wyklad regresja

Statystyka matematyczna dla kierunku Rolnictwo w SGGW
Anna Rajfura KDiB
BADANIE ZALEśNOŚCI CECHY Y OD CECHY X
ANALIZA REGRESJI
1
Statystyka matematyczna dla kierunku Rolnictwo w SGGW
Anna Rajfura KDiB
Było:
OPIS WSPÓŁZALEśNOŚCI CECH X i Y
Przykład
Z dziesięciu poletek doświadczalnych zebrano plony bulw
ziemniaczanych (cecha X) i oznaczono w nich procentową
zawartość skrobi (cecha Y). Wyniki zestawiono w tabeli:
plon xi
20
zawartość
skrobi yi
21
22
23
22
25
30
27
24
26
17,1 16,9 17,0 16,8 16,9 16,5 16,3 16,6 16,5 16,4
Diagram korelacyjny
zawartość skrobi (% )
17,2
17,1
17
16,9
16,8
16,7
16,6
16,5
16,4
16,3
16,2
18
20
22
24
26
28
30
32
plon
współczynnik korelacji liniowej Pearsona r dla próby
r = - 0,90,
2
Statystyka matematyczna dla kierunku Rolnictwo w SGGW
Anna Rajfura KDiB
Współczynnik r jest oceną parametru teoretycznego ρ:
ρ̂ = r
Współczynnik korelacji liniowej Pearsona ρ (teoretyczny,
populacyjny, między zmiennymi losowymi X i Y):
COV ( X , Y )
ρ=
(DX ) ⋅ (DY ) ,
ρ ∈ − 1, 1
.
IDEA OPISU ZALEśNOŚCI CECHY Y OD CECHY X
(REGRESJI CECHY Y WZGLĘDEM CECHY X)
cecha X : objaśniająca, opisująca, niezaleŜna
cecha Y : objaśniana, opisywana, zaleŜna
ZaleŜność między zmiennymi losowymi.
3
Statystyka matematyczna dla kierunku Rolnictwo w SGGW
Model:
Y=β·X+α
Anna Rajfura KDiB
lub
Y = β1 · X + β0
β – współczynnik regresji,
α – stała regresji
X, Y – cechy obserwowane w doświadczeniu,
n – liczba jednostek doświadczalnych,
Wyniki doświadczenia:
wartości cechy X:
x1
x2
x3
... x n
wartości cechy Y:
y1
y2
y3
... y n
Diagram korelacyjny
cecha Y
prosta regresji
cecha X
równanie prostej regresji: y = bx + a,
4
Statystyka matematyczna dla kierunku Rolnictwo w SGGW
βˆ = b
Anna Rajfura KDiB
αˆ = a
b - współczynnik regresji,
a - stała regresji
Metoda najmniejszych kwadratów (MNK):
cecha Y
ei
yi
xi
cecha X
prosta regresji: y = bx + a,
( xi , yi ),
y( xi ) = bxi + a,
ei = y( xi ) – yi
5
Statystyka matematyczna dla kierunku Rolnictwo w SGGW
n
∑e
i =1
2
i
→ min
n
b=
∑ (x
i =1
Anna Rajfura KDiB
i
− x ) ⋅ (y i − y )
n
2
(
)
x
−
x
∑ i
,
a = y − b⋅x
i =1
estymatory uzyskane metodą najmniejszych kwadratów
warians cechy X:
var x = ∑ (x i − x )
2
i
kowarians cech X i Y:
cov xy = ∑ (x i − x )(y i − y )
i
Interpretacja współczynnika regresji b
6
Statystyka matematyczna dla kierunku Rolnictwo w SGGW
Anna Rajfura KDiB
H0: β = 0 (hipoteza o braku regresji)
α – poziom istotności
test t Studenta:
t emp
b
=
sb
gdzie:
sb =
var y − b ⋅ cov xy
(n − 2) ⋅ var x
t kryt = t α , v=n −2
WNIOSKOWANIE
Jeśli |temp|>t
kryt
to H0 odrzucamy, wpp H0 nie moŜna
odrzucić.
test F - Fishera:
Femp
 b ⋅ cov xy 

= 
 var y − b cov xy 
2
7
Statystyka matematyczna dla kierunku Rolnictwo w SGGW
Anna Rajfura KDiB
Fkryt = Fα , v1 =1,v2 =n −2
WNIOSKOWANIE
Jeśli Femp > F
kryt
to H0 odrzucamy, wpp H0 nie moŜna
odrzucić.
Przykład
Z dziesięciu poletek doświadczalnych zebrano plony bulw
ziemniaczanych (cecha X) i oznaczono w nich procentową
zawartość skrobi (cecha Y). Wyniki zestawiono w tabeli:
plon xi
zawartość
skrobi yi
20
21
22
23
22
25
30
27
24
26
17,1 16,9 17,0 16,8 16,9 16,5 16,3 16,6 16,5 16,4
prosta regresji y = 18,64 – 0,08x
H0: β = 0 (hipoteza o braku regresji)
α = 0,05
test t Studenta:
t emp = −5,83
t kryt = t 0, 05, 8 = 2,31
WNIOSKOWANIE
|temp| = 5,83 > 2,31 = t kryt , zatem H0 odrzucamy.
8
Statystyka matematyczna dla kierunku Rolnictwo w SGGW
Anna Rajfura KDiB
Stwierdzamy statystycznie istotną zaleŜność zawartości
skrobi od plonu bulw ziemniaka.
test F - Fishera:
Femp = 34 Fkryt = F0, 05, 1, 8 = 5,32
WNIOSKOWANIE
Jeśli Femp = 34 > 5,32 = F kryt , zatem H0 odrzucamy.
Interpretacja współczynnika regresji b:
prosta regresji y = a + bx
Jeśli wartość cechy X wzrośnie o jednostkę
(w jednostkach cechy X), to wartość cechy Y zmieni
się o | b | jednostek (w jednostkach cechy Y).
Wzrośnie, gdy b > 0; zmaleje, gdy b < 0.
9
Statystyka matematyczna dla kierunku Rolnictwo w SGGW
Anna Rajfura KDiB
prosta regresji y = 18,64 – 0,08x
b = -0, 08
Jeśli plon z bulw ziemniaka wzrośnie o 1 kg, to
zawartość skrobi zmniejszy się o 0,08%.
Współczynnik determinacji d:
d = r2 · 100%
r – współczynnik korelacji,
Interpretacja współczynnika determinacji:
współczynnik d oznacza, jaka część zmienności cechy
Y objaśniona (wytłumaczona) jest zmiennością cechy
X.
W przykładzie:
r = -0,9,
W
81%
to
d = 0,81· 100% = 81%
zmienność
wytłumaczona
zawartości
zmiennością
plonu.
skrobi
jest
Tylko
9%
10
Statystyka matematyczna dla kierunku Rolnictwo w SGGW
Anna Rajfura KDiB
zmienności zawartości skrobi nie jest wytłumaczona
zmiennością plonu.
Praktyczne warunki ustalania cechy zaleŜnej i niezaleŜnej.
11