docTeoria pola elektromagnetycznego Skrypt do wykładu Prof. dr hab. inż. Romuald Nowicki
download 
Reklamacja Transkrypt
Teoria pola elektromagnetycznego Skrypt do wykładu Prof. dr hab. inż. Romuald Nowicki
Teoria pola elektromagnetycznego
Skrypt do wykładu
Prof. dr hab. inż. Romuald Nowicki
Redakcja komputerowa: Hanna Ćwikła
Przy współpracy Zespołu w składzie: Łukasz Boniewicz, Paweł Borek,
Krzysztof Bulwiński, Michał Chojaczyk, Marta Fornalik, Jakub Janiak,
Krzysztof Janusz, Marek Jarycki, Jakub Jaszcz, Piotr Sydor, Marcin Szota
2
Spis treści
1. Podstawowe pojęcia i równania teorii pola elektromagnetycznego.......................................5
1.1. Równania Maxwella................................................................................................5
Wielkości pola i związki.............................................................................................5
Dalsze definicje...........................................................................................................6
Postać różniczkowa równań pola elektromagnetycznego...........................................6
Przebiegi harmoniczne................................................................................................7
1.2. Właściwości ośrodków i warunki brzegowe............................................................8
Wektor polaryzacji......................................................................................................8
Wektor indukcji elektrycznej......................................................................................8
Wektor natężenia pola magnetycznego.......................................................................9
Wektor namagnesowania............................................................................................9
Lokalna postać prawa Ohma.......................................................................................9
Rodzaje ośrodków.....................................................................................................10
Wpływ ośrodków materialnych – interpretacja fizyczna..........................................11
Ośrodki ruchome.......................................................................................................11
1.3. Pola na granicy rozdziału ośrodków......................................................................13
Doskonałe przewodniki.............................................................................................14
1.4. Energia pola elektromagnetycznego......................................................................15
Wektor Poytinga ......................................................................................................16
2. Rodzaje zjawisk elektromagnetycznych...............................................................................17
2.1 Elektrostatyka i magnetostatyka.............................................................................17
Stacjonarne pole elektryczne....................................................................................17
Pole magnetyczne prądu stałego ..............................................................................18
2.2. Stacjonarne i kwazistacjonarne pola elektromagnetyczne ....................................19
Prawa Kirchoffa........................................................................................................19
2.3. Równania Maxwella w postaci zespolonej dla przebiegów harmonicznych.........20
Zespolone przenikalności..........................................................................................22
Przewodnictwo właściwe..........................................................................................23
Przenikalność skuteczna...........................................................................................24
3. Fale elektromagnetyczne.......................................................................................................26
3.1. Równanie falowe dla obszaru bez źródeł...............................................................26
3.2. Jednorodna fala płaska...........................................................................................28
3.3. Parametry propagacyjne jednorodnej fali płaskiej.................................................30
3.4. Rozchodzenie się jednorodnej fali płaskiej w bezstratnym dielektryku................32
3.5. Rozchodzenie się jednorodnej fali płaskiej w dielektrykach stratnych.................33
3.6. Rozchodzenie się jednorodnej fali płaskiej w dobrym przewodniku....................34
3.7. Struktura jednorodnej fali płaskiej.........................................................................35
Transport energii przez jednorodną falę płaską........................................................37
Polaryzacja fali elektromagnetycznej.......................................................................39
3.8. Odbicie i załamanie jednorodnej fali płaskiej na płaskiej granicy dwóch różnych
ośrodków.......................................................................................................................40
3.9. Odbicie i załamanie jednorodnej fali płaskiej na granicy dwóch różnych
dielektryków..................................................................................................................42
Fala wnikająca jest falą jednorodną .........................................................................43
Kąt graniczny............................................................................................................44
Kąt padania ..............................................................................................................44
Fala padająca.............................................................................................................45
Fala odbita.................................................................................................................46
Fala wnikająca...........................................................................................................46
Warunki brzegowe....................................................................................................47
3
3.10. Odbicie jednorodnej fali płaskiej rozchodzącej się w dielektryku od płaskiej
powierzchni ośrodka przewodzącego...........................................................................50
Składowe wektora falowego ....................................................................................50
Skośne padanie..........................................................................................................51
4. Potencjały elektromagnetyczne i promieniowanie...............................................................53
4.1. Potencjały pól zmiennych, potencjały opóźnione..................................................53
Równanie d’Alemberta.............................................................................................55
Potencjały pól stacjonarnych....................................................................................56
Zagadnienia kwazistacjonarne..................................................................................57
4.2. Potencjał wektorowy Hertza .................................................................................58
4.3. Pole elementarnego oscylatora...............................................................................60
Struktura geometryczna pola ...................................................................................63
4.4. Pole elektromagnetyczne w małych odległościach od oscylatora.........................63
4.5. Pole elektromagnetyczne w dużych odległościach od oscylatora elementarnego. 64
4.6. Faza fali, typ fali, prędkość fazowa.......................................................................65
Charakterystyka kierunkowa promieniowania..........................................................67
Moc wypromieniowana przez oscylator...................................................................68
4.7. Opór promieniowania............................................................................................71
5. Anteny liniowe......................................................................................................................72
Antena liniowa z sinusoidalnym rozkładem prądu...................................................73
Anteny symetryczne..................................................................................................75
Opór promieniowania...............................................................................................76
Zysk kierunkowy anteny...........................................................................................77
Długość skuteczna anteny.........................................................................................77
Anteny liniowe nad powierzchnią ziemi ..................................................................78
5.1. Układy anten..........................................................................................................79
Szereg dipoli półfalowych........................................................................................79
Grupa dipoli półfalowych ........................................................................................81
Płaska ściana dipoli półfalowych..............................................................................81
Antena kierunkowa ..................................................................................................82
5.2. Anteny z elementami biernymi .............................................................................84
Antena ramowa ........................................................................................................84
Antena w postaci jednozwojowej pętli.....................................................................88
5.3. Anteny odbiorcze...................................................................................................88
Zasada wzajemności.................................................................................................88
6. Rozchodzenie się fal w układach równoległych przewodników i w falowodach.................91
Sformułowanie problemu..........................................................................................91
Warunki brzegowe....................................................................................................92
Typy fal.....................................................................................................................92
6.1. Poprzeczna fala elektromagnetyczna TEM............................................................93
Układ geometryczny pola.........................................................................................94
Kiedy fala TEM jest możliwa?.................................................................................95
6.2. Poprzeczna fala magnetyczna TM w falowodzie o przekroju prostokątnym........97
6.3. Przypadek f < fgr .................................................................................................102
Rozkłady pola w przestrzeni...................................................................................106
6.4. Poprzeczna fala elektryczna TE w falowodzie o przekroju prostokątnym..........106
6.5. Rodzaj podstawowy.............................................................................................110
Rozkład pola fali TE...............................................................................................111
Szczeliny w ściankach falowodów.........................................................................112
Pobudzanie falowodu..............................................................................................112
Falowody o przekroju kołowym.............................................................................113
Przewód koncentryczny..........................................................................................114
4
Tłumienie fal w falowodach...................................................................................115
6.6. Prostopadłościenny rezonator wnękowy..............................................................116
5
1. Podstawowe pojęcia i równania teorii pola
elektromagnetycznego
1.1. Równania Maxwella
Równania Maxwella stanowią opis matematyczny praw doświadczalnych, uzupełniony
hipotezą o prądzie przesunięciowym.
Są słuszne w zakresie zjawisk makroskopowych. W mikroświecie rządzą prawa
elektrodynamiki kwantowej – makroskopowe równania Maxwella stanowią tylko pewne
uśrednienie zjawisk elektrycznych w obrębie mikroświata. Ograniczymy się tylko do
rozpatrywania zjawisk elektromagnetycznych w ośrodkach nieruchomych lub wolno
poruszających się (v<<c). Ogólnie rozwiązania w poruszających się ośrodkach – teoria
względności.
∫
_ _
- twierdzenie Gaussa, źródłem pola elektrycznego są
ładunki
QV = ∫ ρ dV
D ds = QV
S
V
_ _
- pola magnetyczne nie posiada źródeł
_
- linie pola B są liniami zamkniętymi
∫ B ds = 0
S
∫
_ _
E dl = −
L
∫
_ _
dΨ B
dt
H dl = I +
L
dΨ D
dt
Ψ
_ _
B
= ∫ B ds
S
Ψ
- zasada indukcji elektromagnetycznej Faraday’a.
Pole elektryczne może być wytworzone przez
zmienne pole magnetyczne. Pole to jest wirowe.
_ _
D
I=
= D ds
∫
J dS
- uogólnione prawo przepływu
S
Uzupełnieniem jest równanie ciągłości:
_ _
dQV
J
∫ ds = − dt
S
Wielkości pola i związki
_
E
_
D
_
H
_
B
V
m
C A⋅ s
m 2 = m 2
A
m
[T ] = V ⋅2s
m
- natężenie pola elektrycznego
- wektor indukcji elektrycznej
- wektor natężenia pola magnetycznego
- wektor indukcji magnetycznej
6
_
_
Wektory E i B określone są przez oddziaływanie pola na ładunki elektryczne.
_
_
_
_
Fe = q E [ N ]
-
w polu magnetycznym ładunek doznaje
działania siły tylko wówczas, gdy się
porusza względem pola.
-
podstawa kinetyki ładunków
_
Fl = q v× B [ N ]
_
_
_
_
F = q ( E + v× B ) [ N ]
_
_
Wektory D i H - stosowane w obecności ośrodków materialnych.
_
_
F
ε 0 = 8.854 × 10 − 12
m
H
µ 0 = 4 π × 10 − 7
m
_
D= εoE
w próżni
_
B= µ oH
Dalsze definicje
ρ = lim
∆ V→ 0
∆Q
∆V
C
m3
σ
dQ = ρ dV
q
= lim
∆ S→ 0
∆Q
∆S
C
m 2
dQ = σ q dS
Gęstość prądu wiąże się z ruchem ładunków:
_
_
A
J = qn u śr 2
m
_ _
dI = J ds
_
_
J= ρv
_
-3
6
u śr - średnia prędkość dryftu (rzędu ~10 [m/s] , prędkość termiczna ~10 [m/s])
Postać różniczkowa równań pola elektromagnetycznego
1).
∫
S
_ _
_
D ds = ∫ ρ dV = ∫ div D dV
V
∫ ( div D − ρ )dV =
V
2).
∫
S
_ _
_ _
V
(
)
0 , więc div D − ρ = 0 ⇒
B ds = ∫ div B ds = 0
⇒
div D = ρ
_
div B = 0
S
_ _
dQV
dt
3).
∫ J ds = −
4).
dΨ B
d
∫ E dl = ∫ rot E ds = − dt = − dt
L
S
S
_ _
_
⇒
_
_
div J = −
dρ
dt
_
∂B
∫ B ds = − ∫ ∂ t
S
S
_ _
_
ds
⇒
_
∂B
rot E = −
∂t
_
7
dΨ D
∫ H dl = I + I P = ∫ rot H ds = ∫ J ds + dt =
L
S
S
_
_
_
_
_ _
_
∫
S
_
_
d _ _
∂D _
J ds +
D
ds
=
(
J
+
) ds
∫
dt ∫S
∂t
S
_
_
_
dD
dt
_
rot H = J +
Zestawienie:
1).
_
_
_
_
_
_
∫
D ds = QV
∫
B ds = 0
∫
E dl = −
∫
H dl = I +
_
_
div D = ρ
∇ ⋅D = ρ
S
2).
_
_
div B = 0
∇ ⋅B = ρ
S
3).
L
4).
_
_
L
dΨ B
dt
_
∂B
rot E = −
∂t
_
dΨ D
dt
_
∂D
rot H = J +
∂t
_
_
_
∂B
∇ × E=−
∂t
_
_
∂D
∇ × H = J+
∂t
_
_
Uzupełnieniem jest równanie ciągłości:
dQV
∫S J ds = − dt
_
_
_
∂ρ
div J = −
∂t
_
_
∂ρ
∇ ⋅J=−
∂t
_
Przebiegi harmoniczne
W praktyce bardzo często wielkości rozbudowujące (prądy, napięcia) zmieniają się
harmonicznie w czasie. W ośrodkach liniowych zmieniają się wówczas harmonicznie
wszystkie wielkości polowe.
Będziemy stosować zespolony zapis:
Np.
_
_
∧
_
E ( r , t ) = Re[ E (r ) e jϖ t ]
Jest, więc
∧
E − zespolona amplituda
∂
= j ω t i zapis równań Maxwella będzie uproszczony.
∂t
8
1.2. Właściwości ośrodków i warunki brzegowe
_
_
Wpływ ciał materialnych na pole określają wektory D i H . Cząstki materialne są jako całość
elektrycznie obojętne. Rozkład ładunków i ruchy ładunków powodują zjawiska elektryczne.
_
Moment elektryczny
_
p = ql
_
[C m]
∑
Dla układu ładunków: p =
_
qi ri [C m]
przy
i
∑
qi = 0
i
Dobór punktu odniesienia jest dowolny:
_
_
_
_
_
_
p = q1 r1 + q 2 r2 +
_
_
_
_
p ' = q1 r1 ' + q 2 r2 '+ = q1 (r1 + a ) + q 2 (r2 + a ) + =
= q1 r1 + q 2 r2 + + a ( q1 + q 2 + ) = p
=0
Wektor polaryzacji
_
P = lim
∆ V→ 0
∆ S→ 0
_
∑
pi
∆V
C
m 2
∆V
– moment elektryczny jednostki objętości
Wektor indukcji elektrycznej
_
_
_
– podstawowa definicja, słuszna ogólnie
D =εo E+ P
dla dowolnego ośrodka
_
_
W ośrodkach liniowych P ~ E
_
_
P = η eε o E
(1 + η e ) = ε w
D = ε 0 E + P = η e ε 0 E + ε 0 E = (1 + η e ) ε 0 E
ε wε o = ε
dla próżni ε o = ε ,
F
ε 0 = 8.854 × 10 − 12
m
9
_
_
_
D = ε wε o E = ε E
Wektor natężenia pola magnetycznego
Opisuje wpływ ciał materialnych na pole magnetyczne.
_
[ A m ] – moment magnetyczny płaskiego obwodu.
2
_
m= IS
Wektor namagnesowania
_
M = lim
∆ V→ 0
∆ S→ 0
_
_
∑
mi
A
m
∆V
∆V
_
_
_
lub
B = µ o (H + M )
H = µ oµ
_
w
_
B− M
Jest to definicja ogólna dla dowolnego ośrodka.
_
_
W ośrodkach liniowych: M ~ H
_
_
_
1+ η m = µ
_
_
_
_
_
_
B = µ o ( H + M ) = µ o H + η m µ o H = (1 + η m )µ o H
M = ηm H
µ wµ
w
_
_
B = µ wµ o H = µ H
0
= µ
– dla próżni µ=µ0=4π 10-7 [
H
]
m
Lokalna postać prawa Ohma
W wielu ośrodkach materialnych, o właściwościach liniowych jest:
_
_
– przy braku sił przyłożonych
J= σE
W obecności sił przyłożonych trzeba uzupełnić:
_
_
_
J = σ (E + E p )
_
E p – wektor elektromotoryczny (poruszający ładunki,
nieelektryczny)
7
−1
Dla metali przewodnictwo właściwe σ jest bardzo duże, rzędu 10 (Ω m)
10
Rodzaje ośrodków
Ośrodki liniowe:
_
_
_
_
D = ε wε o E = ε E
_
_
B = µ wµ o H = µ H
_
_
Ośrodki nieliniowe (skalarnie) – np. D = ε w ( E ) ε o E
Wówczas zwykle można wyrazić:
ε w ( E ) = ε st + ε 1 E + ε 1 E 2 + ....... + ε n E n
dD
dE
ε st =
εn =
0
1 d n+ 1 D
(n + 1)! dE n + 1
0
Ośrodki anizotropowe (liniowe)
D x = ε xx E x + ε xy E y + ε
xz E z
Dy = ε
yx E x
+ ε
Dz = ε
zx E x
+ ε zy E y + ε zz E z
yy E y
+ ε xy E z
ε xx
ε = ε yx
ε zx
ε xy
ε yy
ε zy
ε ik ≠ ε ik (E ) w skrócie Di = ε ij E j lub D = ε E
ε xz
ε yz – tensor
ε zz
Zwykle np. w kryształach, tensor ε jest symetryczny ε ij = ε
ji
Ośrodki żyromagnetyczne (ferryty):
_
Np. pole magnetyczne H o wzdłuż osi OZ. Wówczas dla składowych zmiennych (w
wyniku efektu żyroskopowego precesji)
B x = µ H x − jk H y
B y = jk H x + µ H y
Bz = µ z H y
µ
Wprowadzając tensor µ = jk
0
Można napisać
_
_
B=µ H
− jk 0
µ
0
0
µ z
µ - jest tensorem antysymetrycznym, µ ij = − µ
Podobne właściwości ma silnie zjonizowany gaz (plazma).
Wprowadza się antysymetryczne tensory ε i σ .
ji
11
Wpływ ośrodków materialnych – interpretacja fizyczna
_
_
_
_
D = εo E+ P
_
_
B = µ o (H + M )
_
_
_
_
dD
rot B = µ o rot H + µ o rot M = µ o ( J +
+ rot M )
dt
_
_
_
_
_
dE dP
rot B = µ o ( J + ε o
+
+ rot M )
dt
dt
_
_
_
_
_
div D = ε o div E + div P
⇒
_
div E =
_
ρ
εo
_
div B = 0
div B = 0
_
∂B
rot E = −
∂t
_
∂B
rot E = −
∂t
_
_
_
_
∂E ∂P
rot B = µ o ( J + ε o
+
+ rot M )
∂t
∂t
_
_
w próżni
Wyeliminowaliśmy D i H
_
_
1
div E =
( ρ − div P )
εo
_
_
ε o div E = ρ − div P
_
_
∂E
rot B = µ o ( J + ε o
)
∂t
_
_
_
div P - rozkład przestrzenny polaryzacji jako „ładunek związany”.
_
d P - zmiany w czasie polaryzacji jako „prąd przesunięciowo-polaryzacyjny”
dt
_
rot H - rozkład przestrzenny magnetyzacji jako „prąd niedomagnesowany”
Ośrodki ruchome
_
_
Ruchomy przewodnik zamknięty porusza się z prędkością v < c względem pola B ( r , t ) .
∫
L
_
_
E ' dl = −
d _ _
B ds
dt ∫S
_
E ' – pole w systemie ruchomym
12
Musimy liczyć różniczkę zupełną:
_
_
_
_
_
_
dB ∂ B
=
+ rot ( B × ν ) + ν div B
dt
∂t
_
_
_
_ _
d
∂B
_
−
B
dS
=
−
+
rot
B
×
ν
dS
=
E
' dl bo div B = 0
∫
∫
∫
dt S
∂t
S
L
_
_ _
lub rot E = − ∂ B + rot B × ν
∂t
_
_
_
_
_
_
rot ( E '− B × ν ) = rot E = −
E - pole mierzone w systemie nieruchomych,
∂B
∂t
_
ładunki są przesuwane przez pole E '
_
_
_
_
_
_
wektor elektromotoryczny siły
Lorentza
_
J = σ E ' = σ [E + ν × B ]
Ruchomy dielektryk µ
_
E pL = ν × B
w
= const.
Trzeba uwzględnić prąd konwekcyjny ładunków swobodnych i związanych:
_
_
ν (ρ − div P )
oraz całkowite zmiany wektora polaryzacji:
_
_
_
_
_
_
dP ∂ P
=
+ rot ( P × ν ) + ν div P
dt
∂t
_
_
_
∂E ∂P
rot B = µ o ( J + ε o
+
+ rot
M
)
∂t
∂ t
=0
_
_
dP
dt
_
_
_
_
∂E ∂P
rot B = µ o J + ρ ν − v div P + ε o
+
+ rot P × v + v div P
∂t
∂t
(
_
- ruchomy dielektryk wykazuje moment
_
_
_
_
∂ E ∂ P
rot B = µ o J + ρ ν + ε o
+
+ rot P × v
∂t
∂t
(
_
_
_
)
_
)
_
_
_
magnetyczny M ekw P × ν
_
_
P = ( ε − ε 0 ) E ' = (ε − ε 0 ) ( E + ν × B )
Ruchomy ośrodek magnetyczny
Można poprawnie opisać jedynie wzorami relatywistycznymi.
13
1.3. Pola na granicy rozdziału ośrodków
Warunki brzegowe podają, jak zachowują się wektory pola elektromagnetycznego
przy przejściu z jednego ośrodka do drugiego.
_
_
_
_
∫
D ds = QV
∫
D ds =
S
∫
_
_
∫
D 1 ds +
∆ S1
S
_
_
D 2 ds +
∆ S2
Niech h → 0 ⇒
∫
_
_
∫σ
D ds =
∆ Sb
_
∫
∆ Sb → 0 i
q
ds +
∆ S
∆ Sb
∑ ∫ρ
i Vi
i
dV
tekst został
ucięty
_
D ds → 0 , obszary Vi
stają się zewnętrznymi i całka znika
_
∫
_
D1 ds +
∆ S1
∫
_
∆ S2
∫ σ q ds
∆S
∫ D1n dS + ∫ D2n dS = ∫ σ q dS
−
∆ S1
∫ ( D2 n −
_
D 2 ds =
D1n − σ q ) d s = 0
∆ S2
∆S
∆S
dowolne, więc
∆ S
D2 n − D1n = σ q
Analogicznie:
_ _
∫
B ds = 0
∫
J ds = −
⇒
B2 n − B1n = 0
⇒
J 2 n − J 1n = −
S
_ _
S
dQV
dt
∂σ
q
∂t
Dla składowych stycznych:
_
_
∫ E dl = −
L
∫
L
dΨB
dt
2 _ _
_ _
E dl = ∫ E dl +
1
3 _
∫
2
_
E 2 dl +
4 _ _
∫
1 _
∫
E dl +
3
_
E 1 dl = −
4
Niech h → 0
2
∫
4
→ 0
1
3 _
_
1 _
_
3
_
_
1
_
_
4
2
4
3
2
E1t ) dl ⇒
∫
_
E 2t − E1t = 0
_
B ds → 0
(12 3 4 )
3
∫ E 2 dl + ∫ E1 dl = ∫ E 2t dl − ∫ E1t dl = ∫ ( E 2t −
2
∫
→ 0, (1 2 3 4) → 0 ⇒
_ _
d
B
ds
dt (1 2∫3 4)
14
∫
_ _
H dl = I +
L
2
dΨ D
dt
∫
1
3
4
4
2
3
3
+∫+∫+∫=
_ _
d
I +
D
ds
dt ∫
(1 2 3 4 )
3
J dl
∫ s⊥
2
dla h → 0;
gdy
↓
0
istnieje
prąd
powierzchniowy
dI = J s dl ⊥ = J s ⊥ dl
I = ∫ J s ⊥ dl
L
3
∫ ( H 2t −
H 1t − J s ⊥ ) dl = 0
⇒
H 2t − H 1t = J s ⊥
2
Zapis wektorowy:
_
_
_
_
_
_
_
_
_
n ( D 2 − D1 ) = σ
q
_
_
_
_
_
_
∂σ
q
∂t
Doskonałe przewodniki
_
Gdy założymy σ → ∞
prąd popłynie przy E → 0
Np.
_
_
A
A
= 10 6 2
2
mm
m
−1
woda morska σ 1 = 4 (Ω m)
E1 = 2.5 × 10 6
J = σ E,
miedź
niech I = 1
σ
2
= 5.5 × 10 7 (Ω m) − 1
Definicja doskonałego przewodnika:
_
_
n × ( H 2 − H 1 ) = J s lub = 0 dla J s = 0
n ( B 2 − B1 ) = 0
n ( J 2 − J 1 ) = −
_
n × ( E 2 − E1 ) = 0
_
J skończone, E = 0
E 2 = 1.8 × 10 − 2
15
_
_
E=0 ⇒
wewnątrz doskonałego przewodnika.
D= 0
_
_
Głębokość wnikania dla prądów przewodnika przy σ = ∞ , więc również H = 0, B = 0 .
D2 n = σ
B2 n = 0
q
E 2t = 0
H 2t = J s ⊥
Wnioski:
1). Pole elektryczne jest prostopadłe do powierzchni doskonałego przewodnika D2n = σ q .
2). Pole magnetyczne jest styczne do powierzchni doskonałego przewodnika H t = J s ⊥
1.4. Energia pola elektromagnetycznego
Policzmy bilans napięć pola elektromagnetycznego, zawartego w objętości V, ograniczonej
zamkniętą i nieruchomą powierzchnią A.
_
∂D
rot H = J +
∂t
_
_
_
_
_
_
_
B=µ
o
_
(H + M )
rot E = −
_
_ ∂ P
ε ∂ _ _
E rot H = E J + o
(E ⋅ E) + E
2 ∂t
∂t
_
_
_ _
_
rot H = J +
D = ε o E+ P
∂B
rot E = −
∂t
_
_
bo
_
_
∂
µ o (H + M ) • H
∂t
_
_
Korzystając z tego, że div( a x b ) = b rot a - a rot b
(
)
div E × H = E ⋅ J +
µ
∂ ε0
∂P
∂M
( EE + 0 H H) + E
+ µ 0H
∂t 2
2
∂t
∂t
Całkując po objętości:
∫
V
div( E x H )dV =
= - ∫ [E J +
V
∫
A
div( E x H )d A =
µ
∂ ε0
∂P
∂M
( EE + 0 H H) + E
+ µH
]dV
∂t 2
2
∂t
∂t
(
)
1 ∂
∂E
E• E = E
2 ∂t
∂t
_
µ ∂ _ _
∂M
H rot E = − o
(H ⋅ H ) − µ o H
2 ∂t
∂t
_
_
_
∂
(ε o E + P ) • E
∂t
16
Dla ośrodków liniowych:
dW
=
dt
∫
V
d 1
( ε E2 + 1 µ H2 )dV = - ∫ ( E x H )d A dt 2
A
2
zmiana energii zmagazynowanej w obszarze
∫ E J dV
V
strumień mocy
przez powierzchnię
straty
Wektor Poytinga
[
S = E× H
W
]
m2
J = σ (E + E p )
J
− Ep ⋅ J
σ
J2
EJ =
− Ep J
σ
J2
E
J
dV
=
∫
∫ σ dV −
V
V
E=
∫E
p
J dV
V
ciepło Joule’a
praca sił przyłożonych
Np.
dV = Adl
J2
J2
dV
=
∫V σ
∫l σ Adl =
∫
l
J 2 A2
dl
dl = I 2 ∫
= RI
σA
σA
Twierdzenie Poytinga nie zadaje wektora S jednoznacznie!
Np. Niech S ' = S + a
a taki wektor, że div a =0
(a )dV = ∫ Sd A
∫ S d A = ∫ div(S )dV = ∫ div SdV + ∫ div
'
A
'
V
V
V
=0
A
otrzymujemy ten sam strumień mocy przez powierzchnię. Przyjście S = E x H
najprostszą formą.
jest
17
2. Rodzaje zjawisk elektromagnetycznych
2.1 Elektrostatyka i magnetostatyka
Stacjonarne pole elektryczne
∂
= 0
∂t
więc
div D = ρ
pole jest bezwirowe E = − gradφ
rot E = 0
Znak (–) dotyczy umowy co do kierunku wektora E (od ładunków dodatnich do ujemnych)
div D = divε E = div (− ε gradφ ) = ρ
∇ (ε ∇ φ ) = − ρ
∇ ε ∇ φ + ε ∇ 2φ = − ρ
∆φ +
1
ρ
gradε gradφ = −
2
ε
– w dowolnym ośrodku liniowym
W ośrodku jednorodnym - ε = const., grad ε = 0
∆φ = −
ρ
ε
– równanie Poissona
∂2
∂2
∂2
∆ =
+
+
∂ x2
∂y2
∂z2
w obszarze bez ładunków przestrzennych: ρ = 0
∆
φ≡0
– równanie Laplace’a
Ogólne rozwiązanie równania Poissona dla ośrodków jednorodnych (ε = const.) ma postać:
φ =
1
4π ε
ρ
∫ r dV
V
Warunki brzegowe – na powierzchni przewodników φ = const.
J = σ E = 0 → E = 0
E = − gradφ = 0
⇒
wewnątrz przewodnika
φ = const.
18
Pole magnetyczne prądu stałego
J ≠ 0 , lecz pole jest niezmienne w czasie(
∂
= 0)
∂t
div B = 0
rot H = J
Niech:
A – potencjał wektorowy pola magnetycznego [ A ]=
B = rot A
div B = div(rot A) ≡ 0
rot H = rot
Vs
m
– potencjał wektorowy spełnia tożsamościowo
równanie dywergencji
B
= J
µ
Dla ośrodków jednorodnych – μ = const.
rot B = rot rot A = µ J
rot rot a = grad div a − ∆ a
∆ A − grad div A = − µ J
Definicja B = rot A nie wyznacza pola wektorowego A jednoznacznie:
'
Niech A = A + gradϕ
'
φ – dowolna funkcja skalarna
'
B = rot A = rot ( A + gradϕ ) = rot A = B
Więc potencjał A' jest równie „dobry” – daje to samo pole B .
Możemy, więc przyjąć dodatkowy warunek dla potencjału A .
Niech:
div A = 0
– tzw. wycechowanie Coulomba (stacjonarne)
Warunek ten oznacza,że wśród dowolnych funkcji φ wybieramy te, które spełniają:
'
div A = div( A + gradϕ ) = div
A + div gradϕ = 0
=0
∆ϕ = 0
Warunek wycechowania wyznacza równanie dla potencjału:
∆ A − grad div A = − µ J
∆ A = −µ J
– jest to skrócony zapis trzech równań ∆ A x = − µ J x itd.
19
Ogólne rozwiązanie ma postać:
A= −
µ
4π
∫
V
J
dV
r
– dla pól stacjonarnych! (stałych w czasie)
2.2. Stacjonarne i kwazistacjonarne pola elektromagnetyczne
Prawa Kirchoffa
J = σ (E + E g )
rot E = 0
Przebiegi stacjonarne –
div J = 0
Eg = E p
„generator”
E + Eg =
∫ E dl + ∫
l
l
J
całkujemy po drodze zamkniętej
σ
J
E p = ∫ dσ
σ
l
E ds =
∫ E dl = ∫ rot
=0
l
0
s
∫ E dl = ∫
l
l
J
dl
Adl = I ∫
= IR ⇒ ε = IR
Aσ
A
σ
l
Dla zamkniętego oczka w obwodzie:
∫ E g dl = ∑i
εi
l
J
∫σ
dl =
∑
I i Ri
i
l
∫ Jd A =
∑
εi =
i
∑
I1 + I 2 − I 3 =
I i Ri
i
∑
Ii =
i
A
J dV =
∫ div
=0
V
∑
Ii = 0
i
Dowolne przebiegi czasowe –
Pole E nie jest już bezwirowe:
rot E = −
∂B
,
∂t
J = σ ( E + E p ),
Ep = −
∂D
≈ 0,
∂t
0
20
∫ rot Ed s = − ∫
s
s
∂ϕ B
∂B
∂
dI
d s = − ∫ Bd s = −
= −L
przy φB =LI
∂t
∂t s
∂t
dt
J
∫ rot Ed s = ∫ Ed l = ∫ (σ
s
l
− E p )d l =
l
U g (t ) = I (t ) R + L
J
∫ σ Ad l − ∫
l
l
dI (t )
dt
S – powierzchnia
rozpięta
na
zamkniętym
dI obwodzie
E p d l = IR − U g = − L
dt
A – powierzchnia
przekroju
przewodów
Niestacjonarną część pola reprezentują w równaniach Kirchoffa człony typu:
Li
dI i
dt
lub
M ki
dI k
dt
Postępowanie takie jest uzasadnione, gdy są spełnione warunki kwazistacjonarności –
1) Faza napięć i prądów w całym obwodzie jest taka sama:
l<<λ , gdzie
l – liniowe wymiary obwodów
2) Można zaniedbać prądy przesunięciowe:
∂D
≈ 0
∂t
Teoria obwodów – zakłada warunki 1 i 2
Teoria linii długich – zakłada tylko warunek 2
2.3. Równania Maxwella w postaci zespolonej dla przebiegów harmonicznych
Obliczanie pochodnej po czasie –
∂
( E jω t ) = jω ( E jω t )
∂t
więc,
∂
= jω
∂t
– dla przebiegów harmonicznych
Obliczanie wartości rzeczywistej –
A = Re(A) + jIm(A)
A * = Re(A) - jIm(A)
Re(A) = (A + A*)
21
Przykłady:
jωt
E (t) = Re( E е ) =
1
( E еjωt + E *е-jωt)
2
jωt
B (t) = Re( B е ) =
1
( B еjωt + B *е-jωt)
2
rot E (t ) = −
∂
B (t ) – równanie dla rzeczywistych przebiegów
∂t
*
1
rot ( E jω t + E −
2
jω t
*
(rot E ) jω t + (rot E ) −
*
∂ 1
) = − ( B jω t + B −
∂t 2
*
jω t
= − jω B jω t + jω B −
*
*
(rot E + jω B ) jω t + (rot E − jω B ) −
jω t
jω t
)
jω t
= 0
Równanie to musi być spełnione dla dowolnego czasu, różne czynniki przy nawiasach, musi
więc być:
rot E + jω B = 0
*
*
rot E − jω B = 0
Jest to jeden i ten sam warunek, ze względu na:
E = Re( E ) + j Im(E )
B = Re( B ) + j Im(B)
gdy jest spełniony pierwszy, to jednocześnie jest spełniony drugi.
Równanie dla rzeczywistych przebiegów chwilowych
rot E (t ) = −
∂
B(t )
∂t
przybierze dla przebiegów harmonicznych, w zapisie zespolonym, postać:
rot E = − jω B
div D(t ) = ρ (t )
→ div D = ρ
div B (t ) = 0
→ div B = 0
∂
B (t )
→ rot E = − jω B
∂t
∂
rot H (t ) = J (t ) +
D(t ) → rot H = J + jω D
∂t
∂
div J (t ) = − ρ (t )
→ div J = − jω ρ
∂t
rot E (t ) = −
22
Powyższe równania dotyczą zespolonych amplitud, znika jawna zależność od czasu – czynnik
еjωt.
Zespolone przenikalności
Podstawowe definicje D i B wiążą się ze stanem polaryzacji:
D = ε0E+ P
B = µ 0 (H + M )
Dla ośrodków liniowych:
P = η 0ε 0 E
M = ηmH
W przypadku pól zmiennych – zjawiska polaryzacji wykazują pewną bezwładność, będą się
opóźniać w stosunku do zmian pola. Opóźnienia te zależą od właściwości danego ośrodka,
będą pewną funkcją częstotliwości. Oprócz opóźnienia – maleją również amplitudy ruchów
cząsteczek – zmieniają się również wielkości P i M .
Występowanie opóźnienia w zjawiskach polaryzacji opiszemy wprowadzając zapis zespolony
dla podatności:
ηe = ηe − jϕe
ηm = ηm − jϕm
Jest, więc:
P = ηe −
jϕ e
M = η m − jϕ m H
ε0 E
Przy zespolonych podatnościach również przenikalności będą liczbami zespolonymi:
ε w = 1+ η e
µ w = 1+ η m
Na wykresie wskazowym:
Możemy, więc zapisać:
ε = ε '− jε "
µ = µ '− jµ "
ε = ε wε 0
µ = µ wµ 0
23
Uwaga: zarówno moduły jak i argumenty przenikalności ε i μ są funkcjami częstotliwości
charakterystycznymi dla danego ośrodka.
Przewodnictwo właściwe
Bezwładność ładunków może powodować zespolony charakter przewodnictwa właściwego σ
− jϕ σ
w gazach zjonizowanych lub elektrolitach: σ = σ
, J = σE .
W metalach nośnikami prądu są elektrony – bardzo mała bezwładność – opróżnienia fazowe
występują przy częstotliwościach optycznych.
W zakresie radiowym będziemy, więc przyjmować, że σ jest rzeczywiste i równe
przewodnictwu właściwemu dla prądu stałego.
Mieliśmy wzór, gdy na gęstość mocy strat:
ρ
g
= EJ
Przy obecności prądu przesunięciowego występują ruchy ładunków – prąd polaryzacyjny.
Musimy uwzględnić go przy obliczani strat.
rot H = J + jω D = J c
– dla przebiegów harmonicznych
J c = σ E + jω D = σ E + jω ε E = σ E + jω (ε ' − jε '' ) E
J c = ( σ E + ω ε ' ' E ) + jω ε ' E
Co oznaczają poszczególne wyrazy?
W prądzie przesunięciowym wyróżniliśmy prąd polaryzacyjny:
Jd =
∂D
∂
∂E ∂P
=
(ε E + P ) = ε 0
+
∂t
∂t
∂t
∂t
„zwykły” ruch ładunków
Dla przebiegów harmonicznych:
∂P
= jω P = jω η e ε 0 E
∂t
ε − ε0
ε
η e = ε w − 1=
− 1=
ε0
ε0
Jp =
J p = jω η e ε 0 E = jω ( ε − ε 0 ) E = jω ( ε ' − jε ' ' − ε 0 ) E =
J p = ω ε ' ' + jω (ε ' − ε 0 ) E
J c = (σ E + ω ε ' ' E ) + jω ε ' E = J q + J reakt
prąd
przewodnościowy
składowa
rzeczywista prądu
polaryzacyjnego
wchodzi tu m.in. składowa urojona
prądu polaryzacyjnego
24
Składowa:
J q = σ E + ω ε ' ' E = (σ + ω ε ' ' ) E
jest w fazie z natężeniem pola elektrycznego E elektrycznego powoduje straty.
Składowa reaktancyjna:
J reakt = jω ε ' E
przesunięta w fazie o
π
– nie powoduje strat.
2
J c = J q + J reakt
Straty te są większe, im większe jest J q , tzn. im większy jest kąt δe – kąt stratności.
Wprowadza się pojęcie tangensa kąta strat.
tgδ e =
Jq
J reakt
=
(σ
σ + ω ε"
=
ωε'
tgδ e =
+ ω ε ") E
ω ε 'E
σ
+ ε"
ω
ε'
Zupełnie podobnie można postąpić w przypadku ośrodków magnetycznych i wprowadzić:
tgδ m =
µ ''
µ'
Przenikalność skuteczna
Rozwiążemy równanie:
rotH = J + jω D = σ D + jω ε E
Dla ośrodka nieprzewodzącego
rotH = jω ε E
σ=0
25
Pierwsze równanie można upodobnić do drugiego
σ
rotH = (σ + jω ε ) E = jω (ε − j ) E
ω
Wprowadzimy pojęcie przenikalności skutecznej
ε sk = ε − j
σ
ω
lub
ε sk = ε ′ − j (ε ′′ +
Otrzymamy więc:
rotH = jω ε sk E
σ
)
ω
26
3. Fale elektromagnetyczne
3.1. Równanie falowe dla obszaru bez źródeł
ε = const , µ = const , σ = const ,
Zakładamy ośrodek jednorodny:
oraz brak źródeł pola (brak sił przyłożonych) – brak źródeł J 0
divJ 0 = 0 , lecz rotH = J 0 + jω ε sk E
div rotH = divJ 0 + jω ε sk divE ≡ 0
1
gdzie: divJ 0 = 0 , oraz divE = divD = 0 ;
ε
oznacza to więc (w ośrodku jednorodnym):
ρ = 0
Równania Maxwella:
divD = 0
rotE = − jω B
divB = 0
rotH = jω ε sk E
divD = div(ε E ) = ε divE = 0
divB = div(µ H ) = µ divH = 0
⇒
⇒
divE = 0
divH = 0
divE = 0
III
divH = 0
II rotE = − jω µ H
IV
rotH = jω ε sk E
I
j
rotE
ωµ
Podstawiamy do IV:
Z II mamy: H =
rotH = rot (
j
rotE ) = jω ε sk E
ωµ
1
rot rotE = ω ε sk E
ωµ
rot rotE = ω 2 ε sk µ E
gdzie: rot rotE = grad divE − ∇ 2 E , natomiast z I mamy: divE = 0 , zatem
− ∇ 2 E = ω 2 ε sk µ E
lub
Jest to równanie falowe Helmholtza
Dlaczego falowe – rozpoznamy później.
∆ E + ω 2 ε sk µ E = 0
27
Współczynnik
γ 2 = − ω 2 ε sk µ
nazywa się stałą rozchodzenia (lub propagacji).
Inaczej:
σ
γ 2 = − ω 2 ε sk µ = − ω 2 (ε − j )µ =
ω
2
= − ω ε µ + jσ ω ) = jω µ ( σ + jω ε )
γ 2 = jωµ (σ + jωε )
Równanie falowe ma zatem postać:
∆E − γ 2E = 0
Podobnie, wychodząc z IV i podstawiając do II :
∆H − γ 2 H = 0
Stała rozprzestrzeniania:
γ 2 = − ω 2 ε sk µ = − ω 2 ε ′ µ + jω 2 (ε ′′ +
stąd:
γ =
− ω 2 ε sk µ = jω
ε sk µ
σ
)µ ,
ω
gdzie: ε sk = ε ′ − j (ε ′′ +
σ
)
ω
- są to dwa zespolone pierwiastki
Wybieramy ten pierwiastek, którego
części Re i Im są dodatnie
Zapiszemy :
γ = α + jβ
α - stała tłumienia
β - stała fazowa
γ 2 = (α + jβ ) 2 = α 2 − β 2 + j 2α β
Re( γ 2 )= α 2 − β 2
Im( γ 2 )= 2α β
Stąd zakładając ośrodek nieferromagnetyczny mamy:
µ = µ ′ µ ′′ = 0
28
Zatem otrzymuje się:
σ
+ ε ′′
1
α = ω ε ′µ ′
[ 1+ ( ω
) 2 − 1]
2
ε′
σ
+ ε ′′
1
β = ω ε ′µ ′
[ 1+ ( ω
) 2 + 1]
′
2
ε
Wzory te można zapisać jako:
α = ω ε ′µ ′
1
[ 1 + tg 2 δ e − 1]
2
β = ω ε ′µ ′
1
[ 1 + tg 2 δ e + 1]
2
FALE PŁASKIE
3.2. Jednorodna fala płaska
Dany jest nieskończenie rozległy jednorodny i izotropowy ośrodek:
ε = const , µ = const , σ = const
Równania falowe:
∆ E − γ 2E = 0 , ∆ H − γ 2H = 0
są to równania dla części składowych Ex, Ey, Ez , Hx, Hy, Hz o tej samej postaci:
∆U − γ U = 0
, U=U(x,y,z)
zastosujemy metodę rozdziału zmiennych (w oparciu o twierdzenie o jednoznaczności).
2
Niech:
U=U(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)
∂U
= X ′YZ
∂x
itd.
∂ 2U
= X ′′YZ
∂ x2
X ′′YZ + XY ′′Z + XYZ ′′ − γ 2 XYZ = 0
X ′′ Y ′′ Z ′′
+
+
= γ2
X
Y
Z
γ 2x
γx
γ 2y
2
+ γ
γ 2z
2
y
+ γz
2
= γ2
Y ′′
X ′′
Z ′′
2
γ
,
=
, γ z2=
x
y
y
X
Z
Rozwiązanie takiego równania ma postać:
oraz: γ
2
=
29
X ( x ) = C1e γ x x + C 2 e − γ x x
Stałe: γ x , γ y , γ z , są liczbami zespolonymi ( γ
γ
Niech:
x
= α x + jβ
x
γ
y
=α
+ jβ
y
γ
z
= α z + jβ
z
y
2
- jest zespolone)
Znaki dla α i β można wybrać tak, że uwzględnia się przypadek e γ x x lub e − γ x x
Rozpatrzmy przypadek e − γ x x
U= XYZ = A e − γ x x e − γ y y e − γ z z =
= A e − α x x − jβ x x e − α y y − jβ y y e − α z z − jβ z z
= A e − ( α x x + α y y + α z z ) e − j (β x x + β y y + β z z )
Wprowadzimy wektory :
α = ixα x + i yα y + izα z
β = i x β x + i y β y + iz β
oraz:
z
r = ix x + i y y + iz z
wówczas mamy:
α xx + α y y + α xz = α ⋅ r
β xx + β y y + β xz = β ⋅ r
Jest więc:
U=A e − α ⋅ r e − jβ ⋅ r
Dopiszemy człon czasowy:
Ue
jωt
= Ae − α ⋅r e
j ( ωt − β ⋅r )
Amplitudę przebiegu opisuje człon Ae − α ⋅ r
α ⋅ r =const.
Amplituda fali = const. gdy
– jest to ogólny zapis fali płaskiej
30
Warunek α ⋅ r =const. jest spełniony dla
punktów
leżących
na
płaszczyźnie
prostopadłej do wektora α .
Fazę przebiegu opisuje człon e j (ω t − β ⋅ r )
Faza fali jest stała, gdy:
ω t − β r = const.
W ustalonej chwili t0 faza jest stała na powierzchni
β r = const.
Faza jest stała w punktach płaszczyzny, prostopadłej do wektora β .
Klasyfikacja fal –
Stosownie do kształtu powierzchni ekwifazowej –
fala płaska
Gdy płaszczyzna ekwifazowa pokrywa się z płaszczyzną jednakowej amplitudy:
jednorodna fala płaska
3.3. Parametry propagacyjne jednorodnej fali płaskiej
Fala jednorodna: α β
z
Niech w kierunku α i β biegnie oś ξ i wektor n
Płaszczyzny równej fazy i amplitudy są prostopadłe do n – są to płaszczyzny Z =const.
Utworzymy wektor falowy :
γ = ix γ x + i y γ y + iz γ z
γ = i xα x + i yα
y
+ i zα z + j ( i x β x + i y β y + i z β z )
γ = α + jβ
Dla fali jednorodnej mamy:
γ = α + jβ = α n + jβ n = γ n
bo γ = α + jβ
Obecnie jest:
α r = α nr
i β r = β nr
31
z
n r = r cos(n , r ) = r cos ϕ = ξ
z
αr= α ξ
z
βr= βξ
Zapis fali –
Ue jωt = Ae −αξ e j (ωt − βξ )
Można także zapisać tak:
Ue jω t = Ae − α ⋅ r e jω t e β ⋅ r = Ae − ( α +
Ue jω t = Ae − γ ⋅ r e jω t
lecz: γ ⋅ r = γ n r = γ ξ
– jednorodna fala płaska (j. f. p.)
j β )r
e jω t
Ue jωt = Ae −γξ e jωt
Faza fali jest równa:
Ω= ω t − β ξ
stała faza:
Ω= ω t − β ξ =const. ⇒ gdy t ↑ , ξ ↑
Fala rozchodzi się w kierunku osi ξ , tj w kierunku wskazywanym przez wektor falowy γ
(wektor n ).
A więc : U = Ae − γ ⋅ r fala rozchodzi się w kierunku γ
Ruch płaszczyzny ekwifazowej – stała faza, więc :
dΩ = ω dt − β dξ = 0
stąd prędkość fazowa:
vf =
dξ ω
=
dt β
Obliczymy długość fali:
Jest to odcinek, po przejściu którego napotkamy w ustalonej chwili t=const, tę samą fazę fali.
Będzie to odcinek odpowiadający zamianie fazy o 2π
Ω ′ = ω t − β (ξ + λ )
Ω= ω t − β ξ ,
Ω = Ω ′ + 2π
ω t − β ξ = ω t − β ξ − β λ + 2π upraszczając to ⇒ λ =
Jeżeli też:
2π
β
32
λ =
vf
2π
2π
=
=
= vfT
ω
β
f
vf
Ze wzrostem ξ amplituda fali zmienia się wykładniczo:
Ue jω t = Ae − γ ξ e j ( ω t − β ξ )
α > 0 wtedy w miarę rozchodzenia się fala jest tłumiona wykładniczo; α - stała tłumienia
Głębokość wnikania:
Jest to odległość, po przejściu której amplituda fali maleje do
(maleje e-krotnie).
A1 = A0e − α ξ
αδ = 1
1
swojej wartości początkowej
e
A1 = A0 e − α (ξ + δ ) = A1e − 1 = A0 e − α ξ e − 1
δ =
1
α
3.4. Rozchodzenie się jednorodnej fali płaskiej w bezstratnym dielektryku
σ = 0 , ε ′′ = 0 , µ ′′ = 0
zatem z powyższego:
ε = ε ′ − jε ′′ = ε ′ - wielkość rzeczywista
µ = µ ′ − jµ ′′ = µ ′ - wielkość rzeczywista
σ
ε sk = ε − j = ε ′ - wielkość rzeczywista
ω
2
2
γ = − ω ε sk µ = − ω 2 ε ′ µ - wielkość rzeczywista
γ = − ω 2 ε sk µ - wielkość urojona
γ = α + jβ , jest więc
γ = jβ
α = 0
jβ = jω ε µ
β =ω
εµ
α = 0 – w bezstratnym dielektryku fala płaska rozchodzi się bez tłumienia.
Próżnia
σ = 0 , ε = ε 0, µ = µ
β = ω
0
ε 0µ 0
Prędkość falowa: v f =
ω
ω
=
β
ω ε 0µ
=
0
1
ε 0µ
0
33
Po podstawieniu:
1
c=
ε 0µ 0
m
,
c ≈ 3 ⋅ 10 8
s
Prędkość rozchodzenia się elektromagnetycznych fal płaskich w próżni jest równa prędkości
światła.
c = (2,997925 ± 0,000003) ⋅ 10 8
Długość fali:
λ
0
vf
=
f
W dielektrykach:
c
f
ω
ω
=
β
ω ε 0µ
vf =
1
vf =
λ =
=
εµ
vf
=
=
0
1
ε 0µ
=
0
1
ε 0 ε wµ 0 µ
=
w
1
ε wµ
⋅
w
1
ε 0µ
0
c
ε wµ
w
stąd:
f
vf
vf
λ
f
=
=
=
c
λ0
c
f
1
ε wµ
w
3.5. Rozchodzenie się jednorodnej fali płaskiej w dielektrykach stratnych
σ ≠ 0 , ε = ε ′ − jε ′′ , µ ′ = 0
σ
+ ε ′′
α
tgδ e =
≠ 0,
ε′
vf =
ω
=
β
( µ ′′ = 0 - ośrodek nieferromagnetyczny)
ω
,
1
ω ε ′µ ′
[ 1 + tg 2 δ e + 1]
2
λ =
vf
f
W miarę wzrostu strat ośrodka (w miarę wzrostu tgδ e ) prędkość fazowa v f oraz długość fali
λ maleją.
α = ω ε ′µ ′
1
[ 1 + tg 2 δ e − 1]
2
gdy tgδ e = 0, wtedy α = 0
obecnie α ≠ 0
W miarę wzrostu strat ośrodka (w miarę wzrostu tgδ e ) tłumienie fali rośnie.
34
3.6. Rozchodzenie się jednorodnej fali płaskiej w dobrym przewodniku
Podstawową rolę odgrywa przewodnictwo ośrodka σ - można pominąć straty związane z ε ′′ .
Przyjmijmy ośrodek nieferromagnetyczny: µ ′′ = 0
σ ≠ 0 , ε = ε′, µ = µ′
σ
+ ε ′′
σ
α
tgδ e =
=
ε′
ωε
α = ω εµ
1
σ
[ 1 + ( ) 2 − 1]
2
ω
β = ω εµ
1
σ
[ 1 + ( ) 2 + 1]
2
ω
gdy σ = 0 – wzory przechodzą we wzory dla bezstratnego dielektryka : α = 0 , β = ω ε µ
Dobry przewodnik – termin umowny:
σ
>> 1
ωε
W zależności od częstotliwości ten sam ośrodek może mieć cechy ośrodka dielektrycznego
lub „dobrego” przewodnika.
Przewodniki metaliczne, aż do najwyższych częstotliwości radiowych mają właściwości
dobrych przewodników.
2
σ
σ
> > 1 ⇒
>> 1
ωε
ωε
α =
α ≈
β =
α ≈ β
2
1 2
σ
ω ε µ 1+
− 1 ≈
2
ωε
1
ωµσ
2
≈ 1000 ~
1 2
σ
ω εµ
=
2
ωε
f
2
1 2
σ
ω ε µ 1+
+ 1 ≈
2
ωε
1
ωµσ
2
1
ωµσ
2
35
Prędkość fazowa
=
ω
=
β
ω
2ω
=
µσ
=
1
ωµσ
2
2 1
=
µε σ
ωε
1
2
ε w ε 0 µ wµ
σ
ωε
0
=
2c
σ
ε wµ w
ωε
> >1
Vf
czyli: Vf << c
Długość fali
Vf
λ =
f
, λ0 =
Vf
c λ
=
< < 1,
,
f λ0
c
λ << λ0
Głębokość wnikania
2π
2π
1
⇒ β =
δ = , ale α ≈ β , λ =
,
β
λ
α
δ ≈
λ
2π
W dobrym przewodniku występuje bardzo silne tłumienie fali.
Na odcinku λ
e
−αλ
≅ e
−βλ
(λ
= e
<< λ 0):
− 2π
= 0,00187
Znaczenie – zwłaszcza w mikrofalach – ścianki falowodów.
3.7. Struktura jednorodnej fali płaskiej
Jednorodny ośrodek bez źródeł:
divE = 0
rotE = − jω µ H
divH = 0
rotH = jω ε sk E
Równania falowe:
∆ E − γ 2E = 0
∆ H − γ 2H = 0
γ = jω ε sk µ
Fala płaska:
− γ x− γ y− γ z z
U = Ae − γ r = Ae x y
gdzie: γ = γ n - jednorodna fala płaska
Obliczanie pochodnych:
Więc:
∂
= −γ x,
∂x
∂U
∂U
= γ xU
itd. →
∂x
∂x
∂
= −γ y,
∂y
∂
= −γ
∂z
z
36
diva =
∂ ax ∂ a y ∂ az
+
+
= − (γ x a x + γ y a y + γ z a z ) = − γ a
∂x
∂y
∂z
ix
∂
rota =
∂x
ax
iy
∂
∂y
ay
iz
ix
∂
= −γx
∂z
ax
az
iy
−γ y
ay
− γ n × E = − jω µ H
⇒
n× E =
jω µ
jω µ
=
=
γ
jω ε sk µ
µ
iz
− γ z = −γ × a
az
rotE = − jω µ H
− γ × E = − jω µ H
Zf =
ε sk
- impedancja falowa ośrodka
µ0
= 376,7Ω ≈ 120π Ω
ε0
Z0 =
Dla próżni:
Jest więc:
[Ω ]
µ
ε sk
jω µ
H
γ
µ = µ '− jµ ' ' = µ 0
σ
ε sk = ε '− jε ' '− j = ε 0
ω
n× E = Z H
n, E ⇒ nH = 0 ,
EH = 0
f
Drugie równanie rotacyjne:
rotH = jω ε sk E
− γ × H = jω ε sk E
− γ n × H = jω ε sk E
−
jω ε sk
jω ε sk µ
n× H = −
= −
⇒
n× H = −
jω ε sk
E
γ
ε sk
1
= −
µ
Zf
1
E
Zf
Obydwa wzory są równoważne:
1
n × (n × H ) = −
n× E
Zf
( )
( )
n × (n × H ) = n(nH ) − H ( n ⋅ n ) =
a × b × c = b(a ⋅ c) − c a ⋅ b
ze wzoru
divH = 0
⇒
−
1
n× E ,
Zf
− γ H = 0 , γ nH = 0 ,
n⋅n = 1
nH = 0
37
− H = −
1
n× E
Zf
n × E = Z f H c.b.d.o.
Podobnie ze wzoru divE = 0
⇒
− γ E = − γ nE = 0
nE = 0
(można to też otrzymać ze wzorów impedancyjnych, mnożąc je skalarnie przez n )
n× E = ZfH ⋅ E
⇒
E ( n × E ) = n (
E
×
E ) = Z f EH = 0
,
E H = 0
=0
Wnioski
Jednorodna fala płaska jest falą poprzeczną – wektory E i H są prostopadłe do kierunku
propagacji n .
Układ wektorów:
Stosunki ilościowe:
n× E = ZfH
Obliczając moduł obu stron:
E = ZfH
W ośrodku bezstratnym Z f jest liczbą rzeczywistą
E = Zf H
Transport energii przez jednorodną falę płaską
Ograniczymy się do ośrodka bez strat
µ = µ'
µ ''= 0
ε = ε'
ε ''= 0
σ
ε sk = ε '− jε ' '− j = ε ' = ε
ω
µ
µ'
µ
Zf =
=
=
ε sk
ε'
ε
-
wielkość rzeczywista
-
wielkość rzeczywista
Gęstość energii pola elektrycznego -
we ( t ) =
Gęstość energii pola magnetycznego -
σ = 0
1
E (t)D(t)
2
1
wm ( t ) = H ( t ) B ( t )
2
38
S (t) = E (t) × H (t)
Gęstość strumienia mocy W ośrodku liniowym:
we ( t ) =
ε
E (t) E (t)
2
wm ( t ) =
µ
H (t)H (t)
2
Ze związku impedancyjnego:
1
H (t) =
n × E (t)
Zf
1
[ n × E ( t ) ][ n × E ( t ) ]
H (t)H (t) =
2
Zf
( a × b )( c × d ) = ( a c ) (b d ) − ( a d )(b c )
H (t) H (t) =
1
Zf
2
Stąd
wm ( t ) =
{[ n ⋅ n ][ E ( t ) ⋅ E ( t ) ] − [ n ⋅ E ( t ) ][ E ( t ) ⋅ n ]} =
1
Zf
2
E (t)E (t) =
ε
E (t)E (t)
µ
µ
µ ε
H (t)H (t) =
E ( t ) E ( t ) = we ( t )
2
2µ
W przypadku ośrodka bez strat energia jednorodnej fali płaskiej rozkłada się po połowie na
energię elektryczną i magnetyczną.
w = we + wm = 2 we = 2 wm
1
S (t) = E (t) × H (t) = E (t) ×
n × E (t)
Z f
(
)
( )
a × b × c = ( a c )b − a b c
S (t) =
ε
µ
E (t) E (t) =
S (t) =
i
1
=
Zf
ε
µ
{[ E ( t ) E ( t ) ]n − [ E ( t ) n ] E ( t )}
2
we ( t )
ε
ε 2we ( t )
n=
µ
ε
E (t)n = 0
1
εµ
w( t ) n = v f w( t ) n = v f w( t )
S ( t ) = w( t ) ⋅ v f
Strumień mocy (wektor S ) otrzymuje się w wyniku ruchu energii o gęstości w z prędkością
vf .
39
Obliczymy wartość średnią strumienia mocy:
T
S =
T
T
T
1
1
1
1
ε
S ( t )dt = ∫ w( t ) v f dt = v f ∫ 2 we ( t ) dt = v f ∫ 2 E ( t ) dt
∫
T0
T0
T0
T
2
0
2
= ε Esk
Stąd
S = v f ε E sk2
vf ε = n
i
1
εµ
ε = n
ε
n
=
µ
Zf
lub
S =
1 2
E sk n
Zf
Polaryzacja fali elektromagnetycznej.
Niech pole elektryczne ma dwie składowe:
z=0
E = E xix + E y i y
E x = E xm cos( ω t − β
z
)
E y = E ym cos( ω t + φ − β
cos( ω t + φ ) =
Ey
z
E x , E y - wartości chwilowe pól.
)
= cos ω t cos φ − sin ω t sin φ
E ym
(
( E x E xm ) 2 cos 2 φ + E y E ym
Ex
+
sin ω t =
sin 2 φ
E xm
2
) 2 − 2( E x E y
(
sin 2 φ = ( E x E xm ) 2 sin 2 φ + ( E x E xm ) 2 cos 2 φ + E y E ym
Ex
E xm
2
E
+ y
E ym
2
2E x E y
−
cos φ = sin 2 φ
E
Eym
xm
E xm E ym
)
) 2 − 2( ) cos φ
40
a) Gdy φ = 0 (pola zgodne w fazie)
Ex
Ey
−
E
xm E ym
liniowa)
2
= 0
⇒
Ey
Ex
=
E ym
E xm
= tgθ
(linia
prosta,
polaryzacja
π
2
- równanie okręgu, polaryzacja kołowa.
b) Gdy E xm = E ym = E 0 ,
φ = ±
E x2 + E y2 = E 02
π
- polaryzacja lewoskrętna
2
π
−
- polaryzacja prawoskrętna
2
+
3.8. Odbicie i załamanie jednorodnej fali płaskiej na płaskiej granicy dwóch
różnych ośrodków.
Przyjmujemy, że:
1) granica rozdziału jest nieruchoma
2) ośrodek 1 jest ośrodkiem bezstratnym
3) fala padająca jest jednorodną falą płaską
Teoria i doświadczenia wskazują na to, że obok fali wnikającej pojawia się również fala
odbita.
Wersory n p , nr , n w wyznaczają kierunki rozchodzenia się fal.
Płaszczyzna padania – płaszczyzna wyznaczana przez wersor fali padającej n p i normalną do
granicy rozdziału.
E1t = E 2t
Na granicy ośrodków fale p, r i w muszą spełniać warunki brzegowe:
Doświadczenie wskazuje na to, że fala odbita i wnikająca też jest falą płaską. Zapiszemy więc
dla pola elektrycznego.
41
jω t − γ
x− γ
y− γ
z
Fala padająca
Fala odbita
Fala wnikająca
P e p px py pz
jω t − γ x − γ y − γ z
R e r rx ry rz
W e jω wt − γ wx x − γ wy y − γ wz z
Warunek brzegowy:
E1t = E2t
jω t − γ
x− γ
y− γ p
jω t − γ
dla z=0
x− γ
y− γ z
(
−γ
jω t − γ
x− γ
y− γ
z
pz
Pt e p px py
+ Rt e r rx ry rz = Wt e w wx wy wz
Warunek ten musi być spełniony dla dowolnego momentu t i dla dowolnych punktów x,y.
−γ
( Pt e
px x −
γ
py y
)e
jω p t
+ Rt e
rx x −
γ
ry y
)e
(
jω r t
= Wt e
−γ
wx x −
γ
wy y
)e
jω w t
Równanie to może być spełnione dla dowolnego t tylko wówczas, gdy:
ω
= ωr = ωw = ω
p
W przypadku nieruchomej granicy rozdziału częstotliwości fali nie zmienia się przy odbiciu
lub po przejściu przez granicę.
W przypadku granicy ruchomej częstotliwość może się zmieniać – efekt Dopplera.
W analogiczny sposób jak dla czasu możemy wykazać również dla x lub y (z=0, x ustalone,
dowolne y; y ustalone, x – dowolne):
γ
px
= γ rx = γ wx
γ
py
= γ ry = γ wy
W ogólnym przypadku wektor falowy γ = α + jβ
jednorodnej jest jednak γ = γ n .
jest sumą dwóch wektorów. Dla fali
Dla fali padającej w ośrodku (1) jest więc
γ
p
= γ p n p = γ 1n p = jω ε 1µ 1 n p
Obliczymy składowe:
γ
px
= γ 1 n px = − γ 1 sin θ
γ
py
= γ 1 n py = 0
γ
pz
= γ 1 n pz = γ 1 cosθ
p
γ
p
Stąd dla fali odbitej
γ
rx
= γ
px
= − γ 1 sin θ
γ
ry '
= γ
py
= 0
p
2
Mieliśmy ogólną zależność γ x + γ
Fala odbita - w ośrodku (1), więc
2
y
+γ
2
z
= γ
2
py
=γ
ry
=γ
wy
= 0
42
γ rz = ± γ 12 − γ 2rx − γ 2ry = ± γ 12 − γ 12 sin 2 θ
p
= ± γ 1 1 − sin 2 θ
p
= ± γ 1 cos θ
p
Równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki – z rysunku wynika, że dla fali odbitej musimy
przyjąć (-).
γ
rx
= − γ 1 sin θ
γ
ry
= 0
γ
rz
= − γ 1 cosθ
p
p
Wnioski:
1) wektor falowy γ r leży w płaszczyźnie xz (płaszczyzna padania)
2) wersor n r ma składowe
n rx = − sin θ r
n ry = 0
n rz = − cosθ
Porównując wzory na składowe γ
r
r
= γ r n r = γ 1 nr
bo w ośrodku (1)
widać, że
θ
r
=θ
p
3) Jest γ r = γ r n r = γ 1 nr
Fala odbita jest więc określona jednym wektorem.
Fala odbita jest jednorodną falą płaską.
Dla fali wnikającej było:
γ wy = γ py = 0
Wektor γ
w
nie ma składowej y – leży więc w płaszczyźnie xz, czyli w płaszczyźnie padania.
Tak więc:
Kierunki rozchodzenia się fali padającej, odbitej i wnikającej leżą w jednej płaszczyźnie – w
płaszczyźnie padania.
Otrzymane wyniki nie zależą od ośrodka (2). Obecnie rozpatrzymy dalsze właściwości,
zależne już od rodzaju ośrodka.
3.9. Odbicie i załamanie jednorodnej fali płaskiej na granicy dwóch różnych
dielektryków
γ
p
= γ r = γ 1 = jω ε 1µ 1 ,
θ
p
= θr = θ1
γ
γ
wx
= γ
px
= − γ 1 sin θ 1
wy
= γ
py
= 0
θ
w
γ w = γ 2 = jω ε 2 µ
=θ
2
2
43
γ 2w − γ 2wx − γ 2wy =
γ wz =
γ 22 − γ 12 sin 2 θ 1
Fala wnikająca jest falą jednorodną
Jest więc
γ w = γ w n w = γ 2n w
Z rysunku
γ
wx
= γ 2 n wx = − γ 2 sin Θ
γ
Stąd
sin Θ
sin Θ
nr
1
=
2
γ
γ
− γ 2 sin Θ
2
1
2
wx
=γ
2
px
= − γ 1 sin Θ 1
Po podstawieniu
jw ε 2 µ 2
γ2
=
=
γ1
jw ε 1µ 1
sin Θ 1
=
sin Θ 2
ε 2µ 2
ε 1µ 1
ε 2µ 2
ε 1µ 1
W praktyce bezstratne dielektryki są niemagnetyczne: µ 1 = µ 2 = µ 0
sin Θ 1
=
sin Θ 2
ε2
=
ε1
εW2
= n12
ε W1
– prawo Snella
n12 - względny współczynnik załamania ośrodka 2 względem 1
Uwaga - n12 = n12 ( f ) bo ε w zależy od częstotliwości
sin Θ
2
=
sin Θ 1
n12
ε W 1 > ε W 12 (ośrodek 2 jest „gęstszy” niż ośrodek 1) wówczas n12 >1 i dla dowolnego kąta
sin Θ 2 < sin Θ 1 ≤ 1
,Θ 2 < Θ 1
padania Θ 2 jest
π
Θ2<
2
Gdy ε W 1 < ε W 12 (ośrodek jest „ rzadszy”), to n12 <1 wtedy sin Θ
2
> sin Θ 1
,Θ
2
< Θ1
44
Kąt graniczny
Θ1= Θ
Kąt padania
Dla kątów Θ
Θ
2
2
gdy Θ 2 =
gr
π
2
, sin Θ
=1
2
, sin Θ
2
=
sin Θ 1
stąd
n12
sin Θ 1gr = n 12
> Θ 1gr
> Θ 1gr musi być sin Θ
γ WZ =
2
> 1 - nie jest to możliwe w zakresie liczb rzeczywistych.
γ 22 − γ 12 sin 2 Θ 1 =
− ω 2 ε 2 µ 2 + ω 2 ε 1µ 1 sin 2 Θ 1
dla µ 1 = µ 2 = µ 0
γ WZ = ω µ 0 (ε 1 sin 2 Θ 1 − ε 2 ) = ω µ 0 ε 1 sin 2 Θ 1 −
dla Θ
2
γ WZ = ω µ 0 ε 1 sin 2 Θ 1 − n 12
2
> Θ 1gr jest sin Θ
γ WX = − γ 1 sin 2 Θ 1 = − jω µ 0 ε 1 sin Θ
γ WY
2
ε2
ε1
> n 12 γ wz - l. rzeczywista
1
- fala niejednorodna, bo γ Z = α z + jβ Z
Podstawiamy do wzoru dla fali płaskiej
We
jω t − γ wx x − γ wy y − γ wz z
−ω ε µ
= W e jω t e
2
sin Θ
2
jω ε 1µ 0 sin Θ 1 x − ω ε 1µ 0 sin 2 Θ 1 − n12
2
1 − n12 * z
1 0
= (W e jω t e
) *
e
amplituda
Amplituda jest stała – w płaszczyznach z= const.
Faza jest stała – w płaszczyznach x= const.
Ω = ω t + ω − jω µ 0 ε 1 sin Θ 1 ⋅ x
dΩ = ω t + ω − jω µ 0 ε 1 sin Θ 1 ⋅ dx = 0
dx
1
= −
Stąd prędkość fazowa ν f =
dt
µ 0 ε 1 sin Θ 1
jω ( t + ε 1µ 0 sin Θ 1*x )
faza
=
45
Fala
wnikająca
niejednorodną
jest
falą
Analiza praw odbicia energii jest w przypadku Θ 1 > Θ 1gr skomplikowana – nie
przeprowadzimy jej .
Jest to przypadek odbicia zupełnego.
Energetycznie – jest wnikanie do obrazu 2 na niewielką odległość, następnie energia powraca.
Rozpatrzymy ilościowo prawa odbicia przy założeniu, że wszystkie fale są jednorodnymi
falami płaskimi (pomijamy odbicia zupełne).
Rozłożymy wektor natężenia pola elektrycznego na składowe równoległe i prostopadłe do
płaszczyzny padania:
E
P||
R ||
W
||
P⊥
R⊥
W⊥
Pole H uzyskamy z zależności impedancyjnych: n × E = Z f H
Fala padająca
W danej chwili t i dla wybranego punktu x, y płaszczyzny granicznej czynnik fazowy
wszystkich trzech fal jest taki sam.
e
jω t − γ px x − γ py y
stąd:
E P⊥ = P⊥ e jτ
= e jτ
E p|| = P|| e jτ
46
H p|| =
1
1
E P⊥ =
P⊥ e jτ
Z1
Z1
H p⊥ =
1
1
E P|| =
P| e jτ
Z1
Z1
Obliczymy stąd składowe x, y (styczne do granicy):
E px = − E p|| cos Θ 1
= − P|| cos Θ 1e jτ
E py = − E p⊥
= P⊥ e jτ
H px = − H p|| cos Θ 1
= −
1
P⊥ cos Θ 1e jτ
Z1
H py = − H p⊥
= −
1
P||e jτ
Z1
Fala odbita
E r⊥ = R ⊥ e jτ
H r|| =
1
R ⊥ e jτ
Z1
Stąd:
E rx = R|| cos Θ 1e jτ
E ry = R⊥ e jτ
H rx =
1
R⊥ cos Θ 1e jτ
Z1
H ry = −
1
R|| e jτ
Z1
Fala wnikająca
Tak samo jak dla fali padającej
Θ 1 → Θ 2,
Z1 → Z2 ,
P→ W
E r || = R ||e jτ
H r⊥ =
1
R ||e jτ
Z1
47
E wx = W|| cos Θ 2 e jτ
E wy = W⊥ e jτ
H wx =
1
W⊥ cos Θ 2 e jτ
Z1
H wy = −
1
W|| e jτ
Z1
Warunki brzegowe
Dla składowych stycznych
E1x = E 2 x
E1y = E 2 y
E1t = E 2 t
H1x = H 2 x
H1y = H 2 y
H1t = H 2 t
w ośrodku 1 – fala p + r, stąd:
E px + E rx = E wx
H px + H rx = H wx
E py + E ry = E wy
H py + H ry = H wy
Po podstawieniu – wszędzie występuje czynnik e jτ , można więc skrócić:
− P|| cos Θ 1 + R|| cos Θ
1
P⊥ + R⊥
−
= − W|| cos Θ
2
= W⊥
1
1
1
P⊥ cos Θ 1 + −
R⊥ cos Θ 1 = −
W⊥ cos Θ
Z1
Z1
Z1
−
1
1
P|| −
R||
Z1
Z1
= −
2
1
W||
Z1
Jest to zespół dwóch układów równań – dla || i ⊥
(P|| − R || )
cos Θ 1
= W||
cos Θ 2
P⊥ + R ⊥ = W⊥
(P|| + R || )
Z2
Z1
(P⊥ − R ⊥ )
= W||
Z 2 cos Θ 1
= W⊥
Z1 cos Θ 2
Rozwiązując ten układ równań otrzymamy współczynniki odbicia i wnikania , określone dla
amplitud pola elektrycznego:
Z1 cos Θ 1 − Z 2 cos Θ 2
P|| Z1 cos Θ 1 + Z2 cos Θ 2
W||
2Z 2 cos Θ 1
χ || =
=
P||
Z1 cos Θ 1 + Z2 cos Θ 2
ς || =
R ||
=
- są to tzw.
współczynniki Fresnela
48
R ⊥ Z 2 cos Θ
Z2 cos Θ
1−
2
ρ
=
⊥=
+
Θ
P⊥ Z 2 cos Θ
Z
cos
1
2
2
W⊥
2Z 2 cos Θ
1
χ
=
⊥=
P⊥ Z 2 cos Θ
Z1 cos Θ
1 +
2
Dla dielektryków niemagnetycznych µ 1 = µ 2 = µ 0 :
ρ || =
χ || =
ε W 2 cos Θ 1 −
ε W 1 cos Θ
ε W 2 cos Θ 1 + ε W 1 cos Θ
2 ε W 1 cos Θ 1
ε W 2 cos Θ 1 +
ε W 1 cos Θ
2
ρ⊥ =
2
χ
2
⊥
=
ε W 1 cos Θ 1 −
ε W 2 cos Θ
ε W 1 cos Θ 1 + ε W 2 cos Θ
2 ε W 1 cos Θ 1
ε W 1 cos Θ 1 +
ε W 2 cos Θ
2
2
2
Ze wzorów dla ρ i χ widać, że fale spolaryzowane równolegle lub prostopadle do
płaszczyzny padania odbijają się według innych praw.
Stan polaryzacji fali ulega zmianie w wyniku odbicia.
Wykorzystując prawo Snella
sin Θ
sin Θ
1
=
2
ε W2
ε W1
można powyższe wzory przekształcić do postaci:
tg (Θ 1 − Θ 2 )
tg (Θ 1 + Θ 2 )
2 cos Θ 1 sin Θ 2
χ || =
sin(Θ 1 + Θ 2 ) + cos(Θ 1 − Θ 2 )
ρ || =
sin(Θ 1 − Θ 2 )
sin(Θ 1 + Θ 2 )
2 cos Θ 1 sin Θ 2
=
sin(Θ 1 + Θ 2 )
ρ⊥ = −
χ⊥
Czy może być χ =0 ??
Ze wzorów na współczynniki Fresnela wynika, że χ ≠0 – fala wnikająca zawsze istnieje
(pominęliśmy przypadek fali niejednorodnej; odbicie zupełne).
Czy może być ρ = 0 ??
a) Gdy Θ 1 = Θ 2 , wówczas ρ || = ρ ⊥ = 0 , ale Θ 1 = Θ
2
oznacza, że oba ośrodki są identyczne
sin Θ 1
ε W 2
=
.
sin Θ
ε W1
2
π
b) Θ 1 + Θ 2 = , wtedy ρ || = 0 ( tg(Θ 1 + Θ 2 ) → ∞ )
2
c) Natomiast ρ ⊥ nigdy nie może znikać.
49
Kąt padania, przy którym fala spolaryzowana równolegle nie ulega odbiciu, nazywa się kątem
Brewstera
Θ1+ Θ 2 =
π
π
, sin Θ 2 = sin( − Θ 1Br ) = cos Θ 1Br
2
2
sin Θ 1Br sin Θ 1Br
=
= n12
sin Θ 2
cos Θ 1Br
tg Θ 1Br = n12
Zmiana stanu polaryzacji
Fala pada pod kątem Θ 1Br - składowe równoległe przechodzą bez odbicia, składowe
prostopadłe częściowo się odbijają – fala odbita będzie spolaryzowana liniowo, wnikająca –
eliptycznie o zmienionych osiach.
Uwaga – Dla Θ 1 = 0
Przy naszych kierunkach odniesienia:
Θ1→ 0
Przykład : ε w1 = 1
ε w 2 = 4 - zawsze jest Θ
2
<
Θ
>
2
ρ ⊥ = − ρ ||
(nie wystąpi odbicie zupełne)
50
3.10. Odbicie jednorodnej fali płaskiej rozchodzącej się w dielektryku od
płaskiej powierzchni ośrodka przewodzącego
Ośrodek 1 – dielektryk γ 1 = jω µ 1ε 1
Ośrodek 2 – przewodnik γ w = γ 2 = jω µ 2ε SK 2 = jω µ 2 (ε 2 − j
σ2
)
ω
Składowe wektora falowego
γ WX = γ px = − γ 1 sin Θ 1 = − jω µ 1ε 1 sin Θ 1
γ WY = γ py = 0
γ WZ =
=
γ 2w − γ 2w =
2
− ω 2 µ 2 (ε 2 − j
2
2
σ2
) + ω 2 µ 1ε 1 sin 2 Θ
ω
(− ω µ 2 ε 2 + ω µ 1ε 1 sin Θ 1 ) + jω µ 2 σ
2
= α
wz
1
=
+ jβ
(fala niejednorodna!!)
wz
Dla fali wnikającej otrzymujemy:
E w = W e jω t − γ wx x − γ wz z = W e
jω t + jω ε 1µ 1 sin Θ 1x − α wz z − jβ wz z
= (W e − α wz z )e
j ( ω t + ω ε 1µ 1 sin Θ 1z − jβ wz z )
Równa amplituda x - z =const.
Faza fal
- ω t + ω ε 1µ 1 sin Θ 1 z − jβ wz z = const.
Powierzchnia ekwifazowa ω ε 1µ 1 sin Θ 1 z − jβ wz z = const.
Ogólna analiza jest trudna. Ograniczymy się do szczególnego przypadku:
Θ1= 0
sin Θ 1 = 0
prostopadłe padanie
Faza fali - ω t − β wz z
Dla Θ 1 = 0 fala wnikająca jest jednorodną falą płaską, wnikającą prostopadle w głąb
przewodnika.
51
Można więc stosować wzory Fresnela:
Θ1= 0
Θ2= 0
ρ ⊥ = − ρ ||
Z 2 cos Θ 1 − Z1 cos Θ
cos Θ 1 = 1 cos Θ 2 = 1 ρ ⊥ =
Z 2 cos Θ 1 + Z1 cos Θ
2
2
=
Z 2 − Z1
Z 2 + Z1
Niech ośrodek 2 będzie „dobrym” przewodnikiem:
σ2
> > 1,
ωε2
ρ⊥ =
Z2 =
µ2
=
ε sk 2
Z 2 (≈ 0) − Z1
≈ −1
Z 2 + Z1
µ2
ε2− j
σ2
ω
≈ 0, Z1 =
µ1
ε1
ρ⊥ ≈ −1
Dobry przewodnik (w szczególności przewodnik metaliczny) jest w przypadku
prostopadłego padania fali elektromagnetycznej praktycznie doskonałym lustrem.
Skośne padanie
Przykład
ε w1 = 1
σ1 = 0
ε w 2 = 4 σ 2 = 10− 2
(Ω m ) − 1
Wnioski
1) Pojawianie się przewodnictwa zmienia charakter przebiegu – znika zjawisko Brewstera,
lecz w dalszym ciągu ρ k przechodzi przez minimum.
2) Przy wzroście ε sk (gdy maleje częstotliwość) – ośrodek staje się „dobrym”
przewodnikiem, współczynnik odbicia mało się różni od 1.
Dla przewodników metalicznych w całym zakresie częstotliwości radiotechnicznych i dla
wszystkich kątów padania jest praktycznie ρ ⊥ = 1 .
Dla przewodników metalicznych współczynnik ρ || jest w całym zakresie częstotliwości
radiotechnicznych w przybliżeniu równy 1. Jedynie dla Θ 2 ≈ 90 występuje pewne
zmniejszenie ρ || .
52
10
Np. Cu , f = 10 Hz
(λ 0 = 3cm)
Θ 1 min = 8959'40"
Inaczej jest dopiero w zakresie optycznym, dla f > 1014 Hz .
ρ || min = 0,416
53
4. Potencjały elektromagnetyczne i promieniowanie
4.1. Potencjały pól zmiennych, potencjały opóźnione.
Równianie Maxwella:
div D = δ
rot E = −
div B = 0
dB
dD
rot H = J +
dt
dt
[ A] = Wb ⋅ m
B = rot A
Zakładamy, że:
div(rot A) ≡ 0
Wartość potencjału wektorowego A nie jest istotna – ma dawać poprawne pole B .
A0
– zakładamy, że opisuje poprawnie pole B .
Czy może istnieć inny potencjał A ?
B = rot A 0 = rot A
A − A 0 = − gradΨ
– bezwirowy wektor A − A 0
– Ψ - dowolna funkcja skalarna
A = A 0 − gradΨ
Istnieje więc duża swoboda doboru potencjału A tak, aby ułatwić analizę. Analogia – dobór
potencjału odniesienia w polu elektrostatycznym.
∂B
∂
∂A
= − (rot A) = − rot
∂t
∂t
∂t
∂A
rot ( E +
)= 0
∂t
∂A
– wprowadzamy potem skalarny Φ
⇒ E+
= − gradΦ
∂t
rot E = −
E = − gradΦ −
∂A
∂t
54
Istniała duża swoboda doboru potencjału A , ale pole E musi pozostać niezmienione
∂ A0
∂A
= − gradΦ −
∂t
∂t
było A = A 0 − gradΨ
E = − gradΦ
− gradΦ
0
0
∂ A0
∂ A0 ∂
= − gradΦ −
+
( gradΨ )
∂t
∂t
∂t
−
grad (Φ − Φ
−
0
−
∂Ψ
)= 0
∂t
∂Ψ
= const
∂t
Mamy swobodę dobory potencjału skalarnego Φ 0 , tym samym możemy przyjąć const = 0
⇒ Φ − Φ
Φ = Φ
0
+
−
0
∂Ψ
∂t
Jeżeli zmienimy potencjał wektorowy A , to musi się w określony sposób zmienić również
potencjał skalarny
B = rot A
A = A 0 − gradΨ
∂Ψ
Φ = Φ 0+
∂t
E = − gradΦ −
Transformacja cechowania
∂A
∂t
– redukcja ilości równań z 6 do 4
Są to potencjały pola elektromagnetycznego (potencjały elektromagnetyczne,
potencjały elektrodynamiczne). Sposób wprowadzania jest ważny dla dowolnych pól w
dowolnych ośrodkach.
Stosowanie reguły dobory funkcji Ψ zapewnia tzw. niezmienność cechowania –
niezmienniczość równań Maxwella (wektorów pola) względem cechowania (doboru funkcji
Ψ ).
Zakładamy nieskończenie rozległy, jednorodny ośrodek nie przewodzący :
ε = const , µ = const
ε, µ , σ = 0
W przestrzeni tej występują źródła pola – prądy J i ładunki przestrzenne ρ .
B = rot A ,
div D = ρ ⇒
∆ Φ + div
E = − gradΦ −
div E =
∂A
ρ
= −
∂t
ε
ρ
ε
⇒
∂A
∂t
− div gradΦ − div
∂A ρ
=
∂t
ε
| x(-1)
55
rot H = J +
∂D
⇒
∂t
rot B = µ J + ε µ
∂E
∂t
↓
∇ × (∇ × A) = ∇ (∇ A) − ∇ A
∂Φ
∂ 2Ψ
= div A 0 − div gradΨ + ε µ
= 0
∂t
∂ t2
∂ 2Ψ
∆ Ψ − εµ
= 0
∂ t2
∂
∂A
| x(-1)
grad div A − ∆ A = µ J + ε µ (− gradΦ −
)
∂t
∂t
div A + ε µ
∂2A
∂Φ
− grad ( div A + ε µ
) = −µ J
2
∂t
∂t
∆ A − εµ
Skorzystamy teraz ze swobody w doborze potencjałów A i Φ .
Niech div A + ε µ
∂Φ
= 0
∂t
- warunek Lorentza
(wycechowanie Lorentza)
Obecnie mamy:
∆ Φ + div
∂A
ρ
= −
∂t
ε
⇒
∆ 2Φ − ε µ
∂ 2Φ
ρ
= −
ε
∂t2
2
∆ A− εµ
∂2A
= −µ J
∂t2
Oznaczamy
εµ =
1 v=
,
v2
1
εµ
1
=
ε wµ
1 ∂ 2Φ
ρ
= −
2
2
ε
v ∂t
2
1 ∂ A
∆ A− 2 2 = −µ J
v ∂t
∆Φ −
w
Dodatkowo mamy związek poprzez równanie ciągłości:
Równanie d’Alemberta
f ( x, y , z , t )
∆f −
1 ∂2f
= F
v2 ∂ t 2
F ( x, y , z , t )
div J = −
– 4 równania różniczkowe
∂ρ
∂t
56
W teorii równań różniczkowych dowodzi się, że jeżeli funkcja F jest różna od zera w
obszarze skończonym, wówczas:
1
f ( x, y , z , t ) = −
4π
∫
F ( x 0+ , y 0+ , z 0+ , t ±
r
V
r
)
v dV
dV = dx 0+ dy 0+ dz 0+
r=
( x − x 0+ ) 2 + ( y − y 0+ ) 2 + ( y − y 0+ ) 2
Ogólne rozwiązanie obu równań ma postać:
Φ ( x, y , z , t ) =
1
4π ε
µ
A( x, y, z, t ) =
4π
∫
ρ ( x0 y 0 z 0t −
r
V
∫
J ( x0 y 0 z 0t −
r
V
dV = dx0 dy 0 dz 0
r=
r
)
v dV
r
)
v dV
( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( y − y0 ) 2
Prędkość rozchodzenia się zaburzeń elektromagnetycznych –
v=
c
ε wµ
w
Potencjały pól stacjonarnych
⇒
B = rot A
E = − gradΦ −
ρ
ε
∆ A= −µ J
∆Φ = −
∂A
∂t
⇒
µ
4π
∫
B = rot A
A=
E = − gradΦ
1
Φ =
4π ε
V
J ( x, y , z )
dV
r
ρ ( x, y , z )
dV
r
V
∫
57
Są to znane wzory teorii pól stacjonarnych.
Zagadnienia kwazistacjonarne
Charakterystyczną cechą potencjałów stacjonarnych jest jednoczesność przyczyny ( ρ 1 , J ) i
skutku (Φ 1 , A) - we wzorach brak czasu (bo nic się nie zmienia) i brak opóźnienia.
r
może być pominięte we
v
wzorach na potencjał, tzn. gdy zaburzenie dociera niemal natychmiast do wszystkich punktów
układu, wówczas mamy do czynienia z zagadnieniem kwazistacjonarnym.
Jeżeli rozmiary badanego układu są tak małe, że opóźnienie
r
powinno być znacznie mniejsze od okresu T
v
– wówczas wszystkie punkty układu są niemal w jednakowej fazie:
Dla przebiegów harmonicznych – opóźnienie
lmax
<< T
v
lmax < < v ⋅ T = λ
l max < < λ
Przykłady –
f = 50Hz
f = 1MHz
f = 3000MHz
λ = 6000km
λ = 300m
λ = 10cm
- obwody, ale linie przesyłowe
- cewki obwodów, ale antena
- anteny większe, rozmiary falowodów
porównywalne
A więc – pola zmienne w czasie, lecz brak opóźnień.
B = rot A
E = − gradΦ −
∂A
∂t
Pole elektryczne nie jest na ogół potencjalne (zjawisko indukcji elektromagnetycznej).
58
4.2. Potencjał wektorowy Hertza
W obszarach bez źródeł
J = 0,
ρ =0
można wprowadzić nowy potencjał, bardzo ułatwiający obliczenia.
Niech
A = εµ
∂
Π
∂t
- elektryczny wektor Hertza
e
A = jε µ ω Π
e
ε = const , µ = const
Warunek Lorentza:
− εµ
∂Φ
∂
= div A = ε µ div Π
∂t
∂t
e
∂
(Φ + div Π e ) = 0
∂t
Φ + div Π e = const
εµ
Φ = − divΠ
niech const = 0
e
Zarówno potencjał wektorowy A , jak również skalarny wyrażają się za pomocą potencjału
Π e.
Dla J = 0 mamy
∆ A− εµ
∂ 2A
= 0
∂ t2
Po podstawieniu:
∂
Π
∂t
εµ∆
∂
(∆ Π
∂t
∆Π
e
e
e
− εµεµ
− εµ
− εµ
∂
2
∂ t2
2
∂
Π
∂ t2
e
∂2 ∂
Π
∂ t2 ∂ t
e
= 0
Π e) = 0
⇓
= 0
(przy const = 0)
Mamy obecnie tylko jeden potencjał, jedno równanie
I – IV równania Maxwella są spełnione.
59
∂A
− gradΦ
∂t
∂2
∂2
E = − ε µ 2 Π e − grad (− divΠ e ) = − ε µ 2 Π e + ∆ Π e + rotrot Π
∂t
∂ t
E= −
e
0
(rot rot a = grad div a − ∆ Π e )
Stąd
E = rot rot Π
e
ze wzoru
B = rot A
B = rot (ε µ
H= ε
∂
∂
Π e ) = ε µ rot Π
∂t
∂t
∂
rot Π
∂t
e
e
Dla przebiegów harmonicznych
∆Π
e
+ εµ ω 2Π
E = rot rot Π
e
Przypominam
J= ρ = 0
ε , µ = const
= 0
H = jε ω rot Π
e
e
W obszarze bez źródeł mamy
div B = 0
div D = 0
Można więc wprowadzić definicję potencjału
D = rot F
Następnie powtórzyć całe podane rozumowanie dla
F = − εµ
∂
Π
∂t
m
– magnetyczny wektor Hertza
Otrzymuje się w ten sposób:
∆Π
m
− εµ
∂2
Π
∂ t2
∂
rot Π m
∂t
H = rot rot Π m
E = −µ
m
= 0
+ εµ ω 2Π
m
E = − jµ ω rot Π
m
∆Π
lub dla harmonicznych
m
H = rot rot Π
m
= 0
60
Wybór potencjału zależy od rodzaju rozwiązywanego zagadnienia. Często przyjmuje się oba
potencjały równocześnie. Potencjał Π e wiąże się poprzez A z prądami J . Natomiast
„źródłami” potencjału Π m są fikcyjne „prądy magnetyczne”.
Schemat postępowania:
Anteny
Falowody
J (r , t )
Π
µ
A=
4π
V
1
εµ
∫
e
=
∫
t
∆Π
J (r , t −
r
Adt [−
r
)
v dV
j
A]
µεω
E = rot rot Π e
∂
H = ε rot Π e [= jε ω rot Π e ]
∂t
P=
e,m
− εµ
∂ 2Π
∂t
e,m
2
Π
= 0 [∆ Π + ε µ ω
e,m
E = rot rot Π e
∂
H = ε rot Π e [= jε ω rot Π e ]
∂t
lub
∂
E = − µ rot Π m [= jµ ω rot Π m ]
∂t
H = rot rot Π m
+ warunki brzegowe
∫ ( E × H )dS
P=
S
∫ ( E × H )dS
S
4.3. Pole elementarnego oscylatora
Źródło elementarne:
a) rozpatrujemy pola w odległościach >> od rozmiarów źródła, tzn. l<<r
b) wymiary źródła są << λ (nie ma przesunięć fazowych w obrębie źródła)
Źródło elementarne można więc uważać za punktowe źródło pola.
Elementarny oscylator (wibrator lub dipol) –
p = q⋅ l
dq
I=
dt
2
q = q (t ) !
a więc p = p (t )
dla przebiegów harmonicznych o pulsacji ω
1
j
I = jω q ⇒ q =
I= − I
jω
ω
= 0]
61
p = q⋅l = −
– moment elektryczny odcinka o długości l, w którym płynie
prąd przemienny o natężeniu I.
j
Il
ω
Mieliśmy wzór (w ośrodku ε , µ = const σ = 0 ! )
A( x Φ , y Φ , z Φ , t ) =
µ
4π
J ( x0 y 0 z 0 t −
∫
r
V
r
)
v dV
Mamy źródło liniowe o bardzo małych rozmiarach poprzecznych
J dV = J ⋅ ∆ S ⊥ ⋅ dl = I dl
J dV
I dl I l
∫ r → ∫ r = r , gdyż dla l << r i dla I
V
l
= const,
I
≈ const .
r
Jest to bardzo istotne założenie dla oscylatora elementarnego:
wartość (chwilowa) natężenia prądu w każdym punkcie oscylatora elementarnego jest taka
sama.
I (t −
µ
A(t ) =
4π
r
)l
v
lub
A(t ) =
r
µ ∂ [ p]
r
, [ p] = p(t − )
4π ∂ t r
v
Dla drgań harmonicznych
I (t ) = Re( Ie iω t )
stąd
r
I (t −
iω (t − )
−
r
v ] = Re[ Ie jω t e
) = Re[ Ie
v
ω
− j r
e v
= e
− j
2π f
r
v
= e
− j
ω
j r
v ]
2π r
λ
A(t ) = Re( Ae jω t )
zespolona amplituda, będziemy w dalszym ciągu się nią posługiwać.
Ma ona postać:
− j
2π r
λ
µ
e
A=
Il
4π
r
– potencjał wektorowy oscylatora elementarnego (w ośrodku
ε , µ = const σ = 0 )
62
Stąd
− j
Π
e
2π r
Π
Il e λ
= − j
4π ε ω
r
e
= −
Przyjmujemy układ współrzędnych:
lr = l cos Θ
lΘ = − l sin Θ
lϕ = 0
H = jε ω rot Π
e
Po wykonaniu działań otrzymuje się:
Hr = 0
Hϕ =
HΘ = 0
Il
4π r
2
e
E = rot rot Π
− j
2π r
λ
2π r
sin Θ ⋅ j
+ 1
λ
e
Po wykonaniu działań otrzymuje się:
Er = − j
2 Il cos Θ e
4π ε ω r
− j
3
− j
Il sin Θ e
EΘ = − j
4π ε ω r 3
Eϕ = 0
2π r
λ
2π r
λ
2π r
1+ j
λ
2
2π r 2π r
−
1 + j
λ
λ
j
A
εµω
63
Struktura geometryczna pola
Linie pola H tworzą koła koncentryczne z osią oscylatora, linie równoleżnikowe. Linie
wektora E leżą w płaszczyznach południkowych.
Pełna analiza pola jest trudna. Rozpatrzymy dwa szczególne obszary – w odległościach
bliskich od oscylatora i w odległościach dalekich.
Małe odległości –
2π r
<< 1
λ
czyli
r<<
λ
2π
Duże odległości –
2π r
>> 1
λ
czyli
r>>
λ
2π
4.4. Pole elektromagnetyczne w małych odległościach od oscylatora
2
2π r
2π r
<< 1
<<
λ
λ
e
− j
2π r
λ
≈1
Stąd
H r = 0, H Θ = 0, H ϕ =
Il sin Θ
4π ε r 2
2 Il cos Θ
2 p cos Θ
=
3
4π ε ω r
4π ε r 3
Il sin Θ
p sin Θ
EΘ = − j
=
3
4π ε ω r
4π ε r 3
Eϕ = 0
Er = − j
gdyż
p= −
j
Il
ω
64
Interpretacja –
Dla prądu stałego mamy prawo Biot-Savarta:
dB =
µ 0 dl × r
I 3
4π
r
⇒
dH =
I dl × r
4π r 3
jeżeli dl = iz ⋅ dl wówczas
dH = iϕ
Idl sin Θ
4π r 2
Nasze pole jest więc identyczne z polem krótkiego odcinka prądu stałego ! Dotyczy to
rozkładu pola, wartości natomiast zmieniają się w czasie – pole pulsuje, ale jednakowo w
λ
całym obszarze (bliskim, r < <
).
2π
Dla dipola elektrostatycznego mamy wzór:
E=
( p ⋅ r)
3
r
−
p
4π ε r 3
r2
1
p ⋅ r = pr cos Θ
p = ir p cos Θ − iΘ p sin Θ
r = i r r
Stąd
E=
3 pr cos Θ
r − p cos Θ
ir
4π ε r
r2
1
3
[
1
+ iΘ p sin Θ = 4π ε r 3 i r ( 2 p cos Θ ) + iΘ ( p sin Θ
)]
Pole elektrostatyczne oscylatora jest więc w małej odległości identyczne z polem dipola
elektrostatycznego ! – Ale jest to znowu pole pulsujące.
Pola H i E są więc w obszarze bliskim kwazistacjonarne.
4.5. Pole elektromagnetyczne w dużych odległościach od oscylatora
elementarnego
2
2π r
2π r
>> 1
>>
λ
λ
– można pominąć człony z niskimi potęgami
2π r
λ
65
Er=0,
Hr=0,
Eθ = j
Eφ=0,
Hθ=0,
− j
2 2
4π r I ⋅ l sin θ ⋅ e
⋅
λ2
4π ε ω r 3
Hϕ = j
2π r I ⋅ l ⋅ sin θ ⋅ e
⋅
λ
4π r 2
− j
2π r
λ
2π r
λ
1 I ⋅ l ⋅ sin θ ⋅ e
= j ⋅
2
λ ⋅r
− j
2π r
λ
Współczynnik we wzorze na Eθ :
j
π
π
1
= j
⋅
=
λωε λr
λ εω r
λ ω = λ 2π f = 2π V =
2
2π
εµ
π εµ 1
⋅
=
2π ε λ r
Zf 1
1 µ 1
= j
⋅
= j⋅
⋅
2 ε λr
2 λr
= j
Stąd:
Er=0,
Eθ= j Z f ⋅ I ⋅ l ⋅ sin θ ⋅ e
2
λr
Eφ=0,
Hr=0,
Hφ= j 1 I ⋅ l ⋅ sin θ ⋅ e
2
λr
Hθ=0,
− j
− j
2π r
λ
2π r
λ
Wnioski: 1). Pola elektryczne i magnetyczne są współfazowe.
2). Struktura geometryczna: pole E jest prostopadłe do H, linie wektora E biegną
południkowo, linie wektora H równoleżnikowo.
3). Należy pamiętać, że w naszych wzorach są zespolone amplitudy e iω t .
Mamy więc:
− j
2π r
⋅
λ
j (ω t −
2π r
)
λ
, czyli przebieg okresowo zmienny w
e
⋅e = e
czasie i przestrzeni – jest to więc fala elektromagnetyczna.
iω t
4). Podobnie jak dla fali płaskiej, również obecnie
Eθ
= Zf
Hϕ
4.6. Faza fali, typ fali, prędkość fazowa
W dużych odległościach od oscylatora faza fali zależy wyłącznie od czynnika
oznacza stałe przesunięcie fazy)
Uwaga - w odległościach mniejszych, niż r >>
nawiasach ogólnych wzorów.
e
− j
2π r
λ
(j –
λ
, faza zależy również od czynników w
2π
66
W danej chwili t faza fali jest więc stała, gdy
− j
2π r
λ
,
e
= const.
czyli, gdy r=const.
Faza fali jest stała na powierzchniach kulistych koncentrycznych ze źródłem.
W dużych odległościach od oscylatora mamy więc do czynienia z falą kulistą.
Uwaga – amplituda na powierzchniach r=const. nie jest stała, bo zależy jeszcze od kąta θ !
Faza przebiegu:
e
j (ω t −
2π r
)
λ
Ω = ωt−
2π r
r
= ωt−
λ
v
faza jest więc pewną funkcją czasu i położenia
Ω = F ( x, y , z , t )
Zmianę fazy, przy przesunięciu o odcinek skierowany dr można obliczyć ze wzoru
dΩ = dr ⋅ gradΩ
Zmiana ta będzie największa wówczas, gdy dr ║ grad[cos( dr ,gradΩ)=1], lecz gradΩ jest
prostopadły do powierzchni ekwifazowych Ω=const.
Największe zmiany fazy pomiędzy sąsiednimi punktami występują e kierunku prostopadłym
do powierzchni ekwifazowej.
W tym więc kierunku będziemy mierzyć prędkość przesuwania się stałej fazy:
Ω=const.,
Prędkość fazowa
dr
= 0
dΩ= ω dt −
ν
dΩ=0,
Vf =
dr
= V =
dt
⇒
dt =
dr
ν
1
εµ
Prędkość fazowa Vf fali wypromieniowanej przez oscylator elementarny (mierzona w
kierunku prostopadłym do powierzchni ekwifazowych, czyli w kierunku radialnym jest
równa prędkości charakterystycznej V w danym ośrodku.
W próżni
Vf = c
Rozważmy obecnie kierunek rozchodzenia się energii.
W małej odległości przepływ energii jest bardzo złożony.
W dużych odległościach –
S = E × H = iθ E θ × i ϕ H ϕ = ( i θ × i ϕ ) E θ H ϕ = i r E θ H ϕ
67
E i H są współfazowe, więc
Eθ (t ) H ϕ (t ) ≥ 0
kierunek transportu energii – radialny
Wnioski –
a). Na dużych odległościach od oscylatora (r >> λ 2π ) przepływ energii odbywa się radialnie
w stronę na zewnątrz - oscylator wypromieniowuje energię.
b). Przepływ energii pokrywa się z kierunkiem prędkości fazowej.
c). Wektory E i H są w dużych odległościach wzajemnie prostopadłe i prostopadłe do
kierunku rozchodzenia się fali. Fala wypromieniowana przez oscylator jest falą płaską.
d). Wektor E leży w płaszczyznach południkowych – fala oscylatora jest spolaryzowana
liniowo w płaszczyznach południkowych. W bardzo dużych odległościach od oscylatora
fala ma w przybliżeniu strukturę jednorodnej fali płaskiej.
Charakterystyka kierunkowa promieniowania
W dużych odległościach Eθ oraz Hφ są proporcjonalne do sinθ
Z f I ⋅ l ⋅ sin θ −
Eθ = j
e
2
λr
wartość max Eθ i Hφ osiąga dla θ =
j
2π r
λ
1 I ⋅ l ⋅ sin θ −
Hγ = j
e
2
λr
j
2π r
λ
π
– w płaszczyźnie równikowej.
2
Rozkład natężenia promieniowania możemy określić dla ustalonych r=const. i t=const.
π
w stosunku do wartości maksymalnej Eθmax dla θ = :
2
E θ ( θ ) = E θ max ⋅ sin θ
H ϕ ( θ ) = H ϕ max ⋅ sin θ
czyli
E θ (θ )
= sin θ
E θ max
H ϕ (θ )
H ϕ max
= sin θ
Jest to tzw. charakterystyka kierunkowa promieniowania.
68
Wykreślnie –
Kąt prosty, bo E θ ( θ ) = E θ max sin θ .
Oscylator elementarny ma więc charakterystykę kołową.
A więc odległość danego punktu powierzchni
charakterystycznej od początku układu
reprezentuje dla danego kierunku wielkość
natężenia pola w stosunku do natężenia
maksymalnego.
Uwaga – oscylator promieniuje najsilniej w kierunku prostopadłym do dipola, natomiast w
kierunku równoległym nie wypromieniowuje energii.
Moc wypromieniowana przez oscylator
Obliczmy średnią moc promieniowaną przez oscylator w ciągu jednego okresu drgań.
Moc na jednostkę powierzchni opisuje wektor Poyntinga.
S ( t ) = E ( t ) × H ( t ) = ( Re E ) × ( Re H ) = ir E θ ( t ) H ϕ ( t )
Moc chwilowa
Strumień średniej mocy –
1
1
S = Re[ E × H *] = ir Re E θ ⋅ H ϕ *
2
2
[
]
1
Re( E θ ⋅ H ϕ *) – dla pola dalekiego
2
S (t) =
Ogólnie mamy składowe:
Hθ = 0
Hr = 0
2 I ⋅ l ⋅ cos θ −
Eϕ = − j
e
π
ε ω
r 3
4
C
j
2π r
λ 1+
Hϕ =
I⋅l
4π r
2
e
− j
2π r
B
λ sin θ
2π r
I ⋅ l ⋅ sin θ −
j
e
Eθ = − j
3
λ ,
4
π
ε ω
r
A
j
2π r
λ
j
2π r
+ 1
λ
2
2π r 2π r
−
1 + j
λ
λ , Eφ=0
69
ir
E × H * = Er
0
E θ H ϕ*
= − jAe
iθ
Eθ
0
− j
iϕ
0 = ir E θ H ϕ* − iθ E r H ϕ*
H ϕ*
2π r
λ
2π r
2
j
2π r 2π r
2π r
−
1 + j
⋅ B ⋅ e λ 1− j
=
λ
λ
λ
2
2
3
2π r
2π r 2π r
2π r
2π r
= − jAB 1 − j
+ j
+
−
+ j
=
λ
λ
λ
λ
λ
3
2π r
= AB
− jAB
λ
2π r
λ 1+
j
2π r
j
⋅ B⋅ e
λ
2π r
λ 1−
2π r
j
=
λ
2
2π r
2π r 2π r
= − jBC 1 − j
+ j
+
=
λ
λ
λ
2π r 2
= − jBC 1 +
λ
E r H ϕ * = − jC ⋅ e
− j
W wartościach średnich potrzebne nam są części rzeczywiste.
2π r
Re( E θ H ϕ *) = AB
λ
3
Re( Er Hϕ *) = 0
1
AB 2π r
S (t ) = i r Re( E θ H ϕ *) = ii
2
2 λ
3
2
l
I 2 π
2
3 3
2
1 I ⋅ l ⋅ sin θ ⋅ I ⋅ l ⋅ sin θ ⋅ 8π r
π ( I ⋅ l ) sin θ
sin 2 θ
λ
Sr (t ) =
=
=
2
4ε 2π ν
4 π ε ω r 3 4π r 2 λ 3
4ε ω λ 3 r 2
r2
1
=
εν
Więc
Sr (t ) =
εµ
=
ε
µ
= Zf
ε
2
1 2 l
sin 2 θ
I Zf
8 λ
r2
Średnia moc wypromieniowana przez oscylator:
70
P = P (t) =
∫ S ( t )dA
A – powierzchnia otaczająca oscylator, np. kula
A
P=
∫ S r ( t )dA
– bo r ║ n
A
dla kuli.
dA = r 2 sin θ ⋅ dθ ⋅ dϕ
P=
P=
Dla
π
2π
0
0
1
∫ ∫ 8I
2
2
πZ f
2
l
1 2 l
3
Z f sin θ dθ dϕ = I Z f
8 λ
λ
= 2π
∫ sin
3
θ dθ
0
π
4
= ∫ 1− cos 2 θ sin θ dθ =
3
0
2
l
I 2 [W ]
3
λ
Z f = Z f 0 = 120π
π
lub
2π
⋅ ∫ dϕ
0
2
P=
2
2 l
π Z f I sk
[W ]
3
λ
2
2 l
P = 80π 2 I sk
[W ]
λ
Uwagi –
W wypromieniowaniu energii biorą udział jedynie składowe z najwyższymi potęgami
2π r
czynnika
.
λ
Wypromieniowanie energii wiąże się jedynie ze składowymi charakterystycznymi
dla obszaru promieniowania (pola dalekie).
Pozostałe składowe pola, charakterystyczne dla obszaru bliskiego i przejściowego, nie wiążą
się z odpromieniowaniem energii. Energia wiążąca się z tymi czynnikami pulsuje.
71
4.7. Opór promieniowania
Oscylator wypromieniowuje energię - musi więc ją pobrać ze źródła zasilającego.
Moc wypromieniowaną można więc uważać za "straty na promieniowanie" i dołączyć do
źródła zastępczy opór Rpr taki, aby wydzielona w nim moc ciepła Joule’a była równa mocy
promieniowanej przez oscylator:
P = I 2 SK R pr
R pr =
P
I 2 SK
Opór promieniowania – jest to taki opór zastępczy, w którym po dołączeniu do źródła
zasilającego oscylator (antenę) wydziela się moc równa mocy promieniowanej przez
oscylator (antenę).
Uwaga – dla anten złożonych definicję tę uzupełnimy (ISK)
2
l
P = 80π 2 ,
λ
Dla oscylatora jest
Stąd
R pr
2
l
= 80π
λ
2
gdy Zf=Zf0
– opór promieniowania oscylatora elementarnego w
wolnej przestrzeni.
Zastosowania –
Założenie – l << λ tak, aby I=const.
Wzory dla oscylatora można więc wykorzystać do obliczania krótkich anten dipolowych, o ile
jest l << λ - w praktyce l ~
≤ 0.1 λ . Również dla anteny krótkiej nad ziemią:
72
5. Anteny liniowe
Anteną liniową jest przewodnik o małym przekroju, lecz o długości porównywalnej z
długością fali. W antenie takiej prąd ma różne wartości w różnych częściach anteny, nie jest
więc spełnione założenie anteny krótkiej - l << λ oraz I=const.
Możemy jednak podzielić antenę liniową na bardzo małe elementy tak, aby powyższe
założenie było spełnione.
Będziemy rozpatrywać jedynie pole w dużych
odległościach od anteny.
Można będzie wówczas przyjąć:
θ a ≈ θ b ≈ θ 0 ; dEθa, dEθb można sumować
skalarnie
Dla elementarnego oscylatora:
Z f I ⋅ l ⋅ sin θ − j 2λπ r
.
Eθ = j
⋅
e
2
λr
Dla elementu I(z)dz
Z f I ( z ) dz ⋅ sin θ ( z ) − j 2 π λr ( z )
.
dEθ = j
⋅
e
2
λ ⋅ r( z)
θ ( z) ≈ θ
r ( z ) = r0 − z cos θ
w mianowniku r ( z ) ≈ r0
Z f sin θ −
dEθ = j
e
2 λ r0
j
2 Π r0
λ
⋅ I ( z)e
j
2 Π cos θ
Z
λ
dz
Według zasady superpozycji jest więc
Eθ = j
Z f sin θ −
e
2 λ r0
j
2 π r0 Z 2
λ
I
j
2 π cos θ
Z
∫ ( z )eλ dz
Z1
sens tego członu:
ujmuje przesunięcie fazowe, zależne
od elementu anteny (z) oraz od kąta cosθ
e
− j
2π
λ
⋅ z⋅0
73
Hθ =
1
Eθ
Zf
Antena liniowa z sinusoidalnym rozkładem prądu
W rzeczywistych antenach rozkład taki występuje wówczas, gdy przewód anteny jest bardzo
mały w porównaniu z długością.
Ładunki mogą płynąć wzdłuż anteny, lecz na jej końcach musimy mieć węzły prądu:
−
Z f sin θ
Eθ = j
I me
2 λ r0
Mamy więc:
Po wyliczeniu otrzymuje się dla amplitud
Eθ m
Eθ m
j
2 π r0 + l 2
sin
λ
∫
− l
2
2π j
ze
cos λ
Eθ m = E 'θ
przy
2 π cos θ
Z
λ
dz
z2 = z20 = 120π
π
sin k cos θ
2
sin θ
dla
k=2,4,6,...
i
l= k
λ
2
π
cos k cos θ
60
2
=
Im
r0
sin θ
dla
k=1,3,5,...
i
l= k
λ
2
i
l= k
λ
2
60
=
Im
r0
Hϕ =
F (θ ) =
Charakterystyka kierunkowa:
π
sin k cos θ
2
F(θ ) =
sin θ
dla
1
Eθ
120π
Eθ m
Eθ m max
k=2,4,6,...
74
π
cos k cos θ
2
F(θ ) =
sin θ
dla
Mamy więc:
Eθ m =
Przykłady:
60
Im F(θ )
r0
k=2,4,6,...
i
l= k
λ
2
75
Anteny symetryczne
Antena symetryczna jest to taka, dla której jest
I ( z ) = I (− z )
Uwaga – poprzednie anteny dla k=1, 3, 5, …
są symetrycznymi
Rozkład prądu musi mieć węzły na końcach:
2π
l
I ( z ) = I m sin z +
2
λ
dla
z<0
2π
I ( z ) = I m sin
λ
dla
z>0
l
− z
2
Amplituda natężenia pola elektrycznego anteny symetrycznej dla Zf=Zf0=120π wynosi:
E
θm
=
60
⋅ I ⋅ F (θ )
m
r
0
gdzie
l
l
cos π cos θ − cos π
λ
λ
F(θ ) =
sin θ
76
λ
λ
λ
π
3
, 3 ⋅ , 5 ⋅ , cos = cos π = = 0 i wzór ten przechodzi w wyrażenie dla
2
2
2
2
2
anten niesymetrycznych w przypadku k=1, 3, 5,........
Dla l =
Opór promieniowania
Mamy
R pr =
P
I sk2
P=
2π
π
∫ S dA = ∫ S dA = ∫ dϕ ∫ S r
A
A
sin θ dθ
2
r 0
r
0
0
Dla obu typów anten było
60
E
=
⋅ I ⋅ F(θ )
θm r
m
0
więc
P = 2π ∫
1
60
( I m ) 2 r02 sin(θ ) F 2 (θ ) dθ
2 * 120π r0
π
π
0
0
P = 30 I m2 ∫ F 2 ( θ ) sin θ dθ = 60 I sk2 ∫ F 2 ( θ ) sin θ dθ
π
stąd:
R pr = 60 ∫ F 2 ( θ ) sin θ dθ
0
Przykład:
λ
jest
2
R pr = 73,13Ω
Dla l =
Wnioski:
2
Im większe k, tym większy opór promieniowania. P = R pr I SK a więc przy tym samym
prądzie I SK będzie wypromieniowana większa moc. Lecz moc ta rozkłada się na większą
ilość listków charakterystyki kierunkowej!
λ
Praktycznie, więc największe znaczenie ma antena l = .
2
77
Zysk kierunkowy anteny
Określimy antenę izotropową (teoretyczną):
S I ( θ 1 , ϕ 1 ) = const.
dla r = const. jest
Antena izotropowa „promieniuje”, więc jednakową gęstość mocy we wszystkich kierunkach –
kulista charakterystyka kierunkowa.
Jeżeli antena rzeczywista promieniuje w wybranym kierunku θ 1 , ϕ 1 taki sam strumień mocy
jak antena izotropowa, tzn., gdy dla r = const jest
S(θ 1, ϕ 1 ) = SI (θ 1, ϕ 1 )
wówczas stosunek całkowitej mocy anteny izotropowej do mocy anteny rzeczywistej
nazywamy zyskiem kierunkowym anteny:
G( θ 1, ϕ 1 ) =
PI
P
3
= 1,50
2
Oscylator elementarny:
Gmax =
Antena półfalowa:
Gmax = 1,64
lub
g = 10 lg G
[dB ]
g max = 1,76 dB
g max = 2,15 dB
Długość skuteczna anteny
W kierunku prostopadłym do anteny nie występują przesunięcia fazowe dla poszczególnych
odcinków anteny.
78
Pole wypadkowe można więc obliczyć jako sumę pól zespołu elementarnych oscylatorów.
2π r
2 π cos θ
− j
z
Z f sin θ − j λ z2
λ
e
I ( z )e
dz
Dla anteny liniowej - E θ = j
∫
2λ r
z
1
dla θ = π/2
Eπ = j
2
Zf
2λ r
e
− j
2 π r z1
λ
I ( z ) dz
∫
z2
Długością skuteczną h anteny nazywamy długość anteny o równomiernym rozkładzie prądu
I(z)=const o natężeniu równym I m , której pole w kierunku prostopadłym do anteny ma taką
samą wartość, jak pole anteny rzeczywistej.
Antena o rozkładzie prądu I(z)=const jest oscylatorem elementarnym.
Z f I l sin θ − j 2λπ r
Eθ = j ⋅
⋅
e
2
λr
dla θ = π/2
Eπ = j
Zf ⋅ Il
2λ r
2
Porównując wzory na
h=
1
Im
Eπ
2
e
− j
2π r
λ
otrzymamy, że
z1
∫ I ( z) dz
z2
Przykład:
Antena z rozkładem sinusoidalnym k=1, 3, 5
π
I ( z ) = I m cos(k z )
l
l
π
h=
sin( k z )
kπ
l
h=
+ l/2
=
−l/2
2l
kπ
h=
1
Im
l/2
∫
I m cos(k
−l/2
π
z ) dz
l
2
π
2l
sin(k ) = ±
kπ
2
kπ
Dla k=1 ( l =
λ
)
2
h=
2l
π
Dla k=2, 4, 6,... pojęcie długości skutecznej nie ma sensu – h=0, (bo wartość średnia
prądu=0).
Anteny liniowe nad powierzchnią ziemi
Ziemia jest niezbyt dobrym przewodnikiem i silnie wpływa na falę rozchodzącą się nad
ziemią. Pewne wnioski jakościowe (ew. ilościowe) można uzyskać rozpatrując antenę liniową
umieszczoną nad płaską powierzchnią doskonałego przewodnika.
79
Korzystamy
znaczności.
z
twierdzenia
o
jedno-
Układ dipol doskonały-przewodnik (a
właściwie układ dipol-system prądów na
powierzchni przewodnika) zastępujemy
układem dwóch dipoli symetrycznych –
odbicie zwierciadlane.
Pola obu dipoli spełniają równania Maxwella.
Warunki brzegowe – na powierzchni doskonałego przewodnika pole E jest prostopadłe, przy
dipolu ( Il ) pole musi do niego „pasować” – pole dipola ( Il ) jest dobre, pole dipola ( Il )’ jest
w miejscu ( Il ) równe zeru, ( bo dipol nie promieniuje w kierunku osi ).
Uwaga – w rzeczywistych warunkach ziemia nie jest idealnym przewodnikiem, indukują się
prądy – ciepło Joule’a, powstają straty – zmiany amplitudy i fazy.
5.1. Układy anten
Szereg dipoli półfalowych
Dipole są zasilane ze wspólnej linii zasilającej tak, że prądy
we wszystkich dipolach są jednakowe oraz we wspólnej fazie
– zasilanie współfazowe. W dużej odległości od szeregu
każdy dipol wytwarza pewne pole o amplitudzie Eθ k
k=0, 1,......, m-1
Eθ k
Dipole są półfalowe, więc
λ
d = cos θ
2
stąd
Eθ k
π
60 I m cos( cos θ ) − j 2 π ( r − kd )
2
=
e λ
r sin θ
2π
2π r
(r − kd ) =
− kπ cos θ
λ
λ
π
60 I m cos( cos θ ) − j 2 π r
jkπ cos θ
2
= j
e λ e
r sin θ
E
θλ /2
80
Całkowite pole w dowolnym punkcie przestrzeni (w dużej odległości) jest sumą pól od
poszczególnych dipoli:
Eθ =
m− 1
∑
k= 0
Eθ k
Trzeba wykonać sumowanie
m− 1
∑
k= 0
m− 1
(e jπ cos θ ) k = ∑ x k gdzie x = e jπ cos θ ( a n = a1q n − 1 ; S n =
k= 0
1 + x + x 2 + ... + x m − 1 =
stąd
m− 1
∑
(e
jπ cos θ
k= 0
Moduł tego wyrażenia:
1 − e jma
ja
1− e
) =
k
1− e
1− xm
1− x
jπ m cos θ
1− e
jπ cos θ
πcosθ=a
1 − e − jma
− ja
1− e
=
Obliczymy Eθ
max
− jma )
2 − (e + e
=
2 − (e ja + e − ja )
jma
stąd
Eθ m
a1 (q n − 1)
)
q− 1
π
mπ
60 I m cos( cos θ ) sin(
cos θ )
2
2
=
π
r sin θ sin( cos θ )
2
ma
2 − 2 cos(ma)
2
=
a
2 − 2 cos(a )
sin
2
sin
moduł natężenia pola
:
π
π
cos( cos )
2
2 =1
Dla θ=π/2
π
sin
2
mπ
mπ
mπ
sin(
cos θ )
− cos(
cos θ )
sin θ
2
2
2
lim
= lim
= m
π
π
π
π
π
θ→
θ→
− cos( cos θ ) sin θ
2 sin( cos θ )
2
2
2
2
Stąd
– natężenie pola szeregu m diploi półfalowych w kierunku
60 I m
E θ max =
m
wartości maksymalnej jest m razy większe, niż natężenie
r
pola pojedynczego dipola półfalowego.
81
Przykład:
Charakterystyka kierunkowa dla m =5
– figura obrotowa
Grupa dipoli półfalowych
Dipole półfalowe są zasilane
współfazowo.
Eθ m
π
nπ
60 I m cos( cos θ ) sin( sin ϕ sin θ )
2
2
=
π
r sin θ sin( sin ϕ sin θ )
2
E θ max =
60 I m
n
r
dla θ =
π
, ϕ = 0
2
Charakterystyka kierunkowa dla n=5
figura symetryczna również dla kierunku -x
Płaska ściana dipoli półfalowych
Wszystkie dipole zasilane współfazowo.
82
E θ max
π
mπ
nπ
60 I m cos( cos θ ) sin(
cos θ ) sin( sin ϕ sin θ )
2
2
2
Eθ m =
π
π
r sin θ sin( cos θ ) sin( sin ϕ sin θ )
2
2
60 I m
π
=
m n dla θ = , ϕ = 0 promieniuje w kierunku O x i − O x .
2
r
W układach anten stosuje się dipole półfalowe ze względów ekonomicznych – opór
promieniowania tylko nieco mniejszy niż dla dipoli o wyższym, k, lecz najmniejsza ilość
materiału i miejsca.
Natomiast zysk kierunkowy wzrasta m 2 , n 2 lub (mn) 2 razy.
π
π
Np. dla m=n=10 zysk kierunkowy w kierunku θ = , ϕ=0 wynosi G ( , 0) = 164 lub
2
2
22,15dB.
Antena kierunkowa
Jeszcze inne efekty kierunkowe można otrzymać wówczas, gdy zasila się anteny w
niejednakowych fazach.
π
Rozpatrzymy dwa oscylatory elementarne (krótkie), ζ=ζ0, w płaszczyźnie θ = .
2
Jeden oscylator jest zasilany prądem I A , natomiast drugi jest zasilany prądem opóźnionym w
fazie
I B = I A e − jψ .
Eθ A
Eθ A
60π I l − j
= j
e
λ r1
2 π r1
λ
60π I e − jψ l −
= j
e
λ r2
j
2 π r2
λ
Dla dużych odległości można w mianowniku przyjąć r1 ≈ r2 = r . Natomiast w czynniku
fazowym trzeba uwzględnić zmianę fazy z odległością:
r1 = r2 + d cos ϕ = r + d cos ϕ
Stąd:
2π
Eθ A
60π I l − j λ
= j
e
λr
( r + d cos ϕ )
Eθ B
60π I l −
= j
e
λr
j(
2π r
+ψ)
λ
83
Pole całkowite jest sumą tych dwóch:
Eθ = Eθ A + Eθ B
60π I l − j
= j
e
λr
2π r
λ
− j 2 π d cos ϕ
e λ
+ e − jψ
Moduł tego wyrażenia:
−
e
=
j
2π d
λ
cos ϕ
2 + 2 cos(
Eθ m =
+ e−
jψ
j 2 π d cos ϕ
e λ
+ e jψ
=
1+ 1+ e
j(
2π d
cos ϕ − ψ )
λ
+ e
j(
2π d
cos ϕ − ψ )
λ
=
2π d
2π d
πd
1
ψ
cos ϕ − ψ = 2 (1 + cos(
cos ϕ − ψ ) = 2 cos(
cos ϕ − )
λ
2
λ
λ
2
120 π I l
πd
ψ
cos(
cos ϕ − )
λr
λ
2
Uwaga – dla innego kierunku niż θ =
należy ten wynik pomnożyć przez sin θ.
Jest, więc
Eθ A =
Dla d =
λ
i ψ=0
4
Dla d =
λ
π
iψ =
4
2
60π I l
F (ϕ , ψ ) sin θ
λr
, gdzie F (ϕ , ψ ) = 2 cos(
πd
ψ
cos ϕ −
)
λ
2
π
F (ϕ ) = 2 cos[ cos ϕ ]
4
π
F (ϕ ) = 2 cos[ (cos ϕ − 1)]
4
– układ ma właściwości kierunkowe
π
2
84
W ten sam sposób, dodając „reflektor”, można uzyskać kierunkowość dla układów anten.
5.2. Anteny z elementami biernymi
W omawianych układach anten wszystkie części były odpowiednio zasilone.
Można jednak wstawić element bez zasilania (bierny) - w polu elementu czynnego wzbudzą
się w nim prądy, będzie, więc on również promieniował, co umożliwia odpowiednie
kształtowanie charakterystyki kierunkowej.
Antena ramowa
Rozpatrzymy pole promieniowania obwodu z prądem.
Zakładamy
R<< λ
( I ≈ const )
r>> R
85
Dla prądu liniowego
µ
A(r0 , θ 0 , ϕ 0 ) =
4π
∫
r
)
v dl
I (r , θ , ϕ , t −
r
L
r
jw ( t − )
−
r
v
I (r , θ , ϕ , t − ) = I e
= I e jw t e
v
2π ρ
λ
stąd
µ I
Aϕ =
4π
2π
e
∫
− j
2π ρ
λ
ρ
0
Rdϕ ' = dl
R cos ϕ ' dϕ '
R cos ϕ ' dϕ ' → rzut na iϕ
Zakładamy, że r>>R, można, więc przyjąć w mianowniku ρ=r.
Natomiast czynnik fazowy trzeba obliczyć dokładnie: ρ ≈ r − R cos γ
z trygonometrii przestrzennej
cos γ = cos θ cos θ '+ sin θ sin θ ' cos(ϕ − ϕ ' )
π
W naszym przypadku dla punktu P ϕ = 0 , θ ' =
(dla Q)
2
Stąd
ρ = r − R sin θ cos ϕ '
oraz
µ IR −
Aϕ =
⋅e
4π
2π r 2π
λ
∫e
j
2π R
sin θ cos ϕ '
λ
cos ϕ ' dϕ '
0
2π R
< < 1 , można więc wyrażenie podcałkowe rozwinąć w szereg i wziąć tylko
λ
x2
pierwsze dwa wyrazy rozwinięcia: e x ≈ 1 + x +
+
2!
Z założenia
Aϕ =
µ IR −
⋅e
4π
2π r 2π
λ
∫ cos ϕ ' +
j
0
2π R
sin θ cos 2 ϕ ' dϕ '
λ
Po wykonaniu całkowania
µ IR 2 π − j
Aϕ = j
e
2λ r
(
2π r
λ
sin θ
⋅
)
ω µ ε µ Iπ R 2 − j 2 λπ r
Aϕ = j
e
sin θ
4π r
Mieliśmy, że:
A = εµ
lub Π
eϕ
=
Aϕ
jω ε µ
∂
Π
∂t
e
⇒ A = jϖ ε µ Π
e
ω
2π f
86
Stąd
Π
(
Z f Iπ R 2
=
eϕ
4π r
)e
− j
2π r
λ
sin θ
Wprowadzając wektor momentu magnetycznego
m = Iπ R 2
skierowany wzdłuż osi 0z, można powyższe zapisać:
Π
e
=
Zf
4π r
e
− j
2π r
λ
(m × i )
r
H = jε ω rot Π
Mieliśmy, że
Π
e
e
E = rot rot Π
,
e
jest funkcją tylko r, m × ir = m × i r iϕ
Jest więc
rot Π
1 d
( r Π eϕ ) i θ =
r dr
2π r
Z f − j 2λπ r
1 d Z f − j λ
2π
= −
e
m × i r iθ = −
e
m × ir − j
r dr 4π
4π r
λ
= −
e
2π r
2π Z f − j λ
= j
e
m × i r iθ
λ 4π r
( m× i )× i
r
= m sin θ iθ
r
Wynik ten można zapisać:
rot Π
e
= j
2π
Π
λ
e
× ir
Stąd
H = jε ω rot Π
e
2π ε ω
Π e × ir =
λ
µ
2π r
2π ε ω ε − j λ
= −
e
m × ir × ir =
λ 4π r
= −
(
ω εµ −
= −
e
2λ r
j
2π r
λ
)
(m × i ) × i
r
r
iθ =
87
Stąd
Hθ = −
ω ε µ m sin θ − j 2 λπ r
e
2
λr
E = rot rot Π
e
= j
2π 2π
Π e × ir × ir =
j
λ λ
2π r
4π 2 Z f − j λ
= − 2
e
m × ir × i r × ir =
λ 4π r
[(
= −
2 fπ µ
2 fλ ε λ r
e
− j
2π r
λ
) ]
[m sin θ i ] × i
( )
− j
ω µ m sin θ
= −
− iϕ e
2 λr
Stąd
ω µ m sin θ − j
Eϕ =
e
2 λr
2π r
λ
= −
θ
r
=
iθ × i r = − iϕ
2π r
λ
µ
Hθ = − Z f Hθ
ε
Ostatecznie więc
2π r
>> 1
λ
E r = Eθ = 0
Hr = Hϕ = 0
2π r
ω µ m sin θ − j λ
e
2
λr
ω ε µ m sin θ − j 2 λπ r
Hθ = −
e
2
λr
Eϕ =
Wnioski:
1
.
r
Linie pola E są równoleżnikowe („równoległe” do drutu!), a pola H są południkowe.
Charakterystyka kierunkowa jest kołowa ( sin θ ).
Impedancja jak poprzednio:
Eϕ
= Zf
Hθ
Czynnik fazowy jest taki sam jak dla dipola, więc wypromieniowana fala jest falą kulistą,
prędkość fazowa
a). Podobnie jak dla oscylatora elementarnego – pole E i H jest proporcjonalne do
b).
c).
d).
e).
vf =
1
εµ
Obliczenie mocy odbywa się tak samo, jak poprzednio, wynik:
P=
µ
ω 4m 2
12π v 3
88
Dla ε = ε 0 , µ = µ
0
P=
otrzymuje się
160π 4 2
m
λ4
Antena w postaci jednozwojowej pętli
m = I m S = I sk 2 π R 2
⇒
m 2 = I sk2 2π 2 R 4
4
160π 4 2 2 4
R
P=
I sk 2π R = 320π 6 I sk2
4
λ
λ
4
R
P = 31 ⋅ 10 4 I sk2
λ
R
R pr = 31 ⋅ 10 4
λ
4
4
R
Jest to bardzo mały opór promieniowania – ze względu na .
λ
Przykład - R = 0,2 m
f
λ [m]
Rpr [Ω]
50 Hz
6⋅106
3,8⋅10-25
5 kHz
6⋅104
3,8⋅10-17
500 kHz
600
3,8⋅10-9
50 MHz
6
0,38
natomiast oscylator o długości l = 2π R
2π R = 1,25 m → l < λ
⇒
Osc. elementarny
l = 0,2 m
50 MHz
6
0,88
↓
R pr ≈ 35 Ω
5.3. Anteny odbiorcze
Zasada wzajemności
Przestrzeń jest wypełniona ośrodkiem o parametrach
ε, µ, σ = const.
(σ ≠ 0 w niektórych miejscach przestrzeni)
( 1)
W pewnym miejscu przestrzeni działa siła elektromotoryczna o polu sił przyłożonych E p i
wywołuje w przestrzeni pole E
( 2)
( 1)
i H
( 1)
.
W innym miejscu działa E p i wywołuje E
(
J = σ E+ Ep
)
( 2)
i H
( 2)
.
89
Równania pól mają postać (dla przebiegów harmonicznych):
rot H
rot E
rot H
rot E
( 2)
E rot H
(1)
( 2)
(1)
+ H rot E
= ( σ + jω ε ) E
(1)
(1)
= − jµ ω H
( 2)
= − jµ ω H
( 1)
– E rot H
– jµ ω H
(
(1)
( 1)
= σ Ep E
(
H
( 2)
( 2)
( 2)
( 1)
⋅E
+ σ Ep
(1)
( 2)
⋅H
= ( σ + jω ε ) E
( 2)
( 1)
( 2)
( )
⋅ (− H )
( 2)
⋅ − E
+ σ Ep
( 1)
– H rot E
( 2)
( 1)
= ( σ + jω ε ) E E
( 1)
– ( σ + jω ε ) E E
( 1)
)
( 1)
) = σ (E
( 2)
( 1)
(1)
( 2)
− Ep E
( 2)
( 2)
( 2)
– σ Ep E
( 1)
( 2)
( 1)
+ σ Ep E
( 1)
+ jω µ H H
( 2)
( 2)
–
=
)
Jest wzór div a × b = b rot a − a rot b
Więc
(
( 1)
div E × H
( 2)
) − div(E
( 2)
× H
Całkujemy po całej przestrzeni
∫ div(E
( 1)
× H
V
Wg twierdzenia Gaussa:
∫E
( 1)
× H
A
( 2)
)dV − ∫ div(E
( 2)
× H
( 1)
V
( 2)
dA −
∫E
( 2)
( 1)
p
E
( 2)
( 2)
( 1)
− Ep E
)dV = ∫ σ (E
( 1)
p
E
( 2)
)
( 2)
− Ep E
V
( 1)
× H dA =
A
∫ σ (E
( 1)
p
E
( 2)
( 2)
− Ep E
V
( 1)
( 1)
)dV
)dV
Pierwsze dwie całki znikają, bo jeżeli w przestrzeni istnieje obszar σ ≠ 0, wówczas dla r → ∞
( 1)
( 1)
( 2)
( 2)
E , H , E , H → 0.
1
Przykład – pole oscylatora lub anten maleje jak .
r
∫
(
( 1)
σ Ep E
V
( 2)
( 2)
− Ep E
( 1)
)dV = 0 stąd
∫E
V
( 1)
p
( 2)
σ E dV =
J
( 2)
∫E
V
( 2)
p
( 1)
σ E dV
J
( 1)
Jeżeli w przestrzeni zamienimy miejscami siły elektromotoryczne, wówczas zamieniają się
miejscami również wywołane przez nie pola i prądy.
90
Przykład – dla antenowych obwodów liniowych:
( 1)
( 2)
E
dV = E p( 1) l1 J ( 2 ) A1 = U (p1) I ( 2 )
p σ E
∫V
( 2)
( 1)
( 2)
( 1)
( 2 ) ( 1)
E
A
=
U
I
p σ E dV = E p l 2 J
2
p
∫
V
U (p1)
I ( 1)
=
U (p2 )
I ( 2)
( 1)
( 2)
Jeżeli do anteny nadawczej lub odbiorczej dołączymy tą samą siłę U p = U p , wówczas w
drugiej antenie uzyskamy w obu przypadkach ten sam prąd.
Każda antena nadawcza może więc być zastosowana jako odbiorcza i na odwrót.
Zachowane są przy tym właściwości kierunkowe, impedancyjne itp.
91
6. Rozchodzenie się fal w układach równoległych przewodników i
w falowodach
Sformułowanie problemu
Ośrodek jednorodny
ε, µ, σ = const.
Nieskończenie długie przewodniki o stałym przekroju.
– linia dwuprzewodowa otwarta
Przewód ekranowany
Otwarta i ekranowana linia wieloprzewodowa
Falowody
Nasza linia została pobudzona gdzieś na początku; badamy pole w dużej odległości od
miejsca pobudzenia.
Zakładamy, że w obrębie linii brak jest źródeł pola.
Równanie pola (dla przebiegów harmonicznych):
div E = 0
div H = 0
rot E = − jω µ H
rot H = − jω ε sk E
oraz
ε sk = ε − j
σ
ω
92
∇ 2E− γ 2E = 0
∇ 2H − γ 2H = 0
γ 2 = − ω 2 ε sk µ
Warunki brzegowe
W rzeczywistych warunkach pole istnieje pomiędzy przewodami oraz wewnątrz przewodów.
W celu uproszczenia analizy przyjmiemy, że przewody mają przewodnictwo
σ→∞
Założenie to stanowi dobre przybliżenie, gdyż dla metali σ jest rzędu 107 (Ωm)-1, a
współczynnik odbicia dla częstotliwości radiotechnicznych (w tym mikrofalowych) jest ≈ 1.
Jest więc:
wewnątrz przewodnika – E = 0
na powierzchni – Et = 0 , pole E jest prostopadłe do powierzchni.
E1t = 0
n × E1 = 0
lub
n× H1 = + J s
D1n = + σ
q
H 1t = J s
B1n = 0
Bardzo ogólną analizę pola można przeprowadzić w oparciu o wektor Hertza.
Typy fal
Fale rozchodzące się w torach przesyłowych można podzielić na trzy główne typy:
1). Poprzeczna fala elektromagnetyczna
T lub TEM
(transverse electro-magnetic)
E Z = 0, H Z = 0
2). Poprzeczna fala magnetyczna
Tylko pole elektryczne ma składową podłużną.
E lub TM
E Z ≠ 0, H Z = 0
3). Poprzeczna fala elektryczna
H lub TE
E Z = 0, H Z ≠ 0
93
6.1. Poprzeczna fala elektromagnetyczna TEM
Mamy sześć składowych pola Ex, Ey, Ez, Hx, Hy, Hz = U spełniających równanie tego samego
typu
U(x, y, z, t) = U(x, y, z) ejωt
∆ U ( x, y, z ) − γ 2U ( x, y , z ) = 0
czyli
∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U
+
+
− γ 2U = 0
2
2
2
∂x
∂y
∂z
Niech
U (x , y , z ) = A(x , y ) ⋅ Z (z )
Po podstawieniu
∂ 2A
∂ 2A
∂ 2Z
Z+
Z + A 2 − γ 2 A⋅ Z = 0
2
2
∂x
∂y
∂z
⋅
1
AZ
1 ∂ 2 A ∂ 2 A 1 ∂ 2Z
2 +
+
= γ2
2
2
A ∂x
∂y
Z ∂ z const .
f ( z)
f ( x, y )
2
1d Z
= γ 2z = const.
2
Z dz
Stąd
Z ( z ) = C1e γ z Z + C 2 e − γ z Z
Po dopisaniu członu czasowego
Z ( z ) = C1e jω t + γ z Z + C 2 e jω t − γ z Z
Zapis ten reprezentuje dwie fale płaskie, rozchodzące się w kierunku 0z oraz –0z.
Będziemy rozpatrywać jedynie falę w kierunku 0z, przyjmiemy więc C1 = 0
U ( x, y , z ) = A( x, y ) ⋅ e − γ z Z
Stała C2 jest zawarta w funkcji A.
Stąd
∂U
= − γ zU
∂z
∂ Ey
∂ Ex
= − γ z Ex ,
A więc
= − γ z E y itd.
∂z
∂z
rot E = − jω µ H
ix
∂
rot E =
∂x
Ex
iy
∂
∂y
Ey
rot H = jω ε sk E
iz
∂
= − jω µ i x H x + i y H y + i
zHz
∂z
=0
Ez
TEM
Ez = 0
94
( rot E )
x
( rot E )
y
( rot E )
z
∂ Ez ∂ E y
−
= − jω µ H x
∂y
∂z
∂ Ex ∂ Ez
=
−
= − jω µ H y
∂z
∂x
∂ E y ∂ Ex
=
−
= 0
∂x
∂y
=
γ z E y = − jω µ H x
⇒
γ z E x = jω µ H y
( rot E )
z
= 0
Podobnie można uzyskać z drugiego równania:
γ z H y = jω ε sk E x
γ z H x = − jω ε sk E y
( rot H )
ωµ
Hx
γz
γz
Hx
z drugiego układu: E y = j
ω ε sk
Stąd
γz
ωµ
−
=
⇒
γz
ω ε sk
z
= 0
Z jednego układu: E y = − j
γ 2z = − ω 2 ε sk µ = γ 2
Równanie to ma pierwiastki γ z = ± γ
Wybraliśmy propagację w kierunku 0z, więc
γ z = γ = jω
ε sk µ = α + jβ
Jest więc teraz:
Ue jω t = A( x, y ) e jω t e − γ z = A( x, y ) e jω t e − α z e − jβ z
[
]
= A( x, y ) e − α z e j ( ω t − β z )
Fala rozchodząca się jest tłumiona (α), prędkość rozchodzenia się jest określona stałą β.
Fala TEM rozchodzi się wzdłuż toru z taką samą prędkością fazową i takim samym
tłumieniem, jakie w danym ośrodku wykazywałaby jednorodna fala płaska.
W szczególności w próżni (~ w powietrzu) fala rozchodzi się wzdłuż toru bez tłumienia i z
prędkością światła.
Układ geometryczny pola
Obliczymy E H = E x H x + E y H y
Z poprzednich równań mamy:
Ex = j
oraz
ωµ
jω µ
Hy =
Hy =
2
γ
jω ε sk µ
µ
ε sk
Hy = Zf Hy
95
Ey = − j
Stąd
ωµ
Hx = Z f Hx
γ2
E H = Z f H y H x + (− Z f H x )H y = 0
EH = 0
Jest to wynik identyczny jak dla fali płaskiej.
Policzymy obecnie iloczyn
ix
iz × E = 0
Ex
iy
0
Ey
iz
1 = ix (− E y ) + i y Ex = ix Z f H x + i y Z f H y = Z ix H x + i y H y = Z f H
0
(
Zf =
iz × E = Z f H
Z 0 rz
ln
2π rw
)
dla kabla
koncentrycznego
Wynik ten jest identyczny jak dla fali płaskiej.
Ośrodek bez strat - εsk i Z rzeczywiste.
Wektory E i H są wtedy współfazowe, wzajemnie prostopadłe, wektor Poytinga w kierunku
osi OZ.
Fala TEM niezależnie od kształtu przewodnika (pod warunkiem, że w ogóle jest możliwa)
wykazuje wszystkie cechy fali płaskiej (układ geometryczny, stosunek ilościowy wektorów
E i H, prędkość fazowa, tłumienia).
Kiedy fala TEM jest możliwa?
Pole elektryczne jest poprzeczne – linie sił pola elektrycznego E leżą w płaszczyznach
prostopadłych do osi OZ.
Obliczymy cyrkulację wektora E po konturze L leżącym w płaszczyźnie prostopadłej do OZ.
∫ E dl = ∫ rot E dA = ∫ rot
L
A
A
n
E dA
A – płaszczyzna ograniczona konturem L
gdzie dA = i Z dA
rot n E = rot Z E = 0
∫ E dl = ∫ rot
L
Z
(patrz układy równań dla składowych pola fali TEM)
E dA = 0
A
Wektor E w płaszczyźnie poprzecznej jest wektorem bezwirowym, może więc być
przedstawiony jako:
E = − gradφ
96
Przewody są idealnie przewodzące (σ=∞), więc:
Pole E jest prostopadłe do powierzchni przewodów – kontur przewodów stanowi więc linię
ekwipotencjalną.
Załóżmy, że w badanym obszarze brak jest źródeł pola, potencjał φ spełnia więc równanie
Laplace’a:
∆φ = 0
1) Falowód
∆ φ = 0 , na brzegu φ L = const.
Można udowodnić, że w całym obszarze objętym
konturem musi być φ = φL = const. (potencjał
osiąga wartość ekstremalną na brzegu obszaru).
E = − gradφ = − gradφ L = 0
H=
1
iZ × E = 0
ζ
Fala TEM nie może rozchodzić się w falowodach!
2) Pojedynczy przewodnik
- potencjał w przestrzeni zewnętrznej
jest nieokreślony (bo na nieskończenie
długim przewodniku jest zgromadzony
nieskończenie duży ładunek)
Jest on typu U ( r ) = C1 ln r + C 2 , brak
rozwiązania jednoznacznego.
Również w przypadku pojedynczego przewodnika fala TEM nie może się rozchodzić.
97
3) Tory wieloprzewodowe
Na konturach L1, L2 φ1 = const, φ2 = const.
W przestrzeni między przewodami ∆φ = 0
Jest to znane zagadnienie elektryczne pola między równoległymi przewodnikami.
Rozwiązanie takiego zagadnienia istnieje.
Fala TEM może rozchodzić się wzdłuż toru wieloprzewodowego otwartego lub
ekranowanego.
Uwaga – powyższy wynik jest taki sam jak w teorii linii długich – wzdłuż linii fala TEM
rozchodzi się z prędkością zbliżoną do prędkości światła. W teorii linii długich korzysta się
jednak ze współczynników L’, C’, R’ określanych dla prądu stałego. Obecnie otrzymaliśmy
więc falowy dowód na to, że przybliżenie kwazistacjonarne jest dopuszczalne i słuszne.
Przybliżenie to nie może uwzględnić wszystkich efektów – np. przy obecności
niejednorodności (podwieszenie linii, załamania, przerwa, itp.) linia promieniuje i teoria
kwazistacjonarności nie jest w stanie tego opisać.
6.2. Poprzeczna fala magnetyczna TM w falowodzie o przekroju prostokątnym
Wzbudzając falę TM lub TE w zamkniętej „rurze” – falowodzie można uzyskać transport
energii w odmienny sposób, niż np. w przewodowych liniach energetycznych (sposób
podejścia jest dostosowany do skryptu R. Litwina). Będziemy rozważać najważniejsze
przypadki, każdy z osobna, lecz można w oparciu o wektor Hertza zrobić to ogólnie, a
przykłady uzyskać jako przypadki szczególne.
Zakładamy:
a) ścianki falowodu są wykonane z doskonałego przewodnika.
b) falowód jest wypełniony ośrodkiem jednorodnym, izotropowym, liniowym i bezstratnym
(ε = const µ = const σ = const).
c) falowód jest torem jednorodnym – posiada jednakowy przekrój poprzeczny na całej
długości.
98
E Z ≠ 0, H = 0
∆ E− γ 2E = 0
γ = α + jβ
γ = − ω ε µ α = 0 bez strat
γ 2 = − β 2 ,β = ω ε µ
2
∆ EX − γ EX = 0
2
2
∆ E Y − γ 2 EY = 0
∆ EZ − γ 2 EZ = 0
Niech
E Z = X ( x )Y ( y ) Z ( z )
1 d 2x 1 d 2 y 1 d 2z
+
+
= γ2
x dx 2 x dx 2 x dz 2
γ
2
γ
X
2
Y
γ
γ 2X + γ Y2 + γ 2Z = γ 2
2
Z
liczby zespolone
liczby zespolone liczba rzeczywista
Rozwiązania mają postać:
X ( x) = A1e γ X X + A2 e − γ X X , podobnie jest dla Y(y) oraz Z(z).
Stałe wyznaczymy z warunków brzegowych – pole elektryczne musi być prostopadłe do
ścianek falowodu (σ = ∞), więc składowa EZ, jako styczna musi zanikać na wszystkich
ściankach:
EZ(0, y, z) = X(0)Y(y)Z(z) = 0
EZ(a, y, z) = X(a)Y(y)Z(z) = 0
EZ(x, 0, z) = X(x)Y(0)Z(z) = 0
EZ(x, b, z) = X(x)Y(b)Z(z) = 0
czyli
czyli
czyli
czyli
X(0) = A1e0 + A2e-0 = A1 + A2 = 0
γXX
−γXX
X ( x) = A1 (e
− e
)
γ Xa
− γ Xa
X (a ) = A1 (e − e
)= 0
⇒
X(0) = 0
X(a) = 0
Y(0) = 0
Y(b) = 0
A2 = -A1
⇒ e γ X a = e − γ X a ⇒ e 2γ X a = e − 2γ X a
Niech γX = αX + jβX
Jest więc
e 2 ( α X + jβ X ) a = e 2 α X a e j 2 β X a
Może więc być
sin 2β X a = 0
cos 2β X a = + 1
β
X
=
mπ
a
2β x a = 2mπ , m – liczba całkowita
99
Równocześnie musi zachodzić:
e 2α X a = 1
α
X
= 0
Jest więc
γ
X
= α
X
+ jβ
X
= jβ
⇒
X
γ
X
= j
mπ
a
X ( x) = A1 (e γ X X − e − γ X X ) = A1 (e jβ X X − e − jβ X X ) =
jA1 sin β X X
A
mπ
X ( x) = jA sin
x , m – liczba całkowita
a
Podobnie z dwóch dalszych warunków brzegowych otrzymuje się:
nπ
nπ
γ y = jβ y ,
βy =
,
γy = j
b
b
Oraz
mπ
Y ( y ) = jB sin
y
b
n – liczba całkowita
Obecnie można określić γZ i Z(z)
Z ( z ) = C1e γ Z Z − C 2 e − γ Z Z
Wybieramy tylko falę rozchodzącą się w kierunku osi OZ
γ 2Z = γ 2 − γ 2X − γ Y2
– istnieją dwa pierwiastki, nam wystarczy tylko jeden
γZ =
2
2
mπ 2 nπ 2
mπ
nπ
2
− ω 2ε µ − j
− j = j ω εµ − j
− j
a
b
b
a
γZ = α
Z
mπ 2 nπ 2
+ jβ Z = j ω 2 ε µ − j
− j
a
b
Dla dużych częstotliwości wyrażenie pod pierwiastkiem jest >0 (γz jest urojone, γZ=jβZ)
Dla małych częstotliwości wyrażenie pod pierwiastkiem jest <0 (γz jest rzeczywiste, γZ=αZ)
Częstotliwością graniczną (krytyczną) fgr nazywamy taką częstotliwość, dla której wyrażenie
pod pierwiastkiem (a tym samym γZ ) jest równe zeru.
2
2
mπ
nπ
2 2
ω εµ = j
− j = 4π f gr ε µ
a
b
2
gr
Stąd
f gr =
1
2 εµ
2
m
n
+
a
b
2
– częstotliwość graniczna zależy od
rozmiarów falowodu (a, b) jak również od
rodzaju fali (m, n).
100
W przestrzeni ε, µ bez falowodu; fala swobodna rozchodzi się z prędkością
1
v=
εµ
=
c
ε Wµ
W
Można zatem napisać:
2
f gr =
v m
n
+
2 a
b
2
Przy tej częstotliwości swobodna fala w danym ośrodku miałaby długość:
λ
Jest więc:
gr
=
v
=
f gr
2
2
m
n
+
a
b
2
f > fgr
γz = jβz
urojone
f < fgr
γz = αz
rzeczywiste
Rozpatrzymy falę rozchodzącą się w kierunku OZ:
Z ( z ) = Ce − γ Z Z
Stąd
mπ
nπ
E Z = X ( x )Y ( y ) Z ( z ) = jA sin
x ⋅ jB sin
y ⋅ Ce − γ Z Z
a
b
mπ
nπ − γ Z Z
E Z = Amn sin
x ⋅ sin
y ⋅ e
a
b
Indeksy m, n określają rodzaj fali TMmn lub Emn
Rozważymy obecnie przypadek f > fgr
γ Z = jβ Z ,
mπ
nπ j ( ω t − β Z Z )
E Z e jω t = Amn sin
x ⋅ B sin
y ⋅ e
a
b
Przekonamy się później, że pozostałe składowe pola elektrycznego magnetycznego zależą w
ten sam sposób od t i z – są proporcjonalne do e j ( ω t − β Z Z ) .
Wzdłuż falowodu rozchodzi się więc nietłumiona fala o stałej fazowej βZ.
Prędkość fazowa fali w falowodzie – mierzona w kierunku osi falowodu:
Ω = ω t − β Z z,
dΩ = ω dt − β Z dz
⇒
ν
f
=
ω
βZ
101
Długość fali w falowodzie – odległość pomiędzy punktami o tej samej fazie, mierzona w
kierunku osi falowodu.
λ
f
=
ν f
2π
=
βZ
f
Zarówno βf jak vf oraz λf w falowodzie różnią się od wartości β, v, λ w swobodnej
przestrzeni.
mπ 2 nπ 2
γ Z = jβ Z = j ω 2 ε µ −
+
b
a
ω 2gr ε µ
ω gr
ω ε µ − ω ε µ = ω ε µ 1 −
ω
βZ =
2
2
gr
βZ
ω
vf =
βz
ν
f
=
2π
=
βZ
f gr
2π
1 −
v
f
f
=
Można też zapisać f =
vf =
2
=
2
f
ω
=
ν
f gr
1 −
f
2
1
v=
2
ν
⇒
2π
λ
f gr
1 −
f
ω
=
ν
– prędkość swobodnej
εµ
fali w danym ośrodku
v
=
f gr
1 −
f
2
v
f gr
f 1 −
f
v
= λ – długość fali swobodnej!
f
w danym ośrodku.
2
λ
f gr
1 −
f
v
,
λ
2
f gr =
v
f gr
1 −
f
2
v
λ
gr
⇒
f gr
f
=
λ
λ
gr
λ
f
=
λ
f gr
1 −
f
2
102
Fala w falowodzie nie rozchodzi się ze stałą prędkością:
f → ∞ : vf → v : f → fgr : vf → ∞
dla f < fgr : vf jest urojona
Wnioski:
1) Prędkość fazowa vf zależy od częstotliwości – falowód ma więc właściwości
dyspersyjne.
Przy przesyłaniu sygnału np. w postaci krótkiego impulsu prostokątnego (przebieg taki składa
się z szeregu harmonicznych o różnych częstotliwościach) poszczególne składowe
harmoniczne sygnału rozchodzą się w falowodzie z różną prędkością fazową – na takim torze
powstają więc zniekształcenia sygnału.
2) Prędkość fazowa w falowodzie może być znacznie większa od c (prędkości światła) – nie
jest to nic niezwykłego, ponieważ prędkość fazowa vf nie opisuje ruchu materii ani
energii, lecz ruch punktu o tej samej fazie.
6.3. Przypadek f < fgr
mπ
nπ − α z z jω t
γ z = α z , E Z e jω t = Amn sin
x ⋅ sin
y ⋅ e e
a
b
Brak czynnika e j ( ω t − β Z Z ) , jest to więc pole zmienne w czasie i szybko malejące w kierunku osi
OZ.
103
Dla f < fgr fala nie może rozchodzić się wzdłuż falowodu.
Czynnik e − α Z Z nie ma tutaj charakteru tłumienia w wyniku strat w przewodzących ściankach
– ścianki są doskonale przewodzące.
Obliczymy obecnie pozostałe składowe pola.
rot E = − jω µ H
∂ Ez
−
∂y
∂ Ex
rot y E =
−
∂z
∂ Ex
rot Z E = −
∂y
rot x E =
rot H = jω µ E
Hz = 0 dla fali TM
∂ Ey
= − jω µ H X
∂z
∂ Ez
= − jω µ H y
∂x
∂ Ey
+
= 0
∂x
Podobnie:
∂ Hz
−
∂y
∂Hx
rot y H =
−
∂z
∂Hx
rot z H = −
∂y
rot x H =
∂Hy
= jω ε E x
∂z
∂Hz
= jω ε E y
∂x
∂Hy
+
= jω ε E z
∂x
⇒ Hx oraz Hy zależą w ten sam sposób od z
jak Ez, są więc proporcjonalne do e j ( ω t − β Z Z ) . Z
dwóch pierwszych równań wynika, że
również Ex oraz Ey zależą tak samo od
e j (ω t − β Z Z ) .
Zatem dla wszystkich składowych spełnione jest więc
∂ Ez
+ jβ z E y = − jω µ H x (1)
∂z
∂ Ez
− jβ E x −
= − jω µ H y (2)
∂x
(3)
jβ z H y = jω ε E x
(4)
jβ z H x = jω ε E y
∂
= − jβ z .
∂z
Z (2) i (3):
jω µ E x
∂ Ez
− jβ z E x −
= − jω µ
∂x
jβ z
Ex = − j
ω 2ε µ
E x − jβ z + j
βz
⇒
βz
∂ Ez
⋅
2
ω εµ − β z ∂x
Mieliśmy zależność β Z =
2
ω 2 ε µ − ω 2gr ε µ
ω 2 ε µ − β 2z = ω 2gr ε µ = β 2gr
(β
gr
= ω
gr
εµ
)
∂ Ez
=
∂x
104
Stąd
Ex = − j
β z ∂ Ez
β 2gr ∂ x
Obecnie można wypisać składowe pola fali TM w falowodzie wzory na składowe, wzór na
Ez, dopisujemy człon czasowy e jω t i wypiszemy jedynie części rzeczywiste:
f > f gr
mπ
nπ
2
′ sin
E z = β gr
Amn
x sin
y cos( ωt − β z z )
a
b
Ex =
β z mπ
mπ
nπ
′ cos
Amn
x sin
y sin ( ωt − β z z )
a
a
b
Ey =
β z nπ
mπ
nπ
′ sin
Amn
x cos
y sin ( ωt − β z z )
b
a
b
obecnie:
′ = „stare” Amn
β gr2 Amn
Hz = 0
Hx =
ωεnπ
mπ
′ sin
Amn
b
a
Hy =
ωεnπ
mπ
nπ
′ cos
Amn
x sin
y sin ( ωt − β z z )
a
a
b
f gr
ω
βz =
1 −
v
f
lub
nπ
x cos
b
y sin ( ωt − β z z )
2
λ
2π
βz =
1−
λ gr
λ
β
gr
= ω
2
β
gr
gr
εµ
2π
=
λ gr
2
f gr
λ
gr
v m
n
=
+
2 a
b
=
2
2
2
m
n
+
a
b
2
Stałe Amn – można je wyznaczyć z dodatkowych warunków, np. energii przesyłanej
falowodem.
Amplitudy naszych składowych zawierają funkcje trygonometryczne, których argumenty
mπ
⋅ a = mπ
a
zmieniają się od 0 do
nπ
⋅ b = nπ
b
Indeksy m, n określają ilość połówek „fal”, układających się wzdłuż osi x lub y – czyli ilość
maksimów i minimów amplitudy pola wzdłuż ścianek.
Uwaga – nie może być m=0, lub n=0 – pole jest wówczas równe 0.
105
Przykład:
E11 – najniższe możliwe indeksy – rozkład
pola TM przy ściance falowodu
Podobnie z (1) i (4) otrzymuje się
z (3) i (4):
Hz = −
Ey = − j ⋅
ωε
Ey
βz
H
y
β
β
z
2
gr
∂ Ez
∂y
⋅
ωε
Ex
βz
=
Obliczamy iloczyn poprzecznych składowych pola:
ωε
ωε
ET ⋅ H T = E x H x + E y H y = E x −
E y + E y
E x = 0 ⇒
βz
βz
ET ⋅ H T = 0
Jest więc: ET ⊥ H T
ET = i x E x + i y E y
H = i H + i E
x x
y y
T
Składowe poprzeczne pola fali TM są do siebie prostopadłe.
Obliczamy i z × ET :
ix
i z × ET = 0
Ex
=
iy
0
Ey
iz
β
β
1 = iz − E y + i y E x = ix z H x + i y z H y =
ωε
ωε
0
(
(
)
)
βz
β
ix H x − i y H y = z H T
ωε
ωε
f gr
ω ⋅ ε µ ⋅ 1 −
f
βz
=
ωε
ωε
2
f gr
= ζ 1 −
f
2
2
f gr
HT
i z × ET = ζ 1 −
f
– fala TM
Wnioski:
1) Jest tu również zawarty wynik ET ⊥ H T .
2) Składowe poprzeczne pola są współfazowe (dla f>fgr).
3) Wzór ten stanowi zależność ilościową pomiędzy składowymi poprzecznymi ET i H T –
obowiązuje więc we wszystkich punktach przekroju poprzecznego.
106
E12
Rozkłady pola w przestrzeni
E11
E12
Uwagi:
1) Linie pola E biegną w środku falowodu,
ale zaczynają się i kończą na ściankach – na
ładunkach (+) i (-)
2) Linie pola H leżą w płaszczyznach
poprzecznych – fala TM – i tworzą linie
zamknięte
3) Pole przesuwa się wzdłuż falowodu,
zmieniają się więc również ładunki – w
ściankach płyną zmienne prądy
6.4. Poprzeczna fala elektryczna TE w falowodzie o przekroju prostokątnym
107
Ez = 0 , H x ≠ 0
H z = X ( x )Y ( y ) Z ( z ) , X ( x ) = A1e γ x x + A2 e − γ x x itd.
γ x2 + γ y2 + γ z2 = γ 2
Warunki brzegowe są obecnie inne, bo dotyczą pola magnetycznego B1n = B2 n , wewnątrz
przewodnika B = 0 , Bn=0
H 1t = J s
rot H = jω ε E
∂ Hx ∂ Hz
rot H y =
−
= jω ε E y
∂z
∂x
Dla ścianek x=0, x=a musi znikać składowa
normalna pola H (czyli Hx) oraz składowa
styczna pola E (czyli Ey):
H x = 0, Ey = 0
(
)
∂ Hx ∂ Hz
−
= jω ε E y = 0
∂z
∂x
Stąd
∂Hz
= 0
∂x
dla x=0, a
∂X
∂x
∂
[ X ( x )Y ( y ) Z ( z ) ] xx== 0a = 0 ⇒
∂x
∂X
∂x
(
= A1 γ x e γ x x − A2 γ x e − γ x x
0
(
)
X ( x ) = A1 e γ x x + e − γ x x
∂X
= A1 γ x e γ x x − e − γ x x
∂x a
(
)
a
)
∂X
∂x
0
= 0
0
= 0
a
= A1 γ x − A2 γ z = 0 ⇒
(
)
= A1 γ x e γ x a − e − γ x a = 0
Stąd, identycznie jak dla pola Ez fali TM:
γ x = jβ x = j
e γ xa − e − γ xa = 0 , e 2γ xa = 1
(
X ( x ) = A1 e jβ x x + e −
mπ
X ( x ) = A cos
x
a
jβ x x
βx=
mπ
a
) = 2 A cos β
1
podobnie
mπ
a
xx
nπ
Y ( y ) = B cos
y
b
Podobnie jak dla fali TM Z ( z ) = c1e γ z z + c 2 e − γ z z .
Niech c1=0 (fala w kierunku Oz), stąd
A1 = A2
108
mπ
nπ − γ z z
H z = Bmn cos
x cos
y e
a
b
m, n – liczby całkowite
Fala TE – rodzaj TEmn lub Hmn
Podobnie ze wzoru γ
γ
z
2
x
= α
+γ
z
2
y
+γ
+ jβ
z
2
z
= γ 2:
mπ 2 n π 2
= j ω 2ε µ −
+
b
a
Podobnie, jak dla fali TM, istnieje również
częstotliwość graniczna fgr
wzory jak dla fali TM
graniczna długość fali λgr
1) f<fgr γz rzeczywiste γ z = α z
Dla f<fgr fala TE nie może się rozchodzić w falowodzie prostokątnym.
2) f>fgr γz urojone γ z = jβ z
Dla f>fgr fala TE rozchodzi się w falowodzie prostokątnym bez tłumienia.
Uwaga – wyprowadzenia i wzory na vf i λf są identyczne dla fali TE i TM.
Wzory na składowe pola wyprowadza się identycznie tak samo, jak dla fali TM:
mπ
nπ
Bmn cos
x cos
y cos( ω t − β z z )
a
b
mπ
mπ
nπ
Hx = − β z
Bmn sin
x cos
y sin ( ω t − β z z )
a
a
b
Hz =
Hy = −β
β 2gr
z
mπ
mπ
nπ
Bmn cos
x sin
y sin ( ω t − β z z )
a
a
b
Ez = 0
nπ
mπ
nπ
Bmn cos
x sin
b
a
b
mπ
mπ
nπ
Ey = ω µ
Bmn sin
x cos
a
a
b
Ex = − ω µ
y sin ( ω t − β z z )
y sin ( ω t − β z z )
109
2
f gr
ω
,
βz =
1 −
v
f
β
gr
= ω
εµ =
gr
ω
gr
v
2
,
f gr
v m
n
=
+
2 a
b
2
lub
2
λ
2π
,
βz =
1−
λ gr
λ
β
gr
λ
2π
=
,
λ gr
gr
=
2
2
m
n
+
a
b
2
Podobnie jak poprzednio – indeksy m, n określają ilość maksimów i minimów pola wzdłuż
osi x i y.
2
2
mπ
nπ
Jeżeli przyjąć m=n=0 – β =
+
= 0 – wszystkie składowe pola znikają.
a
b
Natomiast przy m≠0, n=0 lub m=0, n≠0 fala może istnieć.
Nie może istnieć rodzaj H00. Natomiast są możliwe rodzaje H0n lub Hm0, np.: H01, H02, ..., H10,
H20, ...
2
gr
Można łatwo policzyć, że E x H x + E y H y = 0 tzn.
Składowe poprzeczne pola fali TE są do siebie prostopadłe ET ⊥ H T
(E
T
⋅ HT = 0
)
ωµ
HT
Po obliczeniu iloczynu i z × ET otrzymuje się: i z × ET =
βz
2
f gr
β z = ω ε µ 1 −
f
ωµ
ωµ
1
=
⋅
βz
ω εµ
f gr
1 −
f
Dla fali typu H (TE) jest więc:
iz × ET =
Zf
f gr
1 −
f
2
2
=
Zf
f gr
1 −
f
2
= HT
Wnioski:
1) Składowe poprzeczne pola elektrycznego i magnetycznego są wzajemnie prostopadle
ET ⊥ H T
2) Składowe poprzeczne pola elektrycznego i magnetycznego są współfazowe (Zf jest
rzeczywiste, musi być f>fgr),
3) Związek ilościowy pomiędzy ET i HT jest podobny do tego związku dl fali płaskiej lub
f
pola TM (E) w falowodzie – tutaj Zf jest podzielone przez 1 − gr
f
2
110
6.5. Rodzaj podstawowy
Dany jest falowód o wymiarach a×b. Mogą się w nim rozchodzić pola typu TM lub TE (E lub
H). Częstotliwość graniczna określona jest tym samym wzorem:
2
2
v m
n
+
2 a
b
v
2
=
=
2
2
f gr
m
n
+
a
b
f gr =
λ
gr
Częstotliwość graniczna zależy od wielkości indeksów m i n
Rodzaj o najmniejszej częstotliwości granicznej fgr (lub o największej granicznej długości
fali λgr) w danym falowodzie nazywa się rodzajem podstawowym.
Pole Emn – m≠0, n≠0
Pole Hmn – m=0 lub n=0 – jest możliwy
Najniższą częstotliwość graniczną ma więc zawsze rodzaj H. Rodzajem podstawowym jest
więc rodzaj H01 lub H10.
m= 0
H 01
n= 1
λ
gr
=
m= 1
H 10
n= 0
λ
gr
=
2
n
0+
b
2
2
2
m
+ 0
a
= 2b
= 2a
a < b rodzajem podstawowym jest H01
(decyduje dłuższy bok)
a > b rodzajem podstawowym jest H10
Rodzaj podstawowy posiada najniższą częstotliwość graniczną. Tym samym –
Największą długością fali, przy jakiej w ogóle można falowodem przesyłać energię
elektromagnetyczną, jest graniczna długość fali dla rodzaju podstawowego.
111
Przykład: a =
b
2
rodzaj
H00
H01
H10 H02
H11
H12
H03
H13
H20 H04
λgr
–
2b
b
0,894b
0,707b
0,667b
0,544b
0,5b
rodzaj
E00
E01
E10 E02
E11
E12
E03
E13
E20 E04
λgr
–
–
–
0,894b
0,707b
–
0,544b
–
fgr1
fgr2
fgr3
fgr4
fgr5
fgr6
fgr7
Wnioski:
1) Największy „skok” w częstotliwości występuje pomiędzy fgr1 (rodzaj podstawowy) a fgr2
2) Dla 0<f<fgr1 w falowodzie fale nie mogą się rozchodzić.
3) Dla fgr1<f<fgr2 w falowodzie może rozchodzić się tylko jeden rodzaj podstawowy.
4) Dla f>fgr2 w falowodzie może równocześnie rozchodzić się kilka różnych rodzajów fal
W ostatnim przypadku – różne stałe przenoszenia βz, różne vf – efekty interferencyjne
niestabilne – wahania mocy w miejscu odbioru. Praktycznie wykorzystuje się więc zakres
fgr1<f<fgr2. W falowodzie prostokątnym jest on bardzo korzystny stosunkowo szerokie pasmo
(przy a:b=1:2 – fgr1:fgr2=1)
Rozkład pola fali TE
H01
112
Rozpływ prądów w ściankach falowodu:
Szczeliny w ściankach falowodów
Szczelina typu A – równoległa do linii prądów powierzchniowych, nieco ten rozpływ zakłóca,
mało – gdy wąska nie powoduje zmian w przepływie energii wewnątrz falowodu, szczeliny
pomiarowe – sondy,
Szczelina typu B – przecinają linie prądu, brzegi szczeliny ładują się, w szczelinie powstaje
pole E , prąd przesunięcia J d , pole H - szczelina wypromieniowuje energię. Wykorzystanie
– anteny falowodowe, sprzęganie dwóch falowodów.
Pobudzanie falowodu
Pobudza się za pomocą „antenek” – sonda lub pętla.
113
– w jakiejś fazie.
Pole wnikające do falowodu można
przedstawić jako superpozycję szeregu
rodzajów falowodowych.
Największą amplitudę będą miały te rodzaje,
które
najlepiej
„pasują”
do
pola
pobudzającego. Inne rodzaje będą miały
amplitudy bardzo małe.
Przykład:
Rozkład pola elektrycznego
dla kilku rodzajów:
H01
H10
H11
H02
H20
H12
Pobudzenie:
lub
Odbiór energii – odbywa się na tych samych zasadach, za pomocą sondy lub pętli.
Falowody o przekroju kołowym
Metoda postępowania jest podobna jak dla falowodów prostokątnych. Stosuje się układ
współrzędnych walcowych oraz funkcje walcowe.
Wyniki są podobne – dla f < fgr fale nie mogą się rozchodzić.
Przy f > fgr występują różne rodzaje pola. Oznaczenia rodzajów – wg miejsc zerowych funkcji
Bessella, nieco inne dla falowodów prostokątnych ( inna kolejność ).
Falowód o promieniu a
Rodzaj fali
H11
E01
λgr
3,41a
2,61a
↑
rodzaj podstawowy
H21
2,06a
H01
E11
1,64a
H31
1,496a
114
Zakres częstotliwości przy rodzaju podstawowym jest mniejszy niż dla falowodu
prostokątnego – fgr2 : fgr1 = 1,3 : 1.
Rozkład pola dla H11:
Przewód koncentryczny
Główny sposób przenoszenia energii w przewodzie koncentrycznego - fala TEM (rodzaj T).
Rodzajem podstawowym jest rodzaj T o częstotliwości granicznej (fgr)podst = 0.
Poza falą TEM możliwa jest również fala TE lub TM.
Największą długość fali λgr wśród rodzajów falowodowych ma fala H11
λ
gr
≅ π ( R w + R z ) = 2π
Rw + R z
2
λgr jest więc proporcjonalne do średniego obwodu przestrzeni
między płaszczami.
Przewód koncentryczny może przenosić energię elektromagnetyczną jako falę T przy
dowolnych częstotliwościach, począwszy od prądu stałego f=0.
Po przekroczeniu fgr pierwszego z rodzajów falowodowych (H11) pojawia się inne pole o
różnych β i vf - wystąpią zniekształcenia, wahania mocy itp.
W praktyce stosuje się więc przewody koncentryczne w zakresie
( )Η
0 ≤ f < f gr
11
.
Pasmo przenoszenia przewodu koncentrycznego można więc zwiększyć zmniejszając
średnicę przewodu.
Wady:
1) trudności produkcyjne ze względu na tolerancję,
2) maleje dopuszczalna natężenia pola – maleje moc
3) rośnie tłumienie fali.
115
W praktyce :
Tłumienie fal w falowodach
Ścianki w rzeczywistych falowodach mają skończone przewodnictwo – przy przepływie
prądów powierzchniowych wydziela się ciepło Joule’a – druty, tłumienie fali.
Przykład 1) Falowód prostokątny
falowód Cu
2,54 × 5,08 mm
Wzrost tłumienia – dla malejącej f – zbliżamy się do fgr, pole wykazuje silny zanik,
dla
rosnących f – maleje głębokość wnikania (maleje „przekrój”
przewodów dla prądów).
Przykład 2) – Falowód kołowy
2a = 5,08 mm
falowód Cu
Szczególnie korzystny przebieg dla rodzaju H01 – malejące tłumienie – następuje koncentracja
pola w środku falowodu, pole przy ściankach słabnie, efekt przewyższa malenie głębokości
wnikania.
Uwaga – korzystny rodzaj H01 nie jest rodzajem podstawowym!
116
6.6. Prostopadłościenny rezonator wnękowy
Przypomnienie z obwodówki – Jeżeli w obwodzie LC wzbudzimy drgania
elektromagnetyczne o częstotliwości rezonansowej (własnej) układu, wówczas obwód
„magazynuje” energię w ten sposób, że ustawicznie zachodzi zamiana energii pola
elektrycznego w energie pola magnetycznego i na odwrót. W idealnym obwodzie stan taki
może trwać nieskończenie długo – bez strat (pomija się tu wypromieniowanie energii).
Rozpatrzymy rezonator prostopadłościenny, wykonany z doskonałego przewodnika,
wypełniony jednorodnym, bezstratnym dielektrykiem
ε, µ = const, σ = 0.
Równanie falowe dla przebiegu
harmonicznego
∆ E− χ 2 E= 0
Warunek brzegowy na ściance
Et = 0
Stosując metodę rozdzielania zmiennych i spełniając warunek brzegowy otrzymuje się:
γ 2x + γ 2y + γ 2z = γ 2
mπ
E x = Acos
a
mπ
E y = Bsin
a
nπ
x sin
y sin
b
nπ
x cos
y sin
b
mπ nπ
E z = Csin
x sin
y cos
a b
pπ
z
c
pπ
z
c
pπ
z
c
⋅ e jω t
m, n, p – liczby całkowite.
Współczynniki (amplitudy) A, B i C nie mogą być dowolne. Podstawiając do div E = =0
otrzymamy:
m
n
p
A+ B + C = 0
a
b
c
Pole magnetyczne obliczamy z równania rot E = − jω µ H
j
H=
rot E
ωµ
117
π
ωµ
π
Hy = j
ωµ
π
Hz = j
ωµ
Hx = j
n
( C−
b
p
( A−
c
m
( B−
a
p
mπ
nπ
pπ
B ) sin(
x ) cos(
y ) cos(
z)
c
a
b
c
m
mπ
nπ
pπ
C ) cos(
x ) sin(
y ) cos(
z)
a
a
b
c
n
mπ
nπ
pπ
A ) cos(
x ) cos(
y ) sin(
z)
b
a
b
c
Z analizy powyższych zależności można wywnioskować, że tylko jeden z indeksów m, n, p,
może być równy zeru.
Pole
E i H nie zawiera czynnika typu eαx, lub eat, ani amplituda pola nie maleje z
odległością, ani nie ma zaniku w czasie – drgania rezonatora są nietłumione.
Podstawiając wzory na Ex, Ey, lub Ez do równania falowego ∆ E − γ 2 E = 0 otrzymujemy wzór
na stały χmnp, stąd obliczamy częstotliwość rezonansową
f mnp =
v
2
2
2
m
n
p
+ +
a
b
c
2
Częstotliwości tej odpowiada długość fali w nieograniczonym ośrodku
λ
mnp
=
2
2
2
m
n
p
+ +
a
b
c
2
We wnęce można wzbudzić nieskończenie wielką ilość różnych drgań własnych o różnych
częstotliwościach.
W teorii obwodów – tylko jeden rezonans, bo uwzględnia się tylko jeden typ pola. Obecnie
różne drgania własne mają różne układy pola.
Rodzaj drgań odpowiadający najbliższej częstotliwości własnej nazywa się rodzajem
podstawowym.
Przykład – sześcian a = b = c
rodzaje 110, 101 lub 011
λ podst = a 2
Długość fali drgań własnych rezonatora wnękowego jest rzędu jego wymiarów
geometrycznych.
We wzorach na E i H występują amplitudy A, B i C, dwie z nich są dowolne, trzecia wynika
ze związków.
Niech A ≠ 0, B = 0 ⇒ C ≠ 0 , gdy A – liczba rzeczywista, to również C jest liczbą rzeczywistą.
Składowe Ex, Ey, Ez są wówczas rzeczywiste, a składowe Hx, Hy, Hz - urojone.
118
Pole magnetyczne jest przesunięte w fazie o
π
względem pola elektrycznego.
2
Oznacza to, że w chwili, gdy E=0 w rezonatorze, pole magnetyczne przyjmuje wartość
maksymalną i na odwrót.
Przy drganiach własnych rezonatora następuje nieprzerwana przemiana energii pola
elektrycznego w energię pola magnetycznego i na odwrót.