FO W6 Pola wektorowe

Fizyka Ogólna
1
Wykład 6
Strumie½ pola wektorowego; dywergencja
na podstawie: “Feynmanna Wyk»ady z Fizyki” t.II cz.1 rozd.3, PWN ºódï 1971
Dana jest ciecz i powierzchnia, przez któr przep»ywa ciecz
Strumie½ cieczy przez element powierzchni
r r
dΦ = v ⋅ n ⋅ ds
Ca»kowity strumie½ cieczy przez ca» powierzchni“ S
r r
r r
Φ = ∫∫ v ⋅ n ds = ∫∫ v ⋅ ds
S
S
Podobnie dla dowolnego innego pola wektorowego np. dla pola elektrycznego
Φ=
r r
r r
E
⋅
n
ds
=
E
∫∫
∫∫ ⋅ ds
S
Niech S b“dzie powierzchni
zamkni“t otaczajc objetoу V
S
r r
r r
r r
Φ = ∫∫ C ⋅ ds = ∫ ∫ C ⋅ ds + ∫ ∫ C ⋅ ds + 0
S
Sa
Sb
Moóna wi“c podzieliƒ dowoln obj“toу V na elementarne obj“toÑci i taka
procedura nie zmieni ca»kowitego strumienia pola wektorowego
przep»ywajcego przez powierzchni“ S
Fizyka Ogólna
Wykład 6
Weïmy wi“c elementarn obj“toу w kszta»cie sześcianu
∆V = ∆ x ∆ y ∆ z
r
Znajdziemy strumie½ dowolnego wektora C przez powierzchni“
∆S otaczajc obj“toу ∆V
powierzchnia 1:
powierzchnia 2:
-Cx (x,y,z) ∆y∆z
+Cx (x+∆x,y,z) ∆y∆z
∂ Cx
1 ∂2 C x
∆x +
∆ x 2 + ....
C x (x + ∆x, y, z) = C x (x, y, z) +
2
2 ∂x
∂x
Dla ma»ego ∆x suma strumieni przez powierzchni“ 1 i 2:
∂Cx
∆x∆y∆z
∂x
Podobnie dla powierzchni 3 i 4
oraz dla powierzchni 5 i 6 szeÑcianu.
2
Fizyka Ogólna
3
Wykład 6
Ostatecznie ca»kowity strumie½ przez elementarny szeÑcian o obj“toÑci ∆V:
r
r r
∂Cx ∂C y ∂Cz
C
⋅
d
s
=
(
+
+
)
∆
V
≡
d
ivC ∆V
∫∫
∂
x
∂
y
∂
z
S
Dywergencja jest wi““c strumieniem pola wektorowego obliczanym na jednostk““ obj““toÑÑci.
SciÑlej: w granicy objetoÑci malejcej do zera.
Twierdzenie Greena i Gaussa:
r
r r
C
⋅
d
s
=
d
∫∫
∫ ∫ ∫ ivC dv
S
V
Fizyka Ogólna
4
Wykład 6
Króenie pola wektorowego; rotacja
Ca»ka krzywoliniowa
r
gdy C = grad ψ(x,y,z)
r r
r r
⋅
C
d
l
=
C
lim ∑ ⋅ ∆ l i
∫
Γ
∆ l i →0 i
gdzie ψ(x,y,z) jest dowoln g»adk funkcj skalarn to
2
r
∫ grad ψ (x, y, z) dl =ψ (2) -ψ (1)
1
Gdy droga Γ jest krzyw zamkni“t
to
r r
∫ C dl
Γ
r
nazywa si“ cyrkulacj (króeniem) pola wektorowego C
Fizyka Ogólna
Wykład 6
5
• Dowolny kontur zamkni“ty Γ moóna podzieliƒ na kontury elementarne. Ca»kowita cyrkulacja
po konturze Γ b“dzie wtedy suma cyrkulacji po elementarnych konturach.
Jest to dzia»anie takie samo jak podzia» obwodu elektrycznego na “oczka”.
Fizyka Ogólna
Wykład 6
Weïmy elementarny kontur w postaci kwadratu.
Za»óómy, óe leóy on w p»aszczyïnie Oxy.
r r
∫ Cdl = C x (1) ∆x + C y (2) ∆y
Γ
- C x (3) ∆x - C y (4) ∆y
6
Fizyka Ogólna
Dla ustalenia uwagi rozpatrzmy:
7
Wykład 6
[ C x (1) - C x (3) ] ∆x
C x (3) = C x (1) +
∂Cx
∆y
∂y
[ C x (1) - C x (3) ] ∆x = -
∂C x
∆x ∆y
∂y
Podobnie dla boków 2 i 4:
r r
∂ C y ∂C x
C
d
l
=
(
) ∆x ∆y
∫
∂
x
∂
y
kontur
r r
∂C
∂
Dla konturu o kszta»cie kwadratu leócego w p»aszczyïnie Oyz ∫ C dl = ( C z - y ) ∆y ∆z
∂y
∂z
kontur
r r
∂
∂
a dla konturu leócego w p»aszczyïnie Oxz ∫ C dl = ( C x - C z ) ∆x ∆z
∂z
∂x
kontur
Fizyka Ogólna
Wykład 6
Dla dowolnie zorientowanego
konturu o dowolny kszta»cie:
r rw przestrzeni
r
r
C
d
l
=
rot
C
d
s
∫
∫∫
Γ
S
Jest to twierdzenie Stokesa
przy czym
S jest powierzchni rozpi“t na konturze Γ.
Wektor elementu powierzchni dany jest przez
r r
ds = n ds
Kierunek wektora normalnego okreÑla regu»a prawej r“ki.
W uk»adzie kartezja½skim rotacja wektora Cr zapisuje si“:
r
∂C y ∂Cx r
rot C = (
)i z+
∂x
∂y
∂C y r
∂
( Cz )i x+
∂y
∂z
∂
∂
r
( Cx - Cz )i y
∂z
∂x
8
Fizyka Ogólna
9
Wykład 6
Naj»atwiej zapami“taƒ ten wzór pos»ugujc si“ zapisem operatorowym
r
rot C =
r
ix
r
iy
r
iz
∂
∂x
∂
∂y
r
∂
= ∇ xC
∂z
Cx Cy Cz
gdzie operator nabla
∆ ≡(
∂ ∂ ∂
, , )
∂x ∂y ∂z
Fizyka Ogólna
10
Wykład 6
Pola bezwirowe:
Na mocy twierdzenia Stokesa:
r
rot C = 0
⇔
r r
C
∫ dl = 0
Γ
∫
a+b
r r
C dl =
r r 1 r r
∫ C dl + ∫ C dl = 0
2
2
1
a
std:
2
b
1 r r
r r
∫ Cdl = - ∫ Cdl =
2
1
a
1
b
Wniosek
Gdy rotacja pola wektorowego znika
ca»ka krzywoliniowa po tym polu nie zaleóy od drogi ca»kowania
a tylko od po»oóenia jej kra½ców.
r
Wtedy moóna wprowadziƒ potencja» skalarny zdefiniowany przez C = - grad ψ
2
b
r r
∫ Cd l
Fizyka Ogólna
Wykład 6
2
r
∇
ψ
d
l
= ψ (2) - ψ (1)
∫
1
Twierdzenie odwrotne:
JeÑli dany jest potencja» ψ (x,y,z) (jeÑli istnieje taki
potencja») to
r
∫
∇ψ dl = 0
Γ
wynika to z toósamoÑci:
rot ( ∇ψ ) ≡ 0
Wniosek
Pola dane przez gradient potencja»u (pola pot potencjalne) s polami bezwirowymi.
11