punkt siodłowy i twierdzenie o minimaksie von neumanna

PUNKT SIODŁOWY I TWIERDZENIE O
MINIMAKSIE VON NEUMANNA
Z. Dzedzej
Politechnika Gdańska, Wydział FTiMS
18 października 2012
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Kresy
Definicja 1 (Kres górny)
A ⊂ R ograniczony(z góry)
Mówimy, że M=sup A ⇔
1
∀a∈A a ¬ M
2
∀ε>0 ∃b∈A M − ε < b
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Kresy
Definicja 1 (Kres górny)
A ⊂ R ograniczony(z góry)
Mówimy, że M=sup A ⇔
1
∀a∈A a ¬ M
2
∀ε>0 ∃b∈A M − ε < b
Definicja 2 (Kres dolny)
A ⊂ R ograniczony(z dołu)
Mówimy, że m=inf A ⇔
1
∀a∈A m ¬ a
2
∀ε>0 ∃b∈A b < m + ε
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Kresy
Definicja 3 (Kresy funkcji)
Dla f : D → R
sup f (x) = supf (D)
x∈D
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Kresy
Definicja 3 (Kresy funkcji)
Dla f : D → R
sup f (x) = supf (D)
x∈D
Własności kresów:
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Kresy
Definicja 3 (Kresy funkcji)
Dla f : D → R
sup f (x) = supf (D)
x∈D
Własności kresów:
1
∀x∈D f (x) ¬ c ⇒ sup f (x) ¬ c
x∈D
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Kresy
Definicja 3 (Kresy funkcji)
Dla f : D → R
sup f (x) = supf (D)
x∈D
Własności kresów:
1
∀x∈D f (x) ¬ c ⇒ sup f (x) ¬ c
x∈D
∀x∈D f (x) ­ c ⇒ inf f (x) ­ c
x∈D
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Kresy
Definicja 3 (Kresy funkcji)
Dla f : D → R
sup f (x) = supf (D)
x∈D
Własności kresów:
1
∀x∈D f (x) ¬ c ⇒ sup f (x) ¬ c
x∈D
∀x∈D f (x) ­ c ⇒ inf f (x) ­ c
x∈D
2
f ,g i D → R
∀x∈D f (x) ¬ g (x) to sup f (x) ¬ sup g (x)
x∈D
ZDzedzej FTiMS
x∈D
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Kresy
Definicja 3 (Kresy funkcji)
Dla f : D → R
sup f (x) = supf (D)
x∈D
Własności kresów:
1
∀x∈D f (x) ¬ c ⇒ sup f (x) ¬ c
x∈D
∀x∈D f (x) ­ c ⇒ inf f (x) ­ c
x∈D
2
f ,g i D → R
∀x∈D f (x) ¬ g (x) to sup f (x) ¬ sup g (x)
x∈D
3
x∈D
f ,g i D → R
∀x∈D f (x) ¬ g (x) to inf f (x) ¬ inf g (x)
x∈D
ZDzedzej FTiMS
x∈D
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Kresy
Wnioski:
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Kresy
Wnioski:
1
Jeżeli a0 = supA ∈ A, to a0 = maxA.
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Kresy
Wnioski:
1
Jeżeli a0 = supA ∈ A, to a0 = maxA.
2
Jeżeli b0 = infA ∈ A, to b0 = minA.
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Kresy
Wnioski:
1
Jeżeli a0 = supA ∈ A, to a0 = maxA.
2
Jeżeli b0 = infA ∈ A, to b0 = minA.
3
Jeśli zbiór jest ograniczony z góry to posiada kres górny.
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Kresy
Wnioski:
1
Jeżeli a0 = supA ∈ A, to a0 = maxA.
2
Jeżeli b0 = infA ∈ A, to b0 = minA.
3
Jeśli zbiór jest ograniczony z góry to posiada kres górny.
4
Jeśli zbiór jest ograniczony z dołu to posiada kres dolny.
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Kresy
Twierdzenie 1
Jeśli f : X × Y → R (X,Y-zbiory) ograniczona, to
sup ( inf f (x, y )) ¬ inf (sup f (x, y ))
x∈X y ∈Y
y ∈Y x∈X
Wróć do dowodu.
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Kresy
Twierdzenie 1
Jeśli f : X × Y → R (X,Y-zbiory) ograniczona, to
sup ( inf f (x, y )) ¬ inf (sup f (x, y ))
x∈X y ∈Y
y ∈Y x∈X
Wróć do dowodu.
Dowód.
∀(x,y )∈X ×Y f (x, y ) ¬ sup f (x, y )
x∈X
Korzystając z własności 3 otrzymamy
∀x∈X inf f (x, y ) ¬ inf sup f (x, y )
y ∈Y
y ∈Y x∈X
⇓
sup ( inf f (x, y )) ¬ inf (sup f (x, y ))
x∈X y ∈Y
ZDzedzej FTiMS
y ∈Y x∈X
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Kresy
Uwaga 1
Jeżeli kresy zewnętrzne są osiągalne, to
max( inf f (x, y )) ¬ min(sup f (x, y ))
x∈X y ∈Y
ZDzedzej FTiMS
y ∈Y x∈X
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Kresy
Uwaga 1
Jeżeli kresy zewnętrzne są osiągalne, to
max( inf f (x, y )) ¬ min(sup f (x, y ))
x∈X y ∈Y
y ∈Y x∈X
Uwaga 2
Jeżeli ∀x∈X wewnętrzny kres po lewej i ∀y ∈Y wewnętrzny kres po
prawej jest osiągalny, to możemy zapisać
max(min f (x, y )) ¬ min(max f (x, y )) nierówność minimaksowa
x∈X y ∈Y
y ∈Y x∈X
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Punkty siodłowe
Definicja 4
Punkt (x ∗ , y ∗ ) ∈ X × Y nazywamy punktem siodłowym funkcji
f : X × Y → R, gdy
∀x∈X ∀y ∈Y f (x, y ∗ ) ¬ f (x ∗ , y ∗ ) ¬ f (x∗, y ).
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Punkty siodłowe
Definicja 4
Punkt (x ∗ , y ∗ ) ∈ X × Y nazywamy punktem siodłowym funkcji
f : X × Y → R, gdy
∀x∈X ∀y ∈Y f (x, y ∗ ) ¬ f (x ∗ , y ∗ ) ¬ f (x∗, y ).
Twierdzenie 2
Funkcja f : X × Y → R posiada punkty siodłowe ⇐⇒ istnieją
max(inf f (x, y )) = min(sup f (x, y ))
x
y
ZDzedzej FTiMS
y
x
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Punkty siodłowe
Dowód.
⇒ (x ∗ , y ∗ )-punkt siodłowy
∀x,y f (x, y ∗ ) ¬ f (x ∗ , y ∗ ) ¬ f (x ∗ , y )
⇓
inf sup {f (x, y )} ¬ sup f (x, y ∗ ) ¬ f (x ∗ , y ∗ ) ¬
y ∈Y x∈X
x∈X
¬ inf f (x ∗ , y ) ¬ sup f (x, y ) ∗
y ∈Y
x∈X
Oznaczmy nierówność ∗
Korzystając z twierdzenia 1 oraz * mamy
f (x ∗ , y ∗ ) = max(inf f (x, y )) = min(sup f (x, y ))
x
y
ZDzedzej FTiMS
y
x
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Punkty siodłowe
dowód cd.
⇐
L = max(inf f (x, y )) = min(sup f (x, y ))
x
y
y
x
∃x ∗ takie,że L = inf f (x ∗ , y )
y
∃y ∗ takie,że P = sup f (x, y ∗ )
x
f (x ∗ , y ∗ ) ¬ sup f (x, y ∗ )
x
k z założenia
inf f (x ∗ , y ) ¬ f (x ∗ , y ∗ )
y ∈Y
stąd
(x ∗ , y ∗ )-punkt siodłowy
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Punkty siodłowe
Wnioski:
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Punkty siodłowe
Wnioski:
1
W każdym punkcie siodłowym wartość f (x ∗ , y ∗ ) jest taka sama.
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Punkty siodłowe
Wnioski:
1
W każdym punkcie siodłowym wartość f (x ∗ , y ∗ ) jest taka sama.
2
Własność prostokątności
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Punkty siodłowe
Wnioski:
1
2
W każdym punkcie siodłowym wartość f (x ∗ , y ∗ ) jest taka sama.
Własność prostokątności
(x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 )-punkty siodłowe, to (x 1 , y 2 ), (x 2 , y 1 ) też są
punktami siodłowymi.
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Punkty siodłowe
Rozważmy grę macierzową A = [aij ] i∈{1,2,...,m}
j∈{1,2,...,n}
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Punkty siodłowe
Rozważmy grę macierzową A = [aij ] i∈{1,2,...,m}
j∈{1,2,...,n}
Pierwszy gracz wiersz określa dla każdej swojej strategii swoją
minimalną wygraną:
Si → αi = min aij
j
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Punkty siodłowe
Rozważmy grę macierzową A = [aij ] i∈{1,2,...,m}
j∈{1,2,...,n}
Pierwszy gracz wiersz określa dla każdej swojej strategii swoją
minimalną wygraną:
Si → αi = min aij
j
Następnie wybiera maximum:
α = max αi = max min aij poziom bezpieczeństwa I gracza; dolna
i
i
j
cena gry
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Punkty siodłowe
Rozważmy grę macierzową A = [aij ] i∈{1,2,...,m}
j∈{1,2,...,n}
Pierwszy gracz wiersz określa dla każdej swojej strategii swoją
minimalną wygraną:
Si → αi = min aij
j
Następnie wybiera maximum:
α = max αi = max min aij poziom bezpieczeństwa I gracza; dolna
i
i
j
cena gry
Drugi gracz kolumna szuka
Sj → βj = min max aij β -minimax, górna cena gry
j
i
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Punkty siodłowe
Rozważmy grę macierzową A = [aij ] i∈{1,2,...,m}
j∈{1,2,...,n}
Pierwszy gracz wiersz określa dla każdej swojej strategii swoją
minimalną wygraną:
Si → αi = min aij
j
Następnie wybiera maximum:
α = max αi = max min aij poziom bezpieczeństwa I gracza; dolna
i
i
j
cena gry
Drugi gracz kolumna szuka
Sj → βj = min max aij β -minimax, górna cena gry
j
i
Twierdzenie 3
Punkt siodłowy (≡ równowaga w grze) istnieje ⇔ α = β
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Przykład 1


5
3
4
3


2
0 −2 
A:  7
10 −1 −4 2
Wybieramy minimum z każdego wiersza:
α1 = 3
α2 = −2
α3 = −4
Wybieramy największą z tych liczb:α = 3
Następnie wybieramy maximum z każdej kolumny
β1 = 10
β2 = 3
β3 = 4
Wybieramy najmniejszą z tych liczb: β = 3
α=β=3
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Randomizacja
Niech:
S1 = {s1 , s2 , . . . sm } → ∆(S1 ) ⊂ Rm - zbiór strategii pierwszego
gracza
S2 = {s1 , s2 , . . . sn } → ∆(S2 ) ⊂ Rn - zbiór strategii drugiego gracza
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Randomizacja
Niech:
S1 = {s1 , s2 , . . . sm } → ∆(S1 ) ⊂ Rm - zbiór strategii pierwszego
gracza
S2 = {s1 , s2 , . . . sn } → ∆(S2 ) ⊂ Rn - zbiór strategii drugiego gracza
f : S1 × S2 → R
f (si , sj ) = aij
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Randomizacja
Niech:
S1 = {s1 , s2 , . . . sm } → ∆(S1 ) ⊂ Rm - zbiór strategii pierwszego
gracza
S2 = {s1 , s2 , . . . sn } → ∆(S2 ) ⊂ Rn - zbiór strategii drugiego gracza
f : S1 × S2 → R
f (si , sj ) = aij
A = [aij ]
P
X = [x1 , x2 , . . . , xm ] = m
xE
Pni=1 i i
Y = [y1 , y2 , . . . , yn ] = i=1 yj Fj
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Randomizacja
Niech:
S1 = {s1 , s2 , . . . sm } → ∆(S1 ) ⊂ Rm - zbiór strategii pierwszego
gracza
S2 = {s1 , s2 , . . . sn } → ∆(S2 ) ⊂ Rn - zbiór strategii drugiego gracza
f : S1 × S2 → R
f (si , sj ) = aij
A = [aij ]
P
X = [x1 , x2 , . . . , xm ] = m
xE
Pni=1 i i
Y = [y1 , y2 , . . . , yn ] = i=1 yj Fj
Pm Pn
f (X , Y ) = X · A· Y T =
f : ∆(S1 ) × ∆(S2 ) → R
i=1
ZDzedzej FTiMS
j=1 xi yj aij
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Randomizacja, punkt siodłowy
Definicja 5
Γ = ({1, 2}, ∆(S1 ), ∆(S2 ), f ) jest rozszerzeniem (randomizacją)
gry macierzowej Γ = ({1, 2}, S1 , S2 , f ).
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Randomizacja, punkt siodłowy
Definicja 5
Γ = ({1, 2}, ∆(S1 ), ∆(S2 ), f ) jest rozszerzeniem (randomizacją)
gry macierzowej Γ = ({1, 2}, S1 , S2 , f ).
∆(Si ) - wypukły, domknięty i ograniczony podzbiór Rk
f - jest ciągła
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Randomizacja, punkt siodłowy
Definicja 5
Γ = ({1, 2}, ∆(S1 ), ∆(S2 ), f ) jest rozszerzeniem (randomizacją)
gry macierzowej Γ = ({1, 2}, S1 , S2 , f ).
∆(Si ) - wypukły, domknięty i ograniczony podzbiór Rk
f - jest ciągła
Definicja 6
Profil (X ∗ , Y ∗ ) ∈ ∆(S1 ) × ∆(S2 ) nazywamy profilem równowagi
(punktem siodłowym) gry macierzowej Γ gdy ∀(X ,Y )∈∆(S1 ,S2 )
XAY ∗T ¬ X ∗ AY ∗T ¬ X ∗ AY T
/f (x, y ∗ ) ¬ f (x ∗ , y ∗ ) ¬ f (x ∗ , y )/
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Równowaga w grze
Twierdzenie 4
Jeżeli (Si∗ , Sj∗ ) ∈ S1 × S2 jest równowagą w grze macierzowej Γ, to
jest równowagą w Γ.
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Równowaga w grze
Twierdzenie 4
Jeżeli (Si∗ , Sj∗ ) ∈ S1 × S2 jest równowagą w grze macierzowej Γ, to
jest równowagą w Γ.
Stwierdzenie 1
X ∗ , Y ∗ jest profilem równowagi w Γ ⇔ ∀i=1,2,...,m ∀j=1,2,...,n
Ai Y ∗T ¬ X ∗ AY ∗T ¬ X ∗ Aj
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Równowaga w grze
Dowód.
Konieczność
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Równowaga w grze
Dowód.
Konieczność
Ei AY ∗T ¬ X ∗ AY ∗T ¬ X ∗ AFjT
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Równowaga w grze
Dowód.
Konieczność
Ei AY ∗T ¬ X ∗ AY ∗T ¬ X ∗ AFjT
Ei - wektor, który ma na i-tym miejscu jedynkę
Fj - wektor, który ma na j-tym miejscu jedynkę
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Równowaga w grze
Dowód.
Konieczność
Ei AY ∗T ¬ X ∗ AY ∗T ¬ X ∗ AFjT
Ei - wektor, który ma na i-tym miejscu jedynkę
Fj - wektor, który ma na j-tym miejscu jedynkę
Dostateczność
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Równowaga w grze
Dowód.
Konieczność
Ei AY ∗T ¬ X ∗ AY ∗T ¬ X ∗ AFjT
Ei - wektor, który ma na i-tym miejscu jedynkę
Fj - wektor, który ma na j-tym miejscu jedynkę
Dostateczność
∀i=1,2,...,m Ai Y ∗T ¬ X ∗ AY ∗T = a,
nierówność i-tą mnożymy przez xi
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Równowaga w grze
Dowód.
Konieczność
Ei AY ∗T ¬ X ∗ AY ∗T ¬ X ∗ AFjT
Ei - wektor, który ma na i-tym miejscu jedynkę
Fj - wektor, który ma na j-tym miejscu jedynkę
Dostateczność
∀i=1,2,...,m Ai Y ∗T ¬ X ∗ AY ∗T = a,
nierówność i-tą mnożymy przez xi
∀i=1,2,...,m xi Ei AY ∗T = xi Ai Y ∗T ¬ xi X ∗ AY ∗T = xi a
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Równowaga w grze
Dowód.
Konieczność
Ei AY ∗T ¬ X ∗ AY ∗T ¬ X ∗ AFjT
Ei - wektor, który ma na i-tym miejscu jedynkę
Fj - wektor, który ma na j-tym miejscu jedynkę
Dostateczność
∀i=1,2,...,m Ai Y ∗T ¬ X ∗ AY ∗T = a,
nierówność i-tą mnożymy przez xi
∀i=1,2,...,m xi Ei AY ∗T = xi Ai Y ∗T ¬ xi X ∗ AY ∗T = xi a
dodajemy stronami
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Równowaga w grze
Dowód.
Konieczność
Ei AY ∗T ¬ X ∗ AY ∗T ¬ X ∗ AFjT
Ei - wektor, który ma na i-tym miejscu jedynkę
Fj - wektor, który ma na j-tym miejscu jedynkę
Dostateczność
∀i=1,2,...,m Ai Y ∗T ¬ X ∗ AY ∗T = a,
nierówność i-tą mnożymy przez xi
∀i=1,2,...,m xi Ei AY ∗T = xi Ai Y ∗T ¬ xi X ∗ AY ∗T = xi a
P
∗T ) ¬ Pm x · a
dodajemy stronami (( m
i=1 xi Ei )AY
i=1 i
XAY ∗T ¬
Pm
i=1 xi · a
=a
X = [x1 , x2 , . . . , xm ] ∈ ∆(S1 )
Analogicznie dla prawej nierówności.
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Twierdzenie 5 (von Neumann,Morgenstern)
Dla każdej gry macierzowej Γ istnieje profil równowagi w
rozszerzeniu Γ.
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Twierdzenie 5 (von Neumann,Morgenstern)
Dla każdej gry macierzowej Γ istnieje profil równowagi w
rozszerzeniu Γ.
Lemat 1
A, B ⊂ Rk
Jeżeli zbiory A,B są domknięte i wypukłe (A zwarty), to
A + B = {a + b; a ∈ A, b ∈ B} jest zbiorem wypukłym i
domkniętym.
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Dowód.
Wypukłość:
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Dowód.
Wypukłość: Niech a1 + b1 ∈ A + B
a2 + b 2 ∈ A + B
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Dowód.
Wypukłość: Niech a1 + b1 ∈ A + B
a2 + b 2 ∈ A + B
Niech 0 ¬ λ ¬ 1
λ(a1 + b1 ) + (1 − λ)(a2 + b2 )
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Dowód.
Wypukłość: Niech a1 + b1 ∈ A + B
a2 + b 2 ∈ A + B
Niech 0 ¬ λ ¬ 1
λ(a1 + b1 ) + (1 − λ)(a2 + b2 ) = [λa1 + (1 − λ)a2 ] + [λb1 + (1 − λ)b2 ]
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Dowód.
Wypukłość: Niech a1 + b1 ∈ A + B
a2 + b 2 ∈ A + B
Niech 0 ¬ λ ¬ 1
λ(a1 + b1 ) + (1 − λ)(a2 + b2 ) = [λa1 + (1 − λ)a2 ] + [λb1 + (1 − λ)b2 ]
z wypukłości zbioru A: λa1 + (1 − λ)a2 ∈ A
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Dowód.
Wypukłość: Niech a1 + b1 ∈ A + B
a2 + b 2 ∈ A + B
Niech 0 ¬ λ ¬ 1
λ(a1 + b1 ) + (1 − λ)(a2 + b2 ) = [λa1 + (1 − λ)a2 ] + [λb1 + (1 − λ)b2 ]
z wypukłości zbioru A: λa1 + (1 − λ)a2 ∈ A
z wypukłości zbioru B: λb1 + (1 − λ)b2 ∈ B
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Dowód.
Wypukłość: Niech a1 + b1 ∈ A + B
a2 + b 2 ∈ A + B
Niech 0 ¬ λ ¬ 1
λ(a1 + b1 ) + (1 − λ)(a2 + b2 ) = [λa1 + (1 − λ)a2 ] + [λb1 + (1 − λ)b2 ]
z wypukłości zbioru A: λa1 + (1 − λ)a2 ∈ A
z wypukłości zbioru B: λb1 + (1 − λ)b2 ∈ B
(an + bn ) ∈ A + B
⇓n→∞
x
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Dowód.
Wypukłość: Niech a1 + b1 ∈ A + B
a2 + b 2 ∈ A + B
Niech 0 ¬ λ ¬ 1
λ(a1 + b1 ) + (1 − λ)(a2 + b2 ) = [λa1 + (1 − λ)a2 ] + [λb1 + (1 − λ)b2 ]
z wypukłości zbioru A: λa1 + (1 − λ)a2 ∈ A
z wypukłości zbioru B: λb1 + (1 − λ)b2 ∈ B
(an + bn ) ∈ A + B
⇓n→∞
x
Sprawdzimy czy x ∈ A + B
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Dowód.
Wypukłość: Niech a1 + b1 ∈ A + B
a2 + b 2 ∈ A + B
Niech 0 ¬ λ ¬ 1
λ(a1 + b1 ) + (1 − λ)(a2 + b2 ) = [λa1 + (1 − λ)a2 ] + [λb1 + (1 − λ)b2 ]
z wypukłości zbioru A: λa1 + (1 − λ)a2 ∈ A
z wypukłości zbioru B: λb1 + (1 − λ)b2 ∈ B
(an + bn ) ∈ A + B
⇓n→∞
x
Sprawdzimy czy x ∈ A + B
Wystarczy się ograniczyć do tego, że an → a ∈ A
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Dowód.
Wypukłość: Niech a1 + b1 ∈ A + B
a2 + b 2 ∈ A + B
Niech 0 ¬ λ ¬ 1
λ(a1 + b1 ) + (1 − λ)(a2 + b2 ) = [λa1 + (1 − λ)a2 ] + [λb1 + (1 − λ)b2 ]
z wypukłości zbioru A: λa1 + (1 − λ)a2 ∈ A
z wypukłości zbioru B: λb1 + (1 − λ)b2 ∈ B
(an + bn ) ∈ A + B
⇓n→∞
x
Sprawdzimy czy x ∈ A + B
Wystarczy się ograniczyć do tego, że an → a ∈ A
Wtedy bn → b ∈ B (z domkniętości).
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Gry afinicznie równoważne
Definicja 7
Gry macierzowe o macierzach A1 oraz odpowiednio A2 są afinicznie
równoważne jeśli A2 daje się otrzymać z A1 za pomocą
następujących operacji:
a) dodanie do wszystkich wyrazów A1 pewnej liczby λ ∈ R,
b) pomnożymy wszystkie wyrazy A1 przez dodatnią stałą.
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Gry afinicznie równoważne
Definicja 7
Gry macierzowe o macierzach A1 oraz odpowiednio A2 są afinicznie
równoważne jeśli A2 daje się otrzymać z A1 za pomocą
następujących operacji:
a) dodanie do wszystkich wyrazów A1 pewnej liczby λ ∈ R,
b) pomnożymy wszystkie wyrazy A1 przez dodatnią stałą.
Fakt 1
Gry afinicznie równoważne mają te same profile równowagi.
Wróć do dowodu.
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
Definicja 8
Zbiór A jest wypukły ⇔ ∀x,y ∈A ∀0¬λ¬1
ZDzedzej FTiMS
λx + (1 − λ)y ∈ A
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
Definicja 8
Zbiór A jest wypukły ⇔ ∀x,y ∈A ∀0¬λ¬1
λx + (1 − λ)y ∈ A
Twierdzenie 6 (o hiperpłaszczyźnie rozdzielającej)
Niech K ∈ Rk będzie podzbiorem wypukłym i domkniętym i 0 ∈
/ K.
Wtedy ∃z∈Rk ∃c∈R takie, że
∀v ∈K ⊂Rk
0 < c < v· zT =
PK
i=1
vi zi
Wróć do dowodu.
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
Definicja 8
Zbiór A jest wypukły ⇔ ∀x,y ∈A ∀0¬λ¬1
λx + (1 − λ)y ∈ A
Twierdzenie 6 (o hiperpłaszczyźnie rozdzielającej)
Niech K ∈ Rk będzie podzbiorem wypukłym i domkniętym i 0 ∈
/ K.
Wtedy ∃z∈Rk ∃c∈R takie, że
∀v ∈K ⊂Rk
0 < c < v· zT =
PK
i=1
vi zi
Wróć do dowodu.
{v ∈ Rk : v · z T = c} - równanie hiperpłaszczyzny
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
Definicja 8
Zbiór A jest wypukły ⇔ ∀x,y ∈A ∀0¬λ¬1
λx + (1 − λ)y ∈ A
Twierdzenie 6 (o hiperpłaszczyźnie rozdzielającej)
Niech K ∈ Rk będzie podzbiorem wypukłym i domkniętym i 0 ∈
/ K.
Wtedy ∃z∈Rk ∃c∈R takie, że
∀v ∈K ⊂Rk
0 < c < v· zT =
PK
i=1
vi zi
Wróć do dowodu.
{v ∈ Rk : v · z T = c} - równanie hiperpłaszczyzny
k = 2 ⇒ v1 · z1 + v2 · z2 = c
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
Definicja 8
Zbiór A jest wypukły ⇔ ∀x,y ∈A ∀0¬λ¬1
λx + (1 − λ)y ∈ A
Twierdzenie 6 (o hiperpłaszczyźnie rozdzielającej)
Niech K ∈ Rk będzie podzbiorem wypukłym i domkniętym i 0 ∈
/ K.
Wtedy ∃z∈Rk ∃c∈R takie, że
∀v ∈K ⊂Rk
0 < c < v· zT =
PK
i=1
vi zi
Wróć do dowodu.
{v ∈ Rk : v · z T = c} - równanie hiperpłaszczyzny
k = 2 ⇒ v1 · z1 + v2 · z2 = c
k = 3 ⇒ v1 · z1 + v2 · z2 + v3 · z3 = c
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
Definicja 8
Zbiór A jest wypukły ⇔ ∀x,y ∈A ∀0¬λ¬1
λx + (1 − λ)y ∈ A
Twierdzenie 6 (o hiperpłaszczyźnie rozdzielającej)
Niech K ∈ Rk będzie podzbiorem wypukłym i domkniętym i 0 ∈
/ K.
Wtedy ∃z∈Rk ∃c∈R takie, że
∀v ∈K ⊂Rk
0 < c < v· zT =
PK
i=1
vi zi
Wróć do dowodu.
{v ∈ Rk : v · z T = c} - równanie hiperpłaszczyzny
k = 2 ⇒ v1 · z1 + v2 · z2 = c
k = 3 ⇒ v1 · z1 + v2 · z2 + v3 · z3 = c
v ∈ K ⇒ vz T > c
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
Definicja 8
Zbiór A jest wypukły ⇔ ∀x,y ∈A ∀0¬λ¬1
λx + (1 − λ)y ∈ A
Twierdzenie 6 (o hiperpłaszczyźnie rozdzielającej)
Niech K ∈ Rk będzie podzbiorem wypukłym i domkniętym i 0 ∈
/ K.
Wtedy ∃z∈Rk ∃c∈R takie, że
∀v ∈K ⊂Rk
0 < c < v· zT =
PK
i=1
vi zi
Wróć do dowodu.
{v ∈ Rk : v · z T = c} - równanie hiperpłaszczyzny
k = 2 ⇒ v1 · z1 + v2 · z2 = c
k = 3 ⇒ v1 · z1 + v2 · z2 + v3 · z3 = c
v ∈ K ⇒ vz T > c
v = 0 ⇒ 0 = 0· z T < c
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
Dowód.
funkcja R 3 v → ||v || jest ciągła
K jest domknięty ⇒ istnieje z ∈ K takie, że ||z|| = inf {||v ||}
v ∈K
c := 21 ||z||
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
Dowód.
funkcja R 3 v → ||v || jest ciągła
K jest domknięty ⇒ istnieje z ∈ K takie, że ||z|| = inf {||v ||}
v ∈K
c := 21 ||z||
Rozważmy v ∈ K dowolny.
Wtedy dla 0 ¬ λ ¬ 1
λv + (1 − λ)z ∈ K
ZDzedzej FTiMS
(z wypukłości K)
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
Dowód.
funkcja R 3 v → ||v || jest ciągła
K jest domknięty ⇒ istnieje z ∈ K takie, że ||z|| = inf {||v ||}
v ∈K
c := 21 ||z||
Rozważmy v ∈ K dowolny.
Wtedy dla 0 ¬ λ ¬ 1
λv + (1 − λ)z ∈ K
(z wypukłości K)
< z, z >=
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
Dowód.
funkcja R 3 v → ||v || jest ciągła
K jest domknięty ⇒ istnieje z ∈ K takie, że ||z|| = inf {||v ||}
v ∈K
c := 21 ||z||
Rozważmy v ∈ K dowolny.
Wtedy dla 0 ¬ λ ¬ 1
λv + (1 − λ)z ∈ K
(z wypukłości K)
< z, z >= z· z T =
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
Dowód.
funkcja R 3 v → ||v || jest ciągła
K jest domknięty ⇒ istnieje z ∈ K takie, że ||z|| = inf {||v ||}
v ∈K
c := 21 ||z||
Rozważmy v ∈ K dowolny.
Wtedy dla 0 ¬ λ ¬ 1
λv + (1 − λ)z ∈ K
(z wypukłości K)
< z, z >= z· z T = ||z||2
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
Dowód.
funkcja R 3 v → ||v || jest ciągła
K jest domknięty ⇒ istnieje z ∈ K takie, że ||z|| = inf {||v ||}
v ∈K
c := 21 ||z||
Rozważmy v ∈ K dowolny.
Wtedy dla 0 ¬ λ ¬ 1
λv + (1 − λ)z ∈ K
(z wypukłości K)
< z, z >= z· z T = ||z||2 ¬ ||λv + (1 − λ)z||2
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
Dowód.
funkcja R 3 v → ||v || jest ciągła
K jest domknięty ⇒ istnieje z ∈ K takie, że ||z|| = inf {||v ||}
v ∈K
c := 21 ||z||
Rozważmy v ∈ K dowolny.
Wtedy dla 0 ¬ λ ¬ 1
λv + (1 − λ)z ∈ K
(z wypukłości K)
< z, z >= z· z T = ||z||2 ¬ ||λv + (1 − λ)z||2 =
=< λv + (1 − λ)z, λv + (1 − λ)z >
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
Dowód.
funkcja R 3 v → ||v || jest ciągła
K jest domknięty ⇒ istnieje z ∈ K takie, że ||z|| = inf {||v ||}
v ∈K
c := 21 ||z||
Rozważmy v ∈ K dowolny.
Wtedy dla 0 ¬ λ ¬ 1
λv + (1 − λ)z ∈ K
(z wypukłości K)
< z, z >= z· z T = ||z||2 ¬ ||λv + (1 − λ)z||2 =
=< λv + (1 − λ)z, λv + (1 − λ)z > = λ2 · < v , v > +
+ 2λ(1 − λ) < v , z > +(1 − λ)2 < z, z >­< z, z >
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
Dowód.
funkcja R 3 v → ||v || jest ciągła
K jest domknięty ⇒ istnieje z ∈ K takie, że ||z|| = inf {||v ||}
v ∈K
c := 21 ||z||
Rozważmy v ∈ K dowolny.
Wtedy dla 0 ¬ λ ¬ 1
λv + (1 − λ)z ∈ K
(z wypukłości K)
< z, z >= z· z T = ||z||2 ¬ ||λv + (1 − λ)z||2 =
=< λv + (1 − λ)z, λv + (1 − λ)z > = λ2 · < v , v > +
+ 2λ(1 − λ) < v , z > +(1 − λ)2 < z, z >­< z, z >
< z, z >¬ λ2 < v , v > +2λ(1 − λ) < v , z > + < z, z > +
− 2λ < z, z > +λ2 < z, z >
/ : λ, λ > 0
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
dowód cd.
λ < v , v > +2(1 − λ) < v , z > −2 < z, z > +λ < z, z >­ 0
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
dowód cd.
λ < v , v > +2(1 − λ) < v , z > −2 < z, z > +λ < z, z >­ 0
λ(2 < v , z > − < v , v > − < z, z >) ¬ (2 < v , z > − < z, z >),
dla λ > 0
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
dowód cd.
λ < v , v > +2(1 − λ) < v , z > −2 < z, z > +λ < z, z >­ 0
λ(2 < v , z > − < v , v > − < z, z >) ¬ (2 < v , z > − < z, z >),
dla λ > 0
Stąd:(przy λ → 0)
0 ¬ 2(v · z T − z· z T )
/:z
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
dowód cd.
λ < v , v > +2(1 − λ) < v , z > −2 < z, z > +λ < z, z >­ 0
λ(2 < v , z > − < v , v > − < z, z >) ¬ (2 < v , z > − < z, z >),
dla λ > 0
Stąd:(przy λ → 0)
0 ¬ 2(v · z T − z· z T )
czyli ||z||2 = z· z T ¬ v · z T
/:z
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Hiperpłaszczyzna rozdzielająca
dowód cd.
λ < v , v > +2(1 − λ) < v , z > −2 < z, z > +λ < z, z >­ 0
λ(2 < v , z > − < v , v > − < z, z >) ¬ (2 < v , z > − < z, z >),
dla λ > 0
Stąd:(przy λ → 0)
0 ¬ 2(v · z T − z· z T )
czyli ||z||2 = z· z T ¬ v · z T
ale ||z||2 ­ 12 ||z||2 = c > 0
/:z
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
Twierdzenie 7 (von Neumanna o minimaksie (1928))
W grze macierzowej z macierzą A = [aij ] i=1,2,...,m zachodzi równość
j=1,2,...,n
max
min XAY T =
X ∈∆(S1 ) Y ∈∆(S2 )
ZDzedzej FTiMS
min
max XAY T
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
Twierdzenie 7 (von Neumanna o minimaksie (1928))
W grze macierzowej z macierzą A = [aij ] i=1,2,...,m zachodzi równość
j=1,2,...,n
max
min XAY T =
X ∈∆(S1 ) Y ∈∆(S2 )
min
max XAY T
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
Dowód.
m
K = {AY T + v T |Y ∈ ∆(S2 ), vi ­ 0 ∀i } = A(∆(S2 )) + Rm
+ ⊂R
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
Twierdzenie 7 (von Neumanna o minimaksie (1928))
W grze macierzowej z macierzą A = [aij ] i=1,2,...,m zachodzi równość
j=1,2,...,n
max
min XAY T =
X ∈∆(S1 ) Y ∈∆(S2 )
min
max XAY T
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
Dowód.
m
K = {AY T + v T |Y ∈ ∆(S2 ), vi ­ 0 ∀i } = A(∆(S2 )) + Rm
+ ⊂R
K jest zbiorem domkniętym i wypukłym
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
Twierdzenie 7 (von Neumanna o minimaksie (1928))
W grze macierzowej z macierzą A = [aij ] i=1,2,...,m zachodzi równość
j=1,2,...,n
max
min XAY T =
X ∈∆(S1 ) Y ∈∆(S2 )
min
max XAY T
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
Dowód.
m
K = {AY T + v T |Y ∈ ∆(S2 ), vi ­ 0 ∀i } = A(∆(S2 )) + Rm
+ ⊂R
K jest zbiorem domkniętym i wypukłym
0∈
/ K : załóżmy dodatkowo
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
Twierdzenie 7 (von Neumanna o minimaksie (1928))
W grze macierzowej z macierzą A = [aij ] i=1,2,...,m zachodzi równość
j=1,2,...,n
max
min XAY T =
X ∈∆(S1 ) Y ∈∆(S2 )
min
max XAY T
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
Dowód.
m
K = {AY T + v T |Y ∈ ∆(S2 ), vi ­ 0 ∀i } = A(∆(S2 )) + Rm
+ ⊂R
K jest zbiorem domkniętym i wypukłym
0∈
/ K : załóżmy dodatkowo
min
max XAY T > 0
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
Twierdzenie 7 (von Neumanna o minimaksie (1928))
W grze macierzowej z macierzą A = [aij ] i=1,2,...,m zachodzi równość
j=1,2,...,n
max
min XAY T =
X ∈∆(S1 ) Y ∈∆(S2 )
max XAY T
min
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
Dowód.
m
K = {AY T + v T |Y ∈ ∆(S2 ), vi ­ 0 ∀i } = A(∆(S2 )) + Rm
+ ⊂R
K jest zbiorem domkniętym i wypukłym
0∈
/ K : załóżmy dodatkowo
min
max XAY T > 0 ⇒ ∃X ∀y
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
ZDzedzej FTiMS
XAY T > δ > 0
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
Twierdzenie 7 (von Neumanna o minimaksie (1928))
W grze macierzowej z macierzą A = [aij ] i=1,2,...,m zachodzi równość
j=1,2,...,n
max
min XAY T =
X ∈∆(S1 ) Y ∈∆(S2 )
max XAY T
min
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
Dowód.
m
K = {AY T + v T |Y ∈ ∆(S2 ), vi ­ 0 ∀i } = A(∆(S2 )) + Rm
+ ⊂R
K jest zbiorem domkniętym i wypukłym
0∈
/ K : załóżmy dodatkowo
min
max XAY T > 0 ⇒ ∃X ∀y
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
XAY T > δ > 0
Przypuśćmy, że 0 ∈ K , tzn dla pewnego y ∈ ∆(S2 )
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
Twierdzenie 7 (von Neumanna o minimaksie (1928))
W grze macierzowej z macierzą A = [aij ] i=1,2,...,m zachodzi równość
j=1,2,...,n
max
min XAY T =
X ∈∆(S1 ) Y ∈∆(S2 )
max XAY T
min
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
Dowód.
m
K = {AY T + v T |Y ∈ ∆(S2 ), vi ­ 0 ∀i } = A(∆(S2 )) + Rm
+ ⊂R
K jest zbiorem domkniętym i wypukłym
0∈
/ K : załóżmy dodatkowo
min
max XAY T > 0 ⇒ ∃X ∀y
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
XAY T > δ > 0
Przypuśćmy, że 0 ∈ K , tzn dla pewnego y ∈ ∆(S2 )
AY T = −v
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
Twierdzenie 7 (von Neumanna o minimaksie (1928))
W grze macierzowej z macierzą A = [aij ] i=1,2,...,m zachodzi równość
j=1,2,...,n
max
min XAY T =
X ∈∆(S1 ) Y ∈∆(S2 )
max XAY T
min
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
Dowód.
m
K = {AY T + v T |Y ∈ ∆(S2 ), vi ­ 0 ∀i } = A(∆(S2 )) + Rm
+ ⊂R
K jest zbiorem domkniętym i wypukłym
0∈
/ K : załóżmy dodatkowo
min
max XAY T > 0 ⇒ ∃X ∀y
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
XAY T > δ > 0
Przypuśćmy, że 0 ∈ K , tzn dla pewnego y ∈ ∆(S2 )
AY T = −v tzn. (AY T )i = −vi ¬ 0
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
dowód cd.
(AY T )i ¬ 0 ⇒ Xi · (AY T )i ¬ 0
P
(XAY T )i ¬ 0
i
Przy dodatkowym założeniu z twierdzenia o rozdzielaniu ∃c>0 oraz z ∈ Rm
takie, że
∀w ∈K w · z T > c > 0
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
dowód cd.
(AY T )i ¬ 0 ⇒ Xi · (AY T )i ¬ 0
P
(XAY T )i ¬ 0
i
Przy dodatkowym założeniu z twierdzenia o rozdzielaniu ∃c>0 oraz z ∈ Rm
takie, że
∀w ∈K w · z T > c > 0 czyli
∀Y ∈∆(S2 )
(AY + v )· z T > c > 0
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
dowód cd.
(AY T )i ¬ 0 ⇒ Xi · (AY T )i ¬ 0
P
(XAY T )i ¬ 0
i
Przy dodatkowym założeniu z twierdzenia o rozdzielaniu ∃c>0 oraz z ∈ Rm
takie, że
∀w ∈K w · z T > c > 0 czyli
∀Y ∈∆(S2 )
(AY + v )· z T > c > 0
Stąd wynika, że
∀i­0 zi ­ 0
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
dowód cd.
(AY T )i ¬ 0 ⇒ Xi · (AY T )i ¬ 0
P
(XAY T )i ¬ 0
i
Przy dodatkowym założeniu z twierdzenia o rozdzielaniu ∃c>0 oraz z ∈ Rm
takie, że
∀w ∈K w · z T > c > 0 czyli
∀Y ∈∆(S2 )
(AY + v )· z T > c > 0
Stąd wynika, że
∀i­0 zi ­ 0
i % :=
Pm
i=1
zi > 0
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
dowód cd.
(AY T )i ¬ 0 ⇒ Xi · (AY T )i ¬ 0
P
(XAY T )i ¬ 0
i
Przy dodatkowym założeniu z twierdzenia o rozdzielaniu ∃c>0 oraz z ∈ Rm
takie, że
∀w ∈K w · z T > c > 0 czyli
∀Y ∈∆(S2 )
(AY + v )· z T > c > 0
Stąd wynika, że
∀i­0 zi ­ 0
i % :=
z1
%
+
Pm
z2
%
i=1
zi > 0
+ ··· +
zm
%
Pm
zi
= Pi=1
=1
m
z
i=1 i
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
dowód cd.
Określamy X := %1 [z1 , z2 , . . . , zm ] ∈ ∆(S1 ) = ∆m
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
dowód cd.
Określamy X := %1 [z1 , z2 , . . . , zm ] ∈ ∆(S1 ) = ∆m
Wiemy, że ∀Y ∈∆(S2 )
XAY T > 0
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
dowód cd.
Określamy X := %1 [z1 , z2 , . . . , zm ] ∈ ∆(S1 ) = ∆m
Wiemy, że ∀Y ∈∆(S2 )
Stąd
XAY T > 0
min XAY T > 0
Y ∈∆(S2 )
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
dowód cd.
Określamy X := %1 [z1 , z2 , . . . , zm ] ∈ ∆(S1 ) = ∆m
Wiemy, że ∀Y ∈∆(S2 )
Stąd
XAY T > 0
min XAY T > 0
Y ∈∆(S2 )
Dotąd udowodniliśmy, że jeśli
min
max XAY T > 0,
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
dowód cd.
Określamy X := %1 [z1 , z2 , . . . , zm ] ∈ ∆(S1 ) = ∆m
Wiemy, że ∀Y ∈∆(S2 )
Stąd
XAY T > 0
min XAY T > 0
Y ∈∆(S2 )
Dotąd udowodniliśmy, że jeśli
min
max XAY T > 0,to
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
istnieje X ∈ ∆(S1 )
min XAY T > 0
Y ∈∆(S2 )
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
dowód cd.
Określamy X := %1 [z1 , z2 , . . . , zm ] ∈ ∆(S1 ) = ∆m
Wiemy, że ∀Y ∈∆(S2 )
Stąd
XAY T > 0
min XAY T > 0
Y ∈∆(S2 )
Dotąd udowodniliśmy, że jeśli
min
max XAY T > 0,to
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
istnieje X ∈ ∆(S1 )
min XAY T > 0 ⇒ max
Y ∈∆(S2 )
min XAY T > 0
X ∈∆(S1 ) Y ∈∆(S2 )
Wracając do definicji i faktu.
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
dowód cd.
a.a.
Przypuśćmy, że
b = max
min XAY T < λ <
X ∈∆(S1 ) Y ∈∆(S2 )
ZDzedzej FTiMS
min
max XAY T = a
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
dowód cd.
a.a.
Przypuśćmy, że
b = max
min XAY T < λ <
X ∈∆(S1 ) Y ∈∆(S2 )
min
max XAY T = a
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
Określmy nową grę macierzą A0 = [aij − λ] i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
dowód cd.
a.a.
Przypuśćmy, że
b = max
min XAY T < λ <
X ∈∆(S1 ) Y ∈∆(S2 )
min
max XAY T = a
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
Określmy nową grę macierzą A0 = [aij − λ] i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
min
max XA0 Y T = a − λ,
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
dowód cd.
a.a.
Przypuśćmy, że
b = max
min XAY T < λ <
X ∈∆(S1 ) Y ∈∆(S2 )
min
max XAY T = a
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
Określmy nową grę macierzą A0 = [aij − λ] i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
min
max XA0 Y T = a − λ,
max
min XA0 Y T = b − λ,
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
X ∈∆(S1 ) Y ∈∆(S2 )
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE
Tw. von Neumanna o minimaksie
dowód cd.
a.a.
Przypuśćmy, że
b = max
min XAY T < λ <
X ∈∆(S1 ) Y ∈∆(S2 )
min
max XAY T = a
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
Określmy nową grę macierzą A0 = [aij − λ] i=1,2,...,m
j=1,2,...,n
min
max XA0 Y T = a − λ,
max
min XA0 Y T = b − λ,
Y ∈∆(S2 ) X ∈∆(S1 )
X ∈∆(S1 ) Y ∈∆(S2 )
zatem b − λ < 0 < a − λ
niemożliwe na podstawie pierwszej części dowodu.
ZDzedzej FTiMS
PKT SIODŁOWY I TW. O MINIMAKSIE