podstawowe rozkłady

Podstawowe rozkªady prawdopodobie«stwa
ROZKŠADY DYSKRETNE
Rozkªad jednopunktowy
P(X = m) = 1 dla pewnego m ∈ R
EX = m, Var(X) = 0
ϕ(t) = eitm
Rozkªad dwupunktowy
P(X = a) = p i P(X = b) = 1 − p = q , p ∈ (0, 1)
EX = ap + bq , Var(X) = pq(a − b)2 .
ϕ(t) = peita + (1 − p)eitb
Rozkªad dwumianowy b(n, p), n ∈ N, p ∈ (0, 1)
n k
P(X = k) =
p (1 − p)n−k ,
k
k = 0, 1, . . . , n
EX = np, Var(X) = np(1 − p)
ϕ(t) = (1 − p + peit )n
Rozkªad Poissona P oiss(λ), λ > 0
P(X = k) = e−λ ·
λk
,
k!
k = 0, 1, 2, . . .
EX = λ, Var(X) = λ
ϕ(t) = exp(λ(eit − 1))
Rozkªad geometryczny G(p), p ∈ (0, 1)
P(X = k) = p(1 − p)k−1 ,
EX = p1 , Var(X) =
ϕ(t) =
k = 1, 2, . . . ,
p ∈ (0, 1)
1−p
p2
peit
1−(1−p)eit
ROZKŠADY ABSOLUTNIE CIA
GŠE
Rozkªad jednostajny U (a, b), a, b ∈ R, a < b
f (x) =
EX = a+b
, Var(X) =
2
eitb −eita
ϕ(t) = it(b−a)
1
11[a,b] (x)
b−a
(b−a)2
12
1
Przygotowaªa: Agnieszka Goroncy
Podstawowe rozkªady prawdopodobie«stwa
Rozkªad normalny N (a, σ 2 ), a ∈ R, σ 2 > 0
f (x) = √
(x−a)2
1
e− 2σ2
2πσ
EX = a, Var(X) = σ 2
2 2
ϕ(t) = eiat−t σ /2
Rozkªad Cauchy'ego C(α, λ), α ∈ R, λ > 0
f (x) =
1
λ
· 2
π λ + (x − α)2
EX , Var(X) nie istnieja
ϕ(t) = exp(iαt − λ|t|)
Rozkªad gamma G(α, λ), α, λ > 0
f (x) = λα xα−1
EX = αλ , V ar(X) =
1
ϕ(t) = (1−it/λ)
α
e−λx
11(0,+∞) (x)
Γ(α)
α
λ2
Funkcja gamma dana jest wzorem Γ(n) =
R∞
xn−1 e−x dx.
0
Gdy n ∈ N, to Γ(n) = (n − 1)!
Rozkªad beta B(α, β), α, β > 0
f (x) =
EX =
α
,
α+β
V ar(X) =
1
xα−1 (1 − x)β−1 11(0,1) (x)
B(α, β)
αβ
(α+β)2 (α+β+1)
Funkcja beta B(x, y), x, y > 0, dana jest wzorem B(x, y) =
R1
ux−1 (1 − u)y−1 du.
0
Gdy x, y ∈ N, to B(x, y) =
(x−1)!(y−1)!
.
(x+y−1)!
Zwi¡zek mi¦dzy funkcjami gamma i beta:
B(x, y) =
Γ(x)Γ(y)
.
Γ(x + y)
Rozkªad wykªadniczy E(λ), λ > 0
f (x) = λe−λx 11(0,+∞) (x)
EX = λ1 , Var(X) =
1
ϕ(t) = 1−it/λ
1
λ2
2
Przygotowaªa: Agnieszka Goroncy
Podstawowe rozkªady prawdopodobie«stwa
Jest to rozkªad gamma G(1, λ).
Rozkªad chi-kwadrat z n stopniami swobody χ2n , n ∈ N
f (x) =
x
n
1
−1
2
11(0,+∞) (x)
x
exp
−
2
2 Γ( n2 )
n
2
EX = n, Var(X) = 2n
1
ϕ(t) = (1−2it)
n/2
Jest to rozkªad gamma G( n2 , 12 ).
Rozkªad pot
egowy P o(λ, α), λ, α > 0
α α−1
x 11(0,λ] (x)
λα
f (x) =
EX =
αλ
,
α+1
V ar(X) =
αλ2
(α+1)2 (α+2)
Rozkªad Pareto P a(x0 , α), x0 > 0, α > 0
f (x) = αxα0 · x−(α+1) 11(x0 ,+∞) (x)
EX =
αx0
,
α−1
α > 1,
Var(X) =
αx20
(α−1)2 (α−2),
α>2
Rozkªad Weibulla W e(α, β), α, β > 0
f (x) = αβ
α x
x
exp −
11(0,+∞) (x)
β
Γ(1 + α2 ) − Γ2 (1 + α1 )
−α α−1
EX = βΓ(1 + α1 ), Var(X) = β 2
Rozkªad t-Studenta z n stopniami swobody T (n), n ∈ N
f (x) =
EX = 0, n ≥ 2, Var(X) =
n
,n
n−2
Γ( n+1
)
x2 −(n+1)/2
2
√
)
(1
+
n
Γ( n2 ) πn
≥3
Rozkªad Laplace'a La(µ, β), µ ∈ R, β > 0
f (x) =
1
|x − µ|
exp(−
)
2β
β
EX = µ, Var(X) = 2β 2
3
Przygotowaªa: Agnieszka Goroncy