Ost2-23 2. TRANSPORT WG STEENBRINKA (1978) 2.1. Transport

2. Transport wg Steenbrinka (1978)
2. TRANSPORT WG STEENBRINKA (1978)
2.1. Transport - opis systemu
2.1.1. Sieć transportowa
Przez transport rozumiemy przemieszczanie osób i/lub towarów w pojeździe lub w inny
sposób pomiędzy miejscami o różnym położeniu geograficznym. Zbiorczy ruch pojazdów lub
osób pomiędzy tymi miejscami w ramach danego obszaru nazywamy ruchem. Infrastruktura
transportu wykorzystywana jest do ruchu pojazdów lub osób. Infrastrukturę transportu można
podzielić na trzy składniki:
a) obiekty stałe: autostrady, drogi, arterie uliczne, ulice, drogi kolejowe, lotniska, kanały,
rurociągi itd.; wszystkie o pewnych charakterystykach;
b) pojazdy korzystające z infrastruktury stałej;
c) system organizacyjny niezbędny do zapewnienia prawidłowego użytkowania pojazdów i
infrastruktury stałej.
W modelach matematycznych, których będziemy używać, system infrastruktury
transportu uogólniony jest w postaci sieci transportowej składającej się z węzłów i połączeń o
pewnych charakterystykach. Modele sieci wyprowadzone w p. 1.2 również tu mają
zastosowanie; chodzi o zależności (1.2.6) dla długości połączenia oraz tzw. ograniczenia
sieci. Ponadto węzły i połączenia mogą mieć pewne dodatkowe charakterystyki, na przykład
takie jak to, że dane połączenie może być wykorzystywane tylko przez określony środek
transportu.
W systemie transportowym możemy wyróżnić podaż transportu i popyt na transport.
Infrastruktura transportu stanowi część podażową, natomiast część popytowa tworzona jest
przez ludzi i dobra, które należy przemieścić, wraz z przyczynami warunkującymi
przemieszczenie i związkami typu behawioralnego. Związki te opiszemy w następnym
punkcie.
2.1.2. Popyt na transport
W trakcie budowania modelu formułuje się zbiór hipotez tworzących teorię, które
następnie testuje się na podstawie danych ilościowych opisujących modelowane zjawisko.
Jeśli hipoteza lub zbiór hipotez są możliwe do przyjęcia i nie mogą być, po zweryfikowaniu,
odrzucone, można powiedzieć, że zjawisko zostało opisane i wyjaśnione. Przedstawimy teraz
pokrótce podstawowe zależności w modelu opisującym kształtowanie się popytu na transport.
Ogólny ich przegląd znaleźć można na przykład u Overgaarda (1966), Wohla i Martina
(1969) lub Hamerslaga (1970 i 1972).
Dla ułatwienia skupimy uwagę na przemieszczaniu osób, gdzie zakłada się, że podróżny
sam podejmuje decyzję o podróży, przy czym zależności opisujące popyt na transport
towarów mogą być opracowane w podobny sposób. Na dalszych stronach książki czasami
ograniczymy się jedynie do transportu osób, a czasami będziemy rozważali również transport
osób i towarów. Takie podejście do zagadnienia nie powinno prowadzić do powstania
jakichkolwiek wątpliwości.
Opisując stronę popytowa transportu Steenbrink (1978) opiera się na pracy Hamerslaya
(1972), którego model popytu wywodzi się z ogólnej teorii mikroekonomicznej (zob. np.
Henderson i Quandt, 1958). Skupimy naszą uwagę na podróży. Z podróżą związane są pewne
koszty i korzyści. Wprowadzamy rozróżnienie pomiędzy kosztami i korzyściami z punktu
widzenia użytkownika (podróżnego) i z punktu widzenia społeczeństwa. Są one
niekoniecznie takie same. Zakłada się, że dla opisu i wyjaśnienia zachowania się podróżnego
Ost2-23
2. Transport wg Steenbrinka (1978)
wystarczają koszty i korzyści użytkownika. Korzyści z podróży z a do b powstają w wyniku
połączenia dwóch działalności realizowanych w dwóch odrębnych geograficznie punktach a
oraz b (powiedzmy mieszkanie w a, praca w b), a miejsca działalności mogą określać ich
wartości (mieszkanie w a może być przyjemniejsze niż mieszkanie w b). Ponadto należy brać
pod uwagę takie koszty podróży jak: koszt benzyny czy czas poświęcony na podróż. Rzeczą
istotną jest, że te korzyści i koszty są czysto osobiste: każdy płaci i korzysta w sposób tylko
jemu właściwy.
Zakładamy teraz, że każdy maksymalizuje różnicę pomiędzy swoimi korzyściami a
kosztami
(
max u ab − t mpab
m , p ,b
)
(2.1.1)
gdzie:
uab - korzyści z podróży z a do b
tmpab - koszty podróży z a do b środkiem transportu m po drodze p
Człowiek w a wybiera punkt przeznaczenia podróży b, środek transportu m, drogę po
której będzie podróżować w taki sposób, aby różnica pomiędzy jego subiektywnymi
korzyściami a kosztami była maksymalna.
Z uwagi na indywidualny charakter kosztów i korzyści zdarza się, że w tych samych
warunkach i w tym samym czasie różni ludzie dokonują różnych wyborów. Również zmiana
w ponoszonych kosztach spowoduje, że niektórzy zmienią punkt przeznaczenia podróży [dla
' '
'
nich u ab − t m p ab > u ab − t mpab ], podczas gdy inni [dla których u ab − t mpab jest ciągle
maksimum] pozostaną przy wybranym punkcie przeznaczenia, środku transportu i drodze.
Zależność liczby osób podróżujących w danej relacji danym środkiem transportu od różnych
korzyści i ponoszonych kosztów z reguły przedstawia się jako funkcję popytu w postaci
(
) (
)
(
x mpab = f (u aβ , t µπaβ ); wszystkie µ , π , β ; dla wszystkich a ∈ N 0
)
(2.1.2)
gdzie:
µ ∈ zbiór wszystkich środków transportu
π ∈ Pa ab
β ∈ND
x mpab - liczba podróży z a do b środkiem transportu m po drodze p (w danym okresie czasu).
Zależność (2.1.2) określa model popytu na transport. W planowaniu transportu często
funkcje popytu zastępuje się ze względów praktycznych zbiorem modeli (zob. na przykład
Overgaard, 1966, Wohl i Martin, 1969 oraz Hamerslag, 1970 i 1972), obejmującym:
- model produkcji transportowej (transport production), który przedstawia podjęcie decyzji o
udaniu się w podróż lub nie oraz wybór momentu rozpoczęcia podróży;
- model dystrybucji transportu (transport distribution): określenie punktu przeznaczenia
(wyznaczenie b);
- wybór środka transportu (modal split): wyznaczenie m;
- wybór drogi (wyznaczenie p).
Z podejścia polegającego na maksymalizacji różnicy pomiędzy korzyściami a kosztami
[zależności (2.1.1) i (2.1.2)] widać, że te cztery modele w gruncie rzeczy tworzą jeden model
(zob. też Wilson i Wagon, 1968 oraz Hamerslag, 1972). W praktyce te cztery modele
realizuje się według podanej wyżej kolejności, z uwzględnieniem szeregu sprzężeń zwrotnych
Ost2-24
2. Transport wg Steenbrinka (1978)
między nimi, co miejmy nadzieję powinno w rezultacie dawać rozwiązanie stabilne. Czynione
były też próby rozwiązania tych modeli łącznie, na przykład w badaniach SELNEC (Wilson i
Wagon, 1968), gdzie połączono modele dystrybucji i wyboru środka transportu w modelu
ogólnym opartym na teorii maksymalizacji prawdopodobieństwa stanu systemu
wyprowadzonej przez Wilsona (1967).
Odrębnym istotnym zagadnieniem jest to, że na wielkość korzyści i ponoszonych
kosztów wpływają decyzje podejmowane przez innych podróżnych. W celu zilustrowania co
przez to rozumiemy, przypuśćmy na chwilę, że każdy jeździ do pracy z a do b. Po stronie
korzyści wyrażać się to będzie brakiem odpowiedniej liczby, miejsc pracy w a, natomiast po
stronie kosztów zwiększeniem ruchu i związane z tym zatłoczenie na drogach wpłynie na
podwyższenie kosztu jednostkowego w danym połączeniu. Sytuacja, w której czyjaś decyzja
zależy od decyzji innych ludzi badana była na gruncie teorii gier (zob. von Neumann i
Morgenstern, 1947). Teoria gier była stosowana na przykład w modelu wyboru drogi (zob.
Charnes i Cooper, 1966 oraz Colony, 1970). Omawiany dalej paradoks Braessa (w p. 2.2.2.2)
również można lepiej zrozumieć, gdy przyjmie się założenia teorii gier.
2.1.3. Równowaga w sieci transportowej
Po określeniu funkcji popytu i podaży poszukuje się punktu równowagi (popyt =
podaży). Jest to oczywiście jeden z głównych problemów planowania transportu i jest on
poruszany w prawie wszystkich książkach i opracowaniach traktujących o modelowaniu
transportu.
Czytelnikom zainteresowanym praktycznym rozwiązaniem tego zagadnienia polecamy
szereg doskonałych książek i opracowań z tego zakresu (na przykład Overgaard, 1966, Wohl i
Martin, 1969 oraz Hamerslag, 1972). Obecnie zajmować się będziemy niektórymi aspektami
teoretycznymi związanymi z istnieniem punktu równowagi. Będziemy posługiwać się bardzo
prostymi funkcjami. Ponadto wyjaśnimy podejście później używane w książce (gdy
omawiamy stosowanie w zadaniach optymalizacji sieci algorytmu wyznaczania iteracyjnego
według najmniejszej wartości marginalnej funkcji celu).
Teorię nakreśloną w następnych punktach książki wyjaśnili Beckmann, McGuire i
Winsten w 1956, opierając się na warunkach istnienia rozwiązania w zadaniach
optymalizacyjnych, opracowanych przez Kuhna i Tuckera (1951). Wykorzystamy tutaj
podejście zaproponowane przez Timmana (1966), (por. też Murchland 1969).
W p. 2.1.2 określiliśmy funkcję popytu (2.1.2), w której ogólna liczba podróży
pomiędzy dwoma punktami była funkcją korzyści podróżnych i kosztów podróży pomiędzy
tymi dwoma i wszystkimi innymi punktami. Obecnie przyjmujemy prostszą postać funkcji
popytu, w której całkowita liczba podróży pomiędzy dwoma punktami jest jedynie funkcją
kosztu podróży między tymi dwoma punktami (dla przeciętnego użytkownika)
x ab = x ab (t ab ); dla wszystkich ab ∈ P
(2.1.3)
W zależności tej tab oznacza koszt ogólny ponoszony przez podróżnego, który decyduje
się na podróż z a do b. Koszty te oblicza się przez zsumowanie kosztów połączeń najkrótszej
ścieżki biegnącej z a do b, zdefiniowanej tak jak we wzorze (1.2.2).
Określamy również funkcję odwrotną popytu jako
t ab = g ab (x ab ); dla wszystkich ab ∈ P
(2.1.4)
Formułujemy zasadę minimalizacji kosztów indywidualnych z punktu widzenia
wybieranej drogi. Wynikiem minimalizacji jest to, że każdy podróżujący z a do b wybiera
Ost2-25
2. Transport wg Steenbrinka (1978)
taką ścieżkę prowadzącą z a do b, z którą związana jest najmniejsza wielkość kosztów
ponoszonych przez niego. Zauważył to już Kohl w 1941 r. Zostało to bardzo jasno
sformułowane przez Wardropa (1952) w jego tzw. „drugiej zasadzie” „czasy podróży po
wszystkich wykorzystywanych drogach są równe lub mniejsze od czasu podróży, jaki zużyłby
pojazd pokonując dowolną inną drogę (mimo że Wardrop w swojej książce na s. 345
wymienia tę zasadę jako pierwszą, przyjęto ją nazywać „drugą zasadą”.
W naszym zapisie wygląda to następująco (zastępujemy czas podróży kosztami
ponoszonymi przez podróżnego)
jeśli xijab > 0, to t ai + t ij = t aj  dla wszystkich ab ∈ P

jeśli t ai + t ij > t aj , to xijab = 0 dla wszystkich ij ∈ L
(2.1.5)
Po stronie podaży w modelu transportowym mamy zależności techniczne dla sieci
składające się z ograniczeń sieci [wzory (1.2.16) do (1.2.19)] oraz kosztów przy danym
połączeniu ponoszonych przez podróżnego, wyrażonych jako funkcja potoku
tij = tij(xij) dla wszystkich ij ∈ L
(2.1.6)
Nakładamy dwa następujące warunki na funkcje tij(xij) oraz gab(xab)
- tij(xij) jest niemalejącą funkcją xij dla wszystkich ij ∈ L
- gab(xab) jest nierosnącą funkcją xab dla wszystkich ab ∈ P
Warunki te są spełnione dla wszystkich typowych sytuacji rzeczywistych.
Sformułujemy teraz zagadnienie równowagi w sieci transportowej:
„Znaleźć takie X, że będą spełnione warunki (2.1.4), (2.1.5), (2.1.6) oraz (1.2.16) do
(1.2.19)”.
(2.1.7)
Poszukujemy zatem takiego wektora potoków, który spełnia zarówno funkcję popytu,
jak i funkcję podaży.
Aby dowieść, że rozwiązanie tego zadania istnieje i że jest ono rozwiązaniem jedynym,
Steenbrink (1978) wykazał, że wzory (2.1.4) i (2.1.5) stanowią warunki konieczne i
dostateczne istnienia rozwiązania optymalnego zagadnienia minimalizacji, którego warunki
ograniczające określane są zależnościami (2.1.6) i (1.2.1.6) do (1.2.19).
Najpierw zdefiniujemy funkcję celu zadania minimalizacyjnego
xij
x ab
F=
∑ ∫ − g (x )dx + ∑ ∫ t (x )dx
ab
ij
ab∈P 0
ij∈L 0
(2.1.8)
gdzie:
x ab =
∑x
pab
aj
(1.2.17)
p∈Pa ab
xij =
∑x
pab
ij
ab
p∈Pa
ab∈P
W gruncie rzeczy więc korzysta się jedynie ze zmiennej xijpab .
Ost2-26
(1.2.19)
2. Transport wg Steenbrinka (1978)
Z warunków (2.1.4) i (2.1.5) widać, że funkcja celu jest wypukłą funkcją zmiennej
xijpab , określonej na obszarze domkniętym. Istnieje zatem rozwiązanie optymalne problemu
minimalizacyjnego i jest ono tylko jedno, jeśli funkcja celu jest ściśle wypukła, natomiast dla
funkcji wypukłej może istnieć nieskończenie wiele rozwiązań optymalnych o tej samej
wartości funkcji celu.
W celu wyjaśnienia tego co powiedzieliśmy wyżej, zapiszemy pełne zadanie
minimalizacyjne
xij
x ab
F=
min
pab
xij
∑ ∫ − g (x )dx + ∑ ∫ t (x )dx
ab
(2.1.9)
ij
ab∈P 0
ij∈L 0
przy warunkach
x
pab
ij
x
=x
pab
ij
pab
kl
dla wszystkich ij ∈ p oraz kl ∈ p

ab
dla wszystkich p ∈ Pa
dla wszystkich ab ∈ P

dla wszystkich ij ∈ L

≥ 0 dla wszystkich p ∈ Pa ab
dla wszystkich ab ∈ P

(1.2.16)
(1.2.18)
Przypuśćmy, że X* jest rozwiązaniem optymalnym, wtedy jest prawdziwa nierówność
F(X*) ≤ F(X* + ∆X)
(2.1.10)
gdzie :
X* + ∆X (o elementach xij∗ pab + ∆xijpab )
jest rozwiązaniem dopuszczalnym z „otoczenia” X*. Ponieważ X* + ∆X jest rozwiązaniem
dopuszczalnym, mają miejsce następujące zależności dla ∆xijpab [ze wzoru (1.2.16)]
∆x
pab
ij
= ∆x
pab
kl
dla wszystkich ij ∈ p oraz kl ∈ p

ab
dla wszystkich p ∈ Pa
dla wszystkich ab ∈ P

(2.1.11)
dla wszystkich ij ∈ L

= 0 dla wszystkich p ∈ Pa ab
dla wszystkich ab ∈ P

(2.1.12)
[ze wzoru (1.2.18)]
∆x
pab
ij
≥ 0 jeśli x
∗ pab
kl
Rozwijając F(X* + ∆X) w szereg Taylora otrzymujemy
Ost2-27
2. Transport wg Steenbrinka (1978)
(
)
 ∂F

 pab
ab
p∈Pa  ∂x ij
ab∈P
( ) ∑
F X ∗ + ∆X = F X ∗ +


∆x pab
 ∗ ij
 X=X
(2.1.13)
ij∈L
+ wyrażenia wyższego rzędu
Ponieważ F jest wypukłą funkcją X, suma wyrażeń wyższego rzędu jest zawsze
dodatnia. Dalej zakładamy, że ∆X jest tak mała, że suma wyrażeń wyższego rzędu może być
pominięta (jest ona dodatnia), czyli nierówność (2.1.10) możemy zapisać
 ∂F

 pab
ab
p∈Pa  ∂x ij
ab∈P
∑


∆x pab ≥ 0
 ∗ ij
 X= X
(2.1.14)
ij∈L
Przed przystąpieniem do następnego kroku, spójrzmy na pochodne
∂F
.
∂xijpab
Jeśli i ≠ a, to pierwszy element funkcji celu jest stały ze względu na xijpab , czyli pochodna ma
postać
xij
 ∂xij
∂F
d 
=
t ij (x )dx  pab
pab
∫
 ∂xij
dxij  0
∂xij

dla i ≠ a
Wykorzystując równanie (1.2.19) i różniczkując otrzymujemy
∂F
= t ij (xij ) dla i ≠ a
∂xijpab
(2.1.15)
Jeśli i = a, to
∂F
d
= ab
pab
∂x aj
dx
ab
 xaj
 ∂x
x
 ab
 − g ab ( x )dx  ∂x + d  t ij (x )dx  aj
pab
∫
∫
0
 ∂x aj
 ∂x ajpab
dx aj  0



Wykorzystując równania (1.2.17) i (1.2.19) oraz różniczkując otrzymujemy
∂F
= − g ab x ab + t aj (x aj )
pab
∂x aj
( )
(2.1.16)
Podstawiamy wyrażenia (2.1.15) i (2.1.16) do wyrażenia (2.1.14)
przegrupowujemy składniki tak, aby móc sumować je we wszystkich ścieżkach


 − g ab ∆x ajpab + ∑ t ij ∆xijpab 


ij∈ p
p∈Pa ab 

∑
ab∈P
Podstawiając wyrażenie (2.1.11) do wzoru (2.1.17) otrzymujemy
Ost2-28
oraz
(2.1.17)
2. Transport wg Steenbrinka (1978)

∑  − g
p∈P ab
ab∈P
ab


+ ∑ t ij ∆x ajpab ≥ 0
ij∈ p

Łącząc zależności (2.1.12) i (2.1.18) otrzymujemy warunki
jeśli x aj∗ pab = 0, to − g ab + ∑ t ij ≥ 0
ab
 dla wszystkich p ∈ Pa
ij∈P

jeśli x aj∗ pab > 0, to − g ab + ∑ t ij = 0 dla wszystkich ab ∈ P
ij∈P

(2.1.18)
(2.1.19)
Ale gab jest niezależne od ścieżki p, czyli mamy
∑t
∑t
ij
= g ab
ij∈ p
ij
ij∈ p
≥ g ab
dla wszystkich używanych ścieżek z a do b 
 dla wszystkich
(2.1.20)

dla wszystkich nie używanych ścieżek z a do b 
ab ∈ P

Widać z tego, że gab równe jest długości najkrótszej ścieżki, czyli możemy zapisać
warunki konieczne i dostateczne na istnienie rozwiązania optymalnego zadania
minimalizacyjnego z wypukłą funkcją celu jako
( )
t ab = g ab x ∗ab
dla wszystkich ab ∈ P
oraz
jeśli x ∗ab > 0, to t ai + tij = t aj  dla wszystkich ab ∈ P

jeśli t ai + tij > t aj , to xij∗ab = 0 dla wszystkich ij ∈ L
co równoważne jest warunkom (2.1.4) i (2.1.5) z zagadnienia równowagi w sieci
transportowej.
Pokazaliśmy tu, że istnieje rozwiązanie równowagi w sieci transportowej i że jest ono
tylko jedno (w każdym razie dla funkcji ściśle wypukłych bądź ściśle wklęsłych). Co więcej,
wykazaliśmy, że ten stan równowagi może zostać opisany jako rozwiązanie optymalne
zagadnienia minimalizacyjnego. Oczywiście znalezienie tego rozwiązania jest problemem
odrębnym. Problem ten jeszcze poruszymy, ale głównie w odniesieniu do sposobu jego
traktowania w innych książkach i artykułach na temat modelowania transportu.
2.1.4. Wyznaczanie ruchu
2.1.4.1. Zagadnienie wyznaczania ruchu
Wyznaczanie ruchu na sieci dróg, czyli rozkładanie ruchu na tej sieci, polega na takim
przydzieleniu potoków poszczególnym połączeniom sieci, aby ograniczenia sieci były
spełnione. Zadaniem jest tu po prostu znalezienie rozwiązania dopuszczalnego przy
ograniczeniach sieci. Macierz podróży w tym przypadku jest oczywiście stała.
Istnieje wiele rozwiązań ogólnego zadania i dopiero wprowadzenie dodatkowych
ograniczeń pozwala uzyskać jedyne rozwiązanie. Jedną z możliwości jest rozkładanie ruchu
według najmniejszych kosztów ponoszonych przez podróżnego, czyli zgodnie z drugą zasada
Wardropa. W tym wypadku zagadnienie to jest równoważne zadaniu równowagi
omawianemu w poprzednim punkcie, z tą różnicą że popyt jest stały
Ost2-29
2. Transport wg Steenbrinka (1978)
x ab = x 0 ab dla wszystkich ab ∈ P
(2.1.21)
i nie istnieje funkcja odwrotna popytu. Oczywiście możliwe jest teraz przedstawienie zadania
równowagi jako problemu optymalizacyjnego.
2.1.4.2. Metody rozwiązania zagadnienia wyznaczania ruchu
Zagadnienie równowagi w problemie przydziału można przedstawić jako zadanie
optymalizacyjne i vice versa. Czyli należy rozwiązać tylko jeden z tych dwóch problemów.
Na przykład Bergendahl (1969) stosuje technikę optymalizacyjną (programowanie liniowe)
do rozwiązania zadania równowagi. Z drugiej strony w rozdz. 5 niniejszej książki omówiony
jest algorytm, którym rozwiązujemy zadanie optymalizacji sieci stosując technikę
wyznaczania.
Obydwa zagadnienia są bardzo trudne do rozwiązania z praktycznego punktu widzenia
ze względu na występującą w nich ogromną liczbę warunków ograniczających. Nie wydaje
się, aby istniał algorytm dający rozwiązanie dokładne w rozsądnym czasie obliczeń.
Murchland (1969) podaje pewne ogólne zasady opracowywania algorytmów. W zasadzie
algorytmy te oparte są częściowo na teorii programowania wypukłego Rockafellara (1967)
oraz na niektórych pracach Bruynooghe'a (1967), Giberta (1968 a i b), Bruynooghe'a, Giberta
i Sakarovitcha (1968). Również pewne algorytmy proponują Dafermos i Sparrow (1969). We
wszystkich tych algorytmach, przynajmniej w pewnym stopniu wykorzystuje się
równoważność zadania optymalizacyjnego i równowagi.
Zadanie równowagi często spotykane jest w inżynierii transportowej (zob. Steenbrink,
1972). Z reguły rozwiązywane jest ono za pomocą tzw. techniki ograniczonej przepustowości
(capacity restraint technique), (zob. Chicago Area Transportation Study, 1960, Bureau of
Public Roads, 1964 i Steel 1965). Technika ta oparta jest na symulacji drugiej zasady
Wardropa: czyli każdy podróżny wybiera drogę, z którą związane są według niego najniższe
koszty podróżowania (z reguły wyrażane jako czas podróży), podczas gdy koszty
odpowiadające poszczególnym połączeniom są rosnącą funkcją ruchu na tych połączeniach.
Do rozwiązania wykorzystywana jest metoda wyznaczania iteracyjnego. W każdej iteracji
przyporządkowuje się pewną część relacji z macierzy podróży drodze, na której koszty
podróży są najniższe i koszty te są liczone dla potoków ruchu obejmujących również
wielkości ustalone w kroku poprzednim. W praktyce zadanie rozwiązywane jest w dwóch do
dziesięciu iteracjach. Często w iteracjach dalszych przyporządkowywana jest mniejsza część
połączeń macierzy podróży niż w iteracji pierwszej (zob. również p. 5.3).
2.1.4.3. Inne aspekty wyznaczania ruchu
Gdy zadanie wyznaczania ruchu traktuje się jako symulację indywidualnych wyborów
drogi, czyli jako część modelu transportowego, w grę wchodzą inne czynniki.
Po pierwsze, węzły nadania i odbioru z reguły są ośrodkami ciążenia strefy
transportowej. Zakłada się, że cały ruch powstaje i zmierza, do tych węzłów. W
rzeczywistości natomiast podróże mogą być realizowane z dowolnego punktu w ramach danej
strefy do innego dowolnego punktu w tej samej lub innej strefie transportowej. Z tego
powodu, w rzeczywistości dla tej samej relacji wybierane będą różne ścieżki (drogi), (zob.
również Smeed, 1971).
Po drugie, zauważmy że wszystkie koszty są interpretowane indywidualnie, czyli różnie
przez różnych podróżnych. To również powoduje korzystanie z różnych dróg dla tej samej
relacji transportowej. Fakt ten uwzględnia się stosując tzw. funkcje różnicujące lub krzywe
różnicujące. Funkcja różnicująca (rodzaj funkcji popytu) określa rozkład podróży w ramach
Ost2-30
2. Transport wg Steenbrinka (1978)
tej samej relacji dla różnych ścieżek. W grę mogą wchodzić również inne czynniki, jak ten, że
podróżny nie wie z góry jakie poniesie koszty podróży.
W praktyce używa się określonych algorytmów do określonych sytuacji (np. techniki
ograniczonej przepustowości), przyjmując założenie, że nie jest konieczne uwzględnianie
wszystkich czynników, o których tutaj była mowa.
2.2. System opisowy i normatywny
2.2.1. System opisowy i normatywny
Jak powiedzieliśmy poprzednio, z każdą podróżą związane są właściwe dla niej koszty i
korzyści. Oprócz kosztów i korzyści bezpośrednio odczuwanych przez podróżnego mogą
występować również koszty i korzyści odczuwane przez innych członków społeczeństwa.
Do kosztów ponoszonych bezpośrednio przez podróżnego możemy zaliczyć czas
spędzony w podróży, koszty paliwa itd. Do kosztów ponoszonych przez społeczeństwo
zaliczyć możemy wydłużenie czasu podróży, zużywanie fizyczne dróg, niszczenie środowiska
itp. Z punktu widzenia podróżnego są to, powiedzmy, koszty zewnętrzne. Do korzyści
doświadczanych przez podróżnego możemy na przykład zaliczyć połączenie dwóch
działalności realizowanych w odrębnych geograficznie miejscach. Za korzyść dla
społeczeństwa jako całości możemy uznać fakt, że miejsca te są odwiedzane i dzięki temu
mogą tam być prowadzone różnego rodzaju działalności.
Poprzednio przyjęliśmy założenie, że każdy podróżny stara się zmaksymalizować
różnicę pomiędzy swoimi korzyściami a ponoszonymi przez siebie kosztami. System, w
którym wszyscy podróżni zachowują się zgodnie z regułą indywidualnej maksymalizacji,
nazwiemy systemem opisowym lub optymalizowanym z punktu widzenia korzyści
użytkownika. Z drugiej strony możemy sobie wyobrazić system, w którym wszystkie decyzje
o wyborze podróży podejmowane są tak, aby została zmaksymalizowana ogólna różnica
pomiędzy społecznymi korzyściami i kosztami. Taki system nazwiemy normatywnym lub
optymalizowanym z punktu widzenia korzyści społeczeństwa.
Rozwiązania tych dwóch systemów nie muszą być identyczne. Zagadnienie to będzie
omawiane w następnych punktach. Jest oczywiste, że różnica pomiędzy społecznymi
korzyściami a kosztami będzie większa dla systemu normatywnego. Jeśli różne funkcje
kosztów i korzyści posiadają-pewne własności, to rozwiązania w przypadku systemu
normatywnego i opisowego będą sobie odpowiadały. Oczywiście różnica pomiędzy tymi
dwoma systemami istnieje w całej dziedzinie badań transportowych. Przy tym wydaje się, że
jest ona najlepiej zbadana dla zagadnienia wyznaczania ruchu.
2.2.2. Wyznaczanie opisowe i normatywne
2.2.2.1. Różnica między wyznaczaniem opisowym i normatywnym
Załóżmy, że na koszty społeczne składa się suma kosztów tab ponoszonych przez
poszczególnych podróżnych. Różnica pomiędzy opisowym wyznaczaniem ruchu a
normatywnym została już dostrzeżona przez Wardropa (1952). Opisowe wyznaczanie ruchu
(tzn. z punktu widzenia użytkownika) przyjęto tak nazywać, gdyż opisuje ono rzeczywistość
najlepiej. Wyznaczanie opisowe równoważne jest zagadnieniu równowagi sformułowanemu
w p. 2.1.4.1.
Przypomnijmy, że mamy stałą macierz podróży (2.1.21), ograniczenia sieci (1.2.11),
(1.2.12), (1.2.13) oraz zależności kosztowe (1.2.2), (najkrótszej ścieżki) i (2.1.6), (wzrostu
kosztów wraz ze wzrostem natężenia ruchu). Zadaniem jest znalezienie takiego schematu
Ost2-31
2. Transport wg Steenbrinka (1978)
potoków, aby koszty ponoszone przez poszczególnych podróżnych zostały zminimalizowane
jeśli xijab > 0, to t ai + tij = t aj  dla wszystkich ab ∈ P
(2.1.5)

jeśli t ai + tij > t aj , to xijab = 0 dla wszystkich ij ∈ L
Zadanie wyznaczania normatywnego ma te same ograniczenia (2.1.21) (1.2.11), (1.2.12),
(1.2.13), (1.2.2), (2.1.6) i zapisuje się je jako minimalizację całkowitych kosztów
ponoszonych przez podróżnych ze względu na występujące potoki
min
Fij (xij )
pab ∑
xij
(2.2.1)
ij∈L
gdzie:
Fij (xij ) = xij t ij (xij )
(2.2.2)
Zgodnie z tym, co wykazano w poprzednim punkcie, możliwe jest zapisanie zadania
minimalizacyjnego jako zagadnienie równowagi. Warunkiem tego jest wypukłość funkcji
Fij(xij). Ze względu na założenia, jakie przyjmuje się odnośnie tij, warunek ten jest spełniony.
Przy zastosowaniu podejścia omówionego w p. 2.1.3 widać, że zadanie minimalizacyjne
(2.2.1) jest równoważne następującemu zagadnieniu równowagi
jeśli xijab > 0, to F 'ai + Fij' = F 'aj  dla wszystkich ab ∈ P

jeśli F 'ai + Fij' > F 'aj , to xijab = 0
ij ∈ L
(2.2.3)
gdzie:
F 'ai = ∑
dF jk
(2.2.4)
dx jk
jk jest elementem najkrótszej ścieżki z a do i.
Teraz jest oczywiste, że wyniki wyznaczania normatywnego i opisowego są różne.
Bardziej interesujące jest ustalenie warunków, przy których wyniki te są takie same. Ma to
miejsce w przypadku, gdy
t ij =
dFij
dxij
dla wszystkich ij ∈ L
(2.2.5)
lub, ponieważ
dFij
dxij
= t ij + xij
dt ij
dxij
gdy
dt ij
dxij
= 0 dla wszystkich ij ∈ L
Ost2-32
(2.2.6)
2. Transport wg Steenbrinka (1978)
Wyniki wyznaczania normatywnego i opisowego są takie same, gdy na koszty
ponoszone przez podróżnego nie wpływa natężenie ruchu lub gdy nie występuje przeciążenie
ruchem. Zostało to po raz pierwszy zaobserwowane przez Jorgensena (1963).
2.2.2.2. Paradoks Braessa
W 1968 r. Braess omówił paradoks występujący przy planowaniu transportu. Powtórnie
uwagę na to zwrócił Murchland (1970). Dzięki temu paradoksowi widać wyraźnie różnicę
pomiędzy wyznaczaniem normatywnym a opisowym. Paradoks ten opiera się na
stwierdzeniu, że dodanie do sieci połączenia spowodować może wzrost całkowitych kosztów
podróżowania odczuwany przez każdego użytkownika sieci. Przedstawmy przykład, którym
posłużył się Braess (rys. 2.2.1).
Występują tu następujące zależności kosztowe z punktu widzenia kosztów ponoszonych
przez podróżnego
t13 = 10 x13 ;
t 42 = 10 x 42
(2.2.7)
t 32 = 50 + x32 ; t14 = 50 + x14
t 34 = 10 + x34
Potok z węzła l do 2 wynosi 6 jednostek.
2
4
3
1
Rys. 2.2.1. Sieć do paradoksu Braessa
Załóżmy, że połączenie 3 4 nie istnieje. Rozwiązaniem wyznaczania opisowego jest
skierowanie 3 jednostek na ścieżkę l 3 2 oraz 3 jednostek na ścieżkę l 4 2. Dla każdej
jednostki koszty ponoszone przez podróżnego wynoszą 83. Całkowite koszty równe są więc
6 × 83 = 498 . Teraz dołączmy do sieci połączenie 3 4. W rozwiązaniu takiego
„rozszerzonego” zadania otrzymujemy, że 2 jednostki korzystają ze ścieżki l 3 2, 2 jednostki
ze ścieżki 1 3 4 2 oraz 2 jednostki ze ścieżki 1 4 2. Koszty ponoszone przez podróżnego
wynoszą teraz 92 dla każdej jednostki; całkowite koszty równe więc są 552. Dodanie
połączenia oznacza zatem wzrost kosztów ponoszonych przez użytkownika sieci o około
11%. Wreszcie w ostatnim przypadku podział ruchu na trzy jednostki dla ścieżki l 3 2 i 3
jednostki dla ścieżki 1 4 2 nie jest rozwiązaniem zagadnienia opisanego zależnością (2.1.5).
Dla tego przypadku wydaje się lepsze, aby jednostka ze ścieżki l 3 2 o koszcie podróżowania
83 została przesunięta na ścieżkę l 3 4 2 o koszcie podróżowania 81.
Zapiszemy teraz dla sytuacji drugiej (sieć wraz z połączeniem 3 4) zadanie
optymalizacji z punktu widzenia społecznego oraz zagadnienie równowagi wyrażone jako
Ost2-33
2. Transport wg Steenbrinka (1978)
problem optymalizacyjny. Ze względu na wygodę będziemy używać następujących oznaczeń
x1 = potok na ścieżce 1 4 2
x2 = potok na ścieżce 1 3 4 2
x3 = potok na ścieżce 1 3 2
Przyjmujemy ograniczenie
(2.2.8)
x1 + x 2 + x3 = 6
Ponadto mamy warunki nieujemności
x1 ≥ 0; x 2 ≥ 0; x3 ≥ 0
(2.2.9)
Nie wprowadzimy warunku całkowitoliczbowości zmiennych, gdyż również bez niego
możliwe jest całkowanie, a tym samym zapisanie problemu wyznaczania opisowego jako
zadanie optymalizacyjne. Ponadto można wykazać, że zadanie ma takie samo rozwiązanie dla
X, niezależnie od wprowadzenia lub nie tego warunku.
Zagadnienie optymalizacji ze społecznego punktu widzenia przybiera postać
min F = x1 (50 + x1 ) + (x1 + x 2 )10 ( x1 + x 2 ) + (x 2 + x3 )10 ( x 2 + x3 ) +
x1 , x 2 , x3
+ x3 (50 + x3 ) + x 2 (10 + x 2 )
(2.2.10)
przy warunkach (2.2.8) i (2.2.9). Można to rozwiązać jako:
min F = 11x12 + 21x 22 + 11x32 + 20 x1 x 2 + 20 x 2 x3 + 50 x1 + 10 x 2 + 50 x3
(2.2.11)
x1 , x 2 , x3
przy warunkach (2.2.8) i (2.2.9).
Zagadnienie równowagi w
optymalizacyjne ma postać
x1
min F =
x1 , x 2 , x3
x 2 + x3
x1 + x2
∫ (50 + x )dx + ∫
0
wyznaczaniu
0
10 x dx +
∫
opisowym
zapisane
x3
x2
0
0
10 x dx + ∫ (50 + x )dx +
0
jako
∫ (10 + x )dx
zadanie
(2.2.12)
przy warunkach (2.2.8) i (2.2.9). Można to rozwiązać jako:
min F = 11x12 + 21x 22 + 11x32 + 20 x1 x 2 + 20 x 2 x3 + 100 x1 + 20 x 2 + 100 x3
x1 , x 2 , x3
(2.2.13)
przy warunkach (2.2.8) i (2.2.9).
Widać zatem jasno, że zadania (2.2.11) i (2.2.13) są zadaniami różnymi, a ich
rozwiązania nie zawsze muszą być takie same. Ponadto wartość funkcji celu w zagadnieniu
normatywnym nie będzie nigdy większa, niż wartość funkcji celu w zadaniu opisowym
wyrażonym jako probierń optymalizacyjny. Rzeczywistym rozwiązaniem zadania (2.2.13)
jest x1 = 2, x2 = 2, x3 = 2, a rozwiązaniem zadania (2.2.11) jest x1 = 3, x2 = O, x3 = 3.
2.2.2.3. Zmniejszanie różnicy między wyznaczaniem opisowym a normatywnym
Ost2-34
2. Transport wg Steenbrinka (1978)
Korzystne jest ze społecznego punktu widzenia, jak i często z punktu widzenia
użytkowników dróg, jeśli pomiędzy normatywnym wyznaczaniem ruchu a opisowym nie
istnieje żadna różnica. Biorąc całkowite koszty ponoszone przez podróżnych jako całkowite
koszty społeczne zobaczyliśmy, że wyniki wyznaczania normatywnego i opisowego są takie
same, gdy koszty te są niezależne od natężenia ruchu.
W innych sytuacjach wyznaczanie normatywne i opisowe nie zawsze dają takie same
rozwiązania. Aby rozwiązania te były, konieczne jest podjęcie dodatkowych działań. Jedną z
możliwości jest stworzenie dobrego systemu kierowania ruchem, inną - właściwy mechanizm
opłat.
Zastosowanie tego mechanizmu oznacza wprowadzenie opłat za przeciążenie ruchem.
Opłaty te muszą być tak wysokie, aby indywidualne wybory dróg podróżowania dawały w
sumie warunki zapewniające istnienie rozwiązania optymalnego wyznaczania normatywnego.
Z p. 2.2.2.1 widać, że użytkownik drogi musi traktować koszty przez siebie ponoszone jako
 dt 
 dt 
t + x  , a nie jako t. Czyli opłata za przeciążenie ruchem wynosić musi x  , co równa
 dx 
 dx 
się wzrostowi kosztów podróży wszystkich użytkowników dróg. Taki system opłat jest
dobrze znany w ekonomice transportu (zob. na przykład Oort, 1960).
W celu polepszenia sytuacji materialnej społeczeństwa, a w każdym razie jej
niepogorszenia, należy w taki czy inny sposób zwrócić użytkownikom dróg środki uzyskane
przez dodatkowe opłaty (bez naruszania pozytywnego oddziaływania tych opłat). Praktyczna
realizacja systemu opłat, opartego na kosztach krańcowych, nie jest zadaniem łatwym.
Jakkolwiek obserwuje się pewien postęp w dziedzinie rozwoju wyposażenia technicznego, na
przykład w Transport and Road Research Laboratory w Anglii (zob. również Smeed. 1964).
BIBLIOGRAFIA
Beckmann, M.J., McGuire, C.B., and Winsten, C.B. (1956). Studies in the Economics. of
Transportation, Cowles Commission. Yale University Press, New Haven.
Bergendahl, G. (1969). Models for Investments in a Road Network, Bonniers, Stockholm.
Braess, D. (1968) Über ein Paradoxen der Verkehrsplanung, Unternehmensforschung, 12, 258
- 268.
Bruynooghe, M. (1967) Affectation du Traffic sur un Multi-réseau, Institut de Recherche des
Transport, Arcueil.
Bruynooghe, M., Gibert, A., and Sakarovitch, M. (1968). Une méthode d'affectation du
traffic. Paper presented at the Fourth International Symposium on The Theory of Traffic
Flow. Karlsruhe (June).
Bureau of Public Roads (1964) Traffic Assignment Manual, United States Government
Printing Office, Washington D.C.
Charnes, A., and Cooper, W.W. (1966). Simulation, Optimization and Evaluation of System of
Traffic Networks, Management Science Research Report, No. 77, Carnegie Institute of
Technology, Pittsburgh, Penn.
Chicago Area Transportation Study (1960). Final Report, Chicago.
Colony, D.C. (1970). An application of game theory to route selection. Traffic Flow Theory, 6
Reports, Hihgway Research Record, No. 334.
Dafermos, S.C., and Sparrow, F.T. (1969). The traffic assignment problem for a general
network, Journal of Research of the National Bureau of Standards; B. Mathematical
Sciences. 73B, No. 2 (April-June).
Gibert, A. (1968a). A Method for the Traffic Assignment Problem when Demand is Elastic,
Transport Network Theory Unit Report LBS-TNT 85, London Business School,
London.
Ost2-35
2. Transport wg Steenbrinka (1978)
Gibert, A. (1968b) A method for the Traffic Assignment Problem, Transport Network Theory
Unit Report LBS-TNT 95, London Business School, London.
Hamerslag, R., in collaboration with Steenbrink, P.A. (1970). Het voorspellen van
vervoersstromen, Verkeerstechniek, 21, Nos. 5, 6 and 7 (May, June, July).
Hamerslag, R. (1972). Prognosemodel voor het Personenvervoer in Nederland, Koninklijke
Nederlandse Toeristenbond A.N.W.B.,'s-Gravenhage.
Henderson, J.M., and Quandt, R.E. (1958). Microeconomic Theory: a Mathematical
Approach, McGraw-Hill, New York.
Jorgensen, N.O. (1963) Some aspects of the urban traffic assignment problem, Graduate
Report, Institute of Transportation and Traffic Engineering, University of California,
Berkeley.
Kohl, J.E.(l841) Der Verkehr und die Ansiedelung der Menschen in ihrer Abhängigkeit von
der Gestaltung der Erdoberfläche, Dresden, Leipzig.
Kuhn, H.W., and Tucker, A.W. (1951). Nonlinear programming. Proceedings of the Second
Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Neyman, J. ed.,
University of California Press.
Murchland, J.D. (1969) Gleichgewichtsverteilung des Verkehrs im Strassennetz, Verlag
Anton Hain, Meisenheim. Also in English (1969): Road Network Traffic Distribution in
Equilibrium. Paper presented at the conference: 'Mathematical Methods in the
Economic Science'. Oberwolfach.
Murchland, J.D. (1970) Braess's Paradox of Traffic Flow, Institut fur Angewandte
Reaktorphysik, Karlsruhe; also published in Transportation Research, 4.
Neumann, J. von, and Morgenstern. O. (1947). Theory of Games and Economic Behavior,
Princeton University Press, Princeton N.J.
Oort, C.J. (1960). Het Marginalisme als Basis voorde Prijsvorming in het Vervoerswezen; een
Analyse. Stichting Verkeerswetenschappelijk Centrum, Rotterdam.
Overgaard, K.R. (1966) Traffic Estimation in Urban Transportation Planning, Acta
Polytechnica Scandinavia.
Rockafellar, R.T. (1967). Convex programming and systems of elementary monotonic
relations. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 19.
Smeed, R.J., and others (1964) Road Pricing: The Economic and Technical Possibilities. Her
Majesty's Stationery Office, London.
Smeed, R.J. (1971) Effect of Zone Size on Assignment. Research Report Research Group in
Traffic Studies, University College, London.
Steel, M.A. (1965) Capacity restraint, a new technique. Traffic Engineering and Control
(October).
Steenbrink, P.A. (1972). Netwerktoedeling, optimalisering en invoerverzorging,
Verkeerstechniek, 23, No. 11 (November).
Timman, R. (1966) Optimaliseren van Funkties en Funktionalen, Technische Hogeschool,
Delft, Onderafdeling der Wiskunde, Delft.
Wardrop, J.G. (1952). Some theoretical aspects of road traffic research. Proceedings, Institute
of Civil Engineers, l, 325 - 362.
Wilson, A.G. (1967). A statistical theory of spatial distribution systems. Transportation
Research, l, 253 - 269.
Wilson, A.G., and Wagon, D.J. (1968). The SELNEC Transport Model. Mathematical
Advisory Unit Note 200, Department of the Environment, London.
Wohl, M., and Martin B.V. (1969) Traffic Systems Analysis for Engineers and Planners,
McGraw-Hill, New York.
Steenbrink, P.A. (1978) Optymalizacja sieci transportowych. WKŁ, Warszawa.
Ost2-36