POBIERZ wykład nr 6
Transkrypt
POBIERZ wykład nr 6
2016-11-22 Rozkład wykładniczy (eksponencjalny) Jest to rozwinięcie rozkładu geometrycznego na ciągłe zmienne losowe f X ( x) l e l x l e x [0,) dx l e l x dx l 0 1 l x e (1) e l e l 0 (1)(0 1) 1 0 ( l ) Dystrybuanta (prawdopodobieństwo, że zaszła zmiana) x FX ( x) l e l t dt (1) e lx e l 0 1 e lx 0 PX ( X x) 1 FX ( x) e lx Posiada własność braku pamięci s, t 0 : PX ( X t s | X t ) PX ( X s) (dowód analog. do rozkładu geometrycznego, zastosowanie: metoda datowania węglem 14C) RPiS 2016/2017 Wartość oczekiwana E(X)=1/ l var(X)=1/(l2) 1 Rozkład Weibulla Rozszerzenia rozkładu wykładniczego to Rozkład Erlanga (ile trzeba czekać na n-te zdarzenie) Rozkład Weibulla (prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia nie jest stałe w czasie) – wyprowadzenie z rozkładu dwumianowego l x 0 Zastosowania: czas dostępu do serwera promieniowanie kosmiczne czas wezwania karetki pogotowia czas obsługi klienta w banku Normalizacja l – parametr rozkładu, l >0 Gdy x interpretujemy jako czas to rozkład wykładniczy opisuje prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia, które zachodzi ze stałym prawdopodobieństwem w jednostce czasu. Zdarzeniem może być przejście układu do nowego stanu. Rozkład wykładniczy -własności RPiS 2016/2017 2 Rozkład Weibulla Funkcja gęstości prawdopodobieństwa f X ( x) as a xa 1e x / s a x [0,), a 0, s 0 Parametr a decyduje o kształcie, s o położeniu i wysokości (skali). dla a=1 - rozkład wykładniczy, dla a=2,3 - rozkład zbliżony do normalnego Dystrybuanta FX ( x) 1 e x / s a Wartość oczekiwana i wariancja Funkcja Gamma Eulera E( X ) s (1 a 1 ) ( p ) x var( X ) s 2 (1 2a 1 ) ((1 a 1 ))2 (1) 1 p 1 x e dx (0.5) (n) (n 1)! 0 ( p) ( p 1)( p 1) RPiS 2016/2017 3 s f X ( x) dx 0.6321 0 RPiS 2016/2017 4 Rozkład normalny N(m,s2) Rozkład Weibulla n N 63,21% populacji umiera do czasu s (niezależnie od a ). Zastosowania: czas życia (ubezpieczenia), zużywanie się elementów w technice, czas dostawy produktu (logistyka), rozkład siły wiatru. Generowanie: 1) Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy o parametrze s to zmienna losowa Y=X(1/a) ma rozkład Weibulla fY(y) o parametrach a i s . 2) Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład jednorodny na przedziale (0,1) to zmienna losowa Y=s(-ln(X))(1/a) ma rozkład Weibulla fY(y) o parametrach a i s . RPiS 2016/2017 5 Zwany jest również rozkładem Gaussa. Jest to najważniejszy z rozkładów. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa f X ( x) s ( xm )2 2s 2 xR Rozkład ten jest unormowany: 1 e s 2 1 e 2 ( xm )2 2s 2 dx 1 Rozkład jest symetryczny względem x=m. Dla m=0 i s=1 nazywany jest standardowym rozkładem normalnym (standardowym rozkładem Gaussa). RPiS 2016/2017 6 1 2016-11-22 Dystrybuanta rozkładu normalnego N(0,1) Dystrybuanta rozkładu normalnego Nie potrafimy policzyć analitycznie. Można tego uniknąć licząc ją numerycznie, korzystając z tablic dla N(0,1) lub korzystając z przybliżonych wzorów dla N(0,1) 2 x 2 FX(1) ( x) 1 1 1 e 2 2 FX( 2) ( x) 1 1 1 e 2 2 2 x2 2( 3) 4 xe 3 2 x2 2 gdzie górny znak odpowiada x>0 a dolny x≤0. Średnia arytmetyczna FX ( x) ( FX ( x) FX ( x)) / 2 przybliża prawdziwą dystrybuantę z dokładnością 0.1%. Wzory te mogą posłużyć za punkt wyjścia do metody odwracania dystrybuanty (numerycznego) i napisaniu generatora liczb pseudolosowych o rozkładzie N(0,1) Funkcja błędu Gaussa bywa zaimplementowana w niektórych kompilatorach (Java) ( 3) erf ( x) 2 x e t 2 dt (1) wtedy ( 2) FX ( x) 0.5 1 erf ( x / 2 ) 0 RPiS 2016/2017 7 2