Celem niniejszej pracy jest wyznaczenie pola temperatury i pola

M E C H A N I K A T E O R E T Y C Z N A I S T O S O W A N A 1, 7 (1969) D Z I A Ł A N I E R U C H O M E G O P U N K T O W E G O Ź R Ó D Ł A C IE P Ł A W P R Z E S T R Z E N I N I E O G R A N I C Z O N E J Z O FI A S O B C Z Y Ń
S KA ( PO ZN AŃ ) C el em niniejszej pra cy jest wyzna czenie p ola tempera tu ry i p ol a przemieszczeń w nie­
ograniczonej przestrzeni sprę ż ystej, wywołanych działaniem chwilowego, ź ródła ciepła Q = Qo&(x )d(t). p u n ktow ego Ź ródło to p or u s za się ze stałą prę dkoś cią v wzdłuż os i x
t
3 przyję tego kartezjań skiego układu współrzę dnych. Rozwią zaniem p od ob n ego za ga dnienia za jmowa li się ju ż N O WACKI [3] i RO SEN TH AL [4]. W yzn a czyl i on i fu nkcje okreś lają ce pole tempera tu ry ora z przemieszczenia d l a ź ródła ru chomego p u n ktow ego o stałej wydajnoś ci pomijają c w równaniu p r zew od n ictw a ciep l­
nego pochodną lokalną fu nkcji p ola temperatu ry. W niniejszej pra cy pochodnej tej pomijać nie bę dziemy. Rozważ ane zagadnienie opisu je nastę pują cy układ równań : równania przemieszczeniowe (1) ^У
2
« , + ( ^ + / ) е , = а ,(2/*+З А )<9, (
i równanie przewodnictwa cieplnego (2) V < 9 ­ — & = ­ X
к = d(x,)d(t); 2
X A . CQ W równaniach tych щ oznaczają składowe w ektor a przemieszczenia, & — p ole tem­
pera tu ry, QQ jest wydajnoś cią ź ródła; A i ozna cza współczynnik wewnę trznej przewodnoś ci cieplnej, g jest gę stoś cią oś rodka, a с ciepłem właś ciwym; 8(x ) i <5(r) są fu nkcja mi D i r a c a t
wzglę dem miejsca i cza s u . Zakładamy, ż e w ch w ili t = 0 składowe w ektor a przemies zczenia ora z pole tempera ­
tu ry równe są zeru . Przypuś ć my, ż e ze ź ródłem zwią zany jest r u ch omy układ współrzę dnych f równo­
(
legły d o stałego układu współrzę dnych x i ta ki, ż e t
£i = * i i £2 = x 2
i £3 = x —vt. 3
P o przeprowa dzeniu za mia n y zmien n ych równanie p r zew od n ictw a cieplnego (2) bę dzie miało postać (3) 22 Z . SOBCZYŃ SK A Stosują c transformację L a p l a ce' a d o równań przemies zczeniowych (1) i d o równania (3) otr zyma my (4) ^ V M + ( A + / * ) e , , = 2
L i
о с ,(2/1+З Х )в ^, Ł
P o uwzglę dnieniu przeds ta wienia całkowego fu nkcji D i r a c a we współrzę dnych w a lco­
w ych , rozwią zanie równania (5) otrzymu jemy w pos ta ci (6) f = e x p 0 = L
p r zy czym P o odwróceniu tra ns forma cji La p la ce' a pole tempera tu ry okreś la wzór 8]/* j/V>/*
3
3 e x p
L
2
*
4
*
4
« ' J ' Ponieważ m a m y d o czynienia z przestrzenią nieograniczoną , pole przemieszczeń mu s i posiadać potencjał zdefiniowa ny zwią zkami (8) щ = Ф ,1. Równania przemies zczeniowe (1), p o uwzglę dnieniu zwią zków (8), zredukują się wów­
czas d o jednego równania Pois s on a (9) m = V 0 = mG; 2
l—p Rozwią zanie tego równania otr zyma my wykorzystują c rozwią zanie (7) ora z uwzglę d­
niają c fa kt, ż e w p u n kcie, w którym a ktu a lnie znajdu je się ź ródło, to jest d l a r = | = 0, 3
fu nkcja potencjału równa się zeru . Rozwią zanie to m a postać mO I v t 2
vS \ 3
J l M oż emy teraz w op a r ciu o zwią zki (8) wyznaczyć przemies zczenia drogą pros tego róż ­
n iczk ow a n ia . M a m y (") ",= ­
^
W
­
"
°
' * \ L _ ł 23 D Z I A Ł A N I E R U C H O M E G O P U N K T O W E G O Ź R Ó D Ł A C I E P Ł A Jeż eli tera z scałkowalibyś my otr zyma n e w zor y ( 7 ) , ( 1 1 ) , ( 1 2 ) wzglę dem cza s u w gr a ­
n ica ch 0 < T < oo, otr zyma n e rozwią zania bę dą odpowiadały rozwią zaniom N O WACKI EGO [ 3 ] d l a r u ch omego ź ródła ciepła o stałej wydajnoś ci. Pokaż emy to n a przykładzie p ol a tempera tu ry ( 1 3 ) в = CO 00 Г 0{t­r)dr= Г — = — 2 ± — = 4x е
х
р
Г
4 ^ | / r + l i 4x(t­r)\ ­ ^ ­
L
2
2
«
' J V
Jeż eli n a tomia s t we w zor a ch ( 7 ) , ( 1 1 ) i ( 1 2 ) p r zyjmiemy v = O to otr zyma my d ob r ze zna ne w zor y d l a n ier u ch omego p u n k tow eg o ź ródła ciepła [ 3 ] . N a zakoń czenie należ y podkreś lić , ż e w zor y ( 7 ) , ( 1 1 ) i ( 1 2 ) otr zyma n e w niniejszej p r a cy są d l a Q = 1 fu n kcja mi G r een a i j a k o ta kie mogą b yć w ykor zys ta n e d o b u d ow y 0
rozwią zań d l a d ow oln ego rozkładu ź ródeł. Litera tu ra cytowana w tekś cie [ 1 ] В . А . Д и т к и н , П
М
. И
. К У З Н Е Ц О В , С п р а в о ч н и к п о о п е р а ц и о н н о м у и з ч и с л е н и ю , Г о с . Т е х . ­ Т е о р . Л и т . , о с к в а 1 9 5 1 . [ 2] A . E R D E L Y I , W . M A G N U S , F . O B E R H E T T I N G E R , F . G . T R I C O M I , Tables of integral transforms, McG ra w­
H i l l , 1 9 5 4 . [3] W . N O W A C K I , Thermoelasticity, Perga mon Press, 1 9 6 2 . [4] D . R O S E N T H A L , The theory of moving sources of heat and its application to metal treatments, Tra ns a c­
tions of the A S M E 1 1 , 1 9 4 6 . Р
В О З Д Е Й С Т В И Е П О
Д В И
Н
В р а б о т е р е ш
Ж
Е О
Н
О
Г О Т О
Г Р А Н
И
е з ю
м
Ч Е Ч Н
Ч Е Н
Н
О
О
е Г О Т Е П
Е П
Р О
Л О
С Т Р А Н
В О
Г О И
С Т О
Ч Н
И
К А Н
А С Т В О а е т с я з а д а ч а о п р е д е л е н и я т е м п е р а т у р н о г о п о л я и п о л я п е р е м е щ е н и й в у п р у г о м б е с к о н е ч н о м п р о с т р а н с т в е , п о д в е р ж е н н о м в о з д е й с т в и ю т е п л о в о г о и с т о ч н и к а Q =
Э т о т и с т о ч н и к п е р е м е щ а е т с я с п о с т о я н н о й с к о р о с т ь ю v в д о л ь о с и х . В р е ш
ъ
С о ^О ^Ж ')­
е н и и и с п о л ь з у е т с я т р а н с ф о р м а ц и я Л а п л а с а . К о м п о н е н т ы п е р е м е щ е н и й о п р е д е л я ю т с я п р и п о м о щ и ф у н к ц и и п о т е н ­
ц и а л а т е р м и ч е с к о г о п е р е м е щ е н и я . П о л у ч е н н о е р е ш
и м о ж е т б ы т ь и с п о л ь з о в а н о д л я п о с т р о е н и я р е ш
и с т о ч н и к о в . е н и е я в л я е т с я ф у н к ц и е й Г р и н а д л я Q = 1 0
е н и я з а д а ч и п р и п р о и з в о л ь н о м р а с п р е д е л е н и и 24 Z . S O B C Z Y Ń S K A S u m m a r y A C T I O N O F A M O V I N G C O N C E N T R A T E D H E A T S O U R C E I N E L A S T I C S P A C E Th e a im of the paper is to determine the temperature a n d displacement field in a n infinite elastic space acted o n b y the heat source Q = Q<>i(xi)d(t). Th e heat source moves at constant velocity v a long the jCj­axis. Th e displacement components are expressed i n terms of the thermo­ elastic displacement potential, La pla ce transforms b eing applied to the b asic equations. Th e s olu tion for Q = 1 represents the G r een 0
fu nction of the prob lem a n d ca n b e applied to cases w ith arb itrary distrib u tions o f heat sources. K A T E D R A M E C H A N I K I P O L I T E C H N I K I P OZNA Ń SK I EJ Praca została złoż ona w Redakcji dnia 17 kwietnia 1968 r.