Granice ci¡gów i funkcji

Granice ci¡gów i funkcji - zadania
E. Sadowska-Owczorz
1 pa¹dziernika 2016
1. Oblicz granice ci¡gów.
i)
an =
4 − 3n
,
2n + 3
ii)
an =
5n2 + 3n − 1
,
2n2 − 3n + 2
vi)
iii)
an =
3n3 + 2n + 1
,
2n2 − 3
vii)
iv)
an =
xiii)
xiv)
xv)
xvi)
xx)
xxi)
xxvi)
an
an
an
an
v)
an =
4n2 + 3n − 1
,
2n3 − 2n
√
n−1
√ ,
an =
5−3 n
an =
5n + 3n − 1
n2 + 2n − 1
viii) an =
,
,
2n − 5n
3n + 2
√
√
xvii) an
= n2 + 3 − n2 + 8n
√
= 2n − 4n2 + n − 2
√
√
xviii) an
= n4 + 3 − n4 + 5n2 − 2
√
√
= n4 − 3n3 + 2 − n4 − 5n
xix) an
n+1
an =
n−3
an =
n+3
n2 + n
n2 + 2
xxii)
cos n2
an =
n+3
xxiii)
xxvii)
ix)
an =
!2−3n
an =
n − 2n2
5 − 2n2
an =
4n3 + 5
4n3 + n2
!4n−3
3n+2 + 4n−1
,
2n−2 + 3n+2 + 4
2n−3 + 22n−3
x) an =
,
22n−5 + 3n−1
√
3 n−1
,
xi) an = √
2 n − 3n
√
√
3
7 n2 + 3 3 n − 1
xii) an = √
,
√
3
3 n2 + 3 n − 5
√
√
= 2n2 − 5n − 2n2 − 7n
√
√
= n2 + 1 − n2 + 10
√
√
= 3 3n3 + 2n − 3 3n3 + 1
2n7 + 3n2 − 2
,
n2 − 3n5 + 2n7
xxiv)
!5n+1
(−1)n
an = 2
n +2
an =
5n4 + n − 2
5n4 − 3n2
!2n2 −8
!5−6n
xxv)
xxviii)
xxix)
n + 2n2 − 3
an =
n + 3n2
√
an = n 5n + 3n + 6n
√
an = n n + 2 n + n 3 + 7
2. Oblicz granice funkcji.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
x3 − 2x + 3
,
x→∞ x2 + 4x − 1
3x2 + x
lim
,
x→∞ 2x2 + 1
3x3 + 5x + 3
lim
,
x→−∞ x2 − 4x − 1
8x + 3
lim
,
x→∞ (x + 4)(x − 1)
lim
3 − 2x − 3x4
,
x→−∞
x2 + 4x4
x4 − 2x + 1
lim
,
x→−∞
5x2 + 4
x5 + 6x − 3
lim
,
x→∞ x2 − 3x5
lim
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
(m)
(n)
4x − x3
,
x→−∞ 3x − 1
x(2 − x)(x + 5)
lim
,
x→∞ (x + 2)(x − 1)
x(2 − x)(x + 5)
lim
,
x→−1 (x + 2)(x − 1)
x(2 − x)(x + 5)
lim−
,
x→1
(x + 2)(x − 1)
x(2 − x)(x + 5)
lim +
,
x→−2
(x + 2)(x − 1)
x(2 − x)(x + 5)
lim
,
x→2 (x + 2)(x − 1)
x2 − 9
lim 2
,
x→3 x − x − 6
lim
(o)
x2 − 9
,
x→−2 x2 − x − 6
(p)
x2 + 8x + 15
,
x→5
25x − x3
(q)
x2 + 8x + 15
,
x→−5
25x − x3
(r)
x4 + 5x − 1
,
x→0 x3 + 2x2
(s)
x3 + 4x2 − 3x − 18
,
x→2
2x3 − 3x2 − 4
(t)
x4 + 3x3 + 2x2 + 5x − 3
,
x→−3
x3 + 10x2 + 19x − 6
lim
lim
lim
lim
lim
lim
3. Wyznacz asymptoty funkcji
(a)
(b)
(c)
x2 + 9
,
x2
x3 − 125
f (x) = 2
,
x − 25
x3
f (x) =
,
x+1
f (x) =
(d)
(e)
f (x) =
2x3 − x2 − 5x − 2
,
2x − x2
√
x2 + 3x x
f (x) =
,
x−4
1
(f)
(g)
x3 + 2x2 + x
,
x2 − 1
x3
f (x) =
,
16 − x2
f (x) =
Granice ci¡gów i funkcji - zadania
E. Sadowska-Owczorz
1 pa¹dziernika 2016
4. Zbadaj ci¡glo±¢ funkcji
(a)
(b)
f (x) =
f (x) =


x4 − 16





 2x − 4
, x<2
, x = 2,
16




sin (x3 + 2x2 − 4x − 8)



x−2
 3
2

 x − 8x + 25x − 50 ,
x2 − 25

0
(c)
14




x3



, x>2
x 6= 5
f (x) =


tg (x3 + 2x2 + 32)





x2 − x − 20

,
, x=5
2
+ 5x2 + 6x + 8
x2 + x − 12
, x < −4
, x = −4 ,
, x > −4
Granice ci¡gów i funkcji - zadania
E. Sadowska-Owczorz
1 pa¹dziernika 2016
Odpowiedzi
1.
i)
ii)
iii)
iv)
viii)
ix)
vi)
0,
xi)
0,
xiii)
xiv)
xvi)
xvii)
xix)
(h)
(i)
−∞,
(c)
(d)
0,
(j)
6,
(e)
− 43 ,
(k)
−∞,
(f)
∞,
(l)
xxiii) e−5/4
xxiv) e6/5
xxv)
0,
xxvii)
0,
xxii) e3/2
=
√
5
xxviii)
6,
xxix)
2,
e3 ,
(m)
0,
(q)
(n)
6
,
5
1
,
25
(r)
−∞,
−∞,
prawostronna ∞,
(s)
∞,
prawostronna −∞,
25
,
14
(t)
2,
i w
−∞.
(o) lewostronna
(p) lewostronna
∞,
x = 0,
asymptota pozioma
y=0
w
+∞
120
100
80
60
40
20
0
-4
-3
-2
-1
0
-20
-40
3
1
2
3
4
1
= √
4
=
∞,
xxvi)
0,
xxi) e4 ,
−
(a) asymptota pionowa obustronna
5
,
2
∞,
1
,
2
0,
−
xx) e4 ,
1
− ,
4
1
,
3
−∞,
(g)
xviii)
7
,
3
−4,
∞,
3
,
2
−∞,
(a)
xv)
∞,
4,
xii)
1
− ,
3
−1,
x)
∞,
1,
(b)
3.
3
,
2
5
,
2
∞,
v)
vii)
2.
−
√
5
e5
e6 ,
,
Granice ci¡gów i funkcji - zadania
E. Sadowska-Owczorz
(b) asymptota pionowa obustronna
i w
x = −5,
brak asymptoty w
x = 5,
1 pa¹dziernika 2016
asymptota uko±na
−∞.
100
80
60
40
20
0
-15
-10
-5
0
5
10
15
-20
-40
-60
-80
(c) asymptota pionowa obustronna
x = −1,
brak asymptot uko±nych.
150
100
50
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
-50
-100
-150
4
2
4
6
8
10
y=x
w
+∞
Granice ci¡gów i funkcji - zadania
E. Sadowska-Owczorz
(d) asymptota pionowa obustronna
w
+∞
i w
x = 0,
brak asymptoty w
1 pa¹dziernika 2016
x = 2,
asymptota uko±na
y = −2x − 3
−∞..
80
60
40
20
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-20
-40
-60
-80
(e) asymptota pionowa obustronna
x = 4,
brak asymptot uko±nych ( w
−∞
asymptot).
300
250
200
150
100
50
0
-2
0
2
4
6
8
-50
-100
-150
-200
-250
5
10
12
14
16
18
nawet nie poszukujemy
Granice ci¡gów i funkcji - zadania
E. Sadowska-Owczorz
(f) asymptota pionowa obustronna
i w
1 pa¹dziernika 2016
x = 1, brak asymptoty w x = −1, asymptota uko±na y = x+2 w +∞
−∞..
60
40
20
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-20
-40
-60
(g) asymptoty pionowe obustronne
x = −4 i x = 4,
asymptota uko±na
y = −x
w
60
40
20
0
-15
-10
-5
0
5
10
-20
-40
-60
4.
(a) Funkcja ci¡gªa,
(b) Nieci¡glo±¢ usuwalna w
x0 = 5.
(c) Nieci¡glo±¢ nieusuwalna w
Brak ci¡gªo±ci jednostronnych.
x0 = −4.
Ci¡gªo±¢ prawostronna w
6
x0 = −4.
15
+∞
i w
−∞..