X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
Transkrypt
X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: −ℏ2 d 2 x V x x = E x 2m dx 2 Warunki regularności na x i (X.1) d : dx a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne Postać (kształt) funkcji własnych ψ zależy od potencjału V. a) cząstka swobodna Dla V(x) = 0 równanie (X.1) sprowadza się do postaci: 2 − 2 ℏ d x = E x 2m dx 2 (X.2) (X.3) d 2 x dx 2 2 p =0 ℏ E x = Ae ikx (X.4) Wielkość k we wzorze (X.4) jest równa: p 2mE k= = ℏ ℏ {E} – zbiór ciągły –1– (X.5) K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. { E= 2 k ℏ 2m 2 } b) cząstka w nieskończenie głębokiej studni potencjału Rys.X.1. Nieskończenie głęboka studnia potencjału. Cząstka nie ma prawa przebywać w obszarach I i III ze względu na olbrzymią barierę potencjału. Obszar II: V(x) = 0, 0 xa 2 d x dx 2 2mE =0 2 ℏ (X.6) Równanie (X.6) jak dla oscylatora harmonicznego. d2 x k ' x = 0, F = −k ' x 2 dt (X.7a) i (X.7b) są to dwa szczegółowe rozwiązania równani (6). 1 x = A sin kx (X.7a) 2 x = B cos kx (X.7b) Funkcja własna ψ2(x) nie spełnia warunku ciągłości bo: –2– K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. 2 x=0=B – brak ciągłości B≠0 = 2 x≤0 Natomiast funkcja własna ψ1(x) jest spełniona dla takiego warunku: 1 x=0= Asin k⋅0=0= 1 x0 1 x=a = Asin k⋅a=0 = n, n = 0, 1,... ka = n (X.8) Z wzorów (X.5) i (X.8) otrzymujemy, że energia na n–tym poziomie energetycznym wyraża się wzorem: En = ℏ 2 2 2ma 2 n2 (X.9) Ze wzoru (X.9) wynika, że zbiór energii {E} jest dyskretny, stąd kwantowanie. Funkcje własne cząstki zamkniętej w jamie potencjału: n x = A⋅sin –3– n ⋅x a (X.10) K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. Rys.X.2. Ilustracja graficzna wzoru (X.9). Rys.X.3. Ilustracja graficzna wzoru (X.10). Rys.X.4. Wykres gęstości prawdopodobieństwa dla różnych ψ n. –4– K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. X.1. OPERATOROWA POSTAĆ RÓWNANIA SCHRÖDINGERA. A =a a {a}: – zbiór ciągły (cząstka swobodna), – dyskretny (cząstka w jamie potencjału) Jeżeli do danej wartości własnej należy więcej niż jedna funkcja własna to dana wartość jest zdegenerowana. Jeśli dla ai istnieje n różnych funkcji własnych {ψ1, ψ2,..., ψn}, to jest to n – krotna degeneracja (zwyrodnienie) [ ] −ℏ 2 ∂ 2 ∂2 ∂2 V x , y , z , t x , y , z , t = E x , yz 2m ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2 (X.1.1) Stosuje się równoważny zapis równania (X.1.1): H = E (X.1.2) gdzie: H – hamiltonian (operator Hamiltona) jest wyrażony wzorem: 2 2 ℏ 2 ∂2 ∂ ∂ H =− V x , y ,z 2m ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2 (X.1.3) Wyrażenie (X.1.3) również zapisuje się w skróconej wersji: 2 ℏ H = − V 2m (X.1.4) gdzie: 2 2 2 ∂ ∂ ∂ = 2 2 2 ∂ x ∂ y ∂z to operator Laplace'a –5– (X.1.5) K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. X.2. OPERATOR ENERGII. Operatorem energii nazywamy wyrażenie: ∂ E=i ℏ ∂t (X.2.6) Równanie własne dla operatora energii jest postaci: E = E x , y , z ,t (X.2.7) czyli: iℏ ∂ x , y , zt = E ∂t (X.2.8) X.3. OPERATOR PĘDU. p = p x , p y , p z x , y , z ,t = Aexp [ i xp x + yp y + zp z − Et ℏ ] (X.3.1) p =[ p x , p y , p z ] Poszukujemy operatora: p x [ ] ∂ i i i x , y , z , t = A p x exp xp x + yp y + zp z − Et = x , y , z ,t ∂x ℏ ℏ ℏ (X.3.2) Po podzieleniu równania (X.3.2) przez i ℏ otrzymujemy: −i ℏ ∂ = px ∂x (X.3.3) Z własności operatorów: p x = px Z równań (X.3.3) oraz (X.3.4) wynika, że: –6– (X.3.4) K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. p x=−i ℏ ∂ ∂x (X.3.5a) Analogicznie można znaleźć operatory: p y , p z p y = −i ℏ ∂ ∂y (X.3.5b) p z = −i ℏ ∂ ∂z (X.3.5c) X.4. WARTOŚCI WŁASNE I FUNKCJE WŁASNE KRĘTU L= p Stara teoria kwantowa: II postulat Bohra L=n ℏ : L z = p = n ℏ (X.4.1) Reguły kwantowania Wilsona – Somerfelda: L= r × p (X.4.2) L= L x , L y , L z r = x , y , z p = p x , p y , p z ∣ i = x L px j y py ∣ k z = i yp z − zp y j zp x − xp z k xp y − yp x pz (X.4.3) Składowym krętu L przypisujemy odpowiednio ich operatory: L x = yp z −zp y (X.4.4a) → L x = y p z −z p y (X.4.5a) L y =zp x − xp z (X.4.4b) → L y =z p x − x p z (X.4.5b) –7– K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. L z =xp y − yp x (X.4.4c) → L z = x p y − y p x (X.4.5c) Podstawiając do wzorów (X.4.5) uzyskane wcześniej wartości operatorów składowych pędu otrzymujemy: (X.4.6a) (X.4.6b) (X.4.6c) ∂ ∂ L x = −i ℏ y −z ∂z ∂y ∂ ∂ L y = −i ℏ z −x ∂x ∂z ∂ ∂ L z = −i ℏ x −y ∂y ∂x L z = (X.4.7) Równanie (X.4.7) po podstawieniu wartości operatora składowej krętu (X.4.6c) przyjmuje postać: −i ℏ x ∂ ∂ −y = ∂y ∂x (X.4.7a) Współrzędne biegunowe: x = rsin cos y = rsin sin z = rcos Operator krętu we współrzędnych biegunowych: ∂ ∂ L x = i ℏ sin ctg cos ∂ ∂ –8– (X.4.8a) K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. ∂ ∂ Ly = i ℏ −cos ctg sin ∂ ∂ (X.4.8b) Równanie własne z – towej składowej: ∂ L z =−i ℏ ∂ (X.4.8c) Z wzorów (X.4.7) i (X.4.8c) wynika: −i ℏ d = d d i = ℏ ∫ (X.4.10) d i = ∫ ℏ (X.4.11) i ℏ (X.4.12) ln = = Ae i ℏ (X.4.13) Wzór (X.4.13) stanowi matematyczne rozwiązanie równania własnego (X.4.7). 2= założenia: A=1 e (X.4.9) i ℏ ⋅e e i 2 ℏ i 2 ℏ cos =e i ℏ =1 2 =1 ℏ Z jednoznaczności funkcji, przy takim założeniu znajdujemy funkcje własne. –9– K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. = mℏ (X.4.14) gdzie m – magnetyczna liczba kwantowa, m = 0, ±1, ±2, ... m= A e [ L i , L j ]≠0 im (X.4.15) i≠ j składowe krętu podlegają zasadzie nieoznaczoności Heisenberga. X.5. WARTOŚCI WŁASNE I FUNKCJE WŁASNE L 2 [ L 2 2 L =−ℏ [ ] , L i = 0 (X.5.1) 2 2 2 2 L = Lx Ly L z (X.5.2) 2 i 2 1 ∂ ∂ 1 ∂ sin 2 2 sin ∂ ∂ sin ∂ ] (X.5.3) 2 L Y , - funkcja własna Stosujemy metodę separacji zmiennych: 2 L Y , = Y , (X.5.4) Y , = (X.5.5) Z wzorów (X.5.4) i (X.5.5) otrzymujemy: 2 − ∂ 1 d sin ∂ 2 sin sin 2 = d ∂ ∂ (X.5.6) We wzorze (X.5.6) lewa strona będzie równa prawej wtedy i tylko wtedy, gdy obie strony równania będą stałe: – 10 – K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. 2 −1 d = m2 d 2 sin ∂ ∂ 2 2 sin sin = m ∂ ∂ =B e i m (X.5.7a) (X.5.7b) (X.5.8) m=0, ±1, ±2,.... Rozwiązanie (X.5.7b) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy = l l 1ℏ 2 (X.5.9) l=0,1,2,.... ∣m∣l ∃ 2l1 wartości m m∈[−l ,−l ,... , l−1, l ] ⇔ L2 L=ℏ l l 1 (X.5.10) Kwantowanie L jest inne niż przewiduje stara teoria kwantowa. Według niej kręt wyraża się wzorem: L* = n ℏ , n =1,2 , .... , n L→L* dla dużego l. Największa różnica w wartościach krętu jest w wartości minimalnej. Z wzoru (X.5.10) wynika, że minimalna wartość krętu jest równa : L min l =0=0 Natomiast według starej teorii kwantów wartość minimalna krętu: L*min = ℏ Mamy więc sprzeczność, bo: * Lmin ≠Lmin – 11 – K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. Eksperyment potwierdza słuszność, że zależność (X.5.11) jest prawdziwa: m |m| ml = B 2⋅sin P l cos (X.5.11) gdzie P |lm | cos – wielomian Legendre'a L=n ℏ L min =ℏ |m| l |m| P l cos 0 0 1 1 1 1 0 1 cos 2 2 2 2 1 0 3 3cos 1 cos 2 −1 2 Tabela X.1. Przykładowe wartości wielomianu Legendre'a dla różnych wartości liczb kwantowych l i m. Z wyrażeń (X.5.5), (X.5.6) oraz (X.5.11) otrzymujemy, że: Y lm , = m ⋅lm = B e i m m | m| sin P l cos (X.5.11) ∃2l1 m ∈ [−l ,−l,... , l−1,l ] Orbitalna liczba kwantowa l określa stany elektronowe. l Symbol stanu 0 1 2 3 s p d f ... Tabela X.2. Stany elektronowe dla odpowiednich wartości l. Elektron s, to taki, dla którego kręt orbitalny jest równy 0, elektron p – kręt orbitalny równy 1, itd. – 12 – K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. X.6. FUNKCJA FALOWA CZĄSTKI SWOBODNEJ (FALE MATERII). Cząstka swobodna – potencjał V jest równy 0. V(x,y,z)=0 założenie 1: = x H = E k (X.6.1) 2 ℏ d2 H = − 2m dx 2 (X.6.2) Po podstawieniu wyrażenia (X.6.2) do równania (X.6.1) otrzymujemy: 2 d dx 2 2mE k ℏ 2 =0 (X.6.3) Funkcje własne dane są wzorem: x = A e i x (X.6.4) założenie 2: A=1 Wylicza się, że współczynnik α wynosi: = 2 2 2 2mEk = px = = kx h h x = e ik x x (X.6.5) (X.6.6) W trzech wymiarach wzór (X.6.6) przyjmuje postać: x , y , z = exp [ i k x xk y yk z z ] = ei k r k = k x , k y , k z r = x , y , z – 13 – (X.6.7) K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. Postać funkcji falowej: a) w jednym wymiarze (1D): x ,t = x t = e ik x x − e−i t = exp [ i k x x−i t ] (X.6.8) b) W trzech wymiarach (3D): r ,t = exp [ i k⋅r −i t ] (X.6.9) * P r ,t = r ,t ⋅ r ,t = 1 = const. Według wyniku prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest wszędzie takie samo, co jest sprzeczne z definicją cząstki, bo cząstka jest w jakimś miejscu, a nie wszędzie. Lepszym rozwiązaniem dla cząstki swobodnej jest pakiet falowy, między innymi rozwiązuje problem lokalizacji. X.7. PAKIET FALOWY. Definicja pakietu falowego: Jest to funkcja falowa, która w pewnym miejscu (obszarze) ma wartości różne od zera, a po za tym obszarem jest równa 0. Konstrukcja pakietu falowego: 1D: k ∈[k 0 −∆ k , k 0 ∆ k ] df x ,t = k0 + ∆ k ∫ c k 0e k 0 −∆ k c(k0) – amplituda funkcji. – 14 – i k x− t dk (X.7.1) K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. Funkcja falowa (X.7.1) po rozwinięciu w szereg ma postać: [ sin x− 2c k 0 ] ∂ t ∆k ∂k [ ] d x− dk ⋅exp [ i k 0 x− 0 t ] (X.7.2) ∆k 0 Wyrażenie (X.7.2) stanowi matematyczną postać pakietu falowego. Możemy je zapisać jako: x ,t = c x ,t ⋅exp [ i k 0 x−0 t ] (X.7.3a) Przy czym c (x,t) stanowi amplitudę i wyraża się wzorem: c x ,t = 2c k o sin (X.7.3b) gdzie: [ ] = x− d t ∆k dt 0 Ponieważ 0 c x , t 2ct 0 , to muszą być spełnione warunki: sin sin =0 oraz =1 Z pierwszego otrzymujemy, że: = ± Natomiast z drugiego: =0 – 15 – (X.7.3c) K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. Rys.X.2. Zależność funkcji falowej od położenia x. * x , t ⋅ x , t ~ sin 2 2 Rys.X.3. Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w przedziale [-∆x,+∆x] funkcji x. X.8. PRĘDKOŚĆ GRUPOWA u. Prędkość grupowa jest to prędkość z jaką przesuwa się maksimum główne w pakiecie falowym. Jest ona równa prędkości cząstki fali de Broglie'a. c x ,t = 2c k 0 , =0 x= d t dt 0 – 16 – (X.8.1) K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. u= d dx = dt dk (X.8.2) 0 Prędkość fazowa fali – jest to prędkość, z jaką przesuwa się faza np. punkt 1. df v= v = f =vT = k= k (X.8.3) v f 2 u = v− (X.8.4) dv d (X.8.5) Wzór (X.8.5) przedstawia zależność pomiędzy prędkością fazową v, a prędkością grupową u. Te wielkości są tożsame wtedy, gdy prędkość nie zależy od długości fali (brak dyspersji). X.9. RELACJA PRĘDKOŚCI GRUPOWEJ (u) Z PRĘDKOŚCIĄ CZĄSTKI (v0). Opis cząstki klasycznie: p=mv 0 E= Opis tej samej cząstki poprzez fale materii: k= p ℏ – 17 – p2 2m K.Czopek, M.Zazulak – Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej. f = E h u = v0 E= p2 2m ℏ = E=ℏ 2 k 2 ℏ2 p = 2m 2m = d = u= ℏk2 2m 2k ℏ dk 2m mv0 d k ℏ p = = = = v0 dk m m m – 18 –