okl mt 05-2008 pomocnicze.qxd

mate
matyka
N
TEKST
TRUDNY
ie mam wykształcenia muzycznego, ale kilka lat
temu opanowałem tajniki gamy. Nie, nie tak: zrozumiałem, jaka kryje się tu matematyka. Kilkakrotnie prowadziłem zajęcia na ten temat i zawsze było
tak, że matematycy rozumieli ułamki, a nie rozumieli
muzyków, którzy z kolei potrafili wszystko zagrać,
a odpadali, gdy próbowałem to wszystko wyjaśnić
prostą matematyką.
Matematycy chętnie przyznają się do pewnego
duchowego pokrewieństwa z muzyką i żałują, że muzycy nieczęsto rewanżują się podobnym uczuciem.
(Jak wiadomo, Albert Einstein grał całkiem znośnie
na skrzypcach. Po jednym z jego koncertów na cele
dobroczynne pewien krytyk napisał: „Skrzypek grał
całkiem dobrze, ale nie rozumiem, skąd się bierze ta
jego światowa sława”). Pitagoras uważał, że planety
w swoich wędrówkach po orbitach wydają przyjemne
dźwięki, których jednak nie potrafimy usłyszeć. Z tak
dawnych czasów pochodzi zwrot „harmonia sfer”.
Korzystając nieświadomie z prawa Webera–
Fechnera, pitagorejczycy podzielili całą skalę muzyczną na równomierne oktawy. Za jednostkę skali przyję-
O muzyce
Michał Szurek
Michał Szurek tak mówi o sobie: „Urodzony w 1946.
Ukończyłem UW w 1968 r. i od tego czasu tam pracuję na
Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Specjalność
naukowa: geometria algebraiczna. Ostatnio zajmowałem
się wiązkami wektorowymi. Co to jest wiązka wektorowa?
No, trzeba wektory mocno powiązać sznurkiem i już mamy
wiązkę.
Do „Młodego Technika” zaciągnął mnie siłą kolega fizyk,
Antoni Sym (przyznaję, powinien mieć z tego powodu tantiemy od moich honorariów autorskich). Napisałem kilka
artykułów, a potem zostałem i od 1978 roku co miesiąc
możecie Państwo czytać, co też myślę o matematyce.
Lubię góry i mimo nadwagi staram się chodzić. Uważam,
że najważniejsi są nauczyciele. Polityków, niezależnie od
opcji, jaką prezentują, trzymałbym w pilnie strzeżonym
miejscu, żeby nie mogli uciec. Karmił raz dziennie. Lubi
mnie jeden pies z Tulec, rasy beagle”.
i ułamkach prostych
li interwał między dźwiękami, jakie wydaje „cała”
struna i dzielona na dwie, cztery, osiem,... części. To
znana wszystkim nam dzisiaj oktawa. Oktawa dzieliła
się na siedem tonów i dwanaście półtonów, ale podstawową jednostką była kwinta (stosunek podziału
struny 3:2) i kwarta (4:3).
Liczba półtonów
między dźwiękami
Nazwy interwału
Dźwięk odległy
o ten interwał od c
Stosunek częstotliwości
w skali pitagorejskiej
0
Pryma
c
1
Sekunda mała
cis (pryma zwiększona), des
2
3
4
5
Sekunda wielka
Tercja mała
Tercja wielka
Kwarta czysta
Tryton = kwarta zwiększona
= kwinta zmniejszona
Kwinta czysta
Seksta mała
Seksta wielka
Septyma mała
Septyma wielka
Oktawa czysta
d
dis (sekunda zwiększona), es
e
f
1
cis 2187/2048
des 256/243
9/8
6
48
Znane w psychologii prawo Webera–Fechnera
ma „mądre”, matematyczne sformułowanie: wrażenie
jest proporcjonalne do logarytmu podniety, a można
je wysłowić, nie używając... tego słowa na l. Chodzi
po prostu o to, że aby nasze zmysły odebrały coś jako
7
8
9
10
11
12
81/64
4/3
fis, ges
g
gis (kwinta zwiększona), as
a
ais (seksta zwiększona), b
h
c
3/2
27/16
243/128
2
Pitagoras uważał, że planety w swoich wędrówkach po orbitach
wydają przyjemne dźwięki, których jednak nie potrafimy usłyszeć.
dwukrotną, trzykrotną, czterokrotną zmianę, liczby
opisujące tę zmianę muszą się zmienić czterokrotnie,
dziewięciokrotnie, szesnastokrotnie i tak dalej. Dlatego ściemniacz światła powinien być logarytmiczny
(natężenie maleje wykładniczo, my obserwujemy je
jako równomierne), a w temperowanej skali muzycznej częstotliwości dźwięków tworzą ciąg geometryczny o jednym z wyrazów równym 440 herców (raz12
2 . Prawo Webera–Fechnera dakreślne a) i ilorazie
ło się efektownie zaobserwować w czasie zaćmienia
Słońca 11 sierpnia 1999 r. W Polsce zasłonięte było 80
procent Słońca, a ciemniej było tylko trochę...
Wygodniej nam będzie prowadzić obliczenia
nie na częściach struny, a na częstotliwościach. Pitagorejczycy pracowali z częściami struny, a te wielkości są odwrotnie proporcjonalne:
długość drgającej struny = 1/częstość drgań,
i trzeba dobrać jednostki, żeby współczynnik proporcjonalności był równy 1.
Spójrzmy na klawiaturę fortepianu okiem matematyka. Skoro c1 i c to te same dźwięki, tylko w innych oktawach, to – matematycznie – klawiatura jest
jakby kolista.
Możemy teraz otrzymać doskonale znane muzykom zależności, rachując kąty. Kwinta to 7/12 kąta
pełnego, kwarta to 5/12. Są to liczby względnie pierwsze z 12 i dopełniają się do 12. To dlatego... wszystko gra.
Tabelkę dla kwarty otrzymamy, czytając schemat dla kwinty od dołu: dwie kwarty to tercja itd.
Kwinta
Dwie kwinty
Trzy kwinty
Cztery kwinty
Pięć kwint
Sześć kwint
Siedem kwint
Osiem kwint
Dziewięć kwint
Dziesięć kwint
Jedenaście kwint
210°
2 · 210° = 420° = 60°
3 · 210° = 630° = 270°
4 · 210° = 840° = 120°
5 · 210° = 1050° = 330°
6 · 210° = 1260° = 180°
7 · 210° = 1470° = 30°
8 · 210° = 1680° = 240°
9 · 210° = 1890° = 90°
10 · 210° = 2100° = 300°
11 · 210° = 2320° = 150°
Sekunda wielka
Seksta wielka
Tercja
Septyma wielka
Tryton
Sekunda mała
Seksta mała
Tercja mała
Septyma mała
Kwarta
Do tej pory wszystko jest w porządku. Kłopoty
zaczynają się, gdy zaczynamy liczyć częstotliwości.
Zacznijmy od sekundy małej – półtonu. Matematycznie jest ona równoważna siedmiu kwintom (albo minus pięciu kwintom!). Obliczamy:
7
2187
2187
⎛3⎞
⎜ ⎟ =
–––
>
128
2048
⎝2⎠
– mnożymy siedem razy przez 3/2 i dzielimy przez
taką potęgę dwójki, żeby ułamek był większy od 1,
a mniejszy niż 2, otrzymując cis, dźwięk o pół tonu
ponad c.
Ale siedem kwint daje ten sam dźwięk co pięć
kwart, tylko przesunięty o dwie oktawy. Postępując
podobnie, otrzymujemy zatem des, dźwięk o sekundę
małą w dół od d .
5
−5
25
32
256
⎛ 4 ⎞ 1024
⎛3⎞
→
i podobnie ⎜ ⎟ = 5 =
⎟ =
243
3
243
243
⎝3⎠
⎝2⎠
Ale ⎜
(mnożyliśmy przez potęgę dwójki, żeby wylądować
w tej samej oktawie). To jest trochę mniej niż
2187/2048. Ponadto – zostawiamy to Czytelnikom do
wyliczenia; wychodzą bardzo ładne ułamki! – ani
dwanaście półtonów, ani sześć całych tonów, ani
cztery tercje nie dają dokładnie całej oktawy: zawsze
trochę się od niej różnią i ta różnica (dokładniej: stosunek tych wielkości) to komat, w naszym przykładzie komat pitagorejski. Komat mierzy zawsze nieregularność skali muzycznej.
Pitagorejskie cis jest zatem (matematycznie)
większe, czyli muzycznie wyższe niż des, a wina leży
wyłącznie po stronie arytmetyki i brzydkiego zachowania się ułamków 3/2 i 4/3.
Skala pitagorejska nazywa się w muzyce diatoniczną, a jej cztery dźwięki: c – f – g – c, to skala
legendarnej liry Orfeusza.
Próbowano poprawić tę skalę już w starożytności. W I wieku p.n.e. filozof grecki Didymos dopuścił jeszcze podział struny w 1/5 długości, skąd otrzymał jako tercję wielką stosunek 5/4, czyli 1,25, podczas gdy pitagorejską tercją była, jak widzieliśmy
81/64 = 1,26. Odkrycie Didymosa zastosowano w XIV
wieku, gdy rozwinęła się muzyka wielogłosowa
i praktyka pokazała, że teoria Pitagorasa – iż najlepiej
współbrzmią te dźwięki, których interwały wyrażają
się jak najprostszymi liczbami – się nie sprawdza.
Ale rzecz charakterystyczna: samą zasadę utrzymano,
starano się tylko zmienić skalę. I tak powstała tzw.
skala naturalna:
c
d
e
f
g
1
9/8
5/4
4/3
3/2
a
h
5/3 15/8
c
2
Zadanie (na ułamki): Wyliczyć wielkość komatu
syntonicznego (didymejskiego), czyli różnicę między
cis i des skali naturalnej. Uwaga: okaże się, że cis <
des.
Podejmowano i wciąż podejmuje się niezliczone próby poprawienia skali muzycznej. W XIX wieku
znany fizyk H. Helmholtz zauważył, że środkowe
ułamki skali naturalnej są elementami znanego matematykom ciągu Fareya. Ciąg ten złożony jest z ułamków, które mają dziwną własność: każdy z nich otrzymany jest z sąsiednich przez dodawanie sposobem,
za który każdy nauczyciel ma prawo postawić ocenę
niedostateczną w szkole:
a c a+c
+ =
b d b+d
a zatem – zaproponował Helmholtz, zastosujmy tę
zasadę do skal muzycznych i niech d będzie 6/5, zaś
h = 5/3. Wraz ze skrzypkiem Joachimem przeprowadził odpowiednie eksperymenty i skala okazała się
możliwa do przyjęcia. Znów jednak zauważmy, że nie
zakwestionowano samej zasady, że piękne jest to, co
wyraża się jak najprostszymi liczbami.
Helmholtz używał pitagorejskiej definicji piękna: piękne jest to, co wyraża najwięcej treści jak najoszczędniejszymi środkami. A choć nie jest to ścisła
definicja matematyczna, takie właśnie jest kryterium
piękna w matematyce... i – jak widzieliśmy – w muzyce. A że „małe jest piękne”, wiemy i bez Pitagorasa.
Interesujące potwierdzenie tezy Pitagorasa, że
piękne jest to, co się wyraża małymi liczbami, znajduje również potwierdzenie w teorii flażoletów. Słownik
terminów muzycznych wyjaśni nam, że flażolet to
dźwięk o miękkiej naturalnej barwie, grany częściej
na instrumentach strunowych i uzyskiwany przez lekkie dotknięcie struny w połowie, jednej trzeciej, itd.
49
mate
matyka
Na instrumentach dętych flażolet osiągamy przez
przedęcie: zamiast dwukreślnego c, gramy jednokreślne c z przedęciem. Rezultatem jest ten sam dźwięk
o ładnym, niekiedy interesująco nieczystym brzmieniu.
Matematycznie sprawa jest prosta. Skróceniu
struny o dwie, trzy, cztery, pięć jednostek długości
odpowiada podwyższenie częstotliwości dwa, trzy,
cztery, pięć, ... razy. Dwa razy większa częstotliwość
to c1, ten sam dźwięk w górnej oktawie. Podwyższenie częstotliwości o trzy razy to – w skali naturalnej –
g (3/2), o cztery razy to oczywiście c2, o pięć to dokładnie e (5/4), o sześć to znów g, zaś o siedem daje to
dźwięk między a i h z bemolem.
Wszystkie matematyczne kłopoty ze skalą rozwiązuje skala temperowana, w której każdy półton
jest zwiększeniem częstotliwości poprzedniego
12
2 = 1,0594630943592952645618252949463417007
79204317494... razy – oczywiście nie z tą absurdalną
dokładnością, jaką tu podałem. Skala temperowana
była zaproponowana przez J.G. Neidharta w 1706 roku i rozsławiona przez Jana Sebastiana Bacha (Das
wohltemperierte Klavier, 1772) – 24 preludia i fugi we
wszystkich tonacjach durowych i molowych. Nie ma
w tej skali komatów i wszystko jest proste.
Matematyczna teoria muzyki jest fascynująca,
ale... to tylko teoria. W opowiadaniu Stanisława Lema
Młot zamknięty w międzygwiezdnym statku kosmicz-
nym astronauta próbuje słuchać muzyki wykonywanej w sposób perfekcyjny przez komputer. Nudzi się
szybko, krzyczy: „przestań!” i tęskni za muzyką
w „ludzkim, ułomnym, a więc pięknym wykonaniu”.
Wszystko opiera się na matematyce, to jasne.
Ale czy musimy zawsze trzymać się kurczowo tego
oparcia? LAUREACI KONKURSÓW
Z MT 3/08
MINIQUIZ
„CZYTAM, WIĘC WIEM”
str. 21: b; str. 41: b
Kowalski Kamil, Olsztyn
Zieliński Jan, Sosnowiec
Kowalczyk Krzysztof, Wąbrzeźno
Iwnicki Damian, Gdańsk
Nitkowski Łukasz, Warszawa
POMYSŁY
Pomysł miesiąca nr 1 z 3/2008
30% głosów na pomysł nr 1
19% głosów na pomysł nr 3
17% głosów na pomysł nr 5
JOLKA Z HASŁEM
Co zanadto, to niezdrowo
Kopniak Daniel, Stanowice
Tarnawa Grzegorz, Godziszka
Nowak Mariusz, Ćmielów
Stokłosa Maria, Ryczów
Kopa Mateusz, Łęki Dukielskie
KONKURS JĘZYKOWY
Piotr Kulik Hajnówka, Hajnówka
Paweł Chojnacki, Warszawa
Adam Sobieradzki, Starachowice
Krzysztof Maj, Połaniec
Katarzyna Nadolska, Małki