kształt równania różniczkowego cząstkowego rozwiązującego klasę

M E C H AN I K A
TEORETYCZNA
I STOSOWANA
3, 12 (1974)
KSZTAŁT RÓWN AN IA RÓŻ N ICZKOWEGO CZĄ STKOWEG O ROZWIĄ ZUJĄ CEG O
KLASĘ P OWŁ OK PROSTOKREŚ LN YCH ROZWIJALN YCH
STANISŁAW B I E L A K (G LIWICE)
1. Wstę p
Podawane w literaturze technicznej równania rozwią zują ce powł oki dotyczą jedynie
powł ok walcowych i stoż kowych, których powierzchnie ś rodkowe są utworzone przez
proste przecinają ce okrę gi pod ką tem prostym, na przykł ad [2, 3]. Równania róż niczkowe
czą stkowe, rozwią zują ce te powł oki, posiadają róż ną budowę , zarówno w odniesieniu do
ich rzę du, jak i kształ tu niektórych czł onów. Wystę pują ce róż nice w rozpatrywanych
równaniach rozwią zują cych tego samego rzę du uwidaczniają się w kształ cie czł onów
wewnę trznych tych równań, to znaczy czł onów zawierają cych niż sze pochodne czą stkowe
e pochodne
od stopnia okreś lają cego rzą d równania róż niczkowego z jednej strony i wyż sz
czą stkowe od wyrazu skrajnego prawego o najniż szej pochodnej, z drugiej strony.
Przeprowadzona analiza wykazał a, że o ile róż nica dotyczą ca rzę du równania ma
swoje uzasadnienie we wprowadzonych przez poszczególnych badaczy zał oż eniach upraszczają cych, to kształ t czł onów wewnę trznych równania rozwią zują cego zależy od sposobu
przeprowadzania rachunku i odrzucania w trakcie rugowania zmiennych wielkoś ci mał ych
wyż szeg
o rzę du. M ał a stabilność kształ tu czł onów wewnę trznych równania rozwią zują cego nasunę ł a wniosek, że czł ony te nie mają istotnego wpł ywu na rozwią zania w ramach
teorii uproszczonej.
Treś cią pracy bę dzie mię dzy innymi wykazanie sł usznoś ci wysunię tego wniosku dają cego istotne uproszczenie równania róż niczkowego czą stkowego rozwią zują cego klasę
powł ok prostokreś lnych rozwijalnych. P roblem ten nabiera szczególnego znaczenia w numerycznym sposobie rozwią zania, prowadzonym przy uż yciu maszyn cyfrowych, a tylko
taki moż emy brać pod uwagę , bo jak się okazuje, ź e l poję ta dokł adność prowadzą ca do
równaii rozwią zują cych niestabilnych daje w niektórych przypadkach macierz rozwią zują cą równanie róż niczkowe, która jest macierzą osobliwą z uwagi na wystę pują ce «zera
maszynowe». Rozwią zanie numeryczne równania róż niczkowego niestabilnego, przy
uż yciu okreś lonej maszyny cyfrowej, staje się wię c czasem niemoż liwe.
Odrzucenie w równaniu róż niczkowym rozwią zują cym czł onów mał o stabilnych, nie
mają cych istotnego wpł ywu na wyniki, prowadzi do równania róż niczkowego stabilnego,
dają cego rozwią zanie numerycznie poprawne również w tych przypadkach, gdzie uprzednio był o to niemoż liwe.
2. Ogólny ukł ad równań
Ogólny ukł ad równań powł ok prostokreś lnych rozwijalnych, podany w tym rozdziale,
jest napisany dla parametryzacji naturalnej w oparciu o pracę [1].
266 S. BIELAK
2.1. Opis geometryczny powierzchni ś rodkowej powł oki. Równanie wektorowe powierzchni
prostokreś lnej
2
(2.1) 2
7=p{u )W liu ),
u1, u2 — współ rzę dne krzywoliniowe na powierzchni; u1 okreś al poł oż enie pun ktu n a tworzą cej, u2 wskazuje tworzą cą, na której leży punkt.
Współ czynniki pierwszej i drugiej formy róż niczkowej oraz ich wyróż niki
gn = gii = \ / Eiit I,
*aa- |?a+ u ł £|a
2
(2.2) z = *2 2 [l- '(7f) ],
btl = 0,
b12 = b2i = 0,
*22 = gamin,
b = 0 .
2.2. Zwią zk
i geometryczne powł oki. Współ czynniki pierwszej i drugiej formy róż niczkowej
powierzchni odkształ conej
g\ j
{ ' • W
Zwią zek skł adowych przemieszczenia z tensorem odkształ cenia bł onowego
(2- 4) yij = - j^ Jj^ +wlhgjid- w^ ij.
2.3. Zwią zk
i fizyczne. Zwią zki fizyczne wią ż ąe c naprę ż eni
a z odkształ ceniami, dla
wersji uproszczonej mogą być zadane w postaci
iJ
N = M iJ = N'J+6HM'J,
M iJ+£h2HN iJ,
gdzie
(2.6)
oraz | — parametr stał y.
N iezmienniki A i i? wystę pują e c w (2.6) są sumami
(2.7) ^
B = g<JQij.
KSZTAŁT RÓWNANIA RÓŻ NICZKOWEG
O CZĄ STKOWEGO 267
2.4. Równania równowagi. U kł ad równań równowagi dla powł ok w zapisie tensorowym:
N %- Qlb{+Pj = 0,
N iJbiJ+QJ\ j+P3 (2.8) = 0,
M%- Q{ - 0.
Przejś cie do współ rzę dnych fizycznych, to znaczy odniesionych do bazy jednostkowej,
wyglą da nastę pują co:
2, =
= - y ^j- Mi2, Mi2 = y
n
U waga: po i, / n ie sumować.
Symbol „ ~ 1 " oznacza współ rzę dną fizyczną .
2.5. Równania nierozdzielnoś d. Równania nierozdzielnoś ci dla wersji uproszczonej, przy
zał oż eniu 2hH <^ 1 — (2hH mał e w porównaniu z jednoś cią ) — przyjmują postać:
Ii = = 0,
(2.10) - 0,
flaali- G aila iJ
2bb = 2y12\ 12- yn\ 22- y22\ n.
3. Rozwią zanie ogólnego ukł adu równań
J
Jeś i l do pierwszych dwóch równań ukł adu (2.8) podstawimy N' z (2.5), to wówczas
otrzymamy
Ń tJ\ t+pJ = 0,
(3.1) 3
Ń %j+P
m 0.
Wystę pują ce w (3.1) wielkoś ci Pj, P3 są funkcjami obcią ż eń, wymuszają cymi stan bł onowy, jeś i l ukł ad równań równowagi (3.1) potraktujemy jako ukł ad równań stanu bł onowego. Wyjaś nienie takiego postę powania został o podane w pracy [1].
J
3
F unkcje P , P opisują wzory:
(3
.2) PJ = 6(HM l%- Qlb{+PJ,
P 3 =
268
S. BIELAK
Rozpisany ukł ad równań (3.1) dla powł ok prostokreś lnych — rozwijalnych, przyjmuje
postać
1
Ń ^+N ^h
+ P = 0,
(3.3) N^lt+Ń ^
2
+ P = 0,
22
3
N bz2+P = 0.
22
Z trzeciego równania ukł adu (3.3) obliczymy AT ;
# «= -
(3.4)
a nastę pnie podstawimy (3.4) do drugiego równania (3.3) i wyznaczymy
3
I P
= -
(3.5)
\ b2
2
- P.
Rugują c z pierwszych dwóch równań (3.3) wielkość W 1 2 otrzymamy
2\ —
12 ~
ską d po wykorzystaniu (3.4) uzyskamy
(3.6)
Zróż niczkujmy kowariantnie wyraż enia (3.4) i (3.5) wzglę dem zmiennej w1, pierwsze
dwukrotnie, a drugie jednokrotnie, a nastę pnie utwórzmy sumę
(3.7)
iJ
Sumę gijN moż emy obliczyć z pierwszego wyraż enia (2.6)
(3- 8) gtjNii =
a wówczas wyraż enie (3.7) przyjmie postać
(3.7')
Zróż niczkujmy kowariantnie pierwsze równanie (3.1) wzglę dem u
(3.9) m
1
Ń iJ\ ij+PJ\ j = 0.
lJ
Obliczone odpowiednie pochodne kowariantne tensora kontrawariantnego y , uzyskanego z (2.4), przy wykorzystaniu zależ nośi [1];
c
(3.10) A = w\ \ k - 2Hw3,
podstawione do pierwszego zwią zku (2.5), dadzą
KSZTAŁT RÓWNANIA RÓŻ NICZKOWEG
O CZĄ STKOWEGO 269
Podstawiają c powyż sze wyraż enie do (3.9), otrzymamy;
—
} n = 0.
1
Jeś i l teraz zróż niczkujemy kowariantnie powyż sze równanie wzglę dem zmiennej u ,
a nastę pnie w miejsce A\ tl podstawimy (3.V), to wówczas bę dzie:
- giJ[gklglj~l ^ + 2glkP\ - Pk\ Ą
(3.11) J
i
iJ
3
+{2Eh[(2Hg J- b )w }\ ij +
3
Wystę pują ce w (3.11) funkcje P , P , jak to zostanie wykazane, są funkcjami zależ nymi
J
3
3
od zadanych obcią ż eń P , P i tylko przemieszczenia w . Tak wię c równanie (3.11) jest
3
równaniem róż niczkowym zawierają cym jedynie niewiadomą funkcję w , czyli jest równaniem rozwią zują cym klasę powł ok prostokreś lnych — rozwijalnych.
Pierwsze dwa równania nierozdzielnoś ci bę dą speł nione, jeś i l przyjmiemy
Qlj = 1
2
&\ ij,
1
2
gdzie 0 = ^(u , u ) jest funkcją zmiennych w , u .
3
Wychodzą c ze zwią zku tensora gy z przemieszczeniami w\ w — patrz praca [1],
moż emy powyż szą równoś ć, w ramach uproszczonej teorii, zastą pić zwią zkiem
(3.12) gy = i -
W
«|y.
lJ
Wtedy momenty M opisane wyraż eniem (2.6) bę dą równe
(3.13) jfir« - - jŹ ~^ [O - » ) W n +vgiJW],
gdzie
W=2B**gUw*\ tJ.
(3.14) Podstawiają c do trzeciego równania (2.8) drugi zwią zek (2.5) z obliczonymi pochodnymi kowariantnymi w oparciu o wyraż enia (3.13) i (3.14) uzyskamy
Qj = -
(3.15) tJ
J
Mają c M i Q okreś lone wyraż eniem (3.13) i (3.15), moż emy po odrzuceniu wielkoś ci
mał ej rzę du wyż szego wystę pują cej w (3.15) opisać funkcje obcią ż ńe wymuszają cych
(3.2) za pomocą funkcji w3
(3.2')
Korzystają c z (3.9) wprowadzimy dalsze uproszczenia w równaniach (3.7') i (3.11),
bo dla celów porównawczych, okreś lają cych rzą d wielkoś ci, moż na przyją ć w oparciu
iJ
o równanie (3.9'), ż e: j^W jest porównywalne z g W\ ij, natomiast W odniesione do
270 S. BIELAK
giJW\ ij jest wielkoś cią mał ą rzę du wyż szeg
o dla powł ok cienkich speł niają cych warunek
2hH Ą 1.
D owód wysunię tego stwierdzenia o pomijalnoś ci pewnych wyrazów jako wielkoś ci
mał ych wyż szeg
o rzę du moż na przeprowadzić nastę pują co: wielkość - p- W jest porównyiJ
walna z wielkoś cią g W\ ij z zał oż enia, gdyż obie wielkoś ci są tego samego rzę du, czyli
moż emy napisać
Powyż sza równość jest sł uszna jedynie dla okreś lenia rzę du wielkoś ci W i dlatego nie
moż na się nią posł uż yć do wyznaczenia samej wielkoś ci W.
U twórzmy wyraż enie
J
w którym nastę pnie czł on g' W\ tj zastą pimy wielkoś cią - TTW na podstawie pierwszej
równoś ci, czyli otrzymamy
3
D la powł ok cienkich wielkość - rj jest wielkoś cią dużą rzę du wyż szeg
o w stosunku do 1,
3
bo na przykł ad dla powł oki ż elbetowej o gruboś ci 2/i = 0,2 m, bę dzie - p- = 300, a dla
powł oki stalowej o gruboś ci 2h = 0,02 m, bę dzie - p- = 30 000.
W ramach liniowej teorii, pomijają c wielkoś ci mał e wyż szeg
o rzę du, napiszemy
iJ
o rzę du, czego naleczyli wielkość W odniesiona do g W\ ij jest wielkoś cią mał ą wyż szeg
ż ało dowieś ć.
Procentowy bł ą d odrzucenia wyrazu mał ego, dla powł oki stosunkowo grubej, dla
3
której - p- = 300, nie przekracza wię c 0,5%.
Powyż sze analityczne obliczenie bł ę du wynikają cego z odrzucenia czł onów mał ostabilnych został o potwierdzone numerycznie przeliczonymi przykł adami. Przeliczona
powł oka walcowa ż elbetowa, dla której h = 0,1 m, wzorami ś cisł ymi i uproszczonymi,
(patrz zał ą czone tablice) wykazuje również róż nice nie przekraczają ce 0,5%. '
Wersja uproszczona równań (3.7') i (3.11) może wię c przyją ć postać
P3
(3.16)
33
11
W> 2
klij
KSZTAŁ T RÓWN AN IA RÓŻ N ICZKOWEGO CZĄ STKOWEG
O • 271
3
Jeś i l do drugiego równania (3.16) wprowadzimy funkcję P z ukł adu (3.2') z odrzuconym
iJ
i}
czł onem 6HM bij jako wielkoś cią mał ą w porównaniu z g W\ t]s to wówczas otrzymamy
nastę pują e c równanie róż niczkowe czą stkowe rzę du ósmego, rozwią zująe c powł oki prostokreś lne rozwijalne
(3.17)
gdzie
/ P3 \
k
J22
i- (l+v)P lkiX.
ktij
D la przykł adu napiszemy równanie (3.17) dla powł oki walcowej, sparametryzowanej
w ukł adzie ortogonalnym naturalnym.
Jeś i l a bę dzie promieniem walca, powierzchni ś rodkowej powł oki, to jej wielkoś ci
geometryczne przyję e t z pracy [1] bę dą równe
2
gn = 1. £12 = gn = 0, g22 = g = a ,
b±1 = b12 = 6 2 i = 0, b22 = a, b = 0,
MT- - J, i?, = 0.
Pochodne kowariantne dla powł oki walcowej w parametryzacji naturalnej, przejdą
w pochodne zwykł e, ponieważ symbole Christoffela drugiego rodzaju są równe zeru.
Równanie róż niczkowe (3.17), rozwią zująe c powł oki walcowe dowolnie obcią ż on
e
i podparte, przyjmie postać
(3.19) Wjjjp l^g
przecinek «,» oznacza pochodną zwykł ą.
Osiowa symetria odkształ ceń, wystę pują a c przy obcią ż eni
u i podparciu powł oki osiowo- symetrycznym, obniża rząd równania (3.19) i powoduje jego przejś cie w równanie
zwyczajne rzę du czwartego
(3 20) W (3- 20) gdzie
^, 1111+ i W - ' V - {ahy W - **P
W-
2Eh3a
F,
W - wiu', P- aPfu- vPh.
D la porównania wpł ywu wprowadzonych do równań (3.7') i (3.11) uproszczeń, dających uproszczony ukł ad równań (3.16) rozwią zująy c powł oki prostokreś lne rozwijalne,
zostanie przeliczony przykł ad liczbowy wzorami uproszczonymi i uś ciś lonymi
. W przykł adzie rozpatrzona zostanie powł oka walcowa odkształ cają ca się osiowo- symetrycznie.
Odpowiednikiem równania rozwią zują ceg
o uproszczonego (3.20), dla tego przykł adu,
bę dzie równanie róż niczkowe uś ciś lon
e otrzymane z (3.11), po wykorzystaniu odpowiednich
wielkoś ci geometrycznych (3.18). Równanie uś ciś lon
e rozwią zująe c powł oki walcowe,
odkształ calne osiowo- symetrycznie, przyjmie kształ t
("O V „ „ 1 + ^ r „ + ^ w. ^ g l
272
S. BIELAK
Inna droga postę powania podana w pracy [1] doprowadzi do równania rozwią zują cego (3.21) róż nią cego się jedynie parametrem przy pochodnej wewnę trznej W, lx. Wprowadzają c w równaniu (3.21) parametr X jako wielkość zależ ną od sposobu upraszczania,
to znaczy odrzucania wielkoś ci mał ych wyż szeg
o rzę du w trakcie rugowania zmiennych,
moż emy ogólnie napisać
(3.22) I
N iestabilność czł onu wewnę trznego, lewej strony równania (3.22), nasunę ł a przypuszczenie, że czł on ten nie ma istotnego wpł ywu na rozwią zanie. Bliż sze badanie tego zagadnienia pozwolił o wprowadzić uproszczenia, w ramach przedstawionej teorii, dają ce
ukł ad równań (3.16), z którego uzyskano równanie stabilne (3.17), rozwią zują ce powł oki
prostokreś lne rozwijalne.
4. Przykł ady
D ana jest powł oka walcowa zamknię ta o promieniu a i wysokoś ci / (17s. 1), zamocowana u swej podstawy i obcią ż ona parciem cieczy znajdują cej się wewną trz p. Wielkoś ci
sił wewnę trznych i przemieszczeń wystę pują cych w powł oce, dla róż nych rodzajów ma-
Rys. 1.
teriał ów, z których są utworzone powł oki, i róż nych sposobów obcią ż enia, wyznaczono
wzorami podanymi w pracy [1]. Obliczenie przykł adów liczbowych przeprowadzono
w oparciu o program realizują cy równanie róż niczkowe (3.22) przy zał oż eniu X = 0,
lub X =fr 0. Podane w tablicach wyniki uwzglę dniają X = 0 i X — 1 dla ż elbetu.
Wydrukowane w nagł ówkach tablic symbole oznaczają :
A = a promień walca,
H — h poł owa gruboś ci powł oki,
NI = v współ czynnik Poissona,
K SZ T AŁ T R ÓWN AN I A R ÓŻ N I C Z KOWE GO CZĄ STKOWEG O 273
E stał a sprę ż ystoś ,ci
N obcią ż enie stał e brzegu górnego,
P\ skł adowa obcią ż enia wzdł uż prostej tworzą cej,
P2> skł adowa obcią ż enia, wzdł uż prostej normalnej,
M l2 moment zginają cy w kierunku tworzą cej,
M2\ moment zginają cy w kierunku ł uku,
Ql sił a tną ca dział ają ca w kierunku normalnym do powł oki,
Nil sił a osiowa dział ają ca w kierunku prostej tworzą cej,
JV22 sił a osiowa dział ają ca w kierunku ł uku,
W\ przemieszczenie w kierunku tworzą cej powł oki,
Wi przemieszczenie w kierunku normalnym do powł oki.
Tablice 1 i 2 podają wartoś ci sił , momentów i przemieszczeń obliczone przy zał oż eniu
% = 1, dla zbiorników napeł nionych wodą o wymiarach: pierwszy o promieniu A = 2, 0 m
i wysokoś ci L = 50,0 m i drugi o promieniu A = 10,0 m i wysokoś ci L = 20,0 m.
Tablice 3 i 4 podają wartoś ci poszczególnych wielkoś ci fizycznych dla tych samych
zbiorników przy zał oż eniu 1 = 0. Porównanie wyników obliczonych wzorami uś ciś lony
mi i uproszczonymi, potwierdza sł uszność wprowadzonych uproszczeń, ponieważ odchył ki
są bardzo mał e i nie przekraczają 0,5% wartoś ci uzyskanych wzorami uproszczonymi.
Literatura cytowana w tekś cie
1. St. BIELAK, Ogólna teoria powł ok prostokreś lnych pracują cych w stanie zgię ciowym, P olitechnika Ś lą ska
,
Budown ictwo z. 33. G liwice 1973.
2. B. M . flAPH EBCKH fl, CóopHUK cmamefi, I I po^m ocTt niMHHflpHqecKHx^oeojioMeK, MocKBa 1959.
3. H . LU N D G R E N , Powł oki walcowe, Arkady, 1963.
• M "S 1? m \ , 1 1 1 1 1 I
S S l S S QS S S S S S S i S S S S S S S S S S S S S S S l Q
g S r t - i n t ^ - c ^ o t ^ ^ r ^ c ^ ^ t r ^ ^ o o o o o c h a ^ o o O r ^ ^ r a o c s r M y o o
or^o—it - '* 0\ '* ooT- i^- ^0'a- mrSi- < oooNoomoomCT> Tj- > nt - - o
1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 1
O
1!III111!!!!I13333!!!!3!III
1
• o S S S S S S S S S S S S S S S Q S S S S S Q S S S i a S ®
d »i n H M ' ł »o i n H M \ l i n H H N N N n i n l n »h l »o i r ! r i H
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
"g1 H H r I M N P I N N M N N M M N M r t M N N N M N M N M M N O
rt"
M m St - S- S
S S S S S S S S S S S Q S Q i S S S S S S S i a S S S
ri O ' t M M v i M t ^ \ 0 M v i r t ^ 0 \ ' - < O o o * o o o o « - < m i n ^ D c o o
. r*? X C, y 3 v o c S c ^ i - - t o m y 3 f ^ O c N > n O ( M C N f S r ^ f N c S f S r - i r H t ^ T - i o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
d o' o' o' d d o' o o' d o' o' d o o' d o' o' o' o o o' o o' o' d d d
i—i
s
•« ? ?c\ 7h" c- i | *t r^ faj °* 00 ^ M 1.11
T ł - O f ^ ^ f o o T j - o c - l o a i n ł - H o o i — : < o o o o \ \ o r n c n o o o o o o o »n o
( ^ o ^ ^ ^ o o u ^ m r ^ rt
o o o o o o c h ^ i o s ^ o o o o o o o o o o o S
rt H t ^ ^ N y> ^ ' H rt N >O N rt ^ ' \Ó S£) i « VO «) VO V£> \O ^O VO* «> o
1 i I 1 1 1 i 1 1 1 1 1 1 1 i 1 1 1 1 I 1 i
/ - *>
V g V0 f 0 i ^0 s ^a \ l > ^O r ^' - H t ^0 N O O 1 n »- H ^0 f S t i - »t r i r n c S 0 N f - -
1 1 1 1 1 1
Tł - 0> lo
! 1 1 1 1 i 1 1 ! I 1 1 1 t i I
o"
1! O O O ^
V ( S t s c s ^t f n Tf Tł - r - r - o o i - H M ON t ^i n i - w i n - ^ł - c ^o o o o o ' —IOOO
fcń I — i l O o o c N 1 o t ~ - T TO O ( 7 \ ' - < r ^r o o m o \ c o 1 s O O ' ^o o t - - ^»n ' * o O O O
w O O v O ^ f O ' T H O H r l H O O H r v l ^ f - h ^ f f i ' r i ^ ' H O O l O O l f i M n O
ro v i t n H V rt K H H H H a i \ d Tt r i M (S es H H N N n H H o i «5 t n O
8 II ^ C ^
i i i i i i i
"! C O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
o ł — i c s m ^ i n ^ o c - o o c h o o o o o o o o o o o o o o o o o o
_ _ 1274]
~
i "« nnnnnnnnnir < o
'5' QSSSSSSSSQSSi Si Sl SSSSSSl SSl
<^i O O ^^f O i - H O o o - d - o ^O f S t ^C v l f n o o i n r - i o o o ^o
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I
"3" H SSSSSSSSSSSSQSSSS8SQ13S
o O CT\ <N —i m — i o o v o i ~ - y 3 c o r ~ - . - f O a \ m a \ O N v i ? p
:
5 ^ - i v o m M ( s r - v o ^ o ^ «> - * ' - H O O ' * o > n o ' n r t ' o
d N ^ "n H r i p i < n V H H \o M cJ c i <o ^ sf vi "S o r>"
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
o
l
K> 1
1
o OQ ^ J3'-
M |
|
' N m O O ' - i O r n i i t ~ - c < 1 - ^- > o a \ o t ' < t < »
a \ o o t s o o \ o \ o \ O T - i N ^t ^y 3 ' n m t N t «o o O ' - '
CJ < m' r i vd »- i r4 c~i tń • '* «' t> »' H H H - 4 »- i »4 »-< r4 « u- i I- I
1
rh V O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
g£. o o o' o' o' o o' o' o o ó o' o o o d o o o o" o o
>n <1
Q
"T. * 1 «, ^ ^ N M ' N N N N N n « F i H O H O H « i . t f N O ^ c ^ O
O m t s t ^^r - i r n o i n y j M i n o o t ^T f c ^n O t - i c A S j o N O
§3, o o —i f N - * r - - »c o \ o r t r - i £ ) ' < ł - g o \ o \ r t r - ® 2 o \ o
T — t o \ ^ - " ^ m r - H O ^ O < S O O o a N r «) ^ - r ^ e ^ i r o »- < o o ^ . r - i o
^ | 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 I
I
I 1
o"
II
u
^ ,i ° 11
rh l'- oo- ^'^c^or^^ooooT- HOorfoof- t^xfO'^ooc^O
^ o o r ^ < o o o f ^ " o c ^ o o o \ r ^ - " «t - T - 4 i — i o o o \ o \ T ( f l r i - ^ o
o c ^^o m o ^o Tj- io o o r ^r ^^o ^o c ^it - ł c ^r - o t ^^r ^o
g i i i i i i i i
v
O co r - ( O C S ' O ( N O \ 0 0 - ^- < n O O C l O ' —i i - H C N r - i ^O \ 0 \ 0 0
r i oi K in Tf N H i> H in H p| O \ V H K M ' cn r i ^ m d
H ,O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
rtM mrtirt'BC^COCTsOOOQOOOOOOOO
C Z i i i i i i i i i 1 1 1 1 1
o b
5 Mechanika Teoretyczna 3/74 [275]
~ •9 • c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
SSSSSSSSSQSSSSQSSSSSSSSSSSSS
' - ' o >n O — ( r i ^ H ? 5 o ^ - 0 n t ^ t ^ - 0 ' 0 0 ' ^ i O ' * O v r n t - - 0 2 0 0 r o > - < o
1
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
"a 1
S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S l S
— or Jooo- HONi- iO^ou- ir - H^Fc nf Nr - ioor i- oui^^f ^CTi- d - O- si- in
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
' g ' H n N N P l N N N N N N M N N M M N N N M N N N N H N M O
^ ^i S S ? » S » l ~ - N I » O O « l » N n N M H H O « J H M 0 5 » ! f j O
in^Oro- ^- t^- OfNr^lOt^C^CO- ^- fNOOO^CTt- r^OOOOOOOOO
i
r f O O O O O o O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
^ oo'o'oo'ooo'ooo'oo'oo'oo'ooooo'oooooo'
®
fc]
^ oo K v j K>< l*< f n ^ c s c o i n H ^ r * - o o o m o | J 3 M | n M o \ ' - < © | n O O O O C > O C - - o
o > ^ T^ T^ o c ^ vo vo Tt " o o «o i - H f n c 7 \ C S o o i o f ^ a N O o c y \ O N O \ O N c r \ o > o o o
O f O U ^ O N m w - i ^ t T ł - o O N ^ ^ O O ^ ^ i n O C ^ r S O O O O O O O O O
T - H r H V^ ^ O O f n r H O O f ^ O N t ^ O O O O O O O O N ^ O O O O O O O O O O O O
O l
1 1 • 1 1 1 1 • 1 1 r
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
o"
II • — — —
8 SQQisisisQiSisisisiSiaisiaQiSQisiat asisssoiss
S o X d ' y ? c < < ^o o o \ t S ^OO' - < vo o e \ OOi n - H VD { N | . t ~ - i < - i m r M O\ t - ~ ; * M O
O^o t ^^t nTf c o r - ł o o f ^o t ^y^ł niniOTł - ^^i- d c so ^o o ł - H^t ^o
II hi g ^
1 1 1 1 1 ^ fOfnroCNlc^r^rncofom(N'- (^Hi- ił - i1- < i- - iT- (T- ir- ir- < T- trHt- HOOOO
X M O c M Ol O1 \ ( N i — i » o o o o o M 3 t > a \ m r o ( S f O i - H i n ' « ^ - c - i o o o o O ' — < o o o
' ^ O O C S T - - ( ^ 0 r n t ^ " 0 0 O V 0 ^ 0 1O V - i 0 N r n ' O O * ^ * 0 0 t * - V j D i / - > Tr t * NO O O O
O O VO ^ C ^ l »O r H O T ^ T ^ T ^ t ^ t ^ O l O t ^ - l > VD VO «O T j - i - H O O < r i r - ) f l C l ' - H O
O « O O 2
u 5 ^ <z r, S . o, ^ ^ 1
-
1
2 3
l
t
1 I 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
s
c
r
i
^
l
r
i
o
0
r
f
l
M
O ^ O O T | - f r i ^ C O t
s
. \ D r t ^ M C O ^ O \ 0 0
i i i i i i i
O O O O Or O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O O
' - < f N f i ^ - > o ^ r - o o a \ o o o o o o o o o o o o o o o o o o
r - iM c n t in vo t ^Kic ^O' n O' ^O' ^O^O
[276]
LZ G g ( N ( N U - i O - H V O O \ ^ O f ^ i n l n c ^ — i t o CO ^O O \£> <S t- - O
o ^ ' ^ ' v l ' n r t ^ o o r f i C h ' O O M ^ N m i x j i n H M a o
Or nr ^HT}- ^" o^' - iT- (r - - (ł - Hr nT}:r nr Of or nr 4f Sr 4' —t o
1 1 1 I 1 1 1 I I 1 | | | M | . | | | |
G 1
r" 00orn1> Of Soot Ni^t " r- t ~- - rnc inoof Slnoo1Orn- ^lo (?\ h 1
ocr\ DO
M r- 1 i n - - i i - H t ^ - c ~ - o c N ( N y p ^ t - c ^ " v h o o r - ( S c o ^ o
c J N H f i H N f ń
i o ^ ł H H y s H N r i f n T f ^ i r i i n ^ h'
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
Sr ^ So )Sm SO tS» ^S< Q
Q S S S S S S i S S S l S S S a S S
N c Ti m m o m ' - i m r ~ o o ' * y - r t O ' i o \ «3
esl o\ oO'
O o g o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
> j SS • O O O O
O O O O
i
' 0 0 \ o \ o O ' - H r - l «n c - ~ ^> i n m t s i T- i o o o — i
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
- §. s S S S S Q S S Q l S S S S S S S S S S S I S S
U t TJ o r - - Go o o o c > l( N ^* vo f n o o \ ^Hr o ^OM ' r ^vo o o r - HO
& J S o ^ -
2
00 N
l
^ <
- ^t ^"
i i N k o r r i
^ -
h -
' ^c -
^ H m i n ^ ^ ^ o ^ O N t ^ r -
> V £ ) ( N O N O O <
^r
i o o ^ a i -
v l r n c n r n C N l c v
| 1 I I 1 1 1 I 1 1 1 '
c
^' ^*
I I I H ^ o
r H O
1
o"
H u
o u O * S
Q
S
S
Q
S
S
S
Q
Q
S
I
S
S
S
Q
S
S
Q
S
S
S
o s v o r n o y D ^ - »n o o r ^ ^ ; v o ' n o r ^ ^ - H a N ^ - o ^ - ^ ł - r - - o
q i i i i i i i i i u
M ^ J O 4 § m Q
O ^ O r O C ^ O O C ^ C M f ^ ^ O N O O O N O f N r - ł r - ł ^ H ^ O T i - ^ O
o o S 5
C o. x ^
•1
9 ^ i- i 0 to
c o O ' ~ H ' - i m
ł
i i i i i i i i
J D i n o ) y D r ^ o t ^ - i o O ' ^ c r \ i - H o o t - - f N i r i O
O - ^ c o - ^ t ^ H r n ^ r - H o o o o r i O N C ^ m T t r - . c o ^ r m o a N O
i — ( O f N
1
O c N C T \ O O ^ h i n O O (
N
l O t S ' — i t S * — * O O C T \ O O
i i i i i
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
O
- ^ M m - ^ - m v o t ~ o o a \ O O o o o o o o o o o o
^H c M c o ^' r i ^o t ^- o o a N O' o o
i- i i- i t s
[277]
278 S. BIELAK
P e 3 IO M e
BHfl flH *<t>EPEH miAJlBH OrO YPABH EH H H B ^IACTHfeLX IIPOH 3BOJ1.H LIX
PEUIAKHUErO KJIACC JIH H EEWATBIX PA3BEPTBIBAK)mi"lXOI OBOJIOMEK
B paSoTe npe«npHHHTa nonbrara cctopiwynHpoBaTb eflimoe pemeuHe o6meft CHweMbi ypaBHeimii
pa3BepTbiBaioimixcH oSwio^ieK, pa6oTaiom,nx n p n n3rH6aiomHX HanpH>KeHHJix, BbinoJiHeHH3 oflHopoflHoro H3OTponHoro MaTepaajta. IIpHHHTa MaTeiwaTHiiecKaH MOflejib, onHCbiBawmaH pa6oTy OGOJIO^KH n p n H 3rn6e, ocHOBaHa Ha JiHHeiiHOH Teopan o6ojioHeK OTHeceHHOH K cpefle T yn a.
npHBOflHMbie B TeXHHMeCKOH JIHTepaType peilieHHHj OTHOCHTCH JIHIUb K UHJIHHflpHHeCKHM H K0HHtiecKHM oBojicncaMj cepewiH H bie noBepxHocTH KOTOpbix o6pa3OBaHbi npHMbiMH nepeceKaioiUHMH oi<py>KHOCTH nofl npaMbiM yrjioM, npri ieM flH (J)(pepeH Ł(H ajiŁH bie ypaBHeHHH, pem aio m ae 3TH OSOJI OI KH , pa3no crpoeH H io, I O K B oTHoineiuiH HX nopHflKa, Tai< H BHfla oTflejibHbix iraeHOB.
B HacTOHinett paSoTe pem em ie 3Toro KJiacca O6OJIOMCK cBe^eHo K oflHOMy flH tJ)4)epeH ypaBHeHHio BocŁMoro nopH flio B tiacTHbix npoH3BOflHbix Ha HCH3BecTHyio 4>yHKifmo n epeypaBH enne oxBaTHBaioTCH npoH3BOJibHoro BHfla Harpy3KH H B H ^ M onapaH H
Summary
THE PARTIAL D IF F EREN TIAL EQUATION SOLVING A CLASS OF RU LED DEVELOPABLE
SHELLS
. An attempt is made to determine a uniform solution of the general system of equations governing
the theory of bending of ruled developable shells made of isotropic material. The mathematical model
assumed which describes the state of bending of shells is based on the linear shell theory referred to H ooke's
medium.
The corresponding solutions quoted in the literature concern the cylindrical and conical shells in
which the middle surfaces are generated by straight lines intersecting the circles at right angles; the corresponding differential equations have various forms, differing by their order and the form of individual
terms.
The solution given in this paper is reduced to a single eighth order differential equation in the unknown
displacement function w3. The differential equation applies to arbitrary loading and support conditions
of the shell.
POLITECH N IKA Ś LĄ SKA
, G LIWICE
Praca został a zł oż ona w Redakcji dnia 16 sierpnia 1973 r.