Analiza Systemów

Analiza Systemów
Modelowanie systemu - Wirtualny mostek
1
Przekształcenia Laplace’a
Rozważmy poniższe zwyczajne równanie różniczkowe:
C
u(t) − ym (t)
dym (t) ym (t)
+
=
dt
R
Rr
(1)
Przekształcenie całkowe Laplace’a funkcji f (t) definiuje się następująco:
Z ∞
L(f (t)) = F (s) =
f (t)e−st dt,
(2)
0
Stosujemy przekształcenie Laplace’a zarówno do lewej jak i prawej strony
równania (1), wykorzystując liniowość przekształcenia:
C[sYm (s) − ym (0)] +
1
1
Ym (s) =
[U (s) − Ym (s)]
R
Rr
(3)
Porządkując odpowiednie zmienne otrzymujemy:
Ym (s) =
U (s)
Rr (cs + R1 +
1
)
Rr
+
cym (0)
cs + R1 + R1r
(4)
√
Zakładając, wymuszenie U (t) = 2U sin(ωt), oraz uwzględniając L(U (t)) =
ω
U (s) = s2 +ω
2 , równanie (4) przyjmuje postać:
√
Ym (s) =
Rr
(s2
+
2U ω
+
ω 2 )(cs
1
R
+
+ R1r )
+
cym (0)
cs + R1 + R1r
(5)
Rozłóżmy oba wyrażenia na ułamki proste. W tym celu należy zauważyć,
że mianownik wyrażenia (5) przyjmuje wartość zero dla trzech wartości ze-
spolonych, t.j.:
s1 = (0, ω)
s2 = (0, −ω)
1 1
1
), 0)
s3 = (− ( +
c R Rr
(6)
W takim razie równanie (5) można zapisać w równoważnej postaci:
√
2U ω h A
B
C i ym (0)
Ym (s) =
+
+
+
Rr c s − s1 s − s2 s − s3
s − s3
(7)
gdzie współczynniki (A, B, C) można wyznaczyć rozwiązując układ równań:
A+B+C =0
As3 + As2 + Bs3 + Bs1 + Cs2 + Cs1 = 0
As2 s3 + Bs1 s3 + Cs1 s2 = 1
Rozwiązania przyjmują postać następujących liczb zespolonych:
c2 R2 Rr 2
ω 2 c2 R2 Rr 2 + Rr 2 + 2 R Rr + R2
c R Rr (Rr + R)
¢
Im(A) = −1/2 ¡ 2 2 2 2
ω ω c R Rr + Rr 2 + 2 R Rr + R2
Re(A) = −1/2
c2 R2 Rr 2
Re(B) = −1/2 2
Rr + 2 R Rr + R2 + ω 2 c2 R2 Rr 2
c R Rr (Rr + R)
¢
Im(B) = 1/2 ¡ 2
ω Rr + 2 R Rr + R2 + ω 2 c2 R2 Rr 2
c2 R2 Rr 2
Rr 2 + 2 R Rr + R2 + ω 2 c2 R2 Rr 2
Im(C) = 0
Re(C) =
(8)
Należy zauważyć, że zachodzą następujące relacje: Re(A) = Re(B) i Im(A) =
−Im(B) oraz Re(C) = −2Re(B). Uwzględniając poniższy wzór na odwrotne
przekształcenia Laplace’a:
h 1 i
= eat
(9)
L−1
s−a
Otrzymujemy rozwiązanie:
h
i √2U ω h
i
−1
ym (t) = L Ym (s) =
Aes1 t + Bess t + Ces3 t + ym (0)es3 t
Rr c
2
(10)
Zauważmy, że zachodzi:
Aes1 t +Bess t +Aes3 t = [Re(A)+jIm(A)]ejωt +[Re(B)+jIm(B)]e−jωt +Re(C)es3 t
(11)
Co uwzględniając zależności Re(A) = Re(B) i Im(A) = −Im(B) oraz
Re(C) = −2Re(B) sprowadza się do następującej postaci:
Re(A)[ejωt + e−jωt ] + jIm(A)[ejωt − e−jωt ] − 2Re(A)es3 t
(12)
Pamiętając, że ejωt = cos(ωt) + jsin(ωt) powyższa równość sprowadza się do:
2Re(A)cos(ωt) − 2Im(A)sin(ωt) − 2Re(A)es3 t
(13)
Rr +R
, co powoduje
Można również zauważyć, że zachodzi Im(A) = Re(A) cωR
rR
uproszczenie (13) do postaci
£
¤
Rr + R
2Re(A) cos(ωt) −
sin(ωt) − es3 t
cωRr R
(14)
Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie:
√
i
2U ω h
Rr + R
s3 t
cos(ωt) −
sin(ωt) − e
+ ym (0)es3 t
ym (t) = 2Re(A)
Rr c
cωRr R
h
i
√
Rr + R
= −%cωR2 Rr U 2 cos(ωt) −
sin(ωt) − es3 t + ym (0)es3 t
cωRr R
√
√
= %RU 2(Rr + R)sin(ωt) − %cωR2 Rr U 2cos(ωt)−
√
(15)
− %cωR2 Rr U 2es3 t + ym (0)es3 t ,
gdzie % = (ω 2 c2 R2 Rr 2 + Rr 2 + 2 R Rr + R2 )−1 . Ponadto narzucając warunek
początkowy ym (0) = 0 oraz fakt, że interesować nas będzie tylko rozwiązanie
w stanie ustalonym, rozwiązanie przyjmuje postać:
√
√
ym (t) = %RU 2(Rr + R)sin(ωt) − %cωR2 Rr U 2cos(ωt)
(16)
3