Pytania teoretyczne 1. Poka˙z, ˙ze w modelu ze stał ˛a
Transkrypt
Pytania teoretyczne 1. Poka˙z, ˙ze w modelu ze stał ˛a
Pytania teoretyczne 1. Pokaż, że w modelu ze stała˛ suma reszt jest równa zeru. Rozwiazanie ˛ W modelu ze stała˛ X= X 0e = 1 1 .. . x21 x22 .. . x31 x32 .. . 1 x2N x3N 1 x21 x21 .. . 1 x22 x32 .. . xK1 xK2 ··· ··· ··· ··· ··· xK1 xK2 .. . · · · xKN e1 1 e2 x2N x3N e3 . .. . .. = eN xKN 0 0 0 .. . 0 0 0 Xe=0⇒le=0 2. Kiedy mówimy o wyst˛epowaniu heteroskedastyczności w modelu - jakie założenie KM RL nie jest spełnione w przypadku wyst˛epowania heteroskedastyczności? Rozwiazanie ˛ O wyst˛epowaniu hetoroskedastyczności w modelu mówimy, gdy wariancja bł˛edu losowego nie jest stała. Jeśli wyst˛epuje heteroskedastyczność to złamane jest założenie KM RL, że Var (εi ) = σ 2 dla każdego i = 1, . . . , n Z ADANIE 1 Analizowany jest nast˛epujacy ˛ model: ci = β1 + β2 yi + β3 pi + εi , (+) gdzie ci oznacza logarytm nominalnych wydatków i-tego gospodarstwa domowego na żywność, yi jest logarytmem jego nominalnego dochodu, a pi - logarytmem indeksu cen żywności. 1. Jaka˛ należałoby przetestować w ramach tego modelu hipotez˛e żeby zbadać, czy inflacja nie wpływa na wartość spożycia żywności w wyrażeniu realnym? Podpowiedź: Załóż, że indeks cen żywności, dochody i spożycie w wyrażeniu nominalnym sa˛ równe indeksowi cen (relatywnych), dochodom i spożyciu w wyrażeniu realnym pomnożonym przez deflator (indeks inflacji ogółem). 2. Jaka jest interpretacja β2 w tym modelu? 3. W przypadku gospodarstw wiejskich poziom dochodu zależy od cen żywności. Jaki problem ekonometryczny może z tego powodu wystapić ˛ dla tej grupy gospodarstw? 4. Jeśli miejsce zamieszkania wpływa na ci , a estymowany jest model (+), to jakie b˛eda˛ własności estymatora MNK? 5. Jeśli miejsce zamieszkania nie wpływa na ci , ale w estymowanym modelu zawarte sa˛ zmienne zero-jedynkowe zwiazane ˛ z miejscem zamieszkania, to jakie b˛eda˛ własności estymatora MNK? 6. Niech Dmi , Dwi b˛eda˛ zmiennymi zero-jedynkowymi zdefiniowanymi w nast˛epujacy ˛ sposób: Dmi = 1 0 gospodarstwo miejskie , gospodarstwo wiejskie Dwi = 1 gospodarstwo wiejskie . 0 gospodarstwo miejskie Zdefiniowano nast˛epujace ˛ modele: A: ci = β1 + β2 yi + β3 p1i + β4 Dmi + β5 Dwi + εi B: C: ci = β2 yi + β3 p1i + β4 Dmi + β5 Dwi + εi ci = β1 + β2 yi + β3 p1i + β4 Dmi + εi D: ci = β1 + β2 yi + β3 p1i + β4 Dwi + εi . Które z modeli można użyć, aby przetestować hipotez˛e, że umiejscowienie gospodarstwa domowego nie wpływa na poziom wydatków na żywność? 1 Rozwiazanie: ˛ 1. Oznaczmy jako c∗i , yi∗ realne spożycie i dochody a jako p∗i indeks realnych cen żywności. Oznaczmy przez ii logarytm deflatora. Konsumpcja w wyrażeniu nominalnym jest równa ci = c∗i +ii . Dochody w wyrażeniu nominalnym sa˛ równe yi = yi∗ + ii . Indeks ceny żywności jest równy pi = p∗i + ii . Nasz model można zapisać jako c∗i + ii = β1 + β2 (yi∗ + ii ) + β3 (p∗i + ii ) + εi , c∗i = β1 + β2 yi∗ + (β2 + β3 − 1) ii + β3 p∗i + εi Na spożycie realne nie b˛edzie wpływała inflacja jedynie dla β2 + β3 − 1 = 0. Hipoteza o braku wpływu inflacji na spożycie realne żywności powinna być testowana za pomoca˛ testu F badajacego ˛ nast˛epujace ˛ ograniczenie na parametry modelu: β2 + β3 = 1. 2. Współczynnik β1 w tym modelu, to elastyczność wydatków na żywność wzgl˛edem dochodu. 3. Wystapi ˛ współliniowość dochodu i poziomu cen. 4. Pomini˛eta zostanie jedna ze zmiennych objaśniajacych, ˛ co spowoduje obcia˛żenie estymatora MNK. 5. Uwzgl˛ednienie w estymowanym modelu zmiennej objaśniajacej, ˛ dla której w rzeczywistości β = 0, spowoduje, że estymator MNK stanie si˛e nieefektywny (b˛edzie miał za duża˛ wariancj˛e), choć dalej b˛edzie nieobcia˛żony. 6. Tylko model A nie nadaje si˛e do weryfikacji hipotezy mówiacej ˛ o wpływie miejsca zamieszkania na spożycie, ponieważ tylko w tym modelu wyst˛epuje pełna współliniowość. Suma kolumn ze zmiennymi zerojedynkowymi Dwi i Dmi jest równa kolumnie jedynek. Z ADANIE 2 Mamy regresje: 1. (a) yi na x1i (b) yi na x1i , x2i (c) yi na x1i , x2i , x3i Odpowiedzieć na nast˛epujace ˛ pytania: 1. Jaka zachodzi relacja mi˛edzy RSS w regresjach? 2. Jaka zachodzi relacja mi˛edzy R2 w tych regresjach? 3. Jeśli przeprowadzimy regresj˛e yi − x1i na x2i i x3i , to jaka b˛edzie relacja mi˛edzy RSS z tej regresji a RSS z regresji z regresji nr 1c? Podpowiedź: Zastanów si˛e jak można sprowadzić ostatnia˛ regresj˛e do regresji z ograniczeniem nałożonym na elementy wektora b. Rozwiazanie: ˛ 1. W kolejnych regresjach mamy coraz wi˛ecej zmiennych, z własności MNK wynika, że RSS maleje wraz z dodawaniem zmiennych a wi˛ec RSS1 ≥ RSS2 ≥ RSS3 . 2. Ponieważ R2 = 1 − RSS ec R12 ≤ R22 ≤ R32 . R2 rośnie T SS a T SS jest takie samo dla wszystkich regresji, wi˛ wraz z dodawniem zmiennych. 3. Regresj˛e yi − x1i na x2i i x3i można zapisać jako yi − x∗1i = b∗2 x2i + b∗3 x3i + e∗i . Przenoszac ˛ x1i na druga˛ stron˛e uzyskujemy: yi = 1×x1i +b∗2 x2i +b∗3 x3i +e∗i . Estymator M N K znajdujemy w tej regresji minimalizujac ˛ sum˛e kwadratów reszt wzgl˛edem b∗2 i b∗3 dla b∗ = (1, b∗2 , b∗3 ). Jest to wi˛ec regresja z ograniczeniem b1 = 1. Regresja z ograniczeniami daje zawsze wi˛eksza˛ sum˛e kwadratów niż regresja bez ograniczeń. W rezultacie RSS dla regresji yi − x1i na x2i i x3i musi być wi˛eksze niż w regresji (1c). 2 Z ADANIE 3 Mamy model liniowy postaci yi = β0 + β1 xi + εi , i = 1, . . . , n (*) E (εi ) = 0, Var (ε) = σ 2 I xi nielosowe. Szacujemy β1 za pomoca˛ estymatora Pn Pn Pn n i=1 xi yi − i=1 xi i=1 yi βb1 = Pn Pn 2 n i=1 x2i − ( i=1 xi ) ³ ´ 2 Można pokazać, że Var βb1 = Pn 2nσ Pn 2 n i=1 xi −( i=1 xi ) 1. Udowodnić, że przy podanych założeniach estymator βb1 jest nieobcia˛żony. 2. Podać postać estymatora M N K parametru β w modelu yi = βxi + εi , i = 1, . . . , n (**) 2 E (εi ) = 0, Var (ε) = σ I gdzie xi nielosowe. Podać wzór na wariancj˛e tego estymatora. 3. Pokazać jeśli do oszacowania parametru przy xi zastosujemy estymator z punktu (2) w sytuacji, kiedy prawdziwy jest model (*), to estymator ten b˛edzie obcia˛żony. Policzyć to obcia˛żenie. 4. Pokaż, że jeśli prawdziwe sa˛ założenia modelu (**), to estymator βb b˛edzie nieobcia˛żony ale b˛edzie miał wariancje wi˛eksza˛ lub równa˛ wariancji estymatora z punktu (2) zastosowanego do tego modelu. Pn Pn 2 Podpowiedź: skorzystaj z tego, że n i=1 x2i ≥ ( i=1 xi ) Rozwiazanie: ˛ 1. Nieobcia˛żoność ³ E βb1 ´ # " P Pn Pn n n i=1 xi yi − i=1 xi i=1 yi =E Pn Pn 2 n i=1 x2i − ( i=1 xi ) Pn Pn Pn n i=1 xi E (yi ) − i=1 xi i=1 E (yi ) = Pn Pn 2 n i=1 x2i − ( i=1 xi ) z formy modelu E (yi ) = β0 + β1 xi ³ ´ n Pn x (β + β x ) − Pn x Pn (β + β x ) 0 1 i 0 1 i i=1 i i=1 i=1 i E βb1 = Pn Pn 2 2 n i=1 xi − ( i=1 xi ) Pn Pn Pn Pn 2 nβ0 i=1 xi + β1 i=1 x2i − nβ0 i=1 xi − β1 ( i=1 xi ) = Pn Pn 2 n i=1 x2i − ( i=1 xi ) = β1 2. Postać estymatora M N K w modelu z jedna˛ zmienna˛ objaśniajac ˛ a˛ b˛edzie nast˛epujaca ˛ Pn ¡ ¢−1 0 xi yi b = X 0X X y = Pi=1 n 2 i=1 xi ¡ ¢−1 σ2 Var (b) = σ 2 X 0 X = Pn 2 i=1 xi 3. µ Pn ¶ Pn x E (y ) xi yi i=1 Pn i 2 i E (b) = E Pn = i=1 2 x i=1 xi Pn Pn i=1 i xi x (β + β x ) i 0 1 i i=1 P = β0 Pni=1 2 + β1 = n 2 i=1 xi i=1 xi Pn x obcia˛żenie jest równe β0 Pni=1 x2i i=1 i 3 4. Wariancja estymatora M N K wynosi σ2 Var (b) = Pn i=1 n x2i n X i=1 ≤ x2i n − Pn i=1 à n X nσ 2 x2i − ( i=1 4 i=1 !2 xi i=1 à n X Pn ≤n xi n X i=1 !2 ≥0 2 xi ) x2i ³ ´ = Var βb1