Mathcad - Ścinanie betonu wg EC2

Ścinanie betonu wg PN-EN 1992-2 (EC2)
(Opracowanie: dr inż. Dariusz Sobala, v. 20110428)
Maksymalna siła ścinająca:
V Ed := 4000 ⋅ kN
Przekrój nie wymagający zbrojenia na ścianie:
•
W elementach , które z obliczeniowego punktu widzenia nie jest potrzebne zbrojenie na
ściananie stosujemy mnimalne zbrojenie na ściananie .
•
W elementach takich jak płyty, w których możliwa jest poprzeczna redysrybucja obciążeń
można nie stosowaç minimalnego zbrojenia na ściananie .
•
Można także nie stosowaç minimalnego zbrojenia na ściananie w mniej ważnych elementach ,
które nie wpływają w zanczący sposób na nosnośç i statecznośc konstrukcji (np. płyty
chodnikowe).
•
Rozciągane zbrojenie podłuzne powinno byç zdolne do przeniesienia dodatkowej siły
•
Jeżeli obciążenie równomiernie rozłozone jest obciążeniem dominującym nie wymaga się
rozciągającej wywołanej ściananiem.
sprawdzania ścianania w odległości mniejszej niż d (wysokośç czynna przekroju) od lica
podpory. Obliczone w tym przekrju zbrojenie rozmieszcza się na odcinku podporowym.
Dodatkowo nalezy sprawdziç, czy siła poprzeczna na podporze nie przekracza V RDmax, która
jest obiczeniową wartoscią maksymalnej siły poprzecznej jaką może przenieśç przekrój ze
wzgledu na zmiażdżenie ściskanych krzyżulców betonowych .
•
Jeżeli obciążanie jest przyłożone blisko dolnej czesci przekroju, to oprócz zbrojenia na
ściananie należy przewidzieç zastosowanie zbrojenia pionowego wystarczającego do
przeniesienia obciążenia na górną częśç przekroju.
Ogólne parametry modelu/przekroju:
Wysokośç przekroju:
h := 1400 ⋅ mm
Wysokośç półki:
hp := 300 ⋅ mm
Szerokośç półki:
bp := 3000 ⋅ mm
Szerokośç środnika:
b := 1500 ⋅ mm
Ac := hp ⋅ bp + ⎛ h − hp ⎞ ⋅ b = 2.55 m
⎝
⎠
Powierzchnia przekroju betonowego:
Wytrzymałośç charaklterystyczna betonu na ściskanie
2
fck := 40 ⋅ MPa
Moduł sprężystości betonu wyznaczony zgodnie z EC2 na podstawie fck:
⎡
⎛ fck
⎞⎤
⎢
⎜
⎟⎥
Ecm := 22 ⋅ ⎢0.1 ⋅ ⎜
+ 8⎟⎥
⎣
⎝ MPa
⎠⎦
0.3
⋅ GPa = 35.22 ⋅ GPa
Współczynnik materiałowy dla betonu:
γc := 1.4
Współczynnik uwzgledniajacy różnicę wytrzymałości betonu
uzyskaną na próbkach i w konstrukcji:
αcc := 0.85
Współczynnik kształtu rozkładu naprężeń w strefie ściskanej betonu:
η := 1.0
Wytrzymałośç obliczeniowa betonu:
fcd :=
αcc ⋅ fck
γc
= 24.3 ⋅ MPa
Wytrzymałośç charakterystyczna stali zbrojeniowej:
fyk := 500 ⋅ MPa
Współczynnik materiałowy dla stali zbrojeniowej:
γs := 1.15
Moduł odkształcenia stali zbrojeniowej:
Es := 200 ⋅ GPa
Zbrojenie:
Dolne (1):
Górne (2):
Liczba prętów zbrojenia głównego:
ns1 := 15
ns2 := 0
Średnica prętów zbrojenia głównego:
ϕs1 := 32 ⋅ mm
ϕs2 := 16 ⋅ mm
Średnica strzemion:
ϕss1 := 10 ⋅ mm
ϕss2 := 10 ⋅ mm
Otulina zbrojenia:
o s1 := 40 ⋅ mm
o s2 := 40 ⋅ mm
ϕs1
2
2
Powierzchnia zbrojenia dolnego:
As1 := ns1 ⋅ π ⋅
Wysokośç czynna przekroju:
1
d1 := h − o s1 − ϕss1 −
⋅ ϕs1 = 1334 ⋅ mm
2
= 12064 ⋅ mm
4
ϕs2
2
2
Powierzchnia zbrojenia górnego:
As2 := ns2 ⋅ π ⋅
Odległośç osi zbrojenia górnego od
1
d2 := o s2 + ϕss2 +
⋅ ϕs2 = 58 ⋅ mm
2
krawędzi ściskanej przekroju:
4
= 0 ⋅ mm
Nośnośç przekroju na ściannie:
⎡
⎢
k := min 2.0 ,
⎢
⎣
⎛
⎜1 +
⎜
⎝
200 ⋅ mm
⎞⎤
⎟⎥ = 1.387
⎟⎥
⎠⎦
•
współczynnik
bw := b = 1500 ⋅ mm
•
najmniejsza szerokosç elementu ściannego
As1 ⎞
⎛
⎜
⎟ = 0.00603
ρl := min 0.02 ,
⎜
bw ⋅ d1 ⎟
⎝
⎠
•
d1
w strefie rozciaganej
współczynnik uwzględniajacy wpływ
zbrojenia rozciaganego w przekroju As1
UWAGA! Zbrojenie o powierzchni As1 musi byç zakotwione poza przekrojem obliczeniowym na
długosci lbd + d1
lub sprężenie . Wartosç dodatnia dla siły
NEd ⎞
⎛
⎜
⎟ = 0.784 ⋅ MPa
σcp := min 0.2 ⋅ fck ,
⎜
Ac ⎟
⎝
⎠
C Rdc :=
0.18
γc
k1 := 0.15
ściskającej.
naprężenia w przekroju betonu od siły
•
podłużnej
współczynnik (może byç określony w
•
= 0.129
załączniku krajowym)
•
1
3
v min := 0.035 ⋅ k
siła podłużna wywołana przez obciążenie
•
NEd := 2000 ⋅ kN
2
⎛ fck ⎞
⎜
⎟
⋅⎜
⎟
⎝ MPa ⎠
współczynnik (może byç określony w
załączniku krajowym)
2
⋅ MPa = 0.362 ⋅ MPa
Minimalna obliczeniowa nośnośç przekroju na ściananie
V Rdcmin := ⎛ v min + k1 ⋅ σcp ⎞ ⋅ bw ⋅ d1 = 959 ⋅ kN
⎝
⎠
Obliczeniowa nosnośç przekroju na ściananie:
⎡
⎢
⎢
fck ⎞
⎛
⎢
⎜
⎟
V Rdc1 := ⎢C Rdc ⋅ k ⋅ ⎜ 100 ⋅ ρl ⋅
MPa ⎟⎠
⎣
⎝
1
3
⎤
⎥
⎥
⎥
⋅ MPa + k1 ⋅ σcp⎥ ⋅ bw ⋅ d1 = 1266 ⋅ kN
⎦
Ostateczna obliczeniowa nośnośç przekroju bez zbrojenia na ściananie:
V Rdc := max ⎛ V Rdc1 , V Rdcmin ⎞ = 1266 ⋅ kN
⎝
⎠
Jeżeli w odległosci od krawędzi podpory lub osi łożyska w zakresie <0.5d , 2d> działa obciazenie i
gdy zbrojenie podłużne jest w pełni zakotwione nad podporą to wartośc wpływu tego obciążenia
na siłę poprzeczną można zredukowac w stosunku β:
Położenie siły:
a v := 0.4 ⋅ m
a v := max ⎛ 0.5 ⋅ d1 , a v ⎞ = 0.667 m
⎝
⎠
β :=
av
2 ⋅ d1
= 0.25
jednak siła poprzeczna bez zmnijeszenia współczynnkiem β powinna byç zawsze mniejsza niż
V Ed:
V Ed ≤ 0.5 ⋅ bw ⋅ d1 ⋅ v ⋅ fcd
fck
⎛
⎞
⎜
⎟
v := 0.6 ⋅ ⎜ 1 −
= 0.504
250 ⋅ MPa ⎟⎠
⎝
Warunek:
•
współczynnik redukcji wytrzymałości
betonu zarysowanego przy ściananiu (może
byç określony w załączniku krajowym)
V Ed ≤ 0.5 ⋅ bw ⋅ d1 ⋅ v ⋅ fcd = 1
Elementy wymagające zbrojenia na ściananie
Eelementy ze zbrojeniem na ściananie oblicza się wg modelu kratownicowego.
α := 90 ⋅ deg
•
θ := 45 ⋅ deg
•
Kąt między zbrojeniem na ściananie i osią podłużną belki (belki
prostopadła do osi poprzecznej)
Kąt między betonowym krzyżulcem ściskanym a osią podłużną belki
F td := 200 ⋅ kN
•
F cd := F td
•
z := 0.9 ⋅ d1
•
Wartośç obliczeniowa siły rozciagającej w zbrojeniu podłużnym
Wartośç obliczeniowej siły ściskajacej beton działającej w kierunku
podłużnym
Ramię sił wewnętrznych
( )
Warunek dla kąta θ:
1.0 ≤ cot θ ≤ 2.0 = 1
W ewlemtach z pionowym zbrojeniem na ściananie:
fywd :=
500 ⋅ MPa
γs
φs := 10 ⋅ mm
Asw := 6 ⋅ π ⋅
= 435 ⋅ MPa
•
φs
4
należy przyjąc 0.8fywd
średnica strzemion
2
= 471 ⋅ mm
ss := 100 ⋅ mm
v 1 := v
Wytrzymałośç stali strzemion . Jeżli stosuje się
zmodyfikowana wartośç współczynnika v1 (patrz niżej)
•
2
•
powierzchnia zbrojenia na ściananie
rozstaw strzemion
αcw := 1.0
Dla konstrukcji niesprężonych
Nośnośç na ściananie przekroju zbrojonego na ściananie:
V Rds :=
Asw
V Rdmax :=
ss
( )
⋅ z ⋅ fywd ⋅ cot θ = 2460 ⋅ kN
αcw ⋅ bw ⋅ z ⋅ v 1 ⋅ fcd
( )
( )
cot θ + tan θ
= 11022 ⋅ kN
V Rd := min ⎛ V Rds , V Rdmax ⎞ = 2460 ⋅ kN
⎝
⎠
UWAGA! Jeżeli naprężenie w zbrojeniu ścinanym jest mniejsze niz 0.8fyk to wartośc v1 można
przyjąç równą:
dla f
ck ≤ 60 ⋅ MPa = 1
v 1 := 0.6
fck
⎛
⎞
⎜
⎟
v 1 := min ⎜ 0.5 , 0.9 −
= 0.5
200 ⋅ MPa ⎟⎠
⎝
dla
f , ck > 60 ⋅ MPa
Maksymalne efektywne pole przekroju zbrojenia na ściananie dla:
jest równe:
Aswmax ⋅ fywd
bw ⋅ ss
Aswmax :=
( )
cot θ = 1
≤ 1.2 ⋅ αcw ⋅ v 1 ⋅ fcd
1.2 ⋅ αcw ⋅ v 1 ⋅ fcd ⋅ bw ⋅ ss
fywd
= 5027 ⋅ mm
2
W obszarach w których siła scisnajaca zmienia się w sposób ciagły (np. przy obciążeniu
równomiernie rozłożonym)zbrojenie na ściananie na kżdym przyroście długosci:
( )
l := z ⋅ cot θ = 1.201 m
można obliczaç na podstawie najmniejszej wartosci siły ścinającej w tym przedziale .
Dodatkowa siła od ścianania w zbrojeniu podłużnym:
(
( )
( )) = 2 × 10 3 ⋅ kN
ΔFtd := 0.5 ⋅ V Ed ⋅ cot θ − cot α
MEd := 6000 ⋅ kN ⋅ m
Siła całkowita w zbrojeniu:
MEd
z
+ ΔFtd = 6998 ⋅ kN
Procedura projektowania zbrojenia na ściananie
z wykorzystaniem strzemion:
1. Oblicz rozkład maksymalnych obliczeniowych sil poprzecznych wzdłuż projektowanego
elementu.
2. Sprawdź nośnośc maksymalną przekroju V Rdmax (ze wzgledu na zgniecenie betonu krzyżulców
ściskanych) w przekrojach maksymalnie obciazonych ścianiem (lico podpory, łożyska.
W większości przypadków θ=22 stopnie . Jeżli obliczona nosnośç jest wieksza od obciażeń przejdź
do kroku 3. Jeżeli nie oblicz θ > 22 stopnie . Kat należy wyznaczyç ze wzoru:
V Ed
⎡
⎤
⎢
⎥
θ := 0.5 ⋅ sin ⎢
⎥
fck
⎛
⎞
⎢
⎜
⎟
⎥
⎢ 0.18 ⋅ bw ⋅ d1 ⋅ ⎜ 1 − 250 ⋅ MPa ⎟ ⋅ fck ⎥
⎣
⎝
⎠
⎦
−1
Jeżeli wynik obliczeń jest większy niz 45 stopni nalezy zwiększyc przekrój lub klasę betonu.
3. Oblicz potrzebną powierzchnię strzemion .
4. Oblicz wymaganą minimalną powierzchnię strzemion i inne warunki konstrukcyjne .
5. Oblicz dodatkową siłę w zbrojeniu rozciąganym.
WYMAGANIA KONSTRUKC YJNE DLA BELEK:
Stopień zbrojenia na ściananie
Asw
ρw :=
= 0.314 ⋅ %
ss ⋅ bw ⋅ sin α
( )
fck
Stopień minimalny zbrojenia na sciananie:
ρwmin := 0.08 ⋅
MPa
fyk
= 0.101 ⋅ %
MPa
Warunek:
ρw ≥ ρwmin = 1
Maksymalny rozstaw podłużny zestawów prętów zbrojenia ścinającego:
(
( )) = 1.001 m
slmax := 0.75 ⋅ d1 ⋅ 1 + cot α
Maksymalny rozstaw podłużny prętów odgiętych nie powinien przekraczaç:
(
( )) = 0.825 m
sbmax := 0.6 ⋅ d1 ⋅ 1 + cot θ
Maksymalny poprzeczny rozstaw strzemion nie powinien przekraczaç:
stmax := min ⎛ 0.75 ⋅ d1 , 600 ⋅ mm ⎞ = 0.6 m
⎝
⎠
WYMAGANIA KONSTRUKC YJNE DLA PŁYT:
Dane:
Wysokośç przekroju
hp := 300 ⋅ mm
płyty:
Otulina zbrojenia
o p := 30 ⋅ mm
płyty:
Średnica zbrojenia
φpp := 12 ⋅ mm
poprzecznego:
średnica zbrojenia
φpd := 12 ⋅ mm
podłuznego:
1
d1 := hp − o p − φpp −
⋅ φpd = 0.252 m
2
Wysokośç czynna przekroju
płyty:
Minimalna wymagana grubośç płyty zbrojonej na
ścinanie:
Warunek:
Jeżeli:
hpmin := 200 ⋅ mm
hp ≥ hpmin = 1
V Ed ≤
V Rdmax
3
=0
to zbrojenie płyty na sciananie może składaç się wyłącznie
z pretów odgiętych .
Maksymalny podłużny rozstaw strzemion:
(
( )) = 0.189 m
smax := 0.75 ⋅ d1 ⋅ 1 + cot α
gdzie α jest kątem nachylenia zbrojenia podłużnego
Przyjęto podłużny rozstaw strzemion:
Warunek:
spd := 150 ⋅ mm
spd ≤ smax = 1
Maksymalny podłużny rozstaw prętów odgiętych :
smaxpd := d1 = 0.252 m
Przyjęto podłużny rozstaw prętów odgiętych :
sopd := 250 ⋅ mm
Warunek:
sopd ≤ smaxpd = 1
Maksymalny poprzeczny rozstaw prętów odgiętych :
smaxpp := 1.5d1 = 0.378 m
Przyjęto podłużny rozstaw prętów odgiętych :
sopp := 350 ⋅ mm
Warunek:
sopp ≤ smaxpp = 1