Finał Wojewódzkiego Konkursu Matematycznego dla uczniów

Finał Wojewódzkiego Konkursu Matematycznego dla uczniów gimnazjów
rok szkolny 2014/2015
Przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi.
Za każdą inną poprawną metodę rozwiązania zadania uczeo otrzymuje maksymalną liczbę punktów.
Tytuł finalisty: 6 pkt
Tytuł laureata: 16 pkt
Zadanie 1 [4 pkt.]
Dany jest trójkąt ABC taki, że 𝐴𝐵 = 12; 𝐵𝐶 = 16; 𝐶𝐴 = 20. Oblicz pola wielokątów, na które
symetralna boku AC podzieliła trójkąt ABC.
Przykładowe rozwiązanie:
A
D
B
C
E
122 + 162 = 144 + 256 = 400 = 202
Trójkąt ABC jest prostokątny.
∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐸𝐷𝐶 (kk)
𝐸𝐷
𝐴𝐵
=
𝐷𝐶
𝐵𝐶
𝐴𝐶
𝐵𝐶
=
𝐸𝐶
𝐷𝐶
𝐴𝐶 𝐷𝐶
20 ∙ 10
1
𝐸𝐶 =
=
= 12
𝐵𝐶
16
2
𝐸𝐷
12
=
10
16
12
𝐸𝐷 =
∙ 10 = 7,5
16
𝐸𝐷
2
= 𝐸𝐶
2
− 𝐷𝐶
=
625 400 225
−
=
4
4
4
𝐸𝐷 = 7,5.
1
1
𝐴𝐵 𝐵𝐶 = ∙ 12 ∙ 16 = 96
2
2
1
1
𝑃∆𝐸𝐶𝐷 = 𝐷𝐶 𝐷𝐸 = 10 ∙ 7,5 = 37,5
2
2
𝑃𝐵𝐸𝐷𝐴 = 𝑃𝐴𝐵𝐶 − 𝑃𝐸𝐷𝐶 = 96 − 37,5 = 58,5
𝑃∆𝐴𝐵𝐶 =
Odpowiedź:
Pole wielokąta ECD jest równe 37,5, a pole wielokąta BEDA jest równe 58,5.
1
2
Przykładowe rozwiązanie:
II sposób
A
D
B
C
E
122 + 162 = 144 + 256 = 400 = 202
Trójkąt ABC jest prostokątny.
∆𝐴𝐵𝐶~∆𝐸𝐷𝐶 (kk)
k – skala podobieostwa
10 5
=
16 8
25
𝑘2 =
64
𝑘=
𝑃∆𝐴𝐵𝐶 =
1
1
𝐴𝐵 𝐵𝐶 = ∙ 12 ∙ 16 = 96
2
2
𝑃∆𝐸𝐶𝐷 = 𝑘 2 ∙ 𝑃∆𝐴𝐵𝐶 = 37,5
𝑃𝐵𝐸𝐷𝐴 = 𝑃𝐴𝐵𝐶 − 𝑃𝐸𝐷𝐶 = 96 − 37,5 = 58,5
Odpowiedź:
Pole wielokąta ECD jest równe 37,5, a pole wielokąta BEDA jest równe 58,5.
2
Zadanie 2 [3pkt.]
Udowodnij, że suma
201516 + 201515 + 201514 + 201513 + ⋯ + 20152 + 20151
jest podzielna przez 16.
Przykładowe rozwiązanie:
201516 + 201515 + 201514 + 201513 + ⋯ + 20152 + 20151
= 201515 2015 + 1 + 201513 2015 + 1 + … + 2015(2015 + 1)
= (2015 + 1)(201515 + 201513 + ⋯ + 20151 ) = 2016 201515 + 201513 + ⋯ + 20151
= 16 ∙ 126 ∙ (201515 + 201513 + ⋯ + 20151 )
126 ∙ (201515 + 201513 + ⋯ + 20151 ) ∈ 𝐶
Odpowiedź: Sumę 201516 + 201515 + 201514 + 201513 + ⋯ + 20152 + 20151 można przedstawid
w postaci iloczynu liczby 16 i liczby całkowitej, zatem jest podzielna przez 16.
3
Zadanie 3 [4pkt.]
W ostrosłupie czworokątnym prawidłowym wysokośd ma długośd 8, a stosunek wysokości ściany bocznej
do krawędzi bocznej jest równy
3
2
. Oblicz objętośd ostrosłupa.
S
b
k
D
C
R
P
A
a
B
Przykładowe rozwiązanie:
I sposób
a – długośd krawędzi podstawy
k – długośd wysokości ściany bocznej
b – długośd krawędzi bocznej
h –długośd wysokości ostrosłupa
Z zależności
𝑘
3
=
𝑏
2
wynika, że ściana boczna jest trójkątem równobocznym i b = a.
Stosujemy twierdzenie Pitagorasa do trójkąta CPS
𝑎 2
2
ℎ2 + 2
= 𝑏2
Podstawiamy b = a
2
𝑎 2
ℎ2 +
= 𝑎2
2
𝑎2
64 +
= 𝑎2
2
𝑎2
64 =
2
𝑃𝑝 = 𝑎2 = 128
1
1
1024
1
∙ 𝑃𝑝 ∙ ℎ = ∙ 128 ∙ 8 =
= 341
3
3
3
3
𝟏
Odpowiedź: Objętośd ostrosłupa jest równa 𝟑𝟒𝟏 𝟑.
𝑉=
4
Przykładowe rozwiązanie:
II sposób
a–długośd krawędzi podstawy
k – długośd wysokości ściany bocznej
b – długośd krawędzi bocznej
h –długośd wysokości ostrosłupa
𝑘
3
=
𝑏
2
2 3𝑘
𝑏=
3
2
4𝑘
2
𝑏 =
3
Stosujemy twierdzenie pitagorasa do trójkątów SPR i SPC
𝑎 2
2
2
4𝑘
𝑎 2
𝑘2 =
−
3
2
4
2𝑘 2 = 64 + 𝑘 2
3
2 2
𝑘 = 64
3
𝑘=4 6
𝑘 2 = 64 +
𝑎
2
2
= 96 − 64 = 32
𝑎=8 2
1
1024
1
𝑉 = ∙ 64 ∙ 2 ∙ 8 =
= 341
3
3
3
𝟏
Odpowiedź: Objętośd ostrosłupa jest równa 𝟑𝟒𝟏 𝟑 .
5
Zadanie 4 [3 pkt.]
Liczby a, b i c są naturalne. Liczba a jestliczbą czterocyfrową. Liczba b jest liczbą sześciocyfrową i
powstała przez dopisanie do liczby a na koocu dwóch cyfr: 1 oraz 2(1 jako cyfra dziesiątek, 2 jako cyfra
jedności). Liczba c jest liczbą sześciocyfrową i powstała przez dopisanie do liczby a dwóch cyfr 2 na
początku. Liczba b jest trzykrotnością liczby c. Znajdź liczbę a.
Przykładowe rozwiązanie:
a – naturalna liczba czterocyfrowa
b = 100a + 12
c = 220000+ a
3 220000 + 𝑎 = 100𝑎 + 12
97𝑎 = 659988
𝑎 = 6804
spr. 680412 = 226804*3
Szukana liczba, to 6804.
Odpowiedź: Liczba a to 6804.
6
Zadanie 5 [3 pkt.]
Jaś i Małgosia sprawdzając listę laureatów konkursu matematycznego zauważyli, że za Małgosią
uplasowało się dwa razy więcej laureatów niż przed Jasiem. Ponadto za Jasiem uplasowało się 1,5 razy
więcej laureatów niż przed Małgosią. Małgosia znalazła się na 21 pozycji. Ilu laureatów zawierała lista?
Przykładowe rozwiązanie:
I sposób:
x- liczba laureatów przed Jasiem
2x – liczba laureatów za Małgosią
Przed Małgosią jest 20 laureatów, zatem za Jasiem jest 1,5*20 = 30 laureatów
19 - x – liczba laureatów między Małgosią i Jasiem
2x + 1 + 19 – x = 30
x = 10
10 + 30 + 1 = 41
Odpowiedź: Na liście znajduje się 41 laureatów.
Przykładowe rozwiązanie:
II sposób:
Rozwiązanie „graficzne”
x
Jaś
1,5*20=30
20
Małgosia
2x
30 = 20 – 1 – x + 2x + 1
x = 10
10 + 1 + 30 = 41
Odpowiedź: Na liście znajduje się 41 laureatów.
7
Zadanie 6 [3 pkt.]
W pewnej grupie są dziewczęta i chłopcy. Gdyby każdy chłopiec był starszy o 5 lat, a każda dziewczyna
była młodsza o 2 lata, to średnia wieku całej grupy zwiększyłaby się o 3 lata. Oblicz, jaką częśd tej grupy
stanowią dziewczęta.
Przykładowe rozwiązanie:
c - liczba chłopców
d - liczba dziewcząt
5c – 2d = 3 (d + c)
2𝑐 = 5𝑑
𝑐 = 2,5𝑑
𝑑
𝑑
2
=
=
2,5𝑑 + 𝑑 3,5 𝑑 7
𝟐
Odpowiedź: Dziewczęta stanowią 𝟕 grupy.
8