Rozdział 5 - Zastosowanie modelu teoretycznego dla płaskiego

Transkrypt

Rozdział 5 – Zastosowanie modelu teoretycznego dla płaskiego stanu napręŜenia
48
5. Zastosowanie modelu teoretycznego dla płaskiego stanu
napręŜenia.
5.1 Szczególna postać równań fizycznych
Wyniki badań doświadczalnych materiałów kruchych, głównie betonu, poddanych
osiowemu stanowi napręŜenia przedstawione w licznych pracach [7, 8, 17, 23, 52, 59, 61,
67, 78] dostarczają wielu informacji o właściwościach tych materiałów. Weryfikacja
doświadczalna zaproponowanego w tej pracy modelu teoretycznego nie moŜe się jednak
ograniczać
tylko
do
tego
stanu
napręŜenia,
gdyŜ
sprawdzenie
przydatności
sformułowanych równań wymaga porównania przewidywań teoretycznych z rzeczywistym
zachowaniem się materiału poddanego złoŜonemu stanowi napręŜenia.
Beton poddany płaskiemu stanowi napręŜenia był przedmiotem szeregu badań,
których wyniki omówione zostały w pracach [17, 23, 52, 67, 78]. Najobszerniejszym
opracowaniem o charakterze podstawowym są prace Kupfera [43, 44], gdzie poza
prezentacją wyników omówione zostały szczegóły techniczne dotyczące sposobu
prowadzenia badań i realizacji równoczesnego dwukierunkowego obciąŜenia. Te wyniki a
takŜe inne zawarte w pracach [8, 52, 59, 78] wykorzystane zostaną w tym rozdziale do
przeprowadzenia weryfikacji doświadczalnej sformułowanych równań. Celem tego
rozdziału jest więc podanie szczególnej postaci równania ewolucji uszkodzenia (4.3) i
równań fizycznych (4.5) odpowiadającej przypadkowi płaskiego stanu napręŜenia i
porównanie otrzymanych w ten sposób krzywych teoretycznych z dostępnymi wynikami
doświadczalnymi.
Badania doświadczalne betonu dotyczyły głównie dwukierunkowego ściskania stąd
analizowany płaski stan napręŜenia jest reprezentowany przez tensor napręŜenia w postaci
0
0
0

σ = 0 σ 2 = kσ 3 0 
0
0
σ 3 
k ≤1 .
( 5.1 )
Graficzną prezentację tego stanu napręŜenia oraz objaśnienia oznaczeń przedstawia rys.
5.1.
X3
49
σ3
kσ3
kσ3
X2
X1
σ3
Rys. 5.1. Płaski stan napręŜenia.
Tensor (5.1) moŜna rozłoŜyć na tensor kulisty ( aksjator ) σ ij0 i dewiator sij , które mają
postać:
k +1
σ3
3
σ ijo =
0
0
0
k +1
σ3
3
0
0
0
k +1
σ3
−
3
sij =
k +1
σ3
3
0
0
0
2k − 1
σ3
3
0
0
0
( 5.2 )
2−k
σ3
.
3
Wykorzystując wartość sij otrzymujemy niezmiennik dewiatora napręŜeń w postaci
 k + 1  k + 1 
s kl s kl = s11s11 + s22 s 22 + s33 s33 =  −
σ 3  −
σ3 +
3
3



 2k − 1  2k − 1 
+
σ 3 
σ3 +
 3
 3

( 5.3 )
 2 − k  2 − k  2 2
+
σ 3 
σ 3  = k − k + 1 σ 32
 3
 3
 3
(
)
oraz niezmiennik tensora napręŜenia
σ klσ kl = σ 11σ 11 + σ 22σ 22 + σ 33σ 33 = k 2σ 32 + σ 32 = (k 2 + 1)σ 32 .
( 5.4 )
50
Wyznacznik z tensora napręŜenia w tym przypadku ma postać:
det σ kl = 0 .
( 5.5 )
Mając na uwadze wzory (5.2), (5.3), (5.4) i (5.5) równanie ewolucji uszkodzenia przyjmie
ostatecznie postać
(
)
(
)
(
)
2
A k 2 − k + 1 σ 32
3
2
Ω 2 = A k 2 − k + 1 σ 32 + sign(σ 3 )Bk k 2 + 1 σ 32
3
2
Ω 3 = A k 2 − k + 1 σ 32 + sign(σ 3 )B k 2 + 1σ 32 .
3
Ω1 =
( 5.6 )
Uwzględniając wzór (2.14) otrzymamy następujące zaleŜności opisujące współrzędne
tensora efektu uszkodzenia
(
)
2
A k 2 − k + 1 σ 32
Ω1
3
D1 =
=
2
1 − Ω1
1 − A k 2 − k + 1 σ 32
3
2
A k 2 − k + 1 σ 32 + sign(σ 3 )Bk k 2 + 1σ 32
Ω2
= 3
D2 =
2
1− Ω2
1 − A k 2 − k + 1 σ 32 − sign(σ 3 )Bk k 2 + 1σ 32
3
2
A k 2 − k + 1 σ 32 + sign(σ 3 )B k 2 + 1σ 32
Ω3
D3 =
= 3
.
2
1 − Ω3
2
2
2
2
1 − A k − k + 1 σ 3 − sign(σ 3 )B k + 1σ 3
3
(
(
)
)
(
(
)
( 5.7 )
)
(
)
Ogólna postać równania fizycznego dla materiału anizotropowego zapisana
wzorem (4.5) w przypadku płaskiego stanu napręŜenia sprowadza się do postaci
ε1 = −
ν0
E0
(k + 1) σ 3 + C [D1 (k + 1) + D2 k + D3 ]σ 3
ε2 =
k −ν 0
σ 3 + C [D2 (2k + 1) + D3 ]σ 3 + 4 DD2 kσ 3
E0
ε3 =
1 − kν 0
σ 3 + C [D2 k + D3 (k + 2)]σ 3 + 4 DD3σ 3 .
E0
( 5.8 )
51
Po podstawieniu współrzędnych tensora efektu uszkodzenia zapisanego wzorem (5.7)
otrzymamy ostateczną postać zaleŜności wykorzystywanych w dalszej części tej pracy
ε1 = −
ν0
E0
(k + 1) σ 3 +
(
)
2
2
3
2
2 3
 3 A k − k + 1 kσ 3 + sign(σ 3 )B k + 1 k σ 3
+ C
+
2
1 − A k 2 − k + 1 σ 32 − sign(σ 3 )B k 2 + 1 kσ 32
 3
2
A k 2 − k + 1 σ 33 + sign(σ 3 )B k 2 + 1 σ 33
+ 3
2
1 − A k 2 − k + 1 σ 32 − sign(σ 3 )B k 2 + 1 σ 32
3
2

A k 2 − k + 1 (k + 1) σ 33 
+ 3

2
1 − A k 2 − k + 1 σ 32 
3

(
)
(
)
(
( 5.9 )1
)
(
)
(
)
(
)
2

A k 2 − k + 1 σ 33 + sign(σ 3 )B k 2 + 1 kσ 33

k −ν 0
+
ε2 =
σ 3 + C (2k + 1) 3
2
E0
2
2
2
2

1 − A k − k + 1 σ 3 − sign(σ 3 )B k + 1 kσ 3
3

2

A k 2 − k + 1 σ 33 + sign(σ 3 )B k 2 + 1 σ 33 
+ 3
+
2
2
2
2
2
1 − A k − k + 1 σ 3 − sign(σ 3 )B k + 1 σ 3 
3

2
A k 2 − k + 1 kσ 33 + sign(σ 3 )B k 2 + 1k 2σ 33
+ 4D 3
2
1 − A k 2 − k + 1 σ 32 − sign(σ 3 )B k 2 + 1 kσ 32
3
(
(
)
)
(
)
(
( 5.9 )2
)
(
)
(
)
2
2
3
2
2 3
 3 A k − k + 1 kσ 3 + sign(σ 3 )B k + 1 k σ 3
1 −ν 0 k
+
ε3 =
σ 3 + C
E0
1 − 2 A k 2 − k + 1 σ 32 − sign(σ 3 )B k 2 + 1 kσ 32
 3
2

A k 2 − k + 1 σ 33 + sign(σ 3 )B k 2 + 1 σ 33 
+ (k + 2 ) 3
+
2
2
2
2
2
1 − A k − k + 1 σ 3 − sign(σ 3 )B k + 1 σ 3 
3

2
A k 2 − k + 1 σ 33 + sign(σ 3 )B k 2 + 1 σ 33
3
+ 4D
.
2
1 − A k 2 − k + 1 σ 32 − sign(σ 3 )B k 2 + 1 σ 32
3
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
( 5.9 )3
52
Szczególnym przypadkiem płaskiego stanu napręŜenia, kiedy k = 0, jest przypadek
osiowego ściskania. Stan napręŜenia opisuje tu tensor napręŜenia (4.6) i w tym przypadku
równanie ewolucji uszkodzenia będzie miało następującą postać
2
Aσ 32
3
2
Ω 2 = Aσ 32
3
2
Ω 3 = Aσ 32 + sign(σ 3 )Bσ 32 .
3
Ω1 =
( 5.10 )
Odpowiednie współrzędne tensora efektu uszkodzenia obliczone z zaleŜności (2.14)
wynoszą
2
Aσ 32
Ω1
D1 = D2 =
= 3
2
1 − Ω1
1 − Aσ 32
3
2
Aσ 32 + sign(σ 3 )Bσ 32
Ω3
D3 =
= 3
.
2
1 − Ω3
2
2
1 − Aσ 3 − sign(σ 3 )Bσ 3
3
( 5.11 )
Uwzględniając zaleŜności (5.10) i (5.11) równanie fizyczne będzie miało postać
 2 Aσ 33 + sign (σ 3 )3Bσ 33
2 Aσ 33 
ε1 = ε 2 = − σ 3 + C 
+
2
2
2
E0
 3 − 2 Aσ 3 − sign (σ 3 )3Bσ 3 3 − 2 Aσ 3 
σ
2 Aσ 33 + sign (σ 3 )3Bσ 33
ε 3 = 3 + (2C + 4 D)
.
E0
3 − 2 Aσ 32 − sign (σ 3 )3Bσ 32
ν0
( 5.12 )
Otrzymane tą drogą równania (5.9)1, (5.9)2, (5.9)3, oraz (5.12) opisują nieliniową
zaleŜność między odkształceniami i napręŜeniami w przypadku, odpowiednio, płaskiego
stanu napręŜenia oraz osiowego ściskania. Uwzględniają one degradację struktury
wewnętrznej materiałów kruchych przy wzrastającym obciąŜeniu.
53
5.2 Weryfikacja doświadczalna.
W celu weryfikacji modelu matematycznego wykorzystano dostępne dane
doświadczalne dla róŜnych rodzajów betonu w płaskim stanie napręŜenia [43, 52, 78].
Stałe materiałowe E0 i ν0 dla materiału w stanie nieuszkodzonym zostały określone na
podstawie wykresów zaleŜności pomiędzy napręŜeniem i odkształceniem zawartych w
wyŜej wymienionych pracach. Natomiast stałe materiałowe A, B, C oraz D wchodzące w
skład równań (5.9)1, (5.9)2, (5.9)3 oraz (5.12) obliczono zgodnie w wzorami (4.9, 4.10,
4.11, 4.12). Otrzymane w ten sposób wartości stałych materiałowych zawarte są w
Tablicach 5.1, 5.2, 5.3 i 5.4. Tablice te zawierają takŜe współrzędne punktów
doświadczalnych uŜyte do identyfikacji stałych materiałowych A, B, C i D
przeprowadzonej
zgodnie
z
paragrafem
4.2
tej
pracy.
Porównanie
wyników
doświadczalnych i teoretycznych zaprezentowano w dalszej części tego punktu omawiając
oddzielnie kaŜdą grupę badanych materiałów.
5.2.1 Beton zwykły badany przez Kupfera.
Obszerne badania doświadczalne zachowania się trzech rodzajów betonu zostały
zaprezentowane w pracy [43]. Wartości stałych materiałowych otrzymanych na podstawie
danych doświadczalnych zawartych w powyŜszej pracy przedstawia Tablica 5.1
Zamieszczone rysunki o numerach od 5.2 do 5.19 przedstawiają porównanie
doświadczalnych i teoretycznych zaleŜności pomiędzy napręŜeniem i odkształceniem dla
trzech rodzajów betonów badanych przez Kupfera [43] poddanych:
a) dwukierunkowemu ściskaniu: beton 1 ( rys. 5.2 i 5.3 ), beton 2 ( rys 5.4 i 5.5 ), beton 3
( rys. 5.6 i 5.7 ),
b) kombinacji ściskania w jednym kierunku i rozciągania w drugim: beton 1 ( rys. 5.8 i
5.9 ), beton 2 ( rys. 5.10 i 5.11 ), beton 3 ( rys. 5.12 i 5.13 ),
c) równomiernemu dwukierunkowemu rozciąganiu: beton 1 ( rys. 5.14 i 5.15 ), beton 2
( rys. 5.16 i 5.17 ), beton 3 ( rys. 5.18 i 5.19 ).
Na wszystkich rysunkach linia pogrubiona oznacza krzywe teoretyczne natomiast linia
cienka oznacza krzywe doświadczalne [43].
a)
σ3 / fc
1,5
1,0
ε1 = ε2
k = 0,0
54
ε3
0,5
Beton 1
ε
ε × 10
3
4
0,0
2
0
b)
σ3 / fc
-2
-4
1,5
ε1
ε2
ε3
1,0
k = 0,227
0,5
Beton 1
ε × 10
4
3
0,0
2
0
-2
-4
Rys. 5.2. Teoretyczne i doświadczalne krzywe dla betonu 1: a) k = σ2/σ3 = 0, b) k = 0,227.
( Krzywe teoretyczne – linie grube, krzywe doświadczalne [43] – linie cienkie ).
a)
σ3 / fc
55
1,5
ε2
ε1
ε3
1,0
k = 0,525
0,5
Beton 1
ε × 10
3
4
0,0
2
b)
0
σ3 / fc
-2
-4
1,5
ε1
1,0
ε2 = ε3
k = 1,0
0,5
Beton 1
ε × 10
4
3
0,0
2
0
-2
-4
Rys. 5.3. Teoretyczne i doświadczalne krzywe dla betonu 1: a) k = σ2/σ3 = 0,525, b) k =
1,0.
a)
σ3 / fc
1,5
1,0
ε1 = ε2
k = 0,0
56
ε3
0,5
Beton 2
ε × 10
3
4
0,0
2
0
-2
-4
b)
σ3 / fc
1,5
ε2
ε1
1,0
ε3
k = 0,226
0,5
Beton 2
ε × 10
4
3
0,0
2
0
-2
-4
a)
σ3 / fc
57
1,5
ε1
ε2
1,0
ε3
k = 0,525
0,5
Beton 2
ε × 10
3
4
0,0
2
b)
0
σ3 / fc
-2
-4
1,5
ε1
1,0
ε2 = ε3
k = 1,0
0,5
Beton 2
ε × 10
4
3
0,0
2
0
-2
-4
1,0.
a)
σ3 / fc
58
1,5
1,0
k = 0,0
ε3
ε1 = ε2
0,5
Beton 3
ε × 10
3
4
0,0
2
0
-2
-4
b)
σ3 / fc
1,5
ε2
ε1
1,0
k = 0,208
ε3
0,5
Beton 3
ε × 10
4
3
0,0
2
0
-2
-4
a)
σ3 / fc
59
1,5
ε2
ε1
1,0
ε3
k = 0,513
0,5
Beton 3
ε × 10
3
4
0,0
2
b)
0
σ3 / fc
-2
-4
1,5
ε1
1,0
ε2 = ε3
k = 1,0
0,5
ε × 10
4
Beton 3
3
0,0
2
0
-2
-4
1,0.
σ3 / fc 1,0
ε1
ε2
a)
60
ε3
0,5
k = -0,051
Beton 1
ε × 10
3
2
0,0
1
b)
0
σ3 / fc
-1
1,0
ε1
-2
ε3
ε2
k = -0,070
0,5
Beton 1
ε × 10
2
3
0,0
1
0
-1
-2
Rys. 5.8. Teoretyczne i doświadczalne krzywe dla betonu 1: a) k = σ2/σ3 = -0,051, b) k = 0,070.
a)
61
σ3 / fc 1,0
ε3
ε1
ε2
k = -0,103
0,5
Beton 1
ε × 10
3
2
0,0
1
b)
0
-1
-2
σ3 / fc 1,0
ε1 0,5
k = -0,196
ε3
ε2
Beton 1
ε × 10
2
3
0,0
1
0
-1
-2
Rys. 5.9. Teoretyczne i doświadczalne krzywe dla betonu 1: a) k = σ2/σ3 = -0,103, b) k = 0,196.
62
σ3 / fc 1,0
a)
ε3
ε1
ε2
0,5
k = -0,052
Beton 2
ε × 10
3
2
0,0
1
b)
0
σ3 / fc
-1
-2
1,0
ε1
ε3
ε2
k = -0,070
0,5
Beton 2
ε × 10
2
3
0,0
1
0
-1
-2
Rys. 5.10. Teoretyczne i doświadczalne krzywe dla betonu 2: a) k = σ2/σ3 = -0,052, b) k =
-0,070.
a)
63
σ3 / fc 1,0
ε2 ε1
ε3
k = -0,103
0,5
Beton 2
ε × 10
3
2
0,0
1
b)
0
-1
-2
σ3 / fc 1,0
0,5
k = -0,204
ε3
ε1
ε2
Beton 2
ε × 10
2
3
0,0
1
0
-1
-2
-0,204.
a)
64
σ3 / fc 1,0
ε2
ε1
ε3
0,5
k = -0,052
Beton 3
ε × 10
3
2
0,0
1
b)
0
σ3 / fc
-1
-2
1,0
ε1
k = -0,070
ε2
0,5
ε3
Beton 3
ε × 10
2
3
0,0
1
0
-1
-2
-0,070.
a)
65
σ3 / fc 1,0
k = -0,102
ε1 0,5
ε2
ε3
Beton 3
ε × 10
3
2
0,0
1
b)
0
-1
-2
σ3 / fc 1,0
0,5
k = -0,205
ε2
ε1
ε3
Beton 3
ε × 10
2
3
0,0
1
0
-1
-2
-0,205.
a)
σ3 / fc
66
-0,15
-0,10
k = 0,00
ε1 = ε2
ε3
-0,05
Beton 1
ε × 10
3
0,15
0,00
0,10
0,05
b)
0,00
σ3 / fc
-0,15
ε2
-0,10
-0,05
-0,10
-0,05
-0,10
ε1
ε3
k = 0,244
-0,05
Beton 1
ε × 10
0,15
3
0,10
0,00
0,05
0,00
Rys. 5.14. Teoretyczne i doświadczalne krzywe dla betonu 1: a) k = σ2/σ3 = 0, b) k =
0,244.
a)
σ3 / fc
67
-0,15
ε2
-0,10
k = 0,537
ε1
ε3
-0,05
Beton 1
ε × 10
0,15
3
0,00
0,10
b)
0,05
σ3 / fc
ε3 = ε2
0,00
-0,05
-0,10
-0,05
-0,10
-0,15
-0,10
ε1
k = 1,0
-0,05
Beton 1
ε × 10
0,15
3
0,10
0,00
0,05
0,00
1,0.
a)
σ3 / fc
68
-0,15
-0,10
ε1 = ε2
ε3
k = 0,00
-0,05
Beton 2
ε × 10
3
0,15
0,00
0,10
0,05
b)
0,00
σ3 / fc
-0,05
-0,10
-0,05
-0,10
-0,15
-0,10
ε2
k = 0,232
ε1
ε3
-0,05
Beton 2
ε × 10
0,15
3
0,10
0,00
0,05
0,00
0,232.
a)
σ3 / fc
69
-0,15
k = 0,546
ε2
-0,10
ε1
ε3
-0,05
Beton 2
ε × 10
0,15
3
0,00
0,10
b)
0,05
σ3 / fc
ε3 = ε2
0,00
-0,10
ε1
-0,05
Beton 2
0,15
3
0,10
-0,10
-0,15
k = 1,0
ε × 10
-0,05
0,00
0,05
0,00
-0,05
-0,10
1,0.
a)
σ3 / fc
70
-0,15
Beton 3
-0,10
ε3
ε1 = ε2
-0,05
k = 0,00
ε × 10
3
0,15
0,00
0,10
0,05
b)
0,00
σ3 / fc
-0,05
-0,10
-0,15
Beton 3
-0,10
ε2
ε3
ε1
-0,05
k = 0,225
ε × 10
0,15
3
0,10
0,00
0,05
0,00
-0,05
-0,10
0,225.
a)
σ3 / fc
71
-0,15
Beton 3
-0,10
ε2
ε1
ε3
-0,05
k = 0,535
ε × 10
3
0,15
0,10
b)
0,00
0,05
σ3 / fc
0,00
-0,05
-0,10
-0,15
Beton 3
-0,10
ε3 = ε2
ε1
k = 1,0
-0,05
ε × 10
0,15
3
0,10
0,00
0,05
0,00
-0,05
-0,10
1,0.
72
Tablica 5.1. Wartości stałych materiałowych dla trzech rodzajów betonów badanych w
płaskim stanie napręŜenia przez Kupfera [43].
Stała
Jednostka
Beton 1
Beton 2
Beton 3
E0
MPa
29500
33000
40000
ν0
-
0.19
0.195
0.24
fc
MPa
-19.1
-32.4
-61.9
n
-
1,0
1,0
1,0
m
-
0,9
0,9
0,9
ε3n
-
-0,001790
-0,002016
-0,002040
ε3m
-
-0,001260
-0,001475
-0,001680
ε1n
-
0,000500
0,000600
0,000600
ε1m
-
0,000330
0,000400
0,000460
A
MPa-2
242.7×10-5
91.34×10-5
26.10×10-5
B
MPa-2
11.75×10-5
4.590×10-5
2.575×10-5
C
MPa-1
- 0.7449×10-5
-0.3919×10-5
-0.1114×10-5
D
MPa-1
1.609×10-5
0.7478×10-5
0.2069×10-5
5.2.2 Beton bazaltowy
W pracy [ 78 ] przedstawiono wyniki badań betonu bazaltowego odpornego na
podwyŜszoną temperaturę, który stosuje się przy wykonywaniu obudów reaktorów
jądrowych. Beton ten był poddany dwukierunkowemu ściskaniu w trzech róŜnych
temperaturach 293K, 343K, 393K. Wartości wszystkich stałych materiałowych zawartych
w równaniach ( 5.9 ) przedstawia Tablica 5.2. Natomiast porównanie doświadczalnych i
teoretycznych
krzywych
zaleŜności
pomiędzy
napręŜeniami
i
odkształceniami
przedstawiają rysunki od 5.20 do 5.34 dla:
a) temperatury 293K ( Rys. 5.20, Rys. 5.21, Rys. 5.22, Rys. 5.23 oraz Rys. 5.24 ),
b) temperatury 343K ( Rys. 5.25, Rys. 5.26, Rys. 5.27, Rys. 5.28 oraz Rys. 5.29 ),
c) temperatury 393K ( Rys. 5.30, Rys. 5.31, Rys. 5.32, Rys. 5.33 oraz Rys. 5.34 ),
σ3 / fc
73
2,0
k = 0,0
Temp. 293K
1,5
ε1 = ε2
ε3
1,0
0,5
ε × 10
3
2
ε
0,0
1
0
-1
-2
Rys. 5.20. Krzywe teoretyczne ( linia gruba ) i doświadczalne ( linia cienka ) dla betonu w
temperaturze 293K dla k = σ2/σ3 = 0.
σ3 / fc
k = 0,2
Temp. 293K
2,0
ε2
1,5
ε1
ε3
1,0
0,5
ε × 10
2
3
ε
0,0
1
0
-1
-2
temperaturze 293K dla k = σ2/σ3 = 0,2.
σ3 / fc
74
2,0
ε2
1,5
ε1
ε3
k = 0,4
Temp. 293K
1,0
0,5
ε × 10
3
2
ε
0,0
1
0
-1
-2
σ3 / fc
2,0
k = 0,66
Temp. 293K
ε2
1,5
ε1
ε3
1,0
0,5
ε × 10
2
3
ε
0,0
1
0
-1
-2
σ3 / fc
75
2,0
k = 1,0
Temp. 293K
1,5
ε1
1,0
ε2 = ε3
0,5
ε × 10
3
2
ε
0,0
1
0
-1
-2
σ3 / fc
2,0
k = 0,0
Temp. 343K
1,5
ε1 = ε2
1,0
ε3
0,5
ε × 10
4
3
ε
0,0
2
0
-2
-4
σ3 / fc
k = 0,2
Temp. 343K
76
2,0
ε2 1,5
ε1
ε3
1,0
0,5
ε × 10
3
4
ε
0,0
2
0
-2
-4
σ3 / fc
k = 0,4
Temp. 343K
2,0
1,5
ε2
ε1
ε3
1,0
0,5
ε × 10
4
3
ε
0,0
2
0
-2
-4
σ3 / fc
77
2,0
k = 0,66
Temp. 343K
1,5 ε2
ε1
ε3
1,0
0,5
ε × 10
3
4
ε
0,0
2
0
-2
-4
σ3 / fc
2,0
k = 1,0
Temp. 343K
1,5
ε2 = ε3
ε1
1,0
0,5
ε × 10
4
3
ε
0,0
2
0
-2
-4
σ3 / fc
78
2,0
k = 0,0
Temp. 393K
1,5
ε1 = ε2
1,0
ε3
0,5
ε × 10
3
4
ε
0,0
2
0
-2
-4
σ3 / fc
2,0
k = 0,2
Temp. 393K
ε1
ε2
1,5
ε3
1,0
0,5
ε × 10
4
3
ε
0,0
2
0
-2
-4
σ3 / fc
2,0
ε1
1,5
ε2
k = 0,4
Temp. 393K
79
ε3
1,0
0,5
ε × 10
3
4
ε
0,0
2
0
-2
-4
σ3 / fc
2,0
k = 0,66
Temp. 393K
1,5
ε2
ε1
ε3
1,0
0,5
ε × 10
4
3
ε
0,0
2
0
-2
-4
σ3 / fc
80
2,0
k = 1,0
Temp. 393K
1,5
ε1
ε2 = ε3
1,0
0,5
ε × 10
4
3
ε
0,0
2
0
-2
-4
Tablica 5.2 Wartości stałych materiałowych dla betonu bazaltowego.
Stała
Jednostka
E0
MPa
MPa
MPa-2
MPa-2
MPa-1
MPa-1
ν0
fc
n
m
ε3n
ε3m
ε1n
ε1m
A
B
C
D
Temperatura
Temperatura
Temperatura
293K
343K
393K
61000
0,17
-46,9
1,0
0,9
-0,001050
-0,000890
0,000220
0,000180
14,22×10-05
2,411×10-05
-0,4256×10-05
1,027×10-05
54400
0,18
-44,6
1,0
0,9
-0,001030
-0,000878
0,000257
0,000204
31,95×10-05
4,755×10-05
-0,2001×10-05
0,3401×10-05
51100
0,17
-36,6
0,8
0,6
-0,000726
-0,000487
0,000165
0,000098
46,07×10-05
4,406×10-05
-0,3559×10-05
0,6265×10-05
81
5.2.3 Beton zwykły badany przez Ligęzę.
Do weryfikacji doświadczalnej wykorzystane teŜ zostały wyniki badań Ligęzy [52].
Zakres tych badań węŜszy od przedstawionych w pracach [43, 78] obejmował kilka
przypadków dwukierunkowego ściskania dla dwóch rodzajów betonu zwykłego ( beton A i
beton B ). Wyniki tych badań zasługują na szczególną uwagę ze względu na zastosowanie
specjalnych szczotek Hilsdorfa, które przekazywały siłę ściskającą i których celem było
wyeliminowanie tarcia na płaszczyznach próbek. Zastosowane przez Ligęzę szczotki
składające się z metalowej płyty, do której zostały przymocowane pręty o wymiarze 5×3
mm miały jednakową sztywność w obu kierunkach. Dzięki temu ułatwione było swobodne
odkształcenie poprzeczne badanych elementów betonowych co zapewniało większą
dokładność otrzymanych wyników.
Dane
doświadczalne
przedstawionych w
zawarte
w
pracy
[52]
posłuŜyły
do
określenia
Tablicy 5.3 wartości stałych materiałowych dla betonu A i B.
Natomiast porównanie teoretycznych i doświadczalnych krzywych zaleŜności pomiędzy
napręŜeniem i odkształceniem przedstawione zostało dla obu typów betonu na rysunkach
5.35, 5.36, 5.37, 5.38 i 5.39.
Tablica 5.3. Wartości stałych materiałowych dla betonów A i B w płaskim stanie
napręŜenia.
Stała
Jednostka
E0
MPa
MPa
MPa-2
MPa-2
MPa-1
MPa-1
ν0
fc
n
m
ε3n
ε3m
ε1n
ε1m
A
B
C
D
Beton A
Beton B
Ligęza [ 52]
Ligęza [ 52]
27900
0,19
-14,92
1,0
0,8
-0,001169
-0,000643
0,000283
0,000139
4,432×10-03
3,233×10-04
-3,645×10-06
9,338×10-06
30800
0,19
-28,14
1
0,7
-0,002652
-0,000884
0,001830
0,000164
1,845×10-03
2,9791×10-04
-1,4575×10-06
6,2054×10-06
σ3 / fc 1,4
1,2
ε1 = ε2
ε3
1,0
0,8
k = 0,0
Beton A
0,6
0,4
X
0,2
ε × 10
Teoria
Eksperyment
3
0,0
2
1
0
-1
-2
-3
Rys. 5.35. Teoretyczne i doświadczalne krzywe σ−ε dla betonu A.
σ3 / fc 1,4
1,2
ε2
ε3
ε1
1,0
k = 0,5
Beton A
0,8
0,6
0,4
0,2
ε × 10
2
X
Teoria
Eksperyment
3
0,0
1
0
-1
-2
-3
82
1,4
σ3 / fc
1,2
ε1
ε2 = ε3
1,0
k = 1,0
Beton A
0,8
0,6
0,4
X
0,2
ε × 10
3
Teoria
Eksperyment
0,0
2
1
0
-1
-2
-3
σ3 / fc 1,4
1,2
ε1 = ε2
ε3
1,0
0,8
k = 0,0
Beton B
0,6
0,4
X
0,2
ε × 10
2
3
Teoria
Eksperyment
0,0
1
0
-1
-2
Rys. 5.38. Teoretyczne i doświadczalne krzywe σ−ε dla betonu B.
-3
83
σ3 / fc
84
1,4
1,2
ε1
1,0
k = 1,0
Beton B
0,8
ε3 = ε2
0,6
0,4
X
0,2
ε × 10
2
3
Teoria
Eksperyment
0,0
1
0
-1
-2
-3
Rys. 5.39. Teoretyczne i doświadczalne krzywe σ−ε dla betonu B.
5.2.4 Badania własne
Na zakończenie tego rozdziału zostanie przedstawione porównanie wyników
teoretycznych z wynikami własnych badań akumulacji zorientowanego uszkodzenia, które
zostały opisane w Rozdziale 3. Stałe materiałowe E0 i ν0 wyznaczone za pomocą
tensometrii elektrooporowej i defektoskopii ultradźwiękowej oraz A, B, C, i D dla próbek
Serii I, II, i III przedstawia Tablica 5.4. Natomiast porównanie teoretycznych i
doświadczalnych krzywych zaleŜności pomiędzy napręŜeniem i odkształceniem znajduje
się na rysunkach 5.40, 5.41 i 5.42. Program badań własnych nie ograniczał się do
wyznaczenia krzywych ściskania lecz obejmował doświadczalną analizę rozwoju
zorientowanego uszkodzenia, którego efektem obserwowanym w skali makro jest zmiana
wartości stałych materiałowych i rozwój anizotropii materiału. W szczególnym przypadku
osiowego ściskania następuje rozwój izotropii transwersalnej określonej pięcioma stałymi
materiałowymi, które moŜna obliczyć z równania (4.4). Uwzględniając w tym równaniu
obciąŜenie wyraŜone tensorem napręŜenia (4.6) otrzymujemy następujące zaleŜności
słuŜące do obliczenia pięciu stałych opisujących izotropię transwersalną
Tablica 5.4. Wartości stałych materiałowych betonu zwykłego.
Beton B20
Beton B20
Beton B20
Seria I
Seria II
Seria III
MPa
20200
19500
18500
ν0
-
0,21
0,20
0,20
fc
MPa
-23,9
-23,9
-23,9
n
-
1,000
1,000
1,000
m
-
0,778
0,778
0,778
ε3n
-
-0,002250
-0,001900
-0,002500
ε3m
-
-0,001280
-0,001180
-0,001400
ε1n
-
0,001050
0,000840
0,002000
ε1m
-
0,000330
0,000290
0,000550
A
MPa-2
2,244×10-03
2,255×10-03
2,150×10-03
B
MPa-2
6,174×10-04
6,195×10-04
5,101×10-04
C
MPa-1
-4,877×10-06
-3,508×10-06
-1,293×10-05
D
MPa-1
1,352×10-05
0,8674×10-05
1,778×10-05
Stała
Jednostka
E0
Aσ 32
1
1
1
1
=
=
=
+ (4C + 8 D)
E E1 E2 E0
3 − 2 Aσ 32
( 5.14 )
2 Aσ 32 + sign (σ 3 )3Bσ 32
1
1
1
=
=
+ (2C + 4 D )
E ′ E3 E0
3 − 2 Aσ 32 − sign (σ 3 )3Bσ 32
( 5.15 )
ν ′ = ν 13 = ν 23
 2 Aσ 32
2 Aσ 32 + sign (σ 3 )3Bσ 32 
E′
= ν 0 − CE ′
+
2
2
2
E0
 3 − 2 Aσ 3 3 − 2 Aσ 3 − sign (σ 3 )3Bσ 3 
( 5.16 )
Aσ 32
E
ν = ν 12 = ν 0 − 4CE
E0
3 − 2 Aσ 32
( 5.17 )
 2 Aσ 32
2 Aσ 32 + sign (σ 3 )3Bσ 32 
1 2(1 + ν 0 )
=
+ 4D 
+
2
2
2
G`
E0
 3 − 2 Aσ 3 3 − 2 Aσ 3 − sign (σ 3 )3Bσ 3 
( 5.18 )
85
σ3 / fc 1,0
0,8
ε3
ε1 = ε2
0,6
Seria I
0,4
0,2
teoria
eksperyment
ε × 10
3
2,0
1,0
0,0
-1,0
-2,0
-3,0
Rys. 5.40. Teoretyczne i doświadczalne krzywe ściskania dla próbek Serii I.
σ3 / fc 1,0
ε3
0,8
ε1 = ε2
0,6
Seria II
0,4
0,2
ε × 10
2,0
teoria
eksperyment
3
1,0
0,0
-1,0
-2,0
-3,0
Rys. 5.41. Teoretyczne i doświadczalne krzywe ściskania dla próbek Serii II.
86
σ3 / fc 1,0
ε1 = ε2
0,8
ε3
0,6
0,4
Seria III
0,2
ε × 10
teoria
eksperyment
3
2,0
1,0
0,0
-1,0
-2,0
-3,0
Rys. 5.42. Teoretyczne i doświadczalne krzywe ściskania dla próbek Serii III.
25000
E, E`
[ MPa ]
20000
E3 = E`
15000
E1 = E
10000
Seria I
eksperyment tensometria
eksperyment ultradźwięki
teoria
5000
σ3 / f c
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Rys. 5.43. ZaleŜność siecznych modułów spręŜystości podłuŜnej E i E` od napręŜeń dla
próbek Serii I.
87
25000
E, E`
[ MPa ]
20000
E3 = E`
15000
E1 = E
10000
Seria II
eksperyment tensometria
eksperyment ultradźwięki
teoria
5000
σ3 / f c
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
próbek Serii II.
25000
E, E`
[ MPa ]
20000
15000
E 3 = E`
E1 = E
10000
eksperym ent tensom etria
eksperym ent ultradźwięki
teoria
Seria III
5000
σ3 / fc
0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
próbek Serii III.
88
89
0,50
ν12, ν13
ν13
0,25
ν12
Seria I
teoria
eksperyment ν13
σ3 / f c
0,00
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Rys. 5.46. ZaleŜność współczynników skurczu poprzecznego od napręŜeń dla próbek Serii
I.
0,50
ν12, ν13
ν13
ν12
0,25
teoria
eksperyment ν13
eksperyment ν12
Seria II
σ3 / f c
0,00
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
II.
90
0,80
ν12, ν13
ν13
0,60
ν12
0,40
0,20
teoria
eksperyment ν13
eksperyment ν12
Seria III
σ3 / f c
0,00
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
III.
Cztery pierwsze spośród pięciu stałych wyraŜonych równaniami (5.14), (5.15), (5.16),
(5.17)
i
(5.18)
mierzone
były
doświadczalnie
przy
zastosowaniu
tensometrii
elektrooporowej oraz techniki ultradźwiękowej. Jedynie pomiar modułu spręŜystości
postaciowej G` nie był objęty programem przeprowadzonych badań. Wyniki teoretyczne
modułów spręŜystości E i E` określone równaniami (5.14) i (5.15) zostały porównane z
rezultatami badań dla próbek Serii I, II i III na rysunkach 5.43, 5.44 i 5.45. Natomiast
dalsze rysunki 5.46, 5.47 i 5.48 przedstawiają porównanie rezultatów teoretycznych
otrzymanych z równań (5.16) i (5.17) z pomierzonymi doświadczalnie wartościami
współczynników skurczu poprzecznego.
5.4 Omówienie wyników
Zaproponowana postać równania ewolucji uszkodzenia (4.3) i równań fizycznych
(4.5) pozwoliła na stworzenie modelu teoretycznego, który w zadowalający sposób opisuje
zachowanie się materiałów kruchych w płaskim stanie napręŜenia. Poprawność modelu
91
została zweryfikowana przy uŜyciu dostępnych w literaturze danych doświadczalnych dla
róŜnych rodzajów betonu poddanych dwukierunkowemu obciąŜeniu. Do weryfikacji
zastosowano takŜe wyniki własnych badań mających na celu analizę akumulacji
zorientowanego uszkodzenia. Do określenia wartości niezbędnych stałych materiałowych
wykorzystane były dane tylko dla osiowego ściskania. Wszystkie inne teoretyczne krzywe
zaleŜności pomiędzy napręŜeniem i odkształceniem dla równoczesnego dwukierunkowego
obciąŜenia otrzymane były z równań (5.9) bez wykorzystywania dalszych danych
doświadczalnych dla płaskiego stanu napręŜenia. Zadowalająca zbieŜność krzywych
teoretycznych i doświadczalnych wskazuje więc na poprawność stosowanego modelu
teoretycznego.
Własne badania stworzyły moŜliwość pomiaru akumulacji zorientowanego
uszkodzenia
za
pośrednictwem
pomiaru
modułów
spręŜystości
podłuŜnej
i
współczynników skurczu poprzecznego. Wyniki tych pomiarów wykazały dobrą zgodność
z przewidywaniami teoretycznymi uzyskanymi z reprezentacji tensora czwartego rzędu
Aijkl wyraŜonej równaniem ( 4.4 ). Krzywe teoretyczne podobnie jak wyniki doświadczalne
wskazują na rozwój w materiale izotropii transwersalnej, której miarą moŜe być róŜnica
wartości siecznych modułów spręŜystości podłuŜnej E3=E` i E1=E.
Rezultaty
przeprowadzonej
weryfikacji
doświadczalnej
potwierdzają
więc
słuszność przyjętych w pracy załoŜeń oraz świadczą o przydatności teorii reprezentacji
funkcji tensorowych i metod mechaniki uszkodzenia do opisu zachowania się materiałów
kruchych poddanych płaskiemu stanowi napręŜenia.

Rozdział 5 - Zastosowanie modelu teoretycznego dla płaskiego

Transkrypt

Podobne dokumenty

kompleksowa usługa budowlana VAT8% beton z klasą

Plastikowy beton - StudentBuduje.pl

Wypożyczalnia rowerów

IJIil,Bi-TB

karta techniczna BETON HYDROTECHNICZNY

CZYM JEST CHUDY BETON? GDZIE MOŻNA GO ZASTOSOWAĆ

"Krzywe 10" (Emilia Sikora 1C)

Paillon Mat Foundation, Nicea

Ultra Series™ Beton ciężki

: beton towarowy : B10 : / : RMC : [m3] : 26.63.10-00.10 : 1484