2 - MITR

OPTYKA NIELINIOWA
W
zakresie
optyki
liniowej
natężenia
promieniowania
emitowane
z konwencjonalnych źródeł światła są niewielkie (10-103V/cm) i oddziałując
z materią nie zmieniają jej własności mikro- i makroskopowych, natężenie to jest
bowiem klika rzędów mniejsze niż natężenie pola elektrycznego panującego
w materii (109V/cm), natężenie światła z laserów impulsowych może osiągać
wartości rzędu 1012W/cm2 a odpowiadające mu natężenie pola elektrycznego
wynosi 108V/cm jest więc porównywalne z natężeniami pól elektrycznych
w materii.
Słabe pole elektryczne powoduje indukcję elektryczną D
D  E  4 P
polaryzacja
dla małych natężeń
P   1E
podatność
elektryczna
 1  podatność elektryczna
natężenie
pola elektrycznego
polaryzacja orientacyjna
polaryzacja
polaryzacja indukowana
P  P or  Pind
2



or
P 
E  N E  
 N  E
 3kT

3kT


2
 1
 1  podatność elektryczna
W zakresie optyki nieliniowej natężenia wiązki światła laserowego mogą osiągać
GW/cm2, a natężenia pola elektrycznego wynoszą 105 –108 V/cm.

1

2

3
P   E   EE   EEE
Zasada superpozycji obowiązuje tylko w zakresie liniowym:
Gdy na ośrodek działa kilka słabych pól elektrycznych to w liniowym przybliżeniu
polaryzacja elektryczna jest sumą polaryzacji od poszczególnych pól.
 



E r , t   E1r , t   E2 r , t   E3 r , t 
 
 
 
 
Pr , t   P1r , t   P2 r , t   P3 r , t 
Słabe pola elektryczne spełniają zasadę superpozycji, według której fale
elektromagnetyczne rozchodzą się w ośrodku niezależnie, bez wzajemnego
oddziaływania
Jeżeli pola elektryczne są silne, nie można zakładać, że działają one na układ
niezależnie. Pola elektryczne nie spełniają już zasady superpozycji, gdyż
oddziałują na siebie. Wszystkie zjawiska optyczne, w których zasada
superpozycji pól elektrycznych nie jest spełniona, nazywamy nieliniowymi
zjawiskami optycznymi.
Przykładem zjawisk nieliniowych jest zależność współczynnika załamania
światła n od natężenia światła. Dla małych natężeń światła współczynnik
załamania światła jest wielkością stałą. Jeżeli jednak na ośrodek pada światło o
dużym natężeniu pola elektrycznego E, okaże się to nieprawdą. Badania Kerr’a
wykazały, że współczynnik załamania jest proporcjonalny do E2, ciecz np. staje
się dwójłomna, podobnie jak kryształ jednoosiowy. Przykładem zjawisk
liniowych jest absorpcja spełniająca prawo Lamberta i Beera
Przykłady efektów nieliniowych:
1) EFEKT KERRA
n  f  E  zakres liniowy
n  E2
zakres nieliniowy
E
ciecz staje się
optycznie dwójłomna
2) SHG (second harmonic generation)

2

3) Sumowanie i odejmowanie częstości
1
1
2
2
1±2
np.
laser
rubinowy
kryształ kwarcu
=694nm (VIS)
/2=347nm
(UV)
polaryzacja wywołana oddziaływaniem 2 fal o częstości 
P 2    2  E 2   2  Eo2 sin 2  t 
1 2  2
  E (1  cos  t )   Eo (2  2 cos 2  t ) 
2
1 2  2
1 2  2
2
  Eo 1  (1  2 cos  t )   Eo 1  cos 2 t  
2
2
1 2  2 1 2  2
  Eo   Eo cos 2 t
2
2
2 
2
o
2

DC efekt
stała polaryzacja
niezależna od czasu

polaryzacja
zmieniająca się z częstością2
SHG
pole elektryczne E indukuje w
krysztale nieliniowym polaryzację
drugiego rzędu o składowych
P
Gdy
kryształ
ma
środek
inwersji P=f(E) jest funkcją
nieparzystą, człon 2E2 znika i
E
kryształ nie nadaje się do
generowania II harmonicznej.
Brak środka inwersji w krysztale jest warunkiem
koniecznym ale niedostatecznym!
Aby wydajność procesu konwersji wiązki podstawowej na
drugą harmoniczną była duża musi być spełniony
WARUNEK DOPASOWANIA FAZOWEGO
Fale w materii rozchodzą się z prędkością fazową:
f 

k

c
n 
Jednak mikroskopowe przyczynki pochodzące od pojedynczych
cząsteczek, znajdujących się w różnych punktach (x,y,z) nieliniowego
ośrodka, tylko wtedy mogą dać w sumie falę makroskopową o
odpowiednio dużym natężeniu, gdy prędkości fazowe padających fal
wymuszających  i fal polaryzacji 2 są zsynchronizowane.
L
I
P
sin1t
III
sin21t
k1
II

I E  E0 expi 1t  k1r 

II P  P0 expi 21t  2k1r 
 
2
III E2  E0 expi 21t  k2r 

sin1t
k2
k2 nie musi być równe 2 k1
w ogólności


2 k1  k2
co oznacza, że faza fali wywołującej
jest różna od fazy fali wytworzonej i powoduje
interferencję destruktywną.
Aby wydajność konwersji była duża musi być
spełniony warunek:


k2  2k1
n2  2n 

c
c
czyli
n2   n 
ale ze względu na dyspersję jest to zazwyczaj nie możliwe
kryształy dwójłomne
Z oś optyczna
promień
zwyczajny
padająca
wiązka
promień
nadzwyczajny
długość kryształu
Wiązka światła, ulegając załamaniu, rozszczepia się na dwa promienie.
Metody zwiększania wydajności konwersji:
1) Duże natężenie I0
2) Używanie substancji silnie nieliniowych (duże
wartości podatności drugiego rzędu (2)

3) Spełnienie warunku dopasowania fazowego k  0
 sin kl / 2  2
I 2    l 
 I 0 ( )
 kl / 2 
2 
2
2
Jak spełnić warunek
czyli n()=n (2)

k  0
(dla wiązek współbieżnych)
Dlaczego kryształy nieliniowe są „cienkie” choć ze
wzorów wynika, że intensywność SHG jest wprost
proporcjonalna do L2?
2

kr
długość
spójności
/2
 l  
kl 
2
2k
c
2 n2  n 


4n2  n 
Gdy grubość kryształu L
L  lspójn 

2k
fale o częstości 1 i 2 przestają być zgodne w
fazie i zaczyna się interferencja destruktywna
w praktyce L = mm, cm
Przekroje powierzchni współczynnika załamania
dla jednoosiowego kryształu:
n0  ne
Z oś optyczna
n0  ne
Z oś optyczna
kryształ jednoosiowy:
(a) ujemny
(b) dodatni
oś optyczna
kierunek dopasowania
fazowego
kierunek, wzdłuż którego
współczynnik załamania
promienia zwyczajnego
wiązki podstawowej n1o
i współczynnik załamania
promienia nadzwyczajnego
wiązki drugiej harmonicznej
n2e są takie same
n1o    n2e 2 
Jakie własności kryształu powinny być brane pod uwagę
w procesie generacji SHG?
2 

1) Własności nieliniowe materiału
2) Własności dyspersyjne n 
3) Prędkość grupowa (group delay)
4) Próg uszkodzenia kryształu (damage treshold)
Mechanizm generowania drugiej harmonicznej za pomocą
prędkość grupowa
laserów femtosekundowych jest taki sam jak omówiony
poprzednio. Jednak w przypadku tak krótkich impulsów
należy
uwzględniać
dodatkowe
efekty,
które
są
zaniedbywane w przypadku impulsów dłuższych lub przy
pracy ciągłej. Krótki impuls odpowiada dużej szerokości
widmowej . Dla wygenerowania krótkich impulsów,
warunek dopasowania fazowego powinien być więc
spełniony nie tylko dla centrum linii widmowej 0, ale także
dla całego rozkładu widmowego z zakresu. W przeciwnym
razie wygenerowana druga harmoniczna będzie wąska
widmowo, czyli czasowy impuls drugiej harmonicznej
ulegnie wydłużeniu. Tak więc, przy generowaniu drugiej
harmonicznej za pomocą impulsów femtosekundowych
ważne są nie tylko własności nieliniowe kryształów (2), ale
również ich własności dyspersyjne.
d 

g   
 dk 0
f 

k

c
n 
d 

g   
 dk 0
 z, t  
k0  k

prędkość fazowa
dla fali płaskiej
prędkość grupowa
dla paczki falowej
Ak ei kz t dk
k0  k
k0  k  k  k0  k
funkcja falowa wiązki niemonochromatycznej
  d   
sin  z  
 t k 
 dk 0  


  z , t   2 A0 k0 
 expik0 z  0t 
d 

z 
 t
 dk 0
I
I
II
t = t1
I
II
t = t2
II
Oznacza to, że dla coraz krótszych impulsów
oraz dla długiego t (group delay)
obszar oddziaływania I i II harmonicznej
maleje
ze względu na własności dyspersyjne
kryształu
prędkości grupowe wiązki
podstawowej II harmonicznej są
zwyczajowo różne mimo
dopasowania fazowego
t = t3
indeks: I – wiązka podstawowa, II-druga harmoniczna
Group delay-konsekwencje różnej prędkości grupowej
dla I i II harmonicznej
g 
d
;
dk
t 1g 



l  dn1 d1
l  dn1 2 c
l  dn1


n




n




n

1
1

1
1

1
1
2
c  d1 d1
c
d

n

c
d

1
1
1
1





t g2 
l
c
tg 
l
l
g
dk
;
d
k
n
;
c
 dn2




n

2
2
 d 2


t  t  t
2
g
1
g

l

c
 dn1

dn2
1 
2 

d

d

1
2



2c
n
Warunek określający efektywną długość kryształu dla krótkich
impulsów
t g  t p
opóźnienie grupowe jest dużo
mniejsze niż czas trwania impulsu t p
Dalsza część kryształu przestaje być efektywna bo wiązki
przestają się nakładać
1)
t g  t p
dn1
dn2
t g  0;
1 
2
d1
d2
 dn1   dn2 
dn1 2c
dn2 2c
  


 2
d1 n 1 d2 n 21
 d1  I  d2  II
dla kryształów o mały czasie opóźnienia t g druga harmoniczna osiąga
maksimum dyspersji n
2)
t g  t p czyli t g rośnie
 dn1 
 dn2 
2
 

 d1  I  d2  II
dn2
stąd wynika, że
osiąga minimum dla t g  0 czyli
d2
dn22

0
d22
NIE MA GVD
a więc impuls jest krótki
Czyli gdy
1)
t g  t p
2)
t g  t p
GVD = 0
czas trwania impulsu II harmonicznej jest krótki
GVD  0
czas trwania impulsu wydłuża się
(puls stretching)
Używając krótkich impulsów femtosekundowych dla wiązki
podstawowej o czasie trwania tp i chcąc wygenerować krótkie
impulsy dla drugiej harmonicznej, należy wybrać takie kryształy
nieliniowe, dla których opóźnienie grupowe t jest niewielkie.
Praktyczne aspekty generowania II harmonicznej
a) SHG z wydajnością 10% otrzymuje się rutynowo dla laserów piko
i subpikosekundowych dużej mocy
(w literaturze-80% konwersji dla kryształów o grubości mm)
b) Stosowane kryształy:
KDP (potasium dihydrogen phosphate)
tg=0.08 ps/cm (group velocity)
LiNbO3 tg=6 ps/cm (dla kryształu o grubości 1cm i impulsu 0.5ps I
harmonicznej)
ADP (amonium dihydrogen phosphate)
LiIO3 tg=0.7 ps/cm
KTiOPO4 (KTP)
CsH2AsO4 (CDA)
Kryształy nieliniowe
KDP (potasium dihydrogen phosphate)
=50.4°
ADP (amonium dihydrogen phosphate)
LiNbO (niobian litu)
=90°
Ba2NaNb5O15 (niobian barowo-sodowy)
•
Rozróżniamy dwa typy dopasowania fazowego. Jeżeli mieszające się fale
o częstości 1 i 2 mają tę samą polaryzację, to częstość sumacyjna 3 =
1+2 (SHG) spolaryzowana jest w płaszczyźnie prostopadłej do ich
płaszczyzny polaryzacji. W tym wypadku mówimy o dopasowaniu
fazowym I typu. W jednoosiowych kryształach ujemnych dopasowanie
fazowe I typu – to spełnienie warunku
k10  k 02  k 3e ()
(oznaczamy je jako dopasowanie fazowe „ooe”
lub oddziaływanie „ooe”),
w jednoosiowych kryształach dodatnich zaś – to spełnienie warunku
k1e ()  k e2 ()  k 30
(oznaczamy je jako dopasowanie fazowe „eeo”
lub oddziaływanie „eeo”)
•
Jeżeli mieszające się fale 1 i 2 mają ortogonalne polaryzacje,
realizowany jest przypadek dopasowania fazowego II typu. Dla
kryształów jednoosiowych ujemnych spełniony jest warunek
k 10  k e2 ()  k 3e ()
zwany dopasowaniem fazowym „oee”, lub
k 1e ()  k 02  k 3e ()
zwany dopasowaniem fazowym „eoe”.
Dla kryształów jednoosiowych dodatnich
dopasowanie II typu spełnia warunki
k 10  k e2 ()  k 30
(dopasowanie fazowe „oeo”) lub
k 1e ()  k 02  k 30 ()
(dopasowanie fazowe „eoo”).
GENERATOR PARAMETRYCZNY
W generatorze parametrycznym zachodzą zjawiska nieliniowe
2-go rzędu (2)
składowa bierna (idler component)
laser pompujący
składowa sygnałowa

 
k p  ki  k s
Nd:YAG
Największą wydajność uzyskuje się dla wiązek
wzajemnie równoległych, zazwyczaj generatory
pracują impulsowo, ze względu na wyższe wzmocnienie
wzmacniacz
polaryzator
p
.
oś optyczna
generator parametryczny
i
s