rekonstruktora od rekonstruktora idealnego.
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 8
6/9
Rys. 5. Badanie sygnału nie spełniającego założeń twierdzenia o próbkowaniu
Do istniejących składowych sygnału można dodać składową o tak dobranej
amplitudzie, częstotliwości i fazie, że z widma sygnału spróbkowanego zniknie dotychczas
istniejący prążek. Na przykład po dodaniu do sygnału x(t ) = 6 cos(2π 0,4t ) + 4 cos(2π 0,6t )
składowej 10 cos(2π 1,4t + 180 0 ) , widmo całkowicie wyzeruje się (rys. 6).
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 8
7/9
Rys. 6. Zubażanie widma sygnału spróbkowanego poprzez dodanie dodatkowej składowej
sygnału wejściowego
3. Wykonanie ćwiczenia
1. Niech w systemie z idealnym rekonstruktorem sygnał wejściowy będzie przebiegiem
kosinusoidalnym. Zbadaj i przedyskutuj jak zmienia się sygnał wyjściowy przy zmianach
częstotliwości sygnału wejściowego f we w zakresie od 0 do 2.
Zauważ, że dla częstotliwości sygnału wejściowego większych niż częstotliwość
Nyquista ( f we > 0,5 ), sygnał wyjściowy ma inną częstotliwość f wy niż sygnał wejściowy,
zachodzi zjawisko aliasu. Sporządź wykres zależności częstotliwości sygnału wyjściowego w
funkcji częstotliwości sygnału wejściowego f wy ( f we ) . Ten wykres ma kształt piłozębowy.
Dla każdego odcinka wykresu napisz jego równanie.
Zauważ, że dla sygnału wejściowego o fazie ϕ , przy częstotliwościach f we z
opadających odcinków wykresu f wy ( f we ) , sygnał wyjściowy ma fazę − ϕ (zachodzi zjawisko
(
)
inwersji fazy). Można wziąć np. sygnał cos 2πf we t − 90 0 = sin (2πf we t ) . Wówczas dla f we z
odcinków o dodatnim nachyleniu mamy na wyjściu sygnał sin (2πf wy t ) (nie ma inwersji fazy),
i dla f we z odcinków o ujemnym nachyleniu mamy na wyjściu sygnał − sin (2πf wy t ) (jest
inwersja fazy).
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 8
8/9
2. Wybierz do badań sygnał dwuharmoniczny (lub z większą niż dwa liczbą składowych),
spełniający założenia twierdzenia o próbkowaniu podobnie jak w przykładzie 1. Zapisz ten
sygnał wzorem. Porównaj, przedyskutuj wyniki badań dla trzech rekonstruktorów:
a) Rekonstruktor idealny. Narysuj sygnał zrekonstruowany na tle spróbkowanego
sygnału wejściowego. Narysuj widmo sygnału spróbkowanego na tle charakterystyki
amplitudowej idealnego rekonstruktora. Narysuj widmo sygnału wyjściowego.
b) Rekonstruktor schodkowy. Narysuj sygnał zrekonstruowany na tle spróbkowanego
sygnału wejściowego. Narysuj widmo sygnału spróbkowanego na tle charakterystyki
amplitudowej rekonstruktora schodkowego (wzór (4)). Narysuj widmo sygnału
wyjściowego. Narysuj charakterystykę filtru, który należałoby włączyć za
rekonstruktorem, aby otrzymać charakterystykę rekonstruktora idealnego.
c) Rekonstruktor odcinkami liniowy. Narysuj sygnał zrekonstruowany na tle
spróbkowanego sygnału wejściowego. Narysuj widmo sygnału spróbkowanego na tle
charakterystyki amplitudowej rekonstruktora odcinkami liniowego (wzór (6)). Narysuj
widmo sygnału wyjściowego. Narysuj charakterystykę filtru, który należałoby
włączyć za rekonstruktorem, aby otrzymać charakterystykę rekonstruktora idealnego.
3. Wybierz do badań sygnał dwuharmoniczny (lub z większą niż dwa liczbą składowych), nie
spełniający założeń twierdzenia o próbkowaniu podobnie jak w przykładzie 2. Zapisz ten
sygnał wzorem. Sporządź wykresy sygnałów i widm. Porównaj wyniki dla trzech różnych
rekonstruktorów. Przedyskutuj uzyskane wyniki.
4. Dodaj do sygnału z punktu 3 składową o tak dobranej amplitudzie, częstotliwości i fazie,
aby zlikwidować jeden z dotychczasowych prążków widma sygnału spróbkowanego.
Wyjaśnij sposób doboru tej dodatkowej składowej.
4. Zadania testowe na wejściówki i sprawdziany
1. Sygnał dwuharmoniczny x(t ) jest próbkowany z zadaną częstotliwością próbkowania:
a) x(t ) = cos(2π 2kHz t ) + cos(2πft ) , f p = 10 kHz
b) x (t ) = 2 sin (2π 2 kHz t ) + cos (2π ft ) ,
f p = 8 kHz
π

c) x(t ) = cos 2π 2kHz t +  + cos(2πft + faza ) , faza = 0 , f p = 6 kHz
2

System dyskretny nie ma filtru antyaliasowego, a filtr odbiorczy jest idealny. Znajdź takie
częstotliwości f (jest ich nieskończenie wiele, podaj wzór), dla których sygnał wyjściowy
jest sygnałem jednoharmonicznym. Dla najmniejszej ze znalezionych częstotliwości
spełniającej warunek f ≠ 2 kHz narysuj widmo sygnału wejściowego, widmo sygnału
spróbkowanego, widmo sygnału wyjściowego. Wyznacz sygnał wyjściowy y (t ) . W
przypadku c znajdź dodatkowo takie pary f , faza , dla których sygnał wyjściowy równa się
zeru.
2. Sygnał x(t ) jest próbkowany z zadaną częstotliwością próbkowania:
a) x(t ) = 3 + 4 cos(2π 1kHz t ) + 2 cos(2π 2kHz t ) , f p = 3 kHz
b) x(t ) = 1 + 4 cos(2π 1kHz t ) + 2 cos(2π 5kHz t ) ,
f p = 3 kHz
c) x(t ) = 4 + 4 cos(2π 3kHz t ) + 4 cos(2π 5kHz t ) + 2 sin (2π 8kHz t ) ,
f p = 8 kHz
Andrzej Leśnicki
Laboratorium CPS
Ćwiczenie 8
9/9
System dyskretny nie ma filtru antyaliasowego, a filtr odbiorczy jest idealny. Narysuj widmo
sygnału wejściowego, widmo sygnału spróbkowanego, widmo sygnału wyjściowego.
Wyznacz sygnał wyjściowy y (t ) . Wyjaśnij jaką rolę spełniłby w systemie filtr antyaliasowy,
a jaką nadpróbkowanie. Czy dla każdego sygnału wejściowego nadpróbkowanie pozwala
uniknąć zniekształceń aliasowych?
3. Wykaż, jaka jest odpowiedź impulsowa i transmitancja rekonstruktora schodkowego. Jaka
jest charakterystyka filtru, który należałoby włączyć kaskadowo z rekonstruktorem
schodkowym, aby otrzymać charakterystykę idealnego rekonstruktora?
4. Wykaż, jaka jest odpowiedź impulsowa i transmitancja rekonstruktora odcinkami
liniowego. Jaka jest charakterystyka filtru, który należałoby włączyć za rekonstruktorem
odcinkami liniowym, aby otrzymać charakterystykę idealnego rekonstruktora?