x - Fizyka UMK

Analiza I, Lista 5.
1. Znaleźć pochodną f 0 (x) funkcji:
p
(d) f (x) = arc sin 1 − x2 ;
(a) f (x) = sin
(b) f (x) = 5cos x ;
1/(1 − x) ;
(c) f (x) = ln5 (tg 3x) ;
(e) f (x) = arc tg(ln x) + ln(arc tg x) .
2. Znaleźć pochodną n-tego rzędu dla funkcji:
1
(d) f (x) = 2
.
x + 5x + 6
3. Udowodnić nierówności:
p
2
(a) f (x) = x2 sin x ;
(a) arc sin x − arc sin y < x − y
(c) uogólniona nierówność Bernoulliego:
(a) f (x) =
(c) f (x) = sin x cos2 x ;
x
¬ ln(1 + x) ¬ x dla x > −1 ;
1+x
dla a > 1, x > −1 .
dla y < x ;
(1 + x)a ­ 1 + ax
4. Wyznaczyć przedziały wypukłości funkcji:
(b) f (x) = eαx sin βx ;
x
;
1 + x2
(b)
(b) f (x) = x sin(ln x) ;
(c) f (x) = x + x5/3 .
5. Jakie warunki muszą spełniać współczynniki wielomianu w(x) = ax4 +bx3 +cx2 +dx+e aby miał on punkt przegięcia?
−x2
x ¬ 0.
6. Wyznaczyć a, b, c tak, aby f (x), f 0 (x), f 00 (x) były ciągłe: f (x) = e 2
ax + bx + c x > 0
7. Napisać wzór Taylora z resztą w postaci Peano w punkcie x0 = 0 dla funkcji:
(a) f (x) = sin2 x ;
(b) f (x) = x ln(1 + x),
8. Rozwinąć w szereg potęgowy wokół x0 = 0:
(d) f (x) = ln(1 − x2 ) ;
x > −1 ;
(a) f (x) =
(e) f (x) = ln(1 + x + x2 ) ;
9. Korzystając z reguły de l’Hôspitala policzyć granice:
1 x
(c) lim xα ln x ;
(d) lim x sin
;
x→∞
x
x→0+
(c) f (x) = ln
√
1 + x
1−x
,
−1<x<1.
(b) f (x) = (1 − x2 )−1/2 ; (c) f (x) = sinh x ;
Z x
1
sin t
dt .
(e) f (x) =
;
(f)
f
(x)
=
1 + x + x2
t
0
1−x;
(a) lim x−α ln x,
x→∞
(e)
lim
x→(π/2)−
α>0;
(tg x)ctg x .
(b) lim
x→∞
x
;
2x + sin x