Fendt Farmer 2

Journal of KONES Powertrain and Transport, Vol. 13, No. 3
MODEL OF A DIESEL ENGINE ALL-SPEED GOVERNOR
Janusz BidziĔski
Institute of Vehicles, Warsaw University of Technology
ul. Narbutta 84, 02-524 Warszawa, Poland
tel., fax: +48 022 8490303
e-mail: [email protected]
Abstract
A mathematical model of a diesel engine centrifugal all-speed governor is presented in the paper. The model is an
element of an engine-governor system model designed for investigations of transition processes taking places in an
agricultural tractor driving system. A model motion equation has been transformed to dimensionless form. That allows
simplifying a creation of engine-governor system model. This system model affords possibilities for simulations of
processes taking places during engine load and governor settings changes. Conditions of model motion stability during
cooperation with engine are formulated. Principles of a model parameters assorting are presented. This assorting can be
done by using an engine performance and conditions of stability in dimensionless forms. A computer program using
described model has been written. Numerical simulations results of the governor model work in open system are
presented. They present characteristic quantities courses succeeding sudden changes of the all-speed governor settings
and under harmonic changes of the governor angular velocity.
Key words: transport, diesel engines, speed governors, transition processes, vibrations, modelling, computer
simulations.
MODEL WIELOZAKRESOWEGO REGULATORA
PRĉDKOĝCI OBROTOWEJ SILNIKA Z ZAPàONEM SAMOCZYNNYM
Streszczenie
W pracy jest przedstawiony model matematyczny odĞrodkowego wielozakresowego regulatora prĊdkoĞci
obrotowej silnika z zapáonem samoczynnym. Jest on elementem modelu ukáadu silnik-regulator przeznaczonego do
badania procesów przejĞciowych w ukáadzie napĊdowym ciągnika rolniczego. Równanie ruchu modelu zostaáo
przeksztaácone do postaci bezwymiarowej, co upraszcza utworzenie modelu ukáadu silnik-regulator. Model takiego
ukáadu umoĪliwia symulacjĊ procesów towarzyszących zmianom obciąĪenia silnika i zmianom nastawy regulatora.
Zostaáy sformuáowane warunki statecznoĞci ruchu modelu przy wspóápracy z silnikiem spalinowym. Przedstawiono
zasady doboru parametrów modelu przy wykorzystaniu eksploatacyjnej charakterystyki szybkoĞ-ciowej silnika i
warunków statecznoĞci ruchu wyraĪonych w formie bezwymiarowej. Zostaáy przedstawione wybrane wyniki symulacji
komputerowych
przeprowadzonych
przy
wykorzystaniu
programu
opracowanego
na podstawie modelu. Przedstawiają one przebiegi wielkoĞci charakteryzujących pracĊ modelu regulatora
w ukáadzie otwartym przy skokowych zmianach nastawy oraz przy harmonicznym przebiegu prĊdkoĞci obrotowej.
Sáowa kluczowe: transport, silniki spalinowe, regulatory prĊdkoĞci obrotowej, procesy przejĞciowe, drgania
mechaniczne, modelowanie, symulacje komputerowe
1. WstĊp
Zadaniem wielozakresowego regulatora prĊdkoĞci obrotowej silnika z zapáonem samoczyn-nym
jest sterowanie ukáadem zasilania paliwem w taki sposób, aby prĊdkoĞü obrotowa silnika przy
róĪnych obciąĪeniach czĊĞciowych byáa w ustalonych warunkach ruchu utrzymana
w wąskim przedziale wartoĞci okreĞlonym nastawą regulatora. Nastawa ta wynika zazwyczaj
z poáoĪenia pedaáu przyspieszenia pojazdu. Informacji o obciąĪeniu silnika dostarcza realizo-wane
J. BidziĔski
w regulatorze porównanie chwilowej wartoĞci prĊdkoĞci kątowej z prĊdkoĞcią kątową nominalną
przy danej nastawie – odpowiadającą pracy z peánym obciąĪeniem. Efektem tego porównania jest
sygnaá sterujący ukáadem zasilania, okreĞlający wartoĞü dawki paliwa odpowiednią do obciąĪenia
silnika.
Ukáady zasilania nowoczesnych silników zazwyczaj są sterowane za pomocą ukáadów
mikroprocesorowych, które speániają równieĪ funkcjĊ regulatora wielozakresowego. Spotykane są
takĪe nadal odĞrodkowe regulatory mechaniczne, które byáy najczĊĞciej stosowanym rozwią-zaniem
w starszych silnikach. Prezentowany model regulatora jest przeznaczony do wspóápracy z modelem
silnika przedstawionym w pracy [2] – opracowanym w celu symulacji procesów przejĞciowych w
ukáadzie napĊdowym ciągnika rolniczego. W modelu tym zaáoĪono stero-wanie za pomocą
wielozakresowego regulatora odĞrodkowego ze wzglĊdu na wykorzystane przy jego opracowaniu
charakterystyki silnika o starszej konstrukcji.
2. Model wielozakresowego regulatora prĊdkoĞci obrotowej
Schemat funkcjonalny modelu wielozakresowego odĞrodkowego regulatora prĊdkoĞci
obrotowej silnika jest przedstawiony na rys. 1.
Do pompy wtryskowej
mc
lw
lc
N
mz
n
r0
xz
Rys. 1. Schemat modelu wielozakresowego regulatora odĞrodkowego
Fig. 1. Schematic diagram of an all speed governor model
CiĊĪarki regulatora, których áączną masĊ oznaczono symbolem mc, są poáączone z wiru-jącym
jarzmem i przesuwnym elementem wykonawczym regulatora za pomocą dwuramien-nych dĨwigni
o dáugoĞci ramion lc i lw. Jarzmo i ciĊĪarki obracają siĊ z prĊdkoĞcią kątową Ȧr. Zmiany prĊdkoĞci
kątowej powodują promieniowe przemieszczenia ciĊĪarków pod wpáywem zmian siáy
odĞrodkowej i przesuniĊcie elementu wykonawczego w wyniku obrotu dĨwigni. PoáoĪenie
elementu wykonawczego okreĞla wspóárzĊdna x. Jego skrajne poáoĪenia wyzna-czają zderzaki.
Element wykonawczy jest poáączony z zastĊpczą masą mz, która reprezentuje sumĊ jego masy i
mas powiązanych z nim kinematycznie elementów sterowania pompy wtrys-kowej –
zredukowanych na kierunek wspóárzĊdnej x. Element wykonawczy jest poáączony
z dĨwignią pedaáu przyspieszenia za pomocą sprĊĪyny o sztywnoĞci ț. NapiĊcie wstĊpne Fn tej
sprĊĪyny wynika z poáoĪenia pedaáu przyspieszenia, które wyznacza nastawĊ n regulatora.
PoáoĪenie pedaáu zaznaczone na rys. 1 linią przerywaną odpowiada nastawie biegu jaáowego
silnika. Siáa T przedstawia opory tarcia suchego, a wspóáczynnik b okreĞla opory wiskotyczne w
parach kinematycznych regulatora – zredukowane na kierunek wspóárzĊdnej x.
PoáoĪenie pedaáu przyspieszenia, ciĊĪarków i elementu wykonawczego regulatora zazna-czone
linią ciągáą odpowiada pracy regulatora z prĊdkoĞcią kątową Ȧrn nominalną przy nasta-wie n, przy
której siáa tarcia suchego w tym poáoĪeniu jest równa zero. NapiĊcie sprĊĪyny regulatora jest
wówczas równe napiĊciu wstĊpnemu Fn, promieĔ wirowania ciĊĪarków jest równy r0, a element
wykonawczy zajmuje poáoĪenie okreĞlone wartoĞcią wspóárzĊdnej x=0. PoáoĪenie elementów
30
Model of a Diesel Engine All-Speed Governor
regulatora przedstawione linią przerywaną odpowiada przesuniĊciu elementu wykonawczego o
wartoĞü xz wynikającą z odlegáoĞci miĊdzy zderzakami. PrĊdkoĞü kątowa jarzma przy nastawie n
osiąga wówczas wartoĞü Ȧrnz, gdy siáa tarcia suchego jest równa zero. Siáy R1 i R2 przedstawiają
reakcje zderzaków dziaáające na element wykonawczy regulatora w jego skrajnych poáoĪeniach,
kiedy prĊdkoĞü kątowa jarzma jest odpowiednio albo mniejsza od Ȧrn, albo wiĊksza od Ȧrnz.
PrzyjĊto, Īe zderzaki ograniczające przemieszczenia elementu wykonawczego są elementami
sprĊĪystymi o bardzo duĪej sztywnoĞci țz. Ich reakcje zostaáy opisane wspólną zaleĪnoĞcią:
gdy : 0 d x d 1 ;
Nzx ,
gdy : x 0 ;
N z(x xz ) , gdy : x ! xz .
­0,
°
® R1
°̄ R2
R
(1)
Opory tarcia suchego opisano wykorzystując metodykĊ podaną w pracy [3]:
T
T0X( x , x ) ;
gdy : x z 0 ;
­sign x ,
®3 X Ux , gdy : x 0 ,
¯
X
(2; 3)
gdzie: T0 - wartoĞü bezwzglĊdna siáy tarcia, gdy prĊdkoĞü elementu wykonawczego x z 0 , bądĨ
najwiĊksza wartoĞü bezwzglĊdna jaką moĪe osiągnąü siáa tarcia, gdy x 0 ;
ȣ - mnoĪnik siáy tarcia; U - liczba dodatnia, w zasadzie dowolna; 3 - funkcja projekcji taka,
Īe:
­z
, gdy : z d 1 ;
3 ( z ): ®
(4)
¯sign z , gdy : z ! 1 ,
ZaáoĪono, Īe wartoĞü bezwzglĊdna oporu tarcia T0 jest proporcjonalna do siáy odĞrod-kowej
dziaáającej na ciĊĪarki regulatora zredukowanej na kierunek wspóárzĊdnej x:
T0
Amcx rz 0 x Zr2 ( t ) ,
2
gdzie:
mcx
§l ·
mc ¨¨ c ¸¸ ;
© lw ¹
rz 0
r0
(5)
lw
lc
(6; 7)
oraz: A - wspóáczynnik proporcjonalnoĞci.
Ruch elementu wykonawczego modelu regulatora moĪna opisaü – z dokáadnoĞcią do maáych
wielkoĞci rzĊdu xz/2lw<<1 – zlinearyzowanym równaniem róĪniczkowym o wspóáczynniku
przy wspóárzĊdnej przemieszczenia x zaleĪnym od prĊdkoĞci kątowej Ȧr, a wiĊc zmiennym
w czasie:
>
@
( mz mcx )x bx N mcx ( 1 AX )Zr2 ( t ) x mcx rz 0 ( 1 AX )Zr2 ( t ) Fn R ,
gdy : x z 0 ;
­sign x ,
° ª
º
1
gdzie:
X ®
3
m r x Zr2 ( t ) Fn R Nx » , gdy : x 0 .
° « T0 cx z 0
¼
¯ ¬
>
@
PrĊdkoĞü kątowa modelu regulatora odpowiadająca w warunkach ustalonych poáoĪeniu x
elementu wykonawczego, przy której wartoĞü siáy tarcia suchego T=0, jest opisana zaleĪnoĞ-cią
wynikającą z równania ruchu (8):
31
(8)
(9)
J. BidziĔski
Zr ( u )
Fn Nx
,
mcx ( rz 0 x )
gdy: 0 d x d 1 .
(10)
Opory tarcia suchego wyznaczają wtedy przedziaá wartoĞci prĊdkoĞci kątowej, w którym
model regulatora nie reaguje na jej zmiany. Reakcja nastąpi dopiero wtedy, kiedy wartoĞü
bezwzglĊdna argumentu funkcji Ȇ(z) (4) okreĞlającej mnoĪnik siáy tarcia przekroczy wartoĞü |z|=1,
a wiĊc gdy prĊdkoĞü kątowa zmieni siĊ o wartoĞü:
'Zr
'Zr
Fn Nx
Zr ( u ) ,
mcx ( rz 0 x )( 1 A )
gdy:
dZ r
! 0 š Zrn d Zr d Zrnz ,
dt
(11)
Fn Nx
,
mcx ( rz 0 x )( 1 A )
gdy:
dZ r
0 š Zrn d Zr d Zrnz .
dt
(12)
Zr ( u ) Rozmiary tego przedziaáu okreĞla stopieĔ nieczuáoĞci H regulatora [1]:
H
'Zr 'Zr
#
1 .
Zr ( u ) Zr ( u )
(13)
Biorąc pod uwagĊ, Īe İ jest wielkoĞcią bardzo maáą wzglĊdem jednoĞci, moĪna wykazaü na
podstawie zaleĪnoĞci (10 ÷ 13) nastĊpujący związek:
A # 2H .
(14)
3. Ruch modelu regulatora i warunki statecznoĞci przy wspóápracy z silnikiem spalinowym
Sygnaáem wejĞciowym dla regulatora wspóápracującego z silnikiem spalinowym jest prĊd-koĞü
kątowa jarzma – proporcjonalna do prĊdkoĞci kątowej M waáu korbowego:
Zr
irM ,
(15)
gdzie ir przedstawia przeáoĪenie kinematyczne pomiĊdzy jarzmem regulatora i waáem korbo-wym
silnika.
Sygnaáem sterującym jest nastawa regulatora. PrzyjĊto za miarĊ tego sygnaáu prĊdkoĞü kątową
jarzma Ȧrn nominalną przy nastawie n, przy której element wykonawczy zajmuje
w stanie równowagi statycznej poáoĪenie x=0 i jednoczeĞnie siáa tarcia suchego w tym poáo-Īeniu
T=0. PrĊdkoĞci tej odpowiada nominalna przy nastawie n prĊdkoĞü kątowa silnika Ȧn [2]. Jest ona
opisana wzorem, który wynika z zaleĪnoĞci (10); (15):
Fn
.
mcx rz 0ir2
Zn
(16)
Wynikają z niej nastĊpujące związki:
rz 0
FN
mcxZ N2 ir2
Fn
;
32
FN
Zn2
,
Z N2
(17; 18)
Model of a Diesel Engine All-Speed Governor
gdzie: ZN – prĊdkoĞü kątowa silnika przy mocy znamionowej, FN – napiĊcie wstĊpne sprĊĪyny
regulatora przy nastawie wáaĞciwej dla mocy znamionowej.
Regulator osiąga stan równowagi statycznej, w którym siáa tarcia oscyluje wokóá wartoĞci
praktycznie równej zero, po dostatecznie dáugim okresie pracy silnika w ustalonych warunkach
ruchu. Element wykonawczy zajmuje wówczas poáoĪenie – nazywane dalej ustalonym – opisane
zaleĪnoĞcią wynikająca z równania ruchu (8), która przy uwzglĊdnieniu związków (15 ÷ 18)
przybiera postaü:
FN 2
Z s Zn2
2
ZN
xu
.
(19)
N mcxir2Zs2
>
@
Poprawna wspóápraca regulatora z silnikiem wymaga, aby jego ruch byá stateczny statycz-nie i
dynamicznie w caáym zakresie dopuszczalnych nastaw oraz prĊdkoĞci kątowych silnika:
Zs min d Zs d Zs max ,
(20)
gdzie: Ȧsmin – prĊdkoĞü biegu jaáowego silnika, Zsmax – najwiĊksza prĊdkoĞü kątowa silnika
podczas biegu luzem przy nastawie regulatora wáaĞciwej dla mocy znamionowej.
StatecznoĞü statyczna regulatora jest zapewniona, jeĪeli w ruchu ustalonym silnika wiĊk-szym
wartoĞciom prĊdkoĞci kątowej Ȧs z zakresu:
Z
(21)
Zn d Zs d rnz
ir
odpowiada wiĊksza wartoĞü promienia wirowania ciĊĪarków, a zatem wiĊksze przesuniĊcie
elementu wykonawczego [1]. Z zaleĪnoĞci (19) wynika zatem warunek statecznoĞci statycznej:
N ! mcx ir2Z s2max .
(22)
StatecznoĞü ruchu regulatora w sensie dynamicznym wymaga, aby maáe zaburzenia warun-ków
początkowych nie powodowaáy radykalnej zmiany ruchu elementu wykonawczego. PrĊdkoĞü
kątowa waáu korbowego jest natomiast zmienna w czasie nawet w ustalonych warunkach ruchu
silnika – w wyniku pulsacji dziaáającego na waá wypadkowego momentu obrotowego od siá
gazowych i siá bezwáadnoĞci generowanych w ruchu posuwisto-zwrotnym elementów ukáadu
táokowo-korbowego. Jej przebieg moĪna przedstawiü jako sumĊ prĊdkoĞci kątowej Ȧs ruchu
podstawowego waáu korbowego – nazywanej dalej umownie prĊdkoĞcią kątową silnika – i maáych
oscylacji įȦ [2]:
GZ
M Z s G Z ;
(23; 24)
1 .
Zs
Ruch modelu regulatora moĪna rozpatrywaü jako záoĪenie ruchu podstawowego wynikają-cego
z przebiegu prĊdkoĞci kątowej silnika Ȧs i zaburzeĔ wywoáanych oscylacjami GȦ:
x
~
x [ ,
gdzie: xҋ - przemieszczenie elementu wykonawczego w ruchu podstawowym,
[ - zaburzenie ruchu podstawowego.
33
J. BidziĔski
Równanie ruchu podstawowego ma postaü analogiczną do równania (8). MoĪna je przedstawiü, uwzglĊdniając związki (14 ÷ 18), w nastĊpującej wygodniejszej do analizy postaci:
>
@
FN
( mz mcx )~
x b~
x N mcxir2 ( 1 2HX )Zs2 ~
x
gdzie:
X
Z N2
>( 1 2HX )Z
2
s
­sign ~
x ,
gdy : ~
x z 0;
°
º
° ª FN 2
2
2 2 ~
° « 2 Zs Zn N mcxir Zs x R »
® « ZN
» , gdy : ~
x
°3 «
»
§F
·
° «
»
2HZs2 ¨¨ N2 mcxir2 ~
x ¸¸
°¯ ¬«
© ZN
¹
¼»
@
Zn2 R ,
0.
(25)
(26)
Zaburzenia ruchu podstawowego opisuje z dokáadnoĞcią do maáych wielkoĞci rzĊdu İ, įȦ/Ȧs
równanie:
ª
ª
º
·º
§
mz mcx [ b[ «N mcxir2Zs2 ¨¨ 1 2 GZ ¸¸»[ 2Zs2 G Z « FN2 mcxir2 ~x » .
(27)
Z
Z
Z
s
s
¹¼
©
¬ N
¼
¬
W ustalonych warunkach ruchu silnika oscylacje įȦ mają charakter okresowy. Ich przebieg
moĪna wtedy przedstawiü w formie rozwiniĊcia w szereg Fouriera:
k
G Z ( t ) Zs
¦D sinQ t T ,
i
si
Q si
iQ s
(28)
i
i 1
Di
gdzie:
ai
Zs
1 ;
c
i Zs
n
(29; 30)
oraz: ai - amplituda i-tej harmonicznej przebiegu oscylacji prĊdkoĞci kątowej; Qsi - czĊstoĞü
i-tej hamonicznej; Ti - kąt przesuniĊcia fazowego i-tej harmonicznej; c - liczba cylindrów
silnika; n=2 dla silnika czterosuwowego, n=1 dla silnika dwusuwowego [1].
Równanie zaburzeĔ przyjmuje wówczas postaü:
ª
§
k
·º
«¬
©
i 1
¹»¼
mz mcx [ b[ «N mcxir2Zs2 ¨¨1 2¦Di sin Q sit Ti ¸¸»[
k
ªF
º
2« N2 mcxir2 ~
x »Zs2 Di sin Q sit Ti .(31)
¬ZN
¼ i 1
¦
Wynika z niego, Īe w ruchu ustalonym silnika element wykonawczy regulatora jest pod-dany
okresowemu wymuszeniu bezwáadnoĞciowemu, które jest efektem oscylacji prĊdkoĞci kątowej
waáu korbowego. Wspóáczynnik równania przy wspóárzĊdnej przemieszczenia ȟ jest okresowo
zmienny w czasie, przy czym lewa strona równania ma postaü analogiczną do rów-nania Mathieu.
Ruch ukáadu, który jest opisany takim równaniem, moĪe byü niestateczny
w przypadku rezonansów drgaĔ wymuszonych bezwáadnoĞciowo przez poszczególne harmoniczne przebiegu prĊdkoĞci kątowej i w wyniku rezonansu parametrycznego [4], [5]. Statecz-noĞü
ruchu regulatora wymaga zatem speánienia warunków, przy których pulsacje prĊdkoĞci kątowej
nie powodują tych rezonansów.
Ze wzglĊdu na rezonanse drgaĔ wymuszonych bezwáadnoĞciowo czĊstoĞü drgaĔ swobod-nych
elementu wykonawczego regulatora powinna zdecydowanie róĪniü siĊ od czĊstoĞci dominujących
skáadowych harmonicznych przebiegu oscylacji prĊdkoĞci kątowej silnika. CzĊstoĞü drgaĔ
34
Model of a Diesel Engine All-Speed Governor
swobodnych modelu regulatora – przy sáabym táumieniu i pominiĊciu tarcia suchego – wyraĪa siĊ
zaleĪnoĞcią:
Qr
N mcxir2Zs2
(1J 2 ) ,
mz mcx
(32)
gdzie Ȗ przedstawia stopieĔ táumienia wiskotycznego:
J
b
2 (N
mcxir2Zs2
)( mz mcx )
1.
(33)
CzĊstoĞü ta zmniejsza siĊ wraz ze wzrostem prĊdkoĞci kątowej silnika.
W przypadku wielocylindrowego rzĊdowego silnika czterosuwowego liczące siĊ ampli-tudy
posiadają pierwsze dwie harmoniczne o czĊstoĞciach:
Q s1
c
Zs ;
2
Q s2
cZs ,
(33; 34)
Zakresy dopuszczalnych czĊstoĞci drgaĔ swobodnych nietáumionych Qrw (wáasnych) modelu
regulatora, w których amplitudy drgaĔ wymuszonych elementu wykonawczego
nie osiągają nadmiernych wartoĞci w caáym zakresie pracy silnika, moĪna wyznaczyü, zakáadając
bezpieczną wartoĞü wspóáczynnika wzmocnienia drgaĔ. W przypadku drgaĔ wymuszonych
bezwáadnoĞciowo bardzo sáabo táumionych moĪna go opisaü nastĊpująco [5]:
ki #
Q si2
,
2
Q rw
Q si2
i
1, 2 .
(35)
Na podstawie zaleĪnoĞci (33 ÷ 35) zostaáy sformuáowane – przy pominiĊciu táumienia – nastĊpujące alternatywne warunki statecznoĞci ruchu ze wzglĊdu na rezonanse drgaĔ wymuszonych:
1.
Q rw ( Zs min ) d Q s1 min 1 1
k1
cZs min
1
1 ,
2
k1
k1 ! 1 ,
(36)
2.
albo
3.
Q rw ( Zs max ) t Q s 2 max 1 1
k2
cZs max 1 1
,
k2
(37)
4.
gdzie: Qrw(Ȧsmax); Qrw(Ȧsmin) - czĊstoĞci drgaĔ swobodnych nietáumionych modelu regulatora przy
najwiĊkszej i najmniejszej dopuszczalnej prĊdkoĞci kątowej silnika.
Warunek 2 jest trudny do praktycznej realizacji ze wzglĊdu na wymaganą bardzo duĪą wartoĞü
czĊstoĞci drgaĔ wáasnych, szczególnie przy wiĊkszej liczbie cylindrów.
Rezonanse parametryczne mogą wystąpiü w otoczeniu tych prĊdkoĞci kątowych silnika,
przy których czĊstoĞci Qsi skáadowych harmonicznych przebiegu oscylacji pozostają w nastĊpują-cym
stosunku do czĊstoĞci drgaĔ wáasnych [4], [5]:
2 1
Q si
(38)
2 , 1, , , ...
3 2
Q rw
35
J. BidziĔski
Podstawowy (pierwszy) rezonans parametryczny moĪe wystąpiü w pobliĪu prĊdkoĞci,
przy których Qsi=2Qrw. Rezonanse parametryczne rzĊdu wyĪszego niĪ drugi są mniej niebez-pieczne,
ze wzglĊdu na silniejszy wpáyw táumienia na rozmiary związanych z nimi obszarów niestatecznoĞci
ruchu. Z tego wzglĊdu czĊstoĞü drgaĔ wáasnych powinna speániaü warunek:
5.
Q rw ( Zs min ) Q s1 min
cZ s min
.
4
2
(39)
6.
MoĪe on jednak kolidowaü z warunkiem statecznoĞci statycznej. Ze wzglĊdu na rozmiary
obszarów niestatecznoĞci parametrycznej jest ponadto poĪądane, aby amplituda zmian wartoĞci
wspóáczynnika równania zaburzeĔ (31) przy wspóárzĊdnej ȟ byáa niewielka. WartoĞü wyraĪenia
N mcxZ~s2ir2
(40)
powinna byü w związku z tym duĪa. Maáym wartoĞciom czĊstoĞci drgaĔ wáasnych odpowiadają
natomiast maáe wartoĞci tego wyraĪenia. MoĪna w związku tym przyjąü warunek:
7.
Q s1 min
cZ s min
Q
Q rw ( Z s min ) s 2 min
4
2
2
Q s1 min
cZ s min
.
2
(41)
8.
NaleĪy siĊ jednak wtedy liczyü z moĪliwoĞcią wystąpienia nieharmonicznych przebiegów
przemieszczenia elementu wykonawczego przy maáych prĊdkoĞciach kątowych silnika.
UwzglĊdniając warunki 1 i 4 przyjĊto ostatecznie, Īe ze wzglĊdu na statecznoĞü dynamiczną
modelu regulatora wartoĞü czĊstoĞci jego drgaĔ wáasnych powinna zawieraü siĊ w przedziale:
cZs min
cZ
1
Q rw ( Zs min ) s min 1 ,
4
2
k1
k1 ! 1 .
(42)
4. Równanie ruchu podstawowego modelu regulatora w formie bezwymiarowej
Badania symulacyjne procesów przejĞciowych w ukáadzie napĊdowym pojazdu są zazwy-czaj
prowadzone przy zastosowaniu modelu silnika, w którym oscylacje prĊdkoĞci kątowej waáu
korbowego są pomijane. MoĪna wówczas wykorzystaü równanie ruchu podstawowego regulatora (25;
26). Powiązanie tego równania z modelem silnika jest áatwiejsze, jeĪeli zostanie ono przedstawione
w formie bezwymiarowej. Taka forma pozwala równieĪ oszacowaü para-metry regulatora bez
szczegóáowej znajomoĞci jego konstrukcji na podstawie charakterystyki regulatorowej silnika.
W celu okreĞlenia bezwymiarowego czasu, mas elementów regulatora i przemieszczenia
elementu wykonawczego przyjĊto nastĊpujące wartoĞci odniesienia:
to
1
ZN
;
mz mcx ;
mo
lo
xz .
(43; 44; 45)
WielkoĞci wyraĪone bezwymiarowo, z wyjątkiem bezwymiarowego czasu IJ, zostaáy oznaczone poziomą kreską nad symbolem. Równanie ruchu podstawowego elementu wykonawczego w
formie bezwymiarowej ma postaü:
>
@
x b x N m Z 2i 2 ( 1 2HX ) x
cx s r
36
>
@
FN Zs2 ( 1 2HX ) Zn2 R ,
(46)
Model of a Diesel Engine All-Speed Governor
gdzie:
­sign( x ) ,
gdy : x z 0;
°
X ® ª FN Zs2 Zn2 N mcxir2Zs2 x R º
(47)
» , gdy : x 0 .
°3 «
2
2
HZs FN mcxir x
¼»
¯ ¬«
t
Zs
;
(48; 49)
W
tZ N ;
Zs
to
ZN
2
~
~
~
x
dx
x
x
x d x
;
;
;
(50; 51; 52)
x
x
dW x z Z N
xz
dW 2 xzZ N2
mcx
b
N
Nz
; b
; N
; Nz
; (53÷54)
2
mz mcx
( mz mcx )ZN
( mcx mz )ZN
( mz mcx )ZN2
gdy : 0 d x d 1;
­ 0,
FN
°
N
;
R
x
,
gdy : x 0; .
(55; 56)
FN
® z
( mz mcx ) x zZ N2
°̄ N z ( x 1 ) , gdy : x ! 1 ,
mcx
5. Zasady doboru parametrów modelu
Bezwymiarową sztywnoĞü sprĊĪyny modelu regulatora moĪna oszacowaü – przy danej liczbie
cylindrów silnika i znanym stosunku mas elementów – na podstawie warunków statecz-noĞci ruchu.
Z warunku statecznoĞci dynamicznej (42) wyraĪonego w formie bezwymiarowej wynika
nastĊpujący przedziaá dopuszczalnych wartoĞci bezwymiarowych sprĊĪyny:
§1
·
§
1·
§ 1 2
·
c ( mz mcx ) mcxir2 ¸ N Zs2min ¨¨ c 2 ( mz mcx )¨¨ 1 ¸¸ mcxir2 ¸¸ , k1 ! 1 .(57)
© 16
¹
© k1 ¹
©4
¹
Zs2min ¨
Zakáadając, masa ciĊĪarków regulatora zredukowana na kierunek wspóárzĊdnej poáoĪenia
elementu wykonawczego jest zbliĪona do zastĊpczej masy tego elementu, moĪna na przykáad
przyjąü: mz mcx 0,5 . PrzeáoĪenie miĊdzy jarzmem regulatora i waáem korbowym w silniku
czterosuwowym wynosi zazwyczaj ir =0,5. Dobrana wartoĞü sztywnoĞci musi speániaü równieĪ
warunek statecznoĞci statycznej, co zazwyczaj zachodzi przy tak okreĞlonym przedziale.
Bezwymiarowa siáa napiĊcia wstĊpnego sprĊĪyny przy nastawie mocy znamionowej moĪe byü
wyznaczona na podstawie przebiegu jednostkowej dawki paliwa q(Ȧs) odpowiadającego gaáĊzi
regulatorowej eksploatacyjnej charakterystyki szybkoĞciowej silnika. Na podstawie tego przebiegu
moĪna oszacowaü wartoĞü prĊdkoĞci kątowej ZNz , przy której jednostkowa dawka paliwa spada
do zera. PrĊdkoĞci tej odpowiada bezwymiarowe poáoĪenie ustalone elementu wykonawczego
modelu regulatora równe jednoĞci. WartoĞü bezwymiarowa siáy napiĊcia wstĊpnego sprĊĪyny jest
wtedy opisana wzorem, który wynika z zaleĪnoĞci (19) opisującej poáoĪenie ustalone elementu
wykonawczego regulatora:
2 2
ir
N mcxZ Nz
FN
.
(58)
2
Z Nz 1
WartoĞü wspóáczynnika oporu wiskotycznego moĪna okreĞliü – zakáadając wartoĞü stopnia
táumienia Ȗ zdecydowanie mniejszą od krytycznego – na podstawie zaleĪnoĞci (33) przeksztaá-conej
do postaci:
b
2J N mcxZs2ir2 .
37
(59)
J. BidziĔski
StopieĔ nieczuáoĞci İ modelu regulatora moĪna oszacowaü, przyjmując, Īe nie powinien on
reagowaü na pulsacje prĊdkoĞci obrotowej silnika rzĊdu kilku do kilkunastu obrotów
na minutĊ.
6. Odpowiedzi modelu regulatora na przebiegi sygnaáów sterującego i wejĞciowego
Dziaáanie modelu regulatora w ukáadzie otwartym, kiedy ruch silnika nie ma wpáywu
na prĊdkoĞü kątową ciąĪarków, zostaáo sprawdzone metodą symulacji komputerowej. W tym celu
opracowano na podstawie modelu program przewidziany do stosowania z oprogramowa-niem
Matlab 6.5 f-my MathWorks, Inc. Parametry modelu zostaáy dobrane wedáug zasad podanych w
pkt 5. ZaáoĪono przy tym jego wspóápracĊ z modelem silnika 6-cio cylindro-wego, w którego
opracowaniu wykorzystano charakterystykĊ uniwersalną silnika ciągnika Fendt Farmer 312 LSA
[2]. Przykáady odpowiedzi modelu regulatora na zmiany sygnaáu sterują-cego i wejĞciowego są
zamieszczone na rys. 2 i rys. 3. Wszystkie wielkoĞci z wyjątkiem czasu są przedstawione w formie
bezwymiarowej.
1.25
1.25
1
x
1
x
0.75
0.75
0.5
0.5
0.25
0.25
x
x
0
0
-0.25
-0.25
-0.5
0
0.02
a) Zn
0,7 o Zn
0,55
0.04
0.06
0.08
b) Zn
0.1
-0.5
0
t [s]
0.02
0.04
0,7 o Zn
0.06
0,5
0.08
0.1
t [s]
Rys. 2. Przebiegi prĊdkoĞci i przemieszczenia elementu wykonawczego przy skokowym zmniejszeniu wartoĞci Ȧn
Fig.2. Courses of governor operate element speed and displacement under jumps of value Ȧn
0.84
0.84
x
x
0.82
0.82
0.8
0.8
a) Zn
0.78
0
0.05
0,7 ; İ=0,004; ƗȦ=0,0042
0.1
0.15
0.78
0
t [s]
b) Zn
0.05
0,7 ; İ=0,004; ƗȦ=0,0125
0.1
0.15
t [s]
Rys. 3. Przebiegi przemieszczenia elementu wykonawczego przy harmonicznych przebiegach Ȧr z czĊstoĞcią Ȟs1
Fig.3. Runs of governor operate element displacement under harmonic courses of Ȧr with frequency Ȟs1
Dwa przypadki skokowego zmniejszenia prĊdkoĞci kątowej Ȧn nominalnej przy nastawie n –
przy staáej prĊdkoĞci kątowej Ȧr jarzma regulatora – są przedstawione na rys. 2. Zmiana nastawy
przedstawiona na rys 2.a wywoáuje ruch przejĞciowy elementu wykonawczego, podczas którego
maksymalne przemieszczenie bezwymiarowe tego elementu nie osiąga jednoĞci. W tym
38
Model of a Diesel Engine All-Speed Governor
przypadku
model
reaguje
jak
typowy
ukáad
mechaniczny
drugiego
rzĊdu
z táumieniem wiskotycznym i tarciem suchym. Opory tarcia powodują zakoĔczenie procesu
przejĞciowego przy poáoĪeniu elementu wykonawczego, które nieznacznie róĪni siĊ od poáo-Īenia
swobodnego tego elementu przy zmienionej nastawie. Zmiana nastawy przedstawiona na rys. 2b
wymaga przesuniĊcia elementu wykonawczego od zderzaka wyznaczającego poáo-Īenie x 0 do
zderzaka ograniczającego przemieszczenie maksymalne. Proces przejĞciowy odznacza siĊ wtedy
serią coraz sáabszych uderzeĔ elementu wykonawczego w zderzak (przejĞcie przez poáoĪenie
x 1 ), co za kaĪdym razem powoduje gwaátowną zmianĊ zwrotu prĊdkoĞci przemieszczenia.
ZwiĊkszanie wartoĞci sygnaáu sterującego powoduje przeciwne niĪ na rys. 2 przemiesz-czenia
elementu wykonawczego. Przebiegi odpowiedzi regulatora mają natomiast analogiczne cechy, w
związku z czym nie zostaáy zaprezentowane.
Odpowiedzi modelu na harmoniczny sygnaá wejĞciowy – przy staáej nastawie regulatora – są
zamieszczone na rys. 3. CzĊstoĞü przebiegu prĊdkoĞci kątowej Ȧr jarzma w obu prezen-towanych
przykáadach jest równa czĊstoĞci pierwszej harmonicznej Ȟs1 przebiegu prĊdkoĞci silnika
przewidzianego do wspóápracy z regulatorem. Amplituda ƗȦ przebiegu prĊdkoĞci kątowej
przedstawionego na rys.3a nieznacznie przekracza stopieĔ nieczuáoĞci regulatora İ. Tarcie suche
ogranicza w tym przypadku amplitudĊ drgaĔ elementu wykonawczego. Przebieg przemieszczenia
odznacza siĊ charakterystycznymi dla ukáadów z tarciem suchym przedziaáami czasu, w których
poáoĪenie elementu wykonawczego nie zmienia siĊ. Amplituda przebiegu prĊdkoĞci kątowej
przedstawionego na rys. 3b jest trzykrotnie wiĊksza od stopnia nieczuáoĞci regulatora. Przebieg
przemieszczenia elementu wykonawczego nie wykazuje cech niestatecz-noĞci ruchu. Po
krótkotrwaáym stanie przejĞciowym wystĊpują jedynie ustalone drgania wymu-szone
bezwáadnoĞciowo. Wspóáczynnik wzmocnienia tych drgaĔ oszacowany na podstawie wyniku
symulacji wynosi okoáo 1,07. W przypadku obu prezentowanych przykáadów obser-wuje siĊ
nieznaczne opóĨnienie reakcji regulatora wzglĊdem chwili rozpoczĊcia harmonicz-nych zmian
prĊdkoĞci.
7. Podsumowanie
Wyniki badaĔ symulacyjnych wskazują, Īe model poprawnie odwzorowuje podstawowe
wáasnoĞci regulatora wielozakresowego. Dobór parametrów wedáug zasad przedstawionych
w pkt 5 zapewnia statecznoĞü jego ruchu.
Staáa czasowa regulatora jest bardzo maáa, wielokrotnie mniejsza od staáej czasowej silnika jako
ukáadu mechanicznego. W wielu zagadnieniach symulacji stanów nieustalonych pojazdu moĪna w
związku z tym pominąü w modelu ukáadu silnik-regulator wáasnoĞci dynamiczne regulatora.
MoĪna wtedy wykorzystaü zaleĪnoĞü (19) opisującą poáoĪenie ustalone elementu wykonawczego.
W celu zachowania realnych relacji pomiĊdzy wartoĞciami parametrów regulatora wystĊpujących
w tej zaleĪnoĞci powinno siĊ jednak przy ich doborze uwzglĊdniü warunki statecznoĞci ruchu.
NaleĪy siĊ równieĪ liczyü z nieco wczeĞniejszą reakcją modelu ukáadu silnik-regulator na zmiany
obciąĪenia w wyniku pominiĊcia nieczuáoĞci regulatora na maáe zmiany prĊdkoĞci obrotowej.
Literatura
[1] Bernhardt, M., DobrzaĔski, S., Loth, E., Silniki samochodowe, Wydawnictwa Komunikacji i
àącznoĞci, Warszawa 1965.
[2] BidziĔski, J., Model of a diesel engine for computer simulations of transition processes in an
agricultural tractor driving system, w niniejszym zbiorze referatów.
[3] Grzesikiewicz, W., Dynamika ukáadów mechanicznych z wiĊzami, Wydawnictwa Politechniki
Warszawskiej, Warszawa 1990.
39
J. BidziĔski
[4] SzempliĔska-Stupnicka, W., Zagadnienia drgaĔ parametrycznych w dynamice maszyn,
Wspóáczesne Zagadnienia Dynamiki Maszyn, pp. 219-295, Ossolineum, Polska Akademia
Nauk 1976.
[5] Ziemba, S., Analiza drgaĔ, PaĔstwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1957.
40