Zbiory mgr A. Piłat, mgr M. Małycha 1. Oceń wartość logiczną zdania

Zbiory
mgr A. Piłat, mgr M. Małycha
1. Oceń wartość logiczną zdania (jeżeli jest ono zdaniem logicznym):
a) Gdynia jest miastem portowym.
b) 7 jest liczbą szczęśliwą.
c) Co masz zrobić jutro zrób dzisiaj.
d) Liczba 7 i jej kwadrat powiększony o 4 są liczbami pierwszymi.
√
e) Istnieje kwadrat, którego przekątna jest równa połowie obwodu lub istnieje kwadrat o polu 2.
f ) Pole trójkąta równobocznego o boku 1 jest mniejsze od pola rombu o boku 1 lub jest większe od pola
kwadratu o boku 1. q
g) p: 6|3506,
q:
4 49 ∈ W,
r: liczba naturalna n, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2 ma
postać n = 3k + 2 dla pewnej liczby naturalnej k.
Oceń wartość logiczną zdań (p ∨ r) ∧ q.
h) Kilimandżaro jest największą górą Afryki wtedy i tylko wtedy, gdy struś jest największym ptakiem.
i) Jeżeli trójkąt jest równoboczny, to ma dwa boki równe.
j) Jeżeli Poznań leży nad Odrą, to jest stolicą Wielkopolski.
2. Podane
√ wyrażenie poprzedź kwantyfikatorem, aby otrzymać zdanie prawdziwe:
a) x2 = |x|
b) 6|n(n + 1)(n + 2)
c)
x2 −1
x+1
=3
d) liczba x jest jednocześnie liczbą pierwszą i liczbą parzystą.
3. Zbiór A ma 12 elementów, zbiór B ma 9 elementów, zbiór A ∪ B ma 17 elementów. Ile elementów należy
do zbioru A \ B.
4. Wykonaj działania na zbiorach:
a) C, N
b) W, NW
c) A = {1, 2, 3, 4}, B = {−2, −1, 0, 1, 2}
d) A = {x ∈ N : 10|x}, B = {x ∈ N : 5|x}
5. Zbiór A jest zbiorem tych wszystkich liczb rzeczywistych,
które spełniają nierówność |x + 24| 6 96, a zbiór B jest
przedstawiony na osi liczbowej.
a) Zapisz zbiór A w postaci przedzialu liczbowego.
b) Opisz zbiór B za pomocą nierówności z wartością bezwzględną.
c) Wykaż, że liczba 72 należy do zbioru A \ B.
-42
72
x
6. Wyznacz wszystkie liczby x ∈ R, które spełniają nierówność x2 < 4x, ale nie spełniają nierówności
|x + 2| < 3.
7. Dane są zbiory: A = {x ∈ R : x2 − 4x − 5 6 0} oraz B = {x ∈ R : x2 − 3x > 0}. Zaznacz na osi liczbowej
zbiory A i B oraz wyznacz zbiory A ∩ B i B \ A.
8. Wykonaj odpowiednie obliczenia i oceń, które z podanych zdań jest prawdziwe, a które fałszywe:
2
p : −3 = 9,
√
q : 81 + 64 = 17
−2
√
1
3
4
.
r:
27 =
9
Oceń wartość logiczną zdania: (p ∧ q) ⇒ r. Odpowiedź uzasadnij.
9. Zbiór A jest zbiorem rozwiązań nierówności: −x2 + 2x + 3 > 0, zbiór B jest dziedziną funkcji wymiernej
x2 −9
W (x) = 4x−x
2 . Wyznacz różnicę zbiorów A \ B.
10. (R) a) Sprawdź, czy następujące wyrażenia są tautologiami:
q ⇒ (p ∨ q)
p ⇒ (p ∧ q)
∼ (p ∧ (∼ q)) ⇔ ((∼ p) ∨ q)
http://maria.malycha.eu/
Zbiory
mgr A. Piłat, mgr M. Małycha
[(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] ⇒ (p ∨ q)
b) Rozstrzygnij, czy poprawne jest rozumowanie:
Jeżeli wiesz, że umarłeś to umarłeś i jeżeli wiesz, że umarłeś to nie umarłeś więc nie wiesz, że umarłeś.
11. (R) Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów, których współrzędne spełniają nierówność:
log 12 (2 − x2 − y 2 ) > −1.
12. (R) Zbadaj, czy pierwiastki równania
nierówności: log 13 (log4 (x2 − 5)) > 0 i
1 2x
3
x+3
x+5
− 12 ·
6 5.
1 x
3
+ 27 = 0 należą do sumy zbiorów rozwiązań
13. (R) Dane sa zbiory A = {x; x ∈ R∧x5 −4x3 −8x2 +32 > 0}, B = {x; x ∈ R∧log0,1 (4−x2 ) > log0,1 (6x−3)}.
Wyznacz zbiory A ∩ B, A \ B.
p
1
14. (R) Zaznacz zbiór wszystkich par (x, y) liczb rzeczywistych, dla których wyrażenie 4 4 − x2 − y 2 − √y−logx
ma wartość rzeczywistą. Zbiór ten przedstaw graficznie na płaszczyźnie XOY.
15. (R) Wykonaj działania na przedziałach A, B, jeżeli A jest przedziałem, w którym funkcja f (x) =
1
rosnacą, B jest przedziałem będącym dziedziną funkcji g(x) = logx−log(4−x)
.
16. (R) Niech A = {(x, y); |x| + |y| 6 2},
większe pole?
1+x
√
x
jest
B = {(x, y); −1 6 x 6 1 ∧ 2 6 y 6 6}. Który z tych zbiorów ma
17. (R) W układzie wspołrzędnych zaznacz zbiór A ∩ B, gdy: A = {(x, y); x > −2 ∧ y 6 0},
B = {(x, y); y 2 6 |x + 1|}.
18. (R) W układzie współrzędnych XOY zaznacz iloczyn kartezjański A × B, gdy: A = {x; |x| > 1}
B = {y; |y| 6 1}.
http://maria.malycha.eu/