Pobierz - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA
DECYZJI
Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem metody
dekompozycji Dantziga-Wolfe’a
Materiał pomocniczy 1 – część 2:
Metoda dekompozycji Dantziga-Wolfe’a
Opracowanie:
Piotr Hirsch, mgr inż.
Sławomir Dorawa, mgr inż.
Gdańsk, styczeń 2016
1. Algorytm dekompozycji Dantziga-Wolfe’a
Podzielmy algorytm dekompozycyjny na dwie fazy, podobnie jak to ma miejsce w
zrewidowanej metodzie simpleksowej. W fazie I sprawdzamy czy istnieje rozwiązanie
dopuszczalne zagadnienia ekstremalnego, a następnie szukamy bazy wyjściowej B. W fazie
II szukamy rozwiązania optymalnego zagadnienia oryginalnego.
Wprowadźmy dodatkowe oznaczenia, które zostaną użyte w opisie poszczególnych faz
algorytmu:
– wektor ofertowy uzyskany przez rozwiązanie
- tym kroku algorytmu, w
-tej fazie (
-tego podzagadnienia, w
;
;
odpowiednio wektor i koszt przerzutu uzyskany z wektora
–
);
przez transformację (1);
– optymalna wartość funkcji celu p –tego podzagadnienia odpowiadająca wektorowi
.
(1)
1.1. Faza I algorytmu dekompozycyjnego
Obliczenia rozpoczynamy od poszukiwania początkowej bazy
dowolnego rozwiązania
dopuszczalnego zagadnienia ekstremalnego metodą sztucznej bazy.
– dowolne rozwiązania podzagadnień
Niech
(
we wstępnym kroku algorytmu
). Rozwiązujemy następujące zagadnienie: wyznaczyć
) oraz
(
(
maksymalizujące funkcję celu
(2)
przy ograniczeniach
(3)
– sztuczne zmienne;
gdzie:
– wektor przerzutu odpowiadający wektorowi
wektor jednostkowy o wymiarze
wektora
;
–
z jedynką w -tym wierszu. Znaki przed elementami
są dobrane tak, aby sztuczne zmienne
były nieujemne w rozwiązaniu
bazowym, tzn. sumuje się elementy wszystkich kolumn ekstremalnych w wierszu -tym, jeśli
suma ta jest większa od odpowiedniego elementu wektora
, to element wektora
przyjmuję się jako ujemny. Analogicznie, gdy suma jest mniejsza, element wektora
są równe zero.
przyjmuje się dodatni. Dla uproszczenia zmienne
Funkcję celu
maksymalizujemy z ujemnymi wartościami sztucznych zmiennych. Można
ją też oczywiście minimalizować sumując wartości ze znakiem dodatnim. Tak czy inaczej,
dążymy do tego, aby sztuczne zmienne wynosiły 0.
Po uzyskaniu początkowej bazy
z rozwiązania (3) ze wstępnego kroku fazy I, możemy
przejść do sformalizowania opisu działań w algorytmie dekompozycyjnym (w fazie I ceny
kolumn naturalnych i koszty przerzutu kolumn ekstremalnych przyjmuje się, że są
równe zero):
1) po uzyskaniu z rozwiązania ograniczonego zagadnienia głównego wektora
mnożników simpleksowych
, centrum systemu oblicza formy celu
je do każdego z podsystemów (
i przesyła
)
2) podsystemy rozwiązują swoje podzagadnienia przy wykorzystaniu form celu
3) dokonuje się oceny kolumn ekstremalnych wg kryterium (4), a kolumn naturalnych wg
(5) do wyboru wektorów ofertowych
(wraz z odpowiadającym
) lub kolumn
h h h kandydujących do wejścia do bazy
4) centrum systemu wybiera kolumny
lub
, które będą proponowane do wejścia
do bazy, tworząc odpowiadające im odpowiednio kolumny ekstremalne lub kolumny
naturalne, w zależności od wariantu algorytmu
5) po wprowadzeniu utworzonych kolumn, formułuje się ograniczone zagadnienie
główne dla fazy I.
𝑍𝑝𝑗 − 𝜋2,𝑝 > 0
(4)
𝑐0𝑗 − 𝝅𝑨𝟎𝒋 > 0
(5)
Nowe zagadnienie fazy I: wyznaczyć
) maksymalizujące funkcję celu
(
) oraz
(
;
(6)
przy ograniczeniach
(7)
gdzie teraz rozpatrujemy wszystkie kolumny (naturalne oraz ekstremalne) stare i nowe
kandydujące do wejścia do bazy zagadnienia ekstremalnego.
Jak już wspomniano wcześniej, w fazie I dążymy do uzyskania funkcji celu
. Jeśli
się to udaje, przechodzimy do fazy II, jeśli nie, to układ ograniczeń jest sprzeczny.
1.2. Faza II algorytmu dekompozycyjnego
Przejście z fazy I do fazy II dokonuje się poprzez sprowadzenie wszystkich sztucznych
zmiennych
do zera oraz wprowadzenie rzeczywistych wartości cen kolumn naturalnych
i kosztów przerzutu kolumn ekstremalnych (w fazie I ich wartości przyjęte było jako równe
zero). Algorytm przedstawiony w opisie fazy I, różni się nieznacznie od tego stosowanego w
fazie II: obliczamy formy celu z rzeczywistymi wartościami
z rzeczywistą wartością
, wyceniamy kolumny
, przypisujemy kolumnom naturalnym rzeczywiste ceny
a kolumnom ekstremalnym rzeczywiste koszty przerzutu
. Po tych modyfikacjach dla
fazy II jest formułowane ograniczone zagadnienie główne: wyznaczyć
) oraz
(
;
(
) maksymalizujące funkcję celu
(8)
przy ograniczeniach
,
(9)
1.3. Zakończenie algorytmu dekompozycji Dantziga-Wolfe’a
Proces obliczeń kończy się gdy nie zostanie spełniony warunek (4) dla żadnego z
podzagadnień oraz (5) dla żadnej kolumny
podczas wykonywania algorytmu.
Otrzymane rozwiązanie optymalne uzyskuję się z aktualnego bazowego rozwiązania
dopuszczalnego.
Po
przekształceniu
wg
(10)
-
(11)
mamy
postać
rozwiązania
oryginalnego zagadnienia zdekomponowanego określającego optymalny program produkcji.
(10)
(11)
2. Warianty metody dekompozycji Dantziga-Wolfe’a
Możemy wyróżnić kilka wariantów metody dekompozycji. Określają one ilość kolumn
dołączanych do ograniczonego zagadnienia głównego, które spełniły odpowiadające
im kryteria, a także ilość kolumn wykluczanych z bazy w każdym kroku algorytmu.
Wyróżnić można wiele wariantów metody dekompozycji. Przedstawmy klasyfikację z
podziałem na dwie grupy:
1) warianty z grupy A – do ograniczonego zagadnienia głównego wprowadzana
jest jedna kolumna
a) wariant AA – kolumny opuszczające bazę pozostają jako kolumny uzupełniające
b) wariant AB – kolumna usuwana z bazy, jest również usuwana z zagadnienia
c) wariant AC – kolumny wypadające z bazy pozostają uzupełniającymi
dopóki, dopóty pozwala na to pamięć komputera
2) warianty z grupy B – do ograniczonego zagadnienia głównego wprowadzane
są wszystkie kolumny spełniające (4) i (5); warianty BA, BB i BC są
analogiczne do odpowiednich z grupy A.
W zaprezentowanym przykładzie zastosowano wariant BA, tj. w punkcie 4) rozdziału 1.1
wybieramy wszystkie kolumny spełniające określone kryterium oraz że nie usuwamy kolumn,
które nie weszły do bazy.