stochastic fi nite element method in the problems of - chodor

Lesz••
k Chodor
Pol,technika ~wię~okrzysl::a.
Kielc~
STOCHA::.-rYCZHA METODA ELEMEN;:OW SKoNCZQNYCH
W ZAGADNIENIACH
LOSOWEJ MECHANIKI
1. Wprowadzen.l
KONSTRUKCJI
e
Uniwersaln~ me~od~ rozwi~zywan~a zfozonycn zadań losowej mechaniki konst.r
ukc j ;
jes~
me~oda
symulacji
nUl11f!rycznej
Cme~oda
Mon~e Carlo).
Własn.
doświadczenia oraz analiza innych prac z ~~go zakresu (między innynd [1.2])
ż.
wskazuJe.
ze
względu
na
wysolc~ r.~ezawodnoś~ kons~rukcji
budowlanych
zadawalaj~ce rezul~a~y można uzyska~ ~a me~od~ dopiero po wielu symulacyjnych losowaniach
realizacji
kons~rukcji
Anali~yczne me~ody analizy probabilis~yczneJ prowadZa do skomplikowanych
rachunków
najczęściej
musz~
b~
wspomagane
Mimo wprowadzania licznych uproszczeń
[2.3J.
procedurami
numerycznynd
specjalizacji algor~mćw
l
-
- ~ylko w najpros~szych przypadkach C"pryndtywna" l::ons~rukcja
i mała liczba
zmiennych losowych)
cych wielkości
Me~oda symulacji
lyce
udaje się obliczy~ para.';"'~ry
s~atys~yczne in~eresiJj~-
'"rozsądnym" nakładem
i
inżyn.ler-.ski.ej~
pracy.
metody anali~yczne nle
choć
s~
szeroko
znalazły zas~osowan1a w prak-
wykorzystywane
w
st..udialnych.
praca.ch
Tymcza's
••
m c.. ,eJ::~Y"'lzacja
obliczeń projektowych może b~
osl~gni.t.a dopiero
po opracowaniu
oc:!eki·wanych
so .•••
.yc
W
1nżynierskiej
h z11u.enności
ni nieJs:zej
k.a.żdej
pracy
met.ody szacowania
wi.lkoścl.
z
wartości
wyst-ępuJ~cych
zaproponowano
inżyni
ersK.Ą
w
me t. odę
probabilistycznej. Met.oda ma dwie pods~awowe zaleŁy
~erow~.
zwalnia
więc
~.La.zY'-'.a.n.ia
ob.li czerl
niemal
jest.
jest..
wersJa..
r ok u
na
projek~anta
nlewielkie-
pracy
[4~
STOCHASTYCZNA HUODA
ZG8a.dr..t.e'ń
dysla'f1#tyza.cji
~tod
'I#ł
sł..osunlcu
a
jej
st.ochastyczf)ej
u2.yt.ek
met.oay
do
C
przy
rachunKÓW
obl~c'Zp.ń
użyCt'ł...t
Jest
~....
l
może służyć
2)
zwie-kszente
Jest
mEcn.ant.Jltl
&nal
izy
a
do rozczasu
Met.oda
opracowana.,
-skończonych
l i rie-arvzacj
w
1-984-
st.ochast.yczna.
sposob••
", anaLizy
tpote-~ajqcym
sl'tończon.ycl't
el.e~ntdlt}
10-
Jest.met.odakompu-
deter~nist.ycznyc.h.
$/(f'NcZ;JNYC.H
losowej
numerycznej
1)
pr.oblemó-w.
elementć""
pods~.wC\
ELEHEI'rro...'
Stocha.styC%l"\.e)
iton.str'UJtcJl
od zbędn)~~
prakt.ycznych
wszyst.'lcich
i
obliczen1~ch.
i
na
za.stosowan.iu
probabttl5tycznyc~ na etapi. budo~y ukfacu.
Zapre",ent.uJ.,my
p1erwot.~
wwrsj.
me~ody,
kt.ór
a
dot.yczy syst..,mć..
kon-
.st.rukeyjnycho. nie zmiennych' w czasie eh••
ral::~
.•
ryst.ykachn~eza.wodnośe~owy::h.
2.
Macierzowe
Zadania
oraz
t.eorii
innych
równaniem
sf'ormułowanie
równań
sprężyst.ości
dziedzin
me~ody
152 met.ody linearyzacji
i
plast.yczności.
t.eorii
mechanilci
konst.rulccji
można
element6~
skończonych
st.ochast.ycznej
i
st.at.eczności
ująć
z ulosowion)~
drgań
konwencjonalnym
zmiennynti
CD
gdzie
lI<..,.jest.
losowym
losowym
welct.orem :::miennych
welct.orem zmiennych
WYjściowych
wejściowych
Cwymuszeń)
C odpowiedzi
syst.emu
cierz operatora sysŁemu ~ może zależeć od nieloso~go
t
go
i
losowego
•••••
k t.or a
l!(= (lR
.l!(
ay.
'J.
zmi ennych
spełnia
syst.el"'-':
równanie
JeŚli
J.
.y.
l!(
gdzie
Cszt. )"oTlości /podat.ności)
.
).
Y/ jest.
Losowa
jest.
wekŁc,rem losowych
konstrukcji
(1).
is~nieje
odwrotna
macierz
to rozwiązanie
~-l,
równania
(1)
można
w po5Laci
zapisać
Y/=i'Cl!(.
t).
gdzie
ma-
parametru wektorowe-
realizacja
Każda
a
f'unkcja
wekt.orowa
ROWNANIA
ot.rzymamy
po
liniowych
w ogólności
operat..ora
rozwinięcia
EY/ oraz
macier:::
w ot.oczeniu
.••••
-a.rt.ości
funkcji
EYl~ f Cl!( .~)
o
C10'~
E
w
szereg
•
07\
o
>
CE~
punlctu
l!(o
do
st..ost.:n1cu
'VI
Wart.ość
Taylora.
covY/ zmiennych
~I_~
+
dowolnego
oczekiwanej
(2)
Icowar'ianeji
w::orow:
ze
n1eliniowa.
st.ochast.ycznej
zast.oso,..'aniu
członów
oczekiwaną
oszacować
C jest.
LINEARYZACJI
C2)
wyjściowych
można
-l!( ).
o
C3aJ
C3b)
*
gdzie
gwiazdka
lacji
kans~rukcji
oczek i wanym.
więc
jest
najczęściej
Najlepsze
ot.r z ymac
itf/'a'll.
jes:'\.. operat..orem
~o =E~·
r z ec z ywi s t.a
a
Wyst.ępuJące
itr
'" [COVX
X
........
COVO\.=
1
c o vx
1
eovX X
gdzie
n jest.
Yi= (Y,)
covX
1
1"'\
!
r.
wymlarem
C;=l •..•
"[
prot::;abi l i st.ycznym)
zespcl.:JnCi
(3):
operator
i
VI popu-
slanó~
oszacowani,,-
pr ak t.yc zrryc b
WPł.Y\!'U M/aY.'.
MACIERZ
bliskich
C3)
przypadkó,",
spr-zężenia.
można
maci er-z
~ jest.
równy
oraz
.>tACIERZE
KO""ARIANC.JI
W'!;p6.i::--::ędne:
nast..ępuJCJ,ce
ai\
e
zespolonej.
realiza:Je
T.
we wzorze
.\ covY/ maja.
macierzy
się
W więl:s:::ości
nie
operat.oro .••..
i
t.ranspozycji
cov~
sensi
C'W
dl ••.
sprzężenia
obserwuje
af , 'dX ,
Z
1
.,
ar s /<YX
.rdX
ćJf
I,
(4a)
I
M
"'
-'ax
,
M
XZ
co,,)( :l X
X
~o~,>:
2
n
x·
j'I
".
l
nJ
""in:
Vi
CC·V(f=
I'
il
!X.l
C i=!._.
/dl:
y
.::cvy Y
l:i.
l~o~Y'
,
weX~D:a i?.=
rcovY
r-,
1
y'
m
J
al
covY Y
1
m
co ...
·!· Y 1
..
1
':"j.C4b)
Z
CCV_V
Z
~n) a rr, _lest..
1':";
'WyJr.iar-em
•
v
m
J
wekł..,.o:--2
rru.
J
MaCierz
"'Pływu
opisuje
Moment.y ,;;t.at.yst.yczn.
szacujemy
bez
pierwsz
z ••lcł ••d,••n1a
czułość
wekt.ora
••go
drugi ••go
i
lconk~.t.n.go
rozkładu
'9 na
losowe
zmiany
r:;;ędt.1 :::miennych
wekt~ora }A.
wyjściowych
prawdopodobieńst.wa
YI
walclor •• l!(.
3,
Dyskret.yzacja
Podobszary
TAHI
z
losowo
SKOŃCZO""ryHJ.
konstrukcji,
C2.e
Pz
nyrni
r-ćwrrym jedności
J es,t.-
element.y
:iq
nfch.
lU
aXL.pz+
perni.
l.A1
charakt.,erys'lyka
a
Xi w
i
b
~L~H~N-
autoMr.lowan.e.
Ps. ele-
punkcie
charakt.erystyki
gdzie
b)=l,
skończone
STOCHASTYCZHYHI
nazwie~y
l i ni o •••.••
ą funkcją
••••••
i ęc
pex".p.=
e Leme-n- ....
t..;
ciara
wraściwo~ct
Losowe
r- e s t yc z oeqc
-st.oc
-
St.ochast.yczne
o~ztarcatneeo
jeśl.i
pr-a .•.•.
oopodobl.eńst,..,.,em
m~r.t.u
153
X.
,
punk-
"fi
delerminislycz-
są
współczynnikarr.i.
Założymy.
element.ó",
że
model
konst.rukcji
skończonych
za ..•.•.
iera się
tak.
~ całości
że
zost.ał
każdy
~ jednym
podzielony
elemencie
"
(3)
~
<3)
lo<
(4)
element.ow
C6)
eS)
padkiem
<1>
(1)
~~
....
gu element.u
ciwościami
syst.em
zasad
podziału
~ięc
uwzględnić
ji
Rys.l.
St.ochast.yczny
jest.
element.
<e>
skończony
POWIERZCHNI
NIEDOSKONAŁ05cIAHI
oraz
t.aKimi niedosKonałościami
można
z jednego
na element.y
i
81e-
konwencjonalnych
wielkość
Na rys.l
z
należy
aut.okore1ac-
pokazano
przykład
NIEDOSKONAŁOSCIAHI
obarczony
losowym kszt.ałt.em
OBJĘTo5CI
maŁer-I a Łu orazloso..-ymi
t.ylko
przy.lemen-
ramy port.alowej.
może być
związanymi
z wielu
()bok
zasięg
st.at.yst.ycznej.
z rozłąeznych
zbudowany
ale
Ce)
elemenŁ
Szczególnym
konst.rukcji
dyskret.yzacji
Jeden
złożony
ment.u st.ochast.ycznego.
(S:;
Cimperfekcjami)
może być
Skończony
<e>.
konwencjonalnych.
t.6w konwencjonalnych
( 7)
(2)
<1>
N st.ochast.ycznych
ele"lent.
slochaslycznym
st.ochast.yczny
<3)
na
konwencjonalny
siłami
związanymi
objęt.ościowymi.
zesŁawić
i
z
wynUarami brzelosowynU
Zmienne
w N podwekt.orach ~<.>
właś-
obarczone
wekt.ora ~
&Y.
W
celu
elast.ycznego
uproszczenia
st.erowania
obliczeń
liczbą
numerycznych
zapiszemy
x \.=x \. . L U-u.u
l . ff".
gdzie
1.1..
jest.
Xi
nielosowym
Przyjmiemy.
wanych
odpowiednio
pot.ęgach
nych
loso..-ych
Można
układ6w
miar
z
Biorąc
pręt.owych
można
ności
mat.eriału
met.rycznych
wst..pnych
:te
pod
wszyst.kie
miar
. Jednost.ki
w
Xi
w UKŁADZIE
T o wart.ościach
wyst.ępują
od liczby
można
do
liniowych
st.ochast.ycz-
wprowadzić
członów
zachodzi:
uwagę
miar
korelacja)
w
1)
miar
Wprowadzi~
czt.ery
reszt.kowych.
naprężeń
l
skr.-:eń
-
osi
ehar ••kt.eryslyir:i
moment.y bezwi ••dnoSci
it.d.)
układ
EX;;;
,
wiele
t.o
rozwinięcia
,
x (mllcg"'s\.
cov(X X-' ;;;
są
miar
E<JX,/<JL",clt'
tycznym
wykonywania
losowe
eleu.nt.u.
• 3)
s tochas
t.eehnologi.
i
i
HIAR
oczeki-
w nielosowych
element.ów
elemencie
w t.ym samym układzie
p~łna
,,/o. rady
przekroj6w.
wyg'i~
ls
H.
lo
Losowe
3.1.
L,
oczekiwanych
J
prętowej.
X~ w poslaci
(5)
modułem wielkości
dokładnością
;;; 'f"-v-a--r"<x",-''''v~a-r''''X:r-j
(szacunkowo
P:-zykł ad
ora z
T'
W zalezności
wart.ości
X, sa. wyr'ażone
i
\.
losową
ay.
syst.emu
"że
eS) wok6ł
X
lkg,
losowych
zmienną
JEDNOSTK.I HIAR
charakt.eryst.yk
pok az ać
jeśli
są
l. m, t..
korelacji
jednomianu
2)
1m,
całkowit.ych
oraz
bezwynriarowym
LCSOWE
że
zmiennych
układy
W t.en
geomet.ryczne
s:oaeunkowo,w
miar
włas-
charakt.eryst.yIc
geo-
ele~nt.u.
'przekroju
pełni
Q.
'założono
(
L
konst..rukeji
•••.
- układ
miar
sposób
ltonstrw..cJ
LI!'
element.ów
miar:
o - Układ
'długośei
I!'ll!'rnenc
J
{ml-lkg"'s'L
pole'
skorelowan.:
-
układ
miar
na przylcł ••d.
powierzehn
a ,
-
154
4.Szacowani.
Het.ody
Przykład
u ~złów
ocz ••ki .•••
ane
czymy
z
macierzy
Przemieszczenia
4.1.
mieszcz.ń
szacowania
sił
IP~:~
z.",
dla
s
oczelu",anych:
z t vwrio
ca
ś
e.lemenLu
układzie
w
lokalnym
oczekiwan.
oraz
element.u
prz.wart.ości
Ce)
wyzna-
(5J:
skończonych
k (.-) uee)
C7a.b)
"'."
obei"żeń
szt.ywności
węzłowych
.le
IP • ' globalnej
z v
i
przenueszczeń
k'·)
••••nt.u
obust.ronnie
po
)/( rÓwnania
ot.rzymujemy
(7)
Dla
problemo,""
nia
lub
nieliniowych
•.""any
••"•.
Przykład
macierzy
macierzy
węzłów
Cz~s!otliwości
~2
f...
slat..cznoścl)
L'·)~U
+a.
U
zmianę
Na przykład
<e)]
~
O< jest
C8 b)
a.
.
konf"iguracji
jeśli
swobodnych/obciążenie
dr6ań
cz~t.ot.liwości
oraz
uwzgl~nić
uporz"dkowan1u
odniesie-
f"unkcj"
prz",-
1JłY./~)/( + 1JłY./~'.""/~)/(.
t.c· c7(!«()/(.u)/m/!:-
oczeklwane
tycznego
należy
szt.ywności.
po
(.) C.) .
~k
~
Cl
przykładach.
ue.>,
Różniczkuja,C
mieszcz
na
Wart.ości
element.ów
(p(.) ~
: O<u
pokażemy
wsp6łrz~nych
układzie
m8t.ody
zewnęt.rznych
IY-. macier%y
8f/~~
przy..."zro..,...
(siły
przemieszczeniowej
IP
wpływu
wpływu
w globalnym
syst.emu
przywęzłowych
ró •••.•
ań
-
maci.rzy
drgań
s t.o .•••
arzyszon.
uzyskujemy
swobodnych
wektory
~
q Cf"or"",
własne
z rozwi"zania
~ytycz~.
mnożnika
uogólnionego
Wart.oś-
obej"żenia
drgań/
kry-
f"or"",
probl.mu
'c' ~at.y
••łasnego
.6J
C9a.b)
oczek i ",anych
dla
"'.-'
IBCIP
,
linio_j
mac r er z y
l
Po obust.ronnym
maci.rzy
geomet.rycznej
pomnożeniu
t.ych
uporza,dkowaniuot.rzymujemy
gdzie
IB i
do<ll /dX
c
\.
0<11zal.ży
IJłY.Q/"X
\.
od
IP
Haci",r%
Przykład
4.3.
sztywno:!lc
i
pochodną
Hmcl'1ms-Zm-1przy
b'"
[5)
wynosi
(przy
wart.ości
moduł
p
g~tość
Wart~ci
(.>
-11m.
EF' [
-
F -
qT • przeróżniczkowaniu
i-t.e
wsp6łrzędne
clIB/"X
\.
+ clIB/bIP
po
wekt.ora
weW'
. blP
",.\1
X
,
i
wpływU:
/"X.
\.
/"X.
1.
.-~tora
)/('·'''[H.
dr~aj"cefJo
przyj.t.o.
że
zapisu
]/Cl.L?
b'·'=<pH
prz.kroju
sek
",'
i
nda
met.r
poprzecznego
w układzie
macierz
2
1
oznaczono
.1
-
m sa.
bezwładności
oczekiwanych
)(FLZ)(lL?[
<>
element.u
J'.'T
L
na
macierz
l
Wprowadzono
jednost.k.
losowa
war·t.ości
charakt.eryst.yk
L
m.
osiowo.
k'·'
szt.ywności
pole
bezwładności
jednost.ek):
l].
Clla.b)
2
nast..puj"co
długość
element.u
materiału.
oczekiwan.
1ft'.'
E ""
y.v
pr.ta
czym
ocz.kiwane
Younga.
dlB/dX -
pominię-ciu
l -l
k'·'KCEH )CFL )[
m.
<>
.Iifp
",pry",,",
",,",cierz
Z
E
w.v
be••",radno':ci
Losowa
gdzie
,więc
v."
na
0<•••••• ci.rzy
).
...,.'"
prz.z
równań
wyrażenla
+ IJłY.g /bIP
n1",1 oso_.
szt.ywności
lK"CIP
r
",,",cl.rzy
wpływu
1 -1 : c: -2 l-l
1]
-1 1 I -2 2:
1 -1 •
wynosz,,:
-.<.'~(
E
••
pFl [O O 14 2 121
O O '2 4 11 2:
l'
.
Cl2a.b)·
-
155 -
5. Przykłady liczbowe
Przykład 5.1.
Warto~ć'
oczf9k.iwczna
c ee s tot l. i \I.IOŚC i. osiowych
u =0
u
l
3
II
P
l
~,
l
l
sa jednoczeŚnie
1->
(2)
(D
v.v
I
GPa,
jednosŁek
oczekiwanych
A
Oczeiti
kg/m-o
są
i
menŁu <1> wynosza:
Współczynniki
równe
5
V=
y.
częsŁoŁli wc':ć'i """ittor
WCIna.
oŁrzymujemy
zmienności
. Poniżej
wszysŁkich
pominięŁo
macierzy
oczekiwane
macierze E(I(=[10
-5
-5
5
3
E
.
J'10
7
warŁości
sŁopni swcbody u '
z
1.3].
EIB=[ 13.0
•
1. 3
oczekiwane macierze wpływu (lZ) odpowiadajace
(N:n.1..>:L~1>: L~i.>1 N:nz>: L:2):L~z>l wynosz~:
2. 6
wekŁorowi
7
on::
5 O !lO O :-5 O : 5 -5
10 -10 :-5 5 ] '10 •
.,
=[
O O ;-5 5 : -10
10
5 -5
iJ'If/. O O : O O
.
iJ(J1
E
losowych
zapis
wpfywu.
(11) dla nieŁrywialnych
Zagregowane
}f(.;
ele-
F=lOcmz,
1.=4m,
jednosŁek miar.
W wyniku agregacji
u
ocze-
E=ZOOGPa, p=7900kg/m·; naŁomiasŁ elemenŁu <Z> wynosz~ : lz=cm. F=5 cmz•
p=7800
miar
kŁ6re
konwen-
kiwane losowych charakŁerYSŁyk
Rys.c.
E=ZOO
<c>,
elemenŁami
cjonalnymi Cl), (c). WarŁości
=0
Z
• ~ «
Crys.c).
elemenŁy skończone <1>,
~
~
naini1:$.%e)
zmienT\OŚc
i
W5porniloo~~o
PręŁ podzielono na dwa sŁochasŁyczne
U
Z
~
współ czynni,.
dr~ań wfasnych pr.ta
O O :ZO.8
=[
iJ'If/. O O : O
O :10.4
O : O
O O :5.Z
O O :Z.6
O
O
1.3
c.6
c.6 :Z.6
5.Z
:1.3
l
Na podsŁawie równań (9a) 1 CI0~) uzyskujemy: oczekiwaną częsŁoŁllwość drgań
własnych
Ew=
1617
[l/sJ
odpowiadający
oraz ",ekŁor wpływu EiJw/iJ'If/.=[ 765.8
B
Wspófczynniiti
Pr zy j
<1 >
ę
<:I>
korelacji
.
Hm.
<2>
Lo
r.
1
sym
Ponieważ dla dowolnej
W
kowariancji
lab. l
obliczono
własny
-118Z.4
4Z.7
[1
l.c361T
-698.6
-434.71.
dr~ań własnych.
między elernenŁami ~_, w elemencie
~:l::
Ll
1
<
>
<
•
r
t.
~
sym
>
- .-]<.,
~
~
Ll
cov~=
<2>
współ czynnik i
..
gdzie
zmienności
r
e
1.0
O
0.5
O
5.5 Y.
5.5 %
5.15 "-
0.5
4..6 Y.
4.5
'"
•••.
3 Y.
1.0
3.5
3.0 Y.
2.5 %
'"
V.Ju: =V t.o
~.
ze wzoru C3b) dla wybranych war~ośc4 r_l
r~
Z
losowej jednosŁki miar J \L zachodzi: EJ u.=1,
wynosi
zest.awiono
Tab.l.
Eq=
oraz w syst.emie ~ wynoszą:
~6=[~6 :-]:: ' ~:.,.<Z,=[
macierz
wekŁor
częstot liwości
V",
t.o, że współczynniki
< Z> ~
i
zmienności
698.6
.
varw
Przykłady
W pracy
prak~ycznego
[41
me~'odę
ni.Uniowych
zas~osowano
fizyczni
Kons~rukcj.
•• belek
złożonĄ
sił.
W pracy
[6]
lizy
~~a~ecznOści
z
156 -
wykorzys~ania
do
elemenlów
sposób
z prę~ów
6. Podsumowanie,
Przeds~awiona
numerycznego
mechaniki
kons~rukcJi.
komp~.ro_
liczby
losowych
00 szacowania
*ci
zmi.nnych
maże
iSlniejĄce
uzyskać
do
losowej
programy
me~odĄ elementów
można
służyć
zadań
skończonych.
przez
wprowa-
miar.
parame~rów
s~a~ys~ycznych
s~ochas~yczn~,
zagadni.ń
skończo"ych
zmodyfikować
syslemu
••"nym.
inżynierskich
konstrukcji
losowych
cienkości
do ana-
wnioski
i
elemenlów
należy
melodĄ
kompu~erowego
o przekroju
złożonych
do'analizy
układów
no lin.aryzacj.
meloda
dowolnie
W ~ym celu
przeznaczone
Redukcj.
dz.ni.
s~ochas~yczna
rozwiĄzywania
poprzecznie.
rozwiĄzywano
programu
uwagi
[4,6].
s~a~ys~ycznych
zginanych
skończonych
modyfikacji
ram złożonych
pracach
para:me~rów
sprężys~o-plast.ycznych
belkowych
pokazano
me~ody.podano
szacowania
mechaniki
k~óra
wielkości
jes~
wyjściowych
zas~osowa-
dokładna
w większo-
for
Design
1972.
: . Ci viI
wys~arczaj~co
budowli.
Wylcaz li ~.ra~ury
1.
St.ark N. R. , . .Nic hol l s
Engin_ring
Sys~.ms,
2.
Ersvik
O.: Honlinear
Analysis
Imperfec~ions"
$wedish
Counci,l
3. Cheder
loso_J
Krynica
L.•
Kowal
belek
lQ81
R. L.:
Na~hema~ical
Founda~ions
McGr-aw':'Hi.ll Book Company, N. 'l.
Z.:
of Beam-cclumn
S~ruc~ures
and Influence
for
BUil'ding
Research,
Sl oc l:hol m, 1978.
Teore~yczn~' oszacowanie in~egralnej nośności
zginanych,
XXVII Konf.
4.
Cheder
L.:
,Losowa
nośność
us~rojów
s~ycznycn.
Praca
dok~orska,
Inst.
Bud.
~.
Przemi.niecki
BooIc Company,
J.S.:
H. Y.
of
Theory
lQ138.,
ot: Na~rix
O. 'Bijak
R.,
Chedor
L.:
St.a~eczność
*ci.nnych
w uj~iu
slochas~ycznej
V Sympozjum s~aleczności
kons~rukcji,
Nauk'owa KILiW PAN i
zginanych
z
PWr PRE 68/86,
S~ruc~=-al
KN PZITB
uwzględnieniem
Wrocław '1986.
Analysis,
sys~ ••m6w złożonych
me~ody
elementów
Cedzyna 1988.
sił
'·jcGr-aw-Hill
z pręlów
cienl:o,skończonych.
STOCHASTI
C FI NI TE ELEMENTMETHOO
I N 1lłE PROBLEHSOF RI.NDOM
THEORYOF STRUCTURES
Summary
4 v.rsion
of
lh.
lII&ny .no;in_ring
second
is
r ••~
1IIO_nl
.xplor'ed
.
cyst...
s~ochas~ic
proble_
••••t.hod
In
ot
which
ord ••.. t.~
.__
ur_
t:ini~e
oC- complex
ga~
redue ••
1.
elemenl
a· good
nough
int.rocluced.
me~hod which
slruc~ures
is
val~alion
t.he
,in
number
Ex&Jnples ar.
will
proposed.
be
••n!;lineering
ot:
random
,shown.
used
for
Firet-order
problems
variabllPs