OPTYMALNE PROJEKTOWANIE KONSTRUKCJI KOMPOZYTOWEJ

MODELOWANIE INśYNIERSKIE
35, s.7-14, Gliwice 2008
ISSN 1896-771X
OPTYMALNE PROJEKTOWANIE KONSTRUKCJI
KOMPOZYTOWEJ OBCIĄśONEJ TERMICZNIE
Z WYKORZYSTANIEM ALGORYTMU GRADIENTOWEGO
KRZYSZTOF DEMS, ELśBIETA RADASZEWSKA
Katedra Mechaniki i Informatyki Technicznej, Politechnika Łódzka
e-mail: [email protected], [email protected]
Streszczenie. Celem pracy było optymalne zaprojektowanie struktury
kompozytu, tak aby materiał ten spełniał stawiane wymagania w zakresie
określonych własności termicznych. Do rozwiązania sformułowanego zadania
zastosowano gradientową metodę optymalizacyjną opartą na analizie wraŜliwości
funkcjonału celu w sposób bezpośredni rozszerzoną o metodę elementów
skończonych analizy przepływu ciepła.
1. WSTĘP
W pracy rozpatrzono dwuwymiarowe płaskie elementy konstrukcyjne obciąŜone
termicznie, wykonane z materiału kompozytowego w postaci laminatu składającego się
z warstw macierzy wzmocnionych włóknami.
Celem pracy było optymalne zaprojektowanie struktury kompozytu, tak aby materiał ten
spełniał stawiane wymagania w zakresie określonych własności termicznych. W tym celu
wykorzystano model zastępczy kompozytu, a następnie na jego bazie podjęto próbę ustalenia
najbardziej korzystnej orientacji, ułoŜenia włókien w warstwie kompozytu w funkcji
uzyskania maksymalnej lub minimalnej wartości strumienia ciepła. To zadanie
optymalizacyjne było rozpatrywane przede wszystkim z uwagi na kształt i orientacje włókien
wzmacniających w matrycy, które to cechy przyjęto jako zmienne parametry projektowania.
Jako funkcjonał celu została zbadana maksymalna lub minimalna wartość strumienia ciepła
na brzegu ciała. Do poszukiwania optymalnych rozwiązań zastosowano gradientowy system
optymalizacyjny oparty na metodzie zmiennej metryki, przy czym wraŜliwość I rzędu
funkcjonału celu została wyznaczona przy uŜyciu metody bezpośredniej analizy wraŜliwości.
2. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU
RozwaŜmy (rys.1) element konstrukcyjny, wykonany z materiału kompozytowego,
składającego się z matrycy wzmocnionej jednokierunkowo włóknami. Matryca i włókna są
materiałami jednorodnymi izotropowymi o współczynnikach przewodzenia ciepła
wynoszącymi odpowiednio: λm i λw. Ponadto załoŜono, Ŝe zawartość objętościowa włókien
wzmacniających w kompozycie wynosi ρw.
8
K. DEMS, E. RADASZEWSKA
y
materiał kompozytowy:
włókno - λw ; ρw
matryca - λm
x
Rys.1. Kompozytowy element konstrukcyjny poddany obciąŜeniu
Proces optymalnego projektowania struktury kompozytowej obciąŜonej termicznie został
poprzedzony budową modelu [3]. Celem modelowania było określenie macierzy
przewodności materiału konstrukcyjnego w funkcji charakterystyk materiałowo –
geometrycznych jego składników, a opracowany model stanowił punkt wyjścia do
sformułowania zadania optymalizacji w procesie jego projektowania.
Przy budowie modelu kompozytu mikroskopowo niejednorodny materiał, będący
mieszaniną matrycy i włókien, został zastąpiony w skali makroskopowej jednorodnym,
materiałem o własnościach ortotropowych.
Własności cieplne tego materiału zaleŜą od własności termicznych macierzy i włókien
wzmacniających oraz od objętościowego udziału i kształtu przekroju włókien
wzmacniających oraz orientacji ułoŜenia włókien w warstwie kompozytu. [4].
Wykorzystując model zastępczy kompozytu, podjęto próbę takiego zaprojektowania
kształtu linii włókien wzmacniających w warstwie kompozytu, aby uzyskać maksymalną lub
minimalną wartość gęstości strumienia ciepła na brzegu obciąŜonym cieplnie mniejszą
temperaturą.
Kształt linii, na których kierunkach ułoŜone są włókna w matrycy, moŜna określić poprzez
wektor θ = [θ 1 ,θ 2 ,...,θ m ] , którego elementy są kątami orientacji włókna lub parametrami
definiującymi te kąty w dowolnym k-tym punkcie kompozytowego materiału konstrukcji
(rys.2). W obszarze warstwy parametr ten moŜe być stały i wówczas włókna są ułoŜone
prostoliniowo w matrycy lub moŜe być zmienny i wtedy włókna w matrycy są rozmieszczone
krzywoliniowo. W przypadku włókien krzywoliniowych ich orientacja zaleŜy od załoŜonego
kształtu osi włókien wzmacniających, przy czym kształt ten moŜe zaleŜeć od przyjętych
wartości zmiennych projektowych [7].
y
θk
yk
xk
x
Rys.2. Orientacja włókna w materiale kompozytowym
W pracy rozpatrywano przypadek włókien prostoliniowych oraz krzywoliniowych, dla
których kształt osi „włókna wzorcowego” jest opisany krzywą Beziera.
PoniewaŜ dla prostoliniowego włókna, jego orientacja jest bezpośrednio określona przez
kąt nachylenia θk osi tego włókna do osi x globalnego układu odniesienia w „k-tej” warstwie
(rys.3), to w takim przypadku kąt ten jest traktowany jako parametr kształtu:
OPTYMALNE PROJEKTOWANIE KONSTRUKCJI KOMPOZYTOWEJ...
s k = {θ }k
dla
k = 1, ... , m , gdzie m jest ilością warstw.
9
(1)
y
y = ax + b
θk ∈ 〈00; 1800 〉
x
Rys.3. Włókna prostoliniowe o dowolnej orientacji
W pracy rozpatrzono równieŜ przypadek włókien krzywoliniowych, dla których kształt osi
„włókna wzorcowego” jest opisany krzywą Beziera (rys.4). Współrzędne tej krzywej określa
n
związek parametryczny (2) zaś   oznacza symbol Newtona [5]:
i
 x(s k , t )  n  xik  n
   i


n −i
 = ∑  k    t (1 − t )

 y (s k , t ) i =0  yi   i 
gdzie : 0 ≤ t ≤ 1
(2)
Wartości xik i yik są współrzędnymi wierzchołków Pik wieloboku zwanego wielobokiem
Beziera, który stanowi podstawę konstrukcji krzywej Beziera w „k-tej” warstwie kompozytu.
Zbiorem parametrów kształtu dla tej krzywej są natomiast niezaleŜne współrzędne
wierzchołków Beziera określone zaleŜnością (3):
s k = { x i , y i }k
dla
 k = 1, ... , m

 i = 0, ... , n
(3)
gdzie m jest ilością warstw, zaś n liczbą wierzchołków wieloboku Beziera osi „włókna
wzorcowego” w „k-tej” warstwie.
y
P2 (x2, y2)
wielobok Beziera
P0 (x0, y0)
P3 (x3, y3)
P1 (x1, y1)
krzywa Beziera
yi
x
xi
Rys.4. Włókna krzywoliniowe o osi opisanej krzywą Beziera
Wymienione parametry będą stanowić wektor zmiennych projektowych
w procesie optymalnego projektowania struktury materiału kompozytowego.
b = {s k }
10
K. DEMS, E. RADASZEWSKA
3. ANALIZA WRAśLIWOŚCI
W celu zastosowania metod gradientowych do rozwiązywania zadań optymalizacji
elementów konstrukcyjnych trzeba dysponować zarówno algorytmem wyznaczania wartości
funkcjonałów celu jak i algorytmem wyznaczania wraŜliwości pierwszego rzędu z uwagi na
zmianę wartości parametrów projektowania.
Określenie wektora wraŜliwości dowolnego funkcjonału będącego lokalną lub globalną
miarą zachowania się obciąŜonej termicznie konstrukcji wymaga znajomości jej pochodnych
pól stanu ze względu na składowe wektora zmiennych projektowych. W celu określenia
wraŜliwości pierwszego rzędu metodą bezpośrednią naleŜy rozwiązać problem dodatkowy
przewodzenia ciepła, stowarzyszony z kaŜdym parametrem projektowania.
Równanie przewodzenia dla problemu dodatkowego określa się, róŜniczkując równanie
przewodzenia w układzie podstawowym. Warunki brzegowe na fragmentach brzegu
zewnętrznego, w układzie dodatkowym stowarzyszonym z p-tym parametrem projektowania,
moŜna otrzymać przez zróŜniczkowanie równań dla układu podstawowego [2].
Szukane wraŜliwości pól stanu konstrukcji podstawowej wyraŜają się przez odpowiednie
pola stanu konstrukcji dodatkowej.
ΓT
λ
Ω
T0
f
Γ=ΓT∪Γq∪Γc
Γq
0
qn
Γc
q
n
Rys.5. Problem podstawowy ustalonego przewodzenia ciepła
Równanie przewodzenia ciepła oraz warunki brzegowe w układzie podstawowym mają
następującą postać dla ustalonego przewodzenia ciepła [8]:
T( x) = T 0 (x)
− divq + f = 0
q = −λ∇T
q n (x) = nq (x) = q 0n (x)
(4)
q n (x) = nq = h[T( x) − T∞ (x)]
gdzie:
T- pole temperatury,
q- natęŜenie strumienia przewodzonego ciepła,
λ - macierz współczynników przewodzenia,
f- wewnętrzne źródło ciepła.
Postać ogólna dowolnego funkcjonału analizowanego dla problemu ustalonego
przewodzenia ciepła wyraŜa się następującą zaleŜnością [2].
Fc = ∫ Γ(T , ∇T , φ p )dΩ + ∫ γ (T , qn )dΓ
(5)
Po zróŜniczkowaniu równań w układzie podstawowym równanie przewodzenia i równania
opisujące warunki brzegowe określające pola na odpowiednich brzegach zewnętrznego
układu dodatkowego w metodzie bezpośredniej wyraŜają się następującymi zaleŜnościami dla
problemu dodatkowego:
OPTYMALNE PROJEKTOWANIE KONSTRUKCJI KOMPOZYTOWEJ...
•
równanie przewodzenia w układzie
dodatkowym:
•
warunki brzegowe
dodatkowym:
11
w
− divq, p + f, p = 0
T, p (x) = 0
q,p = − A∇T, p + q*
q n , p = nq, p = 0
q = − A, p ∇T
q n , p = nq, p = h[T, p −T∞p ]
*
gdzie: p - p-ty parametr projektowania
T∞p =
h, p
h
układzie
(6)
(T − T∞ )
ZaleŜność opisującą wraŜliwość dowolnego funkcjonału wyznaczoną metodą bezpośrednią
moŜna zapisać następująco dla ustalonego przewodzenia ciepła:
∂γ ∂T
δFc ⌠  ∂Γ ∂T ∂Γ ∂T ,i ∂Γ 
⌠ ∂γ ∂q
dΩ + ⌠
=  
+
+
dΓq + 
dΓT

⌡ ∂T ∂p
δp ⌡  ∂T ∂p ∂T ,i ∂p ∂p 
⌡ ∂q ∂p
(7)
4. OPTYMALNE PROJEKTOWANIE – METODY GRADIENTOWE
W procesie projektowania optymalnych struktur kompozytów włóknistych, do
poszukiwania minimum funkcjonału celu bez ograniczeń, została uŜyta metoda zmiennej
metryki rozszerzona o metodę bezpośrednią analizy wraŜliwości słuŜącą do wyznaczania
w kolejnych iteracjach gradientu funkcjonału celu ∇Fc z uwagi na zmienne projektowe.
Podstawową ideą metody zmiennej metryki jest konstrukcja ciągu macierzy {Vk}
stanowiących przybliŜenia odwrotności macierzy drugich pochodnych funkcji celu Fc.
Macierze te wyznacza się na podstawie znajomości zmian gradientu funkcji celu
w poprzednich iteracjach metody [6].
KaŜda iteracja metody polega na wyznaczeniu kierunku poprawy dk, w kolejnych punktach
bk generowanych przez algorytm korzystając z zaleŜności:
d k = − Vk ∇Fc (b k )
(8)
a następnie, w wyniku minimalizacji w tym kierunku, otrzymuje się punkt bk+1.
W pierwszej iteracji jako V0 stosowana jest macierz jednostkowa I. W następnych
iteracjach macierz Vk obliczana jest na podstawie metody Davidona-Fletchera-Powella (DFP)
według następującego schematu:
s k = b k − b k −1 ,
r k = ∇Fc (b k ) − ∇Fc (b k −1 )
(9)
oraz oblicza się nową macierz Vk , zgodnie ze wzorem:
Vk = Vk −1 +
s k (s k ) T Vk −1 r k (r k ) T Vk −1
−
(s k ) T r k
(r k ) T Vk −1 r k
(10)
WaŜnym elementem algorytmu jest odnowa, polegająca na podstawieniu macierzy
jednostkowej I jako aktualnej macierzy Vk, co prowadzi do uŜycia kierunku największego
12
K. DEMS, E. RADASZEWSKA
spadku dk = –∇Fc(bk). Odnowę przeprowadza się wówczas, gdy kierunek dk opisany wzorem
(8), nie jest kierunkiem poprawy lub gdy od czasu ostatniej odnowy wykonano 2p + 1 iteracji,
gdzie p jest liczbą zmiennych projektowania. Za podstawowe kryterium zatrzymania
omówionej metody przyjęto warunek (11), gdzie ε jest dokładnością obliczeń.
∇Fc (b k ) ≤ ε
(11)
5. PRZYKŁAD ILUSTRACYJNY
Do rozwiązania sformułowanego zadania zastosowano, opracowaną do tego celu, metodę
optymalizacyjną opartą na analizie wraŜliwości funkcjonału celu rozszerzoną o metodę
elementów skończonych analizy układów termicznych [1]. Do poszukiwania optymalnych
rozwiązań zastosowano gradientowy system optymalizacyjny, a następnie podjęto próbę
ustalenia najbardziej korzystnej orientacji, ułoŜenia włókien w warstwie kompozytu w funkcji
uzyskania maksymalnej lub minimalnej wartości strumienia ciepła.
Fc = ∫ qdΓ → max
lub
Γ
Fc = ∫ qdΓ → min
(12)
Γ
Optymalnemu projektowaniu został poddany materiał kompozytowy elementu
konstrukcyjnego przedstawionego na rys.6 w postaci laminatu zbudowanego z warstwy
epoksydowej matrycy wzmocnionej jednokierunkowo włóknami szklanymi o danych
materiałowych zestawionych w tabeli 1.
Tabela 1: Dane materiałowe składników warstwy kompozytu
współczynnik przewodzenia ciepła [W/(mK))] zawartość [%]
włókna (szklane E)
λw = 0.3
30
matryca (epoksyd)
λm = 0.04
70
Aby ocenić jakość zaprojektowanego elementu konstrukcyjnego, porównano jego wartość
strumienia ciepła z wartością strumienia ciepła identycznej konstrukcji, ale wykonanej
z kompozytu wzmocnionego jednokierunkowo, prostoliniowymi włóknami ułoŜonymi
w kierunku osi x.
300
mm
150
mm0
T=20
z
x
200
y
T=2000 100
h
k
mm
Rys.6. Warunki brzegowe kompozytowego kątownika
OPTYMALNE PROJEKTOWANIE KONSTRUKCJI KOMPOZYTOWEJ...
13
Optymalne ułoŜenie włókien w materiale kompozytowym analizowanego elementu
konstrukcyjnego po procesie optymalizacji przedstawiono na rys.7 i na rys.8.
Fc = ∫ qdΓ → max
Fopt
Γ
θ1 = 25,662 0
= 1.17
F por
Fopt = 0,54 W
Fpor= 0.46 [W]
Fopt
= 0.89
F por
Fc = ∫ qdΓ → min
Γ
θ1= 110.6470
Fopt = 0.41 [W]
Rys.7. Element konstrukcyjny po optymalizacji wzmacniany prostoliniowymi włóknami
Fopt
Fpor
= 1.37
Fc = ∫ qdΓ → max
Γ
Fopt = 0.63 [W]
Rys.8. Element konstrukcyjny po optymalizacji wzmacniany włóknami o osi opisanej krzywą
Beziera
14
K. DEMS, E. RADASZEWSKA
Przeprowadzona analiza wskazuje, Ŝe moŜna tak dobierać kształt i orientacje włókien
w kompozycie, aby osiągnąć optymalne parametry materiału z uwagi na realizowany w nim
przepływ ciepła.
Wyniki badań mogą jednocześnie stanowić punkt wyjścia do projektowania optymalnych
izolatorów lub radiatorów.
Pracę wykonano w ramach Grantu nr N 501 06032/39/58 Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa
WyŜszego.
LITERATURA
1. Chandrupatla T.R., Belegundu A.D.: Introduction to finite elements in engineering.
Prentice Hall 1991.
2. Dems K., Mróz Z.: Sensitivity analysis and optimal design of external boundaries and
interfaces for heat conduction systems. „J. Thermal Stresses” 1998, No. 21, 3-4, s.461488.
3. Dems K., Radaszewska E.: Modelowanie własności termicznych w wielowarstwowym
materiale kompozytowym.. „Modelowanie InŜynierskie” 2006, Vol.1 nr 32, s. 97-104.
4. German J.: Podstawy mechaniki kompozytów włóknistych. Kraków: Wyd. Pol. Krak.
1996.
5. Kiciak P.: Podstawy modelowania krzywych i powierzchni - zastosowania w grafice
komputerowej. Warszawa: WNT, 2000.
6. Kręglewski T., Rogowski T., Ruszczyński A., Szymanowski J.: Metody optymalizacji
w języku Fortran. Warszawa: PWN, 1984.
7. Wiśniewski J.: Optymalne projektowanie struktur kompozytowych obciąŜonych
mechanicznie. W:
Materiały krajowego sympozjum „Modelowanie i symulacja
komputerowa w technice”. Łódź 2005, s.227-232.
8. Wiśniewski S.: Wymiana ciepła. Warszawa: PWN, 1988.
OPTIMAL DESIGN OF COMPOSITE STRUCTURE THERMALLY
LOADED USING THE GRADIENT ALGORITHM
Summary. The purpose of this work was the optimal designing of composite
structure in order to obtain the material that fulfils imposed requirements on
thermal properties. The gradient oriented algorithm was applied, in which the
desired first order sensitivities of objective functional were calculated using the
direct approach. To analyse the problem of heat transfer within structure domain,
the finite element method was utilised.
This work was supported by Grant N 501 06032/39/58 of Ministry of Science and
Higher Education.