docniech Kiffer
download 
Reklamacja Transkrypt
niech Kiffer
D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe Bronisław Ceranka, Małgorzata Graczyk, Krystyna Katulska D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.1/30 Model y n×1 E(y) = Xw, Cov(y) = σ 2 G gdzie w p×1 σ2 G n × n macierz diagonalna X = (xij ) xij = 0, 1, i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., p D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.2/30 Estymator r(X) = p ′ −1 ′ ŵ = X G−1 X X G−1 y ′ Var (ŵ) = σ 2 X G−1 X −1 Wong, Masaro (1984) Ceranka, Katulska (2001) Ceranka, Graczyk (2003) D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.3/30 Układ D-optymalny X, G ′ det X G−1 X −1 Pukelsheim (1993) Gail, Kiefer (1980, 1982) Neubauer i inni (1998) Katulska, Przybył (2007) D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.4/30 Neubauer i innni (1998) ′ (p + 1)h X1 X1 = Ip + 1p 1p 4p ′ gdy p jest nieparzyste ′ (p + 2)h X1 X1 = Ip + 1p 1p 4(p + 1) ′ gdy p jest parzyste, D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.5/30 Macierz układu X= X1 x ′ X1 ′ X= x ′ z x, z p × 1 o elementach 1 lub 0 X1 h × p macierz układu, która spełnia warunki podane przez Neubauera (1998) D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.6/30 Definicja (Katulska, Przybył (2007)) Nieosobliwy sprȩżynowy układ wagowy X = h ′ X1 x i z macierza̧ σ 2 G = σ 2 diag(1, ..., 1, g −1 ), g > 0, jest regularnie D-optymany gdy p (p+1)(n−1) ′ (p + 1) 1+ 4p −1 p det X G X = (p+2)(n−1) (p + 1) 1+ 4(p+1) gp n−1 , p nieparzyste gp n−1 , p parzyste . D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.7/30 Twierdzenie (Katulska, Przybył (2007)) Nieosobliwy sprȩżynowy układ wagowy X = h ′ x X1 i z macierza̧ σ 2 G = σ 2 diag(1, ..., 1, g −1 ), g > 0, jest regularnie D-optymany gdy (i) dla p nieparzystego ′ ′ ′ (p+1)h Ip + 1p 1p oraz x 1p = X1 X1 = 4p p+1 2 (ii) dla p parzystego ′ X1 X1 = (p+2)h 4(p+1) ′ ′ Ip + 1p 1p oraz x 1p = p 2 ′ lub x 1p = p+2 2 . D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.8/30 Definicja (Katulska, Przybył (2007)) h Nieosobliwy sprȩżynowy układ wagowy X = ′ X1 x z i z macierza̧ σ 2 G = σ 2 diag(1, ..., 1, g1−1 , g2−1 ), g1 , g2 > 0, jest regularnie D-optymany gdy (i) dla p nieparzystego 2 ′ η β + g1 g2 p −1 det X G X = 2 η β + g1 g2 p (p−1)(p+3) 2 (p+1) gdy (p + 1) ≡ 0(mod4) gdy (p + 3) ≡ 0(mod4) (ii) dla p parzystego 2 ′ ξ β + g1 g2 p (p+1)(p+3) gdy p ≡ 0(mod4) (p+2)2 −1 det X G X = 2 ξ β + g1 g2 (p − 1) gdy (p + 2) ≡ 0(mod4) p (p+1)(n−2) p+1 η = (n−2)2 , β = (n − 2)2 + (g1 + g2 )p(n − 2), 4p p (p+2)(n−2) p+1 . ξ = (n−2)2 4(p+1) D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.9/30 Twierdzenie (Katulska, Przybył (2007)) Nieosobliwy sprȩżynowy układ wagowy X = h ′ X1 x z i′ z macierza̧ σ 2 G = σ 2 diag(1, ..., 1, g1−1 , g2−1 ), g1 , g2 > 0, jest regularnie D-optymany dla p nieparzystego gdy ′ ′ (p+1)h X1 X1 = 4p Ip + 1p 1p , ′ ′ x 1p = z 1p = p+1 2 oraz p+1 if (p + 1) ≡ 0(mod4) ′ 4 . xz= p−1 or p+3 if (p + 3) ≡ 0(mod4) 4 4 D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.10/30 Twierdzenie (Katulska, Przybył (2007)) Nieosobliwy sprȩżynowy układ wagowy X = h ′ x X1 z i′ z macierza̧ σ 2 G = σ 2 diag(1, ..., 1, g1−1 , g2−1 ), g1 , g2> 0, jest regularnie D-optymany ′ dla p parzystego gdy X1 X1 = ′ (p+2)h 4(p+1) ′ Ip + 1p 1p i równocześnie ′ a) x 1p = z 1p = p2 oraz p gdy p ≡ 0(mod4) ′ 4 xz= , p−2 gdy (p + 2) ≡ 0(mod4) 4 ′ ′ ′ ′ p+2 b) x 1p = p2 , z 1p = p+2 or x 1 = p 2 2 , z 1p = p gdy p ≡ 0(mod4) ′ 4 xz= , p+2 gdy (p + 2) ≡ 0(mod4) 4 ′ p 2 oraz ′ oraz c) x 1p = z 1p = p+2 2 p + 1 gdy p ≡ 0(mod4) ′ 4 xz= . p+2 gdy (p + 2) ≡ 0(mod4) 4 D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.11/30 Układ zrównoważony o blokach niekompletnych v b k r λ liczba obiektów liczba bloków wielkość bloku liczba powtórzeń liczba bloków, w których wystȩpuje razem każda para obiektów NN′ = (r − λ)Iv + λ1v 1′v Parametry układu: v, b, r, k, λ D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.12/30 Macierz układu X= X1 x ′ X1 ′ X= x ′ z ′ X1 = N , N jest macierza̧ icydencji układu zrównoważonego o blo- kach niekompletnych z parametrami v, b, r, k, λ. D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.13/30 Twierdzenie Jeżeli istnieje układ zrównoważony o blokach niekompletnych , r = 2λ, k, λ i macierza̧ incydencji z parametrami v = 2k − 1, b = 2λ(2k−1) k N, to spr ȩżynowy układ wagowy o macierzy układu (i) X = N x ′ z macierza̧ wariancji σ 2 G = σ 2 diag(1, ..., 1, g −1 ), g > 0, ′ lub N ′ ′ z macierza̧ wariancji σ 2 G = σ 2 diag(1, ..., 1, g −1 , g −1 ), (ii) X = x 1 2 ′ z jest regularnym układem D-optymalnym. D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.14/30 Twierdzenie Jeżeli N jest macierza̧ incydencji układu zrównoważony o blokach niekompletnych z parametrami v = b = 4t + 3, r = k = 2(t + 1), λ = t + 1, 4t + 3 jest liczba̧ pierwsz a̧ lub potȩga̧ liczby pierwszej, to (i) jeśli n = b + 1, to X = N x ′ z macierza̧ wariancji σ 2 diag(1, ..., 1, g −1 ), ′ N ′ ′ z macierza̧ wariancji σ 2 diag(1, ..., 1, g −1 , g −1 ), (ii) jeśli n = b + 2, to X = x 1 2 ′ z jest regularnym układem D-optymalnym. D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.15/30 Twierdzenie Jeżeli N jest macierza̧ incydencji układu zrównoważony o blokach niekompletnych z parametrami v = 4t + 1, b = 2(4t + 1), r = 2(2t + 1), k = λ = 2t + 1, 4t + 1 jestliczba̧pierwsza̧ lub potȩga̧ liczby pierwszej, to (i) jeśli n = b + 1, to X = N x ′ z macierza̧ wariancji σ 2 diag(1, ..., 1, g −1 ), ′ N ′ ′ z macierza̧ wariancji σ 2 diag(1, ..., 1, g −1 , g −1 ), (ii) jeśli n = b + 2, to X = x 1 2 ′ z jest regularnym układem D-optymalnym. D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.16/30 Twierdzenie Jeżeli N jest macierza̧ incydencji układu zrównoważony o blokach niekompletnych z parametrami v = t2 , b = 2t2 , r = t2 + 1, k = λ = 0, 5(t2 + 1), t jest liczba̧ pierwsza̧, to (i) jeśli n = b + 1, to sprȩżynowy układ wagowy X = z macierza̧ wariancji σ 2 diag(1, ..., 1, g −1 ), N ′ ′ ′ x N ′ (ii) jeśli n = b + 2, to to sprȩżynowy układ wagowy X = x ′ −1 −1 2 z z macierza̧ wariancji σ diag(1, ..., 1, g1 , g2 ), jest regularnym układem D-optymalnym. D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.17/30 Twierdzenie Jeżeli v jest liczba̧ parzysta̧, to regularny D-optymalny sprȩżynowy układ wagowy z macierza̧ ′ N ′ N ′ X = ′ lub X = x nie istnieje. x ′ z D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.18/30 Układ czȩściowo zrównoważony z dwoma klasami partnerów v liczba obiektów b liczba bloków k wielkość bloku r liczba powtórzeń każdy obiekt ma dokładnie λq q−tych partnerów, q = 1, 2 Dwa obiekty, które sa̧ swoimi q−tymi partnerami wystȩpuja̧ razem w λq blokach. Parametry układu: v, b, r, k, λ1 , λ2 D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.19/30 Układ o grupach podzielnych Jest to układ czȩściowo zrównoważony z dwoma klasami partnerów, w którym v = ms obiektów można podzielić na m grup po s różnych obiektów. Obiekty należa̧ce do tej samej grupy sa̧ swoimi pierwszymi partnerami, a obiekty należa̧ce do różnych grup sa̧ swoimi drugimi partnerami. (s − 1)λ1 + (m − 1)λ2 = r(k − 1) Parametry układu: v, b, r, k, λ1 , λ2 D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.20/30 Macierz układu X= X1 x ′ X1 ′ X= x ′ z gdzie X1 = h N1 N2 i′ , N1 , N2 macierze icydencji układów o grupach podzielnych z parametrami v, bi , ri , ki , λ1i , λ2i , i = 1, 2, oraz λ11 + λ12 = λ21 + λ22 = λ. D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.21/30 Twierdzenie Niech p bȩdzie liczba̧ parzysta̧. Jeżeli istnieja̧ jest macierza̧ incydencji N1 oraz N2 układów o grupach podzielnych z tymi samymi schematami partnerstwa i z parametrami v, bi , ri , ki , λ1i , λ2i , i = 1, 2, oraz warunki r1 + r2 = 2λ b 1 + b2 = 2(v + 1)(r1 + r2 ) v+2 sa̧ spełnione, to sprȩżynowy układ wagowy z macierza̧ układu (i) X = N x ′ ′ i z macierza̧ wariancji σ 2 diag(1, ..., 1, g −1 ), lub N ′ ′ i z macierza̧ wariancji σ 2 diag(1, ..., 1, g −1 , g −1 ), (ii) X= x 1 2 ′ z jest regularnym układem D-optymalnym. D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.22/30 Twierdzenie Niech v = 6 oraz niech N1 i N2 bȩda̧ macierzami incydencji układów o grupach podzielnych z takim samym schematem partnerstwa, λ11 + λ12 = λ21 + λ22 z parametrami b1 = 3, r1 = 2, k1 = 4, λ11 = 2, λ21 = 1 oraz b2 = 4, r2 = 2, k2 = 3, λ12 = 0, λ22 = 1. ′ Jeśli X1 = [N1 N2 ] , to i′ h ′ (i) jeśli n = b1 + b2 + 1, to sprȩżynowy układ wagowy X = X1 x z macierza̧ wariancji σ 2 diag(1, ..., 1, g −1 ), (ii) jeśli n = b1 + b2 + 2, to to sprȩżynowy układ wagowy X = h ′ X1 x z i′ z macierza̧ wariancji σ 2 diag(1, ..., 1, g1−1 , g2−1 ), jest regularnym układem D-optymalnym. D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.23/30 Twierdzenie Niech v = 10 oraz niech N1 i N2 bȩda̧ macierzami incydencji układów o grupach podzielnych z takim samym schematem partnerstwa, λ11 + λ12 = λ21 + λ22 z parametrami b1 = 10, r1 = k1 = λ11 = 6, λ21 = 3 oraz b2 = 12, r2 = 6, k2 = 5, λ11 = 0, λ22 = 3. Jeśli X1 = [N1 ′ N2 ] , to (i) jeśli n = b1 + b2 + 1, to sprȩżynowy układ wagowy X = h ′ X1 x i′ z macierza̧ wariancji σ 2 diag(1, ..., 1, g −1 ), (ii) jeśli n = b1 + b2 + 2, to to sprȩżynowy układ wagowy X = h ′ X1 x z i′ z macierza̧ wariancji σ 2 diag(1, ..., 1, g1−1 , g2−1 ), jest regularnym układem D-optymalnym. D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.24/30 Twierdzenie Niech v = 14 oraz niech N1 i N2 bȩda̧ macierzami incydencji układów o grupach podzielnych z takim samym schematem partnerstwa, λ11 + λ12 = λ21 + λ22 z parametrami b1 = 14, r1 = k1 = λ11 = 8, λ21 = 4 oraz b2 = 16, r2 = 8, k2 = 7, λ12 = 0, λ22 = 4. Jeśli X1 = [N1 ′ N2 ] , to (i) jeśli n = b1 + b2 + 1, to sprȩżynowy układ wagowy X = h ′ X1 x i′ z macierza̧ wariancji σ 2 diag(1, ..., 1, g −1 ), (ii) jeśli n = b1 + b2 + 2, to to sprȩżynowy układ wagowy X = h ′ X1 x z i′ z macierza̧ wariancji σ 2 diag(1, ..., 1, g1−1 , g2−1 ), jest regularnym układem D-optymalnym. D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.25/30 Przykład 1 Niech n = 11, p = 6. Wtedy b = 10 = n − 1. Układ zrównoważony o blokach niekompletnych z parametrami v = 5, b = 10, r = 6, k = 3, λ = 3 z macierza̧ 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 N= 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 . 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 ′ 1 0 0 1 1 1 ′ Jeśli X1 = N oraz x = [1 1 1 0 0] , to 1 1 1 1 1 0 ′ X = 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 jest regularnym D-optymalnym sprȩżynowym układem wagowym. D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.26/30 Przykład 2 Niech n = 9, p = 6. Wtedy b1 + b2 = 7 = n − 2. Układy zrównoważone o grupach podzielnych z takim samym schematem partnerstwa z parametrami v = 6, b1 = 3, r1 = 2, k1 = 4, λ11 = 2, λ21 = 1 oraz v = 6, b2 = 4, r2 = 2, k2 = 3, λ12 = 0, λ22 = 1 dane poprzez macierze incydencji N1 , N2 z takim samym schematem partnerstwa dla m = 3, s = 2, gdzie ′ 1 1 N1 = 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 , 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 ′ N2 = 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 , 0 1 1 0 1 4 2 5 . 3 6 D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.27/30 Przykład 2 cd. ′ Jeśli X1 = [N1 N2 ] , ′ ′ x = [1 1 1 0 0 0] oraz z = [0 0 1 1 1 0] , to X= 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 jest regularnym D-optymalnym sprȩżynowym układem wagowym. D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.28/30 References Banerjee K.S. (1975). Weighing Designs for Chemistry, Medicine, Economics, Operations Research, Statistics. Marcel Dekker Inc., New York. Ceranka B., Katulska K. (1994). Constructions of the optimum chemical balance weighing design with non-homogeneity of the variances of errors. In: Advances in Statistical Software 4, Editor: F. Faulbaum, Stuttgard-Jena-New York: Gustav Fisher, 189-196. Clatworthy W.H. (1973). Tables of two-associate-class partially balanced designs. NBS Applied Mathematics Series 63. Gail Z., Kiefer J. (1980). D-optimum weighing designs. Ann. Statistics 8, 1293- 1306. Gail Z., Kiefer J. (1982). Construction methods D-optimum weighing designs when n ≡ 3(mod4). Ann. Statistics 10: 502-510. D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.29/30 References Katulska K., Przybył K. (2007). On certain D-optimal spring balance weighing designs. Journal of Statistical Theory and Practice 1, 393-404. Neubauer M.G., Watkins W., Zeitlin J. (1998). Notes on D-optimal designs. Linear Algebra ans its Applications, 280, 109-127. Pukelsheim F. (1993). Optimal design of experiment. John Willey and Sons, New York. Raghavarao D. (1971) Constructions and Combinatorial Problems in designs of Experiments. John Wiley Inc., New York. Raghavarao D., Padgett L.V. (2005). Block designs. Analysis, Combinatorics and Applications. Series of Applied Mathematics 17, Word Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. D - optymalne sprȩżynowe układy wagowe – p.30/30
